НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМЕНІ Б.І. ВЄРКІНА

Зубкова Олена Іванівна

УДК 517.9: 530.1: 517.4

ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА РОЗСІЯННЯ ДЛЯ НЕЕРМІТОВИХ

СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.03 - математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Рофе-Бекетов Федір Семенович,

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України,

головний науковий співробітник відділу математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Пивоварчик Вячеслав Миколайович,

Південноукраїнський державний педагогічний університет ім. К.Д. Ушинського, м. Одеса,

завідувач кафедрою прикладної математики та інформатики;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Шепельський Дмитро Георгійович,

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України,

старший науковий співробітник відділу математичного моделювання фізичних процесів.

Захист відбудеться “3” червня 2008 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47, зал засідань математичного відділення.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий “26” квітня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О. Горькавий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено оберненим задачам розсіяння (ОЗР) для операторів Шредінґера з неермітовими, у тому числі трикутними, матричними потенціалами на півосі та на осі.

Обернена задача спеціального вигляду зустрічається у В. Амбарцумяна в 1929 р. До 40-х років відносяться дослідження Г. Борга і Н. Левінсона. Інтенсивно теорія оберненої задачі розсіяння почала розвиватися в 50-х роках XX століття. Ця теорія стимулювалася як потребами квантової механіки, так і відкритим у 60-х роках XX століття зв'язком теорії операторів Штурма?Ліувілля з нелінійними рівняннями в частинних похідних, який привів до створення методу оберненої задачі розсіяння в теорії інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь. Важливі результати у розв’язанні обернених задач належать В.О. Марченку, І.М. Гельфанду і Б.М. Левітану, М.Г. Крейну, З.С. Аграновичу і В.О. Марченку, Ю.М. Березанському, Л.Д. Фаддєєву, В.Е. Лянце, Л.П. Нижнику, Ф.С. Рофе-Бекетову та ін.

У скалярному самоспряженому випадку ОЗР на півосі для оператора Шредінґера розв’язав В.О. Марченко; аналогічну задачу на осі він розглянув при умові , а Л.Д. Фаддєєв і Б.М. Левітан, суттєво кажучи, при умові . Задачу на півосі для самоспряжених систем розглянуто в монографії З.С. Аграновича і В.О. Марченка. Скалярний несамоспряжений випадок на півосі з експоненціально спадним потенціалом розглянув В.Е. Лянце, на осі ? В.А. Блащак. Серед недавніх робіт з деяких аспектів теорії розсіяння назвемо праці В.М. Пивоварчика, Є.В. Черемниха, Д.Г. Шепельського, І.Є. Єгорової, Г. Тешля та ін. Умовному розв'язку несамоспряженої оберненої задачі розсіяння на осі з матричним потенціалом класу , якщо відомо, що задані величини є даними розсіяння, при відсутності спектральних особливостей і в припущенні, що дискретний спектр скінченний і коефіцієнти проходження праворуч та ліворуч мають лише прості полюси, присвячено роботу Е. Ольмедилли. Там же виведено рівняння Марченка при наявності полюсів другого порядку. Але характеристичні властивості даних розсіяння в роботі Е. Ольмедилли установлено не було. Будь-які дослідження в цій області, у тому числі ? знаходження характеристичних властивостей даних розсіяння задачі з неермітовим потенціалом, зокрема з трикутним, на осі, а також на півосі, є актуальними.

Одним із результатів дослідження ОЗР є існування потенціалів, еквівалентних з точки зору фаз розсіяння. Ці потенціали було названо фазово-еквівалентними. У скалярному випадку сімейства фазово-еквівалентних потенціалів було досліджено Йостом і Коном, а також Холмбергом. Але у матричному випадку є істотні відмінності та виникають нові цікаві питання та постановки задач, які не було раніше вивчено. Тому дослідження сімейств фазово-еквівалентних потенціалів у матричному випадку та їх застосування в теорії ОЗР також є актуальною проблемою.

