НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

ЗУЄВ Олександр Леонідович

УДК 531.36, 531.39, 517.977

КЕРУВАННЯ ТА СТАБІЛІЗАЦІЯ РУХУ НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИХ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ З ПРУЖНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ

01.02.01 – ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Донецьк – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий консультант: | доктор фізико-математичних наук,

професор, член-кореспондент НАН України

Ковальов Олександр Михайлович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор інституту.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Новицький Віктор Володимирович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу аналітичної механіки;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Ігнатьєв Олександр Олегович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, провідний науковий співробітник відділу прикладної механіки;

доктор фізико-математичних наук, професор

Кононов Юрій Микитович,

Донецький національний університет,

професор кафедри прикладної механіки і комп’ютерних технологій.

Захист відбудеться “  25  ”   червня   2008 р. о  15  годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 в Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “  23  ”   травня   2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

Краснощок М.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Прогрес у створенні новітньої техніки викликає необхідність математичного моделювання руху складних керованих механічних систем з розподіленими параметрами. Актуальність цього наукового напрямку можна проілюструвати на прикладі дослідження руху космічних апаратів з деформівними елементами (антенами, панелями сонячних батарей, штангами, тросами) та роботів-маніпуляторів з пружними ланками. У роботах Л.В. Докучаєва, В.М. Рубановського, В.В. Румянцева, P. Likins та інших учених встановлено, що згадані еластичні елементи істотно впливають на динаміку в цілому, тому проблеми керування та стабілізації руху не можуть бути вирішені з потрібною точністю в рамках моделі абсолютно твердого тіла. Моделювання цих та інших об'єктів сучасної техніки призвело до розвитку теорії гібридних механічних систем, тобто систем, що складаються з абсолютно твердих та деформівних тіл. До найбільш розповсюджених моделей пружних елементів, що використовуються в теоретичних дослідженнях, належать балки Ейлера – Бернуллі та Тимошенка.

Задачі моделювання механічних систем із пружними елементами, а також суміжні питання стійкості та керування в скінченновимірних та нескінченновимірних просторах досліджувалися в роботах В.В. Белецького, І.О. Болграбської, В.І. Гуляєва, Ф.М. Діментберга, О.Є. Закржевського, О.О. Ілюхіна, Ю.М. Кононова, Д.В. Лебедєва, І.О. Луковського, А.І. Лур’є, М.К. Набіулліна, О.Я. Савченка, Ф.Л. Черноуська, В.С. Хорошилова, J.M.G.Ц.ьl, H. Troger та інших авторів.

Одним з найбільш ефективних методів аналізу стійкості та синтезу керувань для моделей гібридних систем з розподіленими параметрами є прямий метод Ляпунова, який дозволяє також дослідити більш загальні властивості сімейства розв’язків (стійкість по відношенню до частини змінних, властивості граничних множин). Важливий внесок в розвиток прямого метода Ляпунова для нескінченновимірних систем зроблено дослідженнями В.І. Зубова, О.О. Ігнатьєва, А.А Мартинюка, В.М. Матросова, Т.К. Сіразетдінова, О.О. Шестакова, J.M.J.M.V.J.P.та ін.

Дисертаційна робота пов'язана також з розвитком сучасних методів теорії керування, що ґрунтуються на декомпозиції керованих систем, використанні канонічних форм та теорії плоских (flat) систем за термінологією М.J.йvine, Ph. Martin, P.Ці методи набули суттєвого розвитку в роботах О.М. Ковальова, В.І. Коробова, В.Б. Ларіна, В.В. Новицького та інших вчених.

Оскільки математичні моделі гібридних систем описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними та рівняннями у функціональних просторах, в роботі використовуються сучасні підходи математичної теорії керування розподіленими системами, що ґрунтуються на методах функціонального аналізу. Ці підходи пов’язані з дослідженнями А.О. Аграчова, А.Г. Бутковського, Ю.Л. Далецького, М.З. Згуровського, М.Д. Копачевського, М.Г. Крейна, С.Г. Крейна, В.С. Мельника, Г.М. Скляра, A.V. Barbu, R. Curtain, H. Fattotini, J.-L. Lions, W. Krabs та ін.

Слід відзначити, що у переважній більшості попередніх публікацій з проблем керування нескінченновимірними гібридними системами з пружними балками було розглянуто тільки моделі балки з вільним кінцем або точковою масою на кінці. У дисертаційній роботі вперше створено та досліджено моделі керованих механічних систем, що враховують коливання пружних ланок як балок Ейлера – Бернуллі та Тимошенка, а також рух приєднаних абсолютно твердих тіл. Актуальність цих досліджень підтверджується висновками наведеного в дисертації літературного огляду.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з планами наукових досліджень відділу технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2001–2008 роки. Дисертант приймав участь у бюджетних науково-дослідних роботах “Математичні методи дослідження задач стійкості і керування динамічних систем та їх застосування у динаміці систем твердих тіл” (номер держ. реєстрації 0101U001094, 2001 – 2005 рр.) та „Керування і стійкість гібридних систем та сучасні проблеми робототехніки” (номер держ. реєстрації 0106U000044, 2006 – 2008 рр.)

Окремі результати дисертації отримано в ході виконання автором додаткової відомчої теми НАН України „Стабілізація керованих систем і теорія інваріантів” (номер держ. реєстрації 0106U005990, 2006 р.) і наукової роботи „Математичне моделювання і керування гібридними механічними системами” за грантом Президента України для підтримки наукових досліджень молодих учених (номер держ. реєстрації 0107U008484, 2007 р.) Частину результатів дисертації відзначено премією Президента України для молодих учених 2006 року за роботу „Нелінійна стабілізація багатовимірних керованих систем” (указ Президента України від 15.12.2006 № 1083/2006).

Напрямок досліджень дисертаційної роботи було підтримано грантами Міжнародного центра теоретичної фізики ЮНЕСКО і МАГАТЕ ім. Абдуса Салама (Трієст, Італія, 2003 р.) і фонду Олександра фон Гумбольдта (Німеччина, 2004 р.)

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження полягає у створенні ефективних методів керування гібридними механічними системами, що описуються моделями з розподіленими параметрами. Для досягнення цієї мети необхідно розв’язати ряд важливих задач теоретичної механіки та теорії керування. Одна з цих задач пов'язана з адекватним математичним моделюванням просторового руху гібридних систем. У загальному випадку такі моделі описуються системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними. Ще одна задача дослідження полягає у створенні алгоритмів керування та спостереження за неповною інформацією вимірів.

Об’єктом досліджень у роботі є моделі керованих механічних систем, що складаються з абсолютно твердих тіл та пружних балок.

Предметом досліджень є проблеми керування рухом, стабілізації та стійкості руху моделей механічних систем у нескінченновимірних та скінченновимірних фазових просторах.

Методи досліджень. Для побудови математичних моделей систем з пружними елементами застосовуються методи аналітичної механіки. При дослідженні проблем керування та стійкості використовується прямий метод Ляпунова, теорія неперервних навіпгруп операторів у банахових просторах, методи варіаційного числення, теорія ступеня відображення.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертації результати мають в основному теоретичне значення. Вони можуть бути застосовані для подальшого розвитку теорії стійкості та керування рухом механічних систем з розподіленими параметрами. Результати розділів 3 та 4 можуть бути рекомендовані до застосування в інженерній практиці при проектуванні систем керування космічними апаратами з пружними елементами. Розроблені в розділах 5 та 6 математичні моделі та методи синтезу функцій керування можуть бути застосовані при створенні алгоритмічного забезпечення сучасних роботів-маніпуляторів з пружними ланками.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що представлені до захисту, отримано здобувачем особисто. Стаття [1] опублікована в співавторстві з О.М. Ковальовим і В.Ф. Щербаком. Автору дисертаційної роботи належить виведення рівнянь руху і доведення часткової стабілізовності нелінійної системи. Результати спільних досліджень з Б. Якубчиком (B. Jakubczyk) опубліковані в роботі [6]. Автору дисертації належить доведення теореми про умови стабілізовності й аналіз модельної системи. Стаття [16] опублікована в співавторстві з О. Заводні (O. Sawodny). Автору дисертації належить виведення рівнянь коливання балки Тимошенка з урахуванням подовжніх зсувів і доведення всіх теорем.

Апробація результатів дисертації. Окремі частини дисертаційної роботи детально обговорювалися на таких наукових семінарах:

· Семінар із загальної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 2001 – 2007 рр. Керівник семінару – чл.-кор. НАН України О.М. Ковальов.

· Семінар Інституту механіки Технічного Університету Відня, Відень (Австрія), 2003 р. Керівник семінару – проф. Х. Трогер (H. Troger).

· Семінар Секції математики Міжнародного центра теоретичної фізики ЮНЕСКО і МАГАТЕ ім. Абдуса Салама, Трієст (Італия), 2003 р. Керівник семінару – проф. Д.Т. Ле (D.T. Le).