Ряд результатів дисертації цитується в монографії І.-П. П. Сироїда, що також свідчить про актуальність теми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати, які викладені в дисертації, було отримано відповідно до планів роботи Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України по відомчій тематиці, по темам: "Алгебраїчні та геометричні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем" (номер державної реєстрації 0196U002943), "Алгебраїчні та аналітичні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем" (номер державної реєстрації 0100U004485) та "Аналітичні методи в теорії операторних алгебр, динамічних систем та теорії розсіяння" (номер державної реєстрації 0103U000313).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розв’язання ОЗР для систем Шредінґера з трикутним матричним потенціалом на півосі та на осі, а також з іншими класами неермітових матричних потенціалів, побудованих за допомогою введеного поняття фазово-еквівалентних матричних потенціалів. У зв'язку з цим задачі дослідження полягають у наступному:

· Знайти характеристичні властивості даних розсіяння для несамоспряженої задачі на півосі з трикутним матричним потенціалом (дійсним на діагоналі). Знайти в явному вигляді розв’язок вказаної ОЗР, якщо відомо розв’язки самоспряжених скалярних обернених задач розсіяння, що відповідають діагональним елементам даних розсіяння.

· Одержати характеристичні властивості даних розсіяння несамоспряженої задачі на осі з трикутним матричним потенціалом (дійсним на діагоналі). Для цього, зокрема, потрібно відновити коефіцієнти проходження праворуч і ліворуч за даними розсіяння названої задачі розсіяння та встановити зв'язок між правими і лівими нормувальними поліномами на дискретному спектрі.

· Застосувати в теорії ОЗР введене поняття фазово-еквівалентних матричних потенціалів: знайти необхідні і достатні умови на дані розсіяння для того, щоб потенціал задачі був фазово-еквівалентний з ермітовим потенціалом, та щоб задані два матричних потенціали були фазово-еквівалентні між собою; знайти умови на припустимі, у тому числі неермітові, збурення нормувальних матриць, які не виводять із класу задач з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу.

Об'єктом дослідження є прямі та обернені задачі розсіяння з неермітовими матричними потенціалами на півосі та на осі.

Предметом дослідження є характеристичні властивості даних розсіяння задач з неермітовими матричними потенціалами, головним чином трикутними, на півосі та на осі; відновлення потенціалів за даними розсіяння для розглянутих задач; фазово-еквівалентні матричні потенціали.

Методи дослідження. У дисертації використано методи функціонального аналізу, комплексного аналізу та лінійної алгебри.

Метод Марченка, заснований на використанні введеного ним в теорію ОЗР інтегрального рівняння, застосовується при розв’язанні розглянутих ОЗР.

Метод задачі Рімана?Гільберта використано при відновленні коефіцієнтів проходження в ході розв’язання ОЗР з трикутним матричним потенціалом на осі.

Метод послідовного додавання дискретного спектру узагальнюється та використовується при доведенні достатності заданих властивостей даних розсіяння задачі з трикутним матричним потенціалом на осі.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі отримано наступні нові результати:–

вперше встановлено характеристичні властивості даних розсіяння для задачі з трикутним матричним потенціалом, що має перший момент на півосі, дійсний на діагоналі та без віртуального рівня; вперше знайдено властивості матричних нормувальних поліномів для даної задачі розсіяння;–

вперше в явному вигляді отримано розв’язок розглянутої оберненої задачі розсіяння, якщо відомі розв’язки самоспряжених скалярних обернених задач розсіяння, що відповідають діагональним елементам даних розсіяння;–

вперше одержано необхідні і з невеликою відмінністю достатні умови для того, щоб задані величини були даними розсіяння задачі з трикутним матричним потенціалом, що має другий момент на осі, дійсний на діагоналі та без віртуального рівня; встановлено зв'язок між правими та лівими нормувальними поліномами для даної задачі та знайдено їх властивості;–

вперше для задачі розсіяння з трикутним матричним потенціалом на осі запропоновано метод відновлення за даними розсіяння матричних коефіцієнтів проходження наліво та направо;–

введено нові поняття матричних фазово-напівеквівалентних потенціалів та матричних фазово-еквівалентних потенціалів, що дало змогу встановити властивості даних розсіяння, які відповідають неермітовим потенціалам, напівеквівалентним ермітовим потенціалам. На неермітові потенціали, що фазово-напівеквівалентні ермітовим матричним потенціалам, поширено теорему Марченка?Аграновича про характеристичні властивості даних розсіяння самоспряжених систем рівнянь Шредінґера;–

знайдено умови на припустимі, у тому числі неермітові, збурення нормувальних матриць, що не виводять із класу задач з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу.