· Семінар Міжнародної школи вищих досліджень (SISSA), Трієст (Італія), 2003 р. Керівник семінару – проф. А.О. Аграчов.

· Семінар Технічного університету Ільменау, Ільменау (Німеччина), 2004 р. Керівник семінару – проф. О. Заводні (O. Sawodny).

· Семінар кафедри прикладної математики Католицького університету Лувайна, Лувайн-ла-Нев (Бельгія), 2005 р. Керівник семінару – проф. В. Блондель (V. Blondel).

· Семінар відділів нелінійного аналізу та рівнянь з частинними похідними Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 2007 р. Керівники семінару - проф. А.Є. Шишков і доктор фіз.-мат. наук О.А. Ковалевський.

У повному обсязі дисертація доповідалася й обговорювалася на семінарі „Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика” в Інституті математики НАН України (керівники семінару – акад. НАН України І.О. Луковський та чл.-кор. НАН України В.Л.Макаров, м. Київ, 2008 р.) та семінарі із загальної механіки в Інституті прикладної математики і механіки НАН України (керівник семінару – чл.-кор. НАН України О.М. Ковальов, 2008 р.)

Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на наступних конгресах, конференціях та наукових зборах:

· Семінар з керування та стабілізації динамічних систем (Control and Stabilization of Dynamical Systems), Міжнародний математичний центр ім. С.Банаха, Варшава (Польща), 17.04 - 2.05.2001 р.;

· Школа з математичної теорії керування, Міжнародний центр теоретичної фізики ЮНЕСКО і МАГАТЕ ім.Абдуса Салама, Трієст (Італія),3-28.09.2001р.;

· Міжнародні семінари з керування рухом роботів (Robot Motion and Control “RoMoCo”), Познанський технологічний університет, Познань (Польща), 18-20.10.2001 і 8-10.11.2002 р.;

· Всеросійський конкурс наукових праць молодих учених з механіки та процесів керування, присвячений 100-річчю з дня народження А.І. Лур'є, Санкт-Петербург (Росія), 13-14.12.2001 р. Доповідь відзначено дипломом I ступеня і медаллю переможця;

· Міжнародні Конференції “Моделювання і дослідження стійкості динамічних систем” (DSMSI), Київський національний університет ім. Т. Шевченка, Київ, 27-30.05.2003 і 22-25.05.2007 р.;

· 15-й Всесвітній конгрес Міжнародної федерації автоматичного керування (15th IFAC World Congress), Барселона (Іспанія), 21-26.07.2002 р. Роботу відзначено грамотою IFAC як одну з трьох кращих статей;

· Міжнародні Конференції “Стійкість, керування і динаміка твердого тіла” (ICSCD), Донецьк, 3-7.09.2002 і 1-6.09.2005 р.;

· Школа з математичної теорії керування (School on Mathematical Control Theory), Міжнародний математичний центр ім. С. Банаха, Бендлево-Варшава (Польща), 2-20.09.2002 р.;

· Семінар “Геометрія в нелінійному керуванні” (Geometry in Nonlinear Control), Міжнародний математичний центр ім. С.Банаха, Бендлево (Польща), 16-20.06.2003 р.;

· Міжнародна конференція “Фізика і керування” (PhysCon 2003), С. Петербург (Росія), 20-22.08.2003 р.;

· 48-й Міжнародний науковий колоквіум (IWK 2003), Ільменау (Німеччина), 22-25.09.2003 р.;

· Триместр динамічних і керованих систем, Міжнародна школа вищих досліджень (SISSA), Трієст (Італія), 8.09 - 7.12.2003 р.;

· 2-я Європейська молодіжна конференція “Теорія керування і стабілізація” (European Meeting on Control Theory and Stabilization), Турін (Італія), 3-5.12.2003 р.;

· 42-я Конференція з керування та прийняття рішень (42nd IEEE Conference on Decision and Control CDC'03), Мауї (США), 9-12.12.2003 р.;

· Семінар з математичної теорії систем (Workshop “Mathematische Systemtheorie 2004”), Ельгерсбург (Німеччина), 16-18.02.2004 р.;

· VI Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і Космос”, Дніпропетровськ, 14-16.04.2004 р.;

· Загальні збори Відділення математики НАН України, Інститут математики НАН України, Київ, 28.04.2004 р.;

· Семінар “Геометрія розподілів і систем керування” (Geometry of Distributions and Control Systems), Міжнародний математичний центр ім. С. Банаха, Варшава (Польща), 10-22.05.2004 р.;

· Міжнародні конференції “Класичні проблеми динаміки