Практичне значення отриманих результатів. Робота носить теоретичний характер. Отримані в дисертації результати можуть становити інтерес для фахівців в галузі математичної фізики та її застосувань, можуть бути використані при дослідженні задач теорії розсіяння, а також при розв’язуванні методом ОЗР нелінійних рівнянь математичної фізики. Деякі результати дисертації цитуються в монографії.

Особистий внесок здобувача. Результати, що представлені в дисертаційній роботі, одержано О.І. Зубковою особисто [1] та спільно з науковим керівником Ф.С. Рофе-Бекетовим [2] - [5]. У роботах [2] - [5] постановка задач і наукове керівництво належать Ф.С. Рофе-Бекетову. Доведення представлених до захисту результатів виконано здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на семінарах відділу математичного моделювання фізичних процесів (у 2000 р.; керівник: академік НАН України Е.Я. Хруслов) та відділу математичної фізики (у 2007 р.; керівник: д.ф.-м.н. В.П. Котляров) Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, на науково-технічних конференціях Української Державної Академії Залізничного Транспорту з 2000 р. по 2005 р., а також на 9 міжнародних математичних конференціях: VIII Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (травень 2000 р., Київ); Міжнародна конференція "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (вересень 2000 р., Одеса); International Conference on Functional Analysis and its Applications (May, 2002, Lviv); International Conference "Inverse Problems and Nonlinear Equations" (August, 2002, Kharkiv); International Conference "Nonlinear Partial Differential Equatios" (September, 2003, Alushta); Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання" (листопад 2005 р., Львів); International Conference dedicated to the centennial of B.Ya. Levin (1908-1993) "Entire and Subharmonic Functions and Related Topics" (August, 2006, Kharkiv); International Conference "Modern Analysis and Applications" (April, 2007, Odessa); International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (June, 2007, Kharkiv).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано у 15 друкованих працях [1] - [15], із них чотири статті [1] - [4] ? у наукових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України (вони в повній мірі відбивають основні результати дисертації), одна стаття [5] ? у закордонному науковому журналі та десять робіт [6] - [15] ? у тезах доповідей міжнародних математичних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 61 найменування. Повний обсяг роботи складає 141 стор., із них список використаних джерел займає 6 стор.

Автор висловлює глибоку вдячність науковому керівникові професору Ф.С. Рофе-Бекетову за постановку задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено мету і задачі дослідження, а також коротко представлено основні наукові результати дисертації, проаналізовано їх наукову новизну та практичне значення.

У першому розділі розглянуто задачу розсіяння для системи радіальних рівнянь Шредінґера з матричним потенціалом , і умовою :

(1)

Введено ряд понять, узагальнюючих для матричних потенціалів і задач відоме для скалярної задачі поняття фазової еквівалентності, а саме поняття: фазової еквівалентності, коли задачам розсіяння відповідають одночасно однакові матриці і однакові тильда-матриці Йоста; фазової напівеквівалентності або фазової тильда-напівеквівалентності, коли задачам відповідають однакові матриці Йоста або однакові тильда-матриці Йоста.

Якщо задача фазово-еквівалентна (ФЕ) ермітовій задачі, то таку задачу називаємо квазіермітовою, якщо ж задача фазово-напівеквівалентна (ФН) або фазово-тильда-напівеквівалентна (ФТН) ермітовій, називаємо її напівермітовою. У скалярному випадку поняття ФЕ, ФН і ФТН задач співпадають, а тому співпадають й поняття квазіермітових та напівермітових задач.

Матриця розсіяння даної задачі (1) має вигляд .

Матриці де називаємо нормувальними матрицями вказаної задачі (1).

Даними розсіяння задачі (1) з простими полюсами і без спектральних особливостей називаємо набір величин

Більшу частину першого розділу присвячено вивченню властивостей даних розсіяння (ДР) квазіермітових і напівермітових задач.

У підрозділі 1.2 отримано необхідні і достатні умови фазової напівеквівалентності або тильда-напівеквівалентності двох напівермітових матричних потенціалів. Усе це дало змогу для введених класів неермітових (а саме, напівермітових) задач поширити теорему Марченка?Аграновича про характеристичні властивості даних розсіяння самоспряжених систем рівнянь Шредінґера.

Підрозділ 1.3 присвячено питанню про припустимі збурення нормувальних матриць, що не виводять із класу задач з матричними потенціалами, ФЕ одному й тому ж квазіермітовому потенціалу. Тут також розглянуто збурення матричних потенціалів і розв’язків Йоста даної задачі розсіяння (1), що викликані заданими збуреннями нормувальних матриць.

Отримані у першому розділі результати ілюструються прикладами їх застосувань, у тому числі достатності одних умов та необхідності інших умов. Наведено приклад даних розсіяння напівермітової задачі, яка не є квазіермітовою.

У другому розділі розглядається задача розсіяння на півосі (1) з умовою та з верхньотрикутним матричним потенціалом Крім (1), розглядаємо також тильда-рівняння (2).

При вводимо матричні нормувальні поліноми за формулами

,

де Зауважимо, що не залежить від вибору

Набір величин називається даними розсіяння (ДР) задачі (1) з верхньотрикутним матричним потенціалом.

Крім того, у другому розділі знайдено в явному вигляді розв’язок оберненої задачі розсіяння за даними (3), якщо відомо (наприклад – знайдено за схемою В.О. Марченка) розв’язки самоспряжених скалярних обернених задач розсіяння, що відповідають діагональним елементам (3).

У третьому розділі розглянуто задачу розсіяння на осі для системи рівнянь Шрединґера з верхньотрикутним матричним потенціалом

(10)

Величини називаються, відповідно, правим і лівим коефіцієнтами відбиття.

Величини називаються, відповідно, правим і лівим коефіцієнтами проходження.

Зауважимо, що, на відміну від скалярного випадку, лівий і правий коефіцієнти проходження в матричному випадку, загалом кажучи, не співпадають між собою.

Власні числа , задачі (10) співпадають з власними числами задачі (11) і з сукупністю власних чисел скалярних задач розсіяння для дійсних діагональних елементів матричного потенціалу тому що вони є коренями рівняння Тому кількість власних чисел скінченна і Крім того, ми припускаємо відсутність віртуального рівня, тобто відсутність обмеженого на -осі нетривіального розв’язку (10) при

Поліноми

де , ми називаємо, відповідно, правими і лівими нормувальними поліномами.

Набори величин і називаються, відповідно, правими і лівими даними розсіяння (ДР) задачі (10).

ДР скалярної задачі, що відповідає діагональному елементу трикутного матричного потенціалу, співпадають з набором відповідних діагональних елементів матричних ДР.

При цьому, як і в скалярному випадку, праві ДР однозначно визначаються лівими і навпаки.

Правий і лівий коефіцієнти відбиття зв'язані наступним співвідношенням

Ця лема і формула (15) показують, що для визначення правих ДР по лівим ДР або навпаки достатньо по них відновити матриці і одночасно.

Спочатку відновлюємо матриці і для задачі без дискретного спектру (Лема 3.5), потім для задачі з дискретним спектром (Лема 3.6).

У підрозділі 3.2 теорему 3.1 доведено у бік необхідності. У підрозділах 3.3 та 3.4 теорему 3.1 доведено у бік достатності, причому в підрозділі 3.3 розглянуто випадок відсутності дискретного спектру, а в підрозділі 3.4 розвинено метод послідовного додавання дискретного спектру стосовно до розглянутого матричного несамоспряженого випадку, де можливі, зокрема, кратні полюси коефіцієнта проходження і приєднані функції. (В скалярному самоспряженому випадку можливі тільки прості полюси коефіцієнта проходження та немає приєднаних функцій.)

ВИСНОВКИ

У дисертації розв’язано обернену задачу розсіяння для систем Шредінґера з трикутним матричним потенціалом на півосі та на осі, а також з іншими класами неермітових матричних потенціалів, побудованих за допомогою введеного поняття фазово-еквівалентних матричних потенціалів. Отримано нові результати, що становлять інтерес для фахівців в галузі математичної фізики та її застосувань і можуть бути використані як у теорії розсіяння, так і при інтегруванні нелінійних рівнянь математичної фізики. Деякі з цих результатів цитуються у монографії І.-П. Сироїда2 (Львів, 2005). Зокрема, у дисертації доведено наступне:

1. Встановлено характеристичні властивості даних розсіяння для неермітової задачі на півосі з трикутним матричним потенціалом (дійсним на діагоналі та без віртуального рівня) і, зокрема, знайдено властивості матричних нормувальних поліномів для даної задачі розсіяння. Для цієї задачі однозначна розв’язність рівняння Марченка доведена, виходячи з установлених властивостей даних розсіяння. При цьому, якщо відомі розв’язки самоспряжених скалярних обернених задач розсіяння, що відповідають діагональним елементам даних розсіяння, то розв’язок вказаної матричної оберненої задачі розсіяння отримано в явному вигляді.

2. Знайдено необхідні і з невеликою відмінністю достатні умови для того, щоб задані величини були даними розсіяння неермітової задачі на осі з трикутним матричним потенціалом (дійсним на діагоналі та без віртуального рівня). При цьому, однозначну розв’язність рівняння Марченка доведено, виходячи зі знайдених властивостей даних розсіяння. Відновлено матричні коефіцієнти проходження за величинами, які задовольняють умовам для даних розсіяння, знайденим у дисертації. Це дало змогу отримати безпосередній зв'язок між правими та лівими нормувальними поліномами для задачі з трикутним матричним потенціалом на осі, обминаючи відновлення потенціалу.

3. Введено нові поняття матричних фазово-напівеквівалентних потенціалів та матричних фазово-еквівалентних потенціалів і отримано необхідні і достатні умови фазової напівеквівалентності двох напівермітових потенціалів (тобто потенціалів, напівеквівалентних ермітовому потенціалу). Це дало змогу поширити теорему Марченка?Аграновича про характеристичні властивості даних розсіяння систем з ермітовим матричним потенціалом на характеристичні властивості даних розсіяння для введених класів неермітових (а саме, напівермітових) задач. Знайдено умови на припустимі, у тому числі неермітові, збурення нормувальних матриць, що не виводять із класу задач розсіяння з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу. Також знайдено збурення матричних потенціалів і розв’язків Йоста даної задачі, викликані заданими збуреннями нормувальних матриць. Наведено приклади застосування отриманих результатів, у тому числі достатності одних умов та необхідності інших умов.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.) Возмущения нормировочных матриц обратной задачи рассеяния // Матем. физика, анализ, геометрия. – 2002. – Т. 9, № 1. – С. 3-17.

2. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.), Рофе-Бекетов Ф.С. Обратная задача рассеяния на полуоси для системы с треугольным матричным потенциалом // Матем. физика, анализ, геометрия. – 2003. – Т. 10, № 3. – С. 412-424.

3. Zubkova E.I. and Rofe-Beketov F.S. Inverse Scattering Problem on the Axis for the Schrцdinger Operator with Triangular Matrix Potential. I. Main Theorem // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2007. – V. 3, № 1. – P. 47-60.

4. Zubkova E.I. and Rofe-Beketov F.S. Inverse Scattering Problem on the Axis for the Schrцdinger Operator with Triangular Matrix Potential. II. Addition of the Discrete Spectrum // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2007. – V. 3, № 2. – P. 176-195.

5. Бондаренко Е.И. (Зубкова Е.И.), Рофе-Бекетов Ф.С. Фазово-эквивалентные матричные потенциалы // Электромагнитные волны и электронные системы. (Рубрика: Новые математические методы.) ? 2000. ? Т. 5, № 3. ? С. 6-24. (Англ. перекл.: Bondarenko E.I. (Zubkova E.I.) and Rofe-Beketov F.S. Phase-equivalent matrix potentials // Telecommunications and Radio Engineering. (The rubric: New Mathematical Methods.) ? 2001. ? V. 56, № 8&9. ? P. 4-29.)

АНОТАЦІЯ

Зубкова О.І. Обернена задача розсіяння для неермітових систем диференціальних рівнянь. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

Дисертаційну роботу присвячено розв’язанню обернених задач розсіяння для операторів Шредінґера з неермітовими, у тому числі трикутними, матричними потенціалами на півосі та на осі. Для систем з трикутними матричними потенціалами (на осі ? з трикутним матричним потенціалом), дійсними на діагоналі та без віртуального рівня, знайдено необхідні і достатні (для осі ? з невеликою відмінністю) умови для того, щоб задані величини були даними розсіяння розглянутих задач. Встановлено, зокрема, властивості нормувальних поліномів даних задач розсіяння. Крім того, у дисертації введено для матричних потенціалів нове поняття фазової еквівалентності у кількох варіантах: фазова напівеквівалентність, фазова тильда-напівеквівалентність та фазова еквівалентність. За допомогою введених понять та отриманих для них результатів поширено теорему Марченка?Аграновича про характеристичні властивості даних розсіяння для систем з ермітовим матричним потенціалом на характеристичні властивості даних розсіяння для введених класів неермітових задач. Знайдено умови на припустимі, у тому числі неермітові, збурення нормувальних матриць, які не виводять із класу задач з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу.

Ключові слова: обернена задача розсіяння, дані розсіяння, рівняння Марченка, розсіяння на осі та на півосі, трикутний матричний потенціал, фазово-еквівалентні матричні потенціали.

АННОТАЦИЯ

Зубкова Е.И. Обратная задача рассеяния для неэрмитовых систем дифференциальных уравнений. – Рукопись. – Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 – математическая физика. – Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2008.

Теория обратной задачи рассеяния, к которой относится диссертация, интенсивно начала развиваться в 50-х годах XX века. Основоположные результаты теории обратных задач принадлежат В.А. Марченко, И.М. Гельфанду и Б.М. Левитану, М.Г. Крейну, Ю.М. Березанскому, З.С. Аграновичу и В.А. Марченко, Л.Д. Фадееву, которыми рассматривались самосопряженные скалярные или матричные обратные задачи.

Скалярный несамосопряженный случай обратной задачи рассеяния на полуоси с экспоненциально убывающим потенциалом рассмотрел В.Э. Лянце, на оси ? В.А. Блащак. В 1985 г. Е. Olmedilla вывел уравнение Марченко для матричной несамосопряженной задачи рассеяния на оси, но характеристических свойств данных рассеяния он не получил.

Диссертация посвящена решению обратной задачи рассеяния для некоторых неэрмитовых, в том числе треугольных, систем дифференциальных уравнений Шредингера. Диссертационная работа состоит из трех разделов.

Как известно, одним из результатов исследования скалярной обратной задачи рассеяния является существование так называемых фазово-эквивалентных потенциалов. В скалярном случае семейства фазово-эквивалентных потенциалов были исследованы Йостом и Коном, а также Холмбергом, но в матричном случае здесь возникают новые проблемы. В первом разделе диссертации рассмотрена задача рассеяния для системы радиальных уравнений Шредингера. Введены для матричных потенциалов, имеющих первый момент, несколько различных обобщений понятия фазовой эквивалентности ? фазовая полуэквивалентность, фазовая тильда-полуэквивалентность (когда потенциалам отвечают одинаковые матрицы Йоста или одинаковые тильда-матрицы Йоста) и фазовая эквивалентность (когда потенциалам отвечают одинаковые матрицы Йоста и одинаковые тильда-матрицы Йоста). Получены необходимые и достаточные условия фазовой полуэквивалентности или тильда-полуэквивалентности заданных двух матричных полуэрмитовых потенциалов (т.е. потенциалов, полуэквивалентных эрмитову потенциалу). С помощью введенных понятий и установленных для них результатов теорема Марченко?Аграновича о характеристических свойствах данных рассеяния для систем с эрмитовым матричным потенциалом распространена на характеристические свойства данных рассеяния для введенных классов неэрмитовых (а именно, полуэрмитовых) задач. Решен вопрос о допустимых, в том числе неэрмитовых, возмущениях нормировочных матриц, которые не выводят из класса рассматриваемых задач с матричными потенциалами, фазово-эквивалентными данному эрмитову потенциалу. Этот вопрос заметно сложнее, чем в скалярном случае. Также рассмотрены возмущения матричных потенциалов и решений Йоста данной задачи рассеяния, вызываемые заданными возмущениями нормировочных матриц полуэрмитовых задач. Приведены примеры применения результатов раздела, в том числе достаточности одних условий и необходимости других условий.

Во втором разделе решена обратная задача рассеяния на полуоси для системы дифференциальных уравнений Шредингера с треугольным матричным потенциалом, имеющим первый момент, вещественным на диагонали и без виртуального уровня. Установлены характеристические свойства данных рассеяния, то есть совокупности матрицы рассеяния, дискретного спектра и матричных нормировочных полиномов, для задачи указанного вида. Кроме того, получено в явном виде решение рассматриваемой обратной задачи рассеяния, если известны (например, найдены методом Марченко) решения самосопряженных скалярных обратных задач рассеяния, отвечающих диагональным элементам данных рассеяния.

В третьем разделе решена обратная задача рассеяния на оси для системы дифференциальных уравнений Шредингера с треугольным матричным потенциалом, вещественным на диагонали, имеющим второй момент и без виртуального уровня. Найдены необходимые и близкие к ним достаточные условия для того, чтобы заданные величины были данными рассеяния, то есть совокупностью матричного коэффициента отражения, дискретного спектра и матричных нормировочных полиномов, задачи указанного вида. Доказательство достаточности условий проводится сначала при отсутствии дискретного спектра, а затем ? с помощью метода последовательного добавления дискретного спектра. Этот метод развит в диссертации применительно к рассматриваемому матричному несамосопряженному случаю, когда возможны кратные полюса резольвенты и присоединенные функции, в отличие от скалярного самосопряженного случая, где этот метод был известен. Восстановлены матричные коэффициенты прохождения по величинам, которые удовлетворяют установленным условиям для данных рассеяния рассматриваемых задач. Получена непосредственная связь между правыми и левыми данными рассеяния для задачи с треугольным матричным потенциалом на оси, минуя восстановление потенциала.

Ключевые слова: обратная задача рассеяния, данные рассеяния, уравнение Марченко, рассеяние на оси и на полуоси, треугольный матричный потенциал, фазово-эквивалентные матричные потенциалы.

ABSTRACT

Zubkova E.I. Inverse scattering problem for the non-Hermitian systems of the differential equations. – Manuscript. – The thesis for the scientific degree of candidate in physics and mathematics by speciality 01.01.03 – mathematical physics. – B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2008.

The thesis is devoted to the solving of the inverse scattering problems for the Schrцdinger operator with the non-Hermitian, including triangular, matrix-valued potentials on the semi-axis and on the axis. For the systems with the triangular matrix-valued potentials (on the axis ? with the triangular matrix-valued potential), which are real on the diagonal and without the virtual level, the necessary and sufficient (for the axis ? with a small distinction) conditions for given values would the scattering data of the considered problems are found. In particular, the properties of the normalizing polynomials of the given scattering problems are established. Besides, in the thesis the new concepts of the phase equivalence of the matrix-valued potentials are introduced in some variants: а phase semi-equivalence, a phase tilde-semi-equivalence and а phase equivalence. By means of the introduced concepts and the obtained results for them the Marchenko?Agranovich theorem on the characteristic properties of the scattering data for the Hermitian matrix-valued potential is extended to the characteristic properties of the scattering data for the introduced classes of the non-Hermitian problems. The conditions for the admissible (including non-Hermitian) perturbations of the normalizing matrices, which do not lead out the class of problems with the matrix-valued potentials, which are phase-equivalent to the same Hermitian potential, are found.

Key words: inverse scattering problem, scattering data, Marchenko equation, scattering on the axis and on the semi-axis, triangular matrix-valued potential, phase-equivalent matrix-valued potentials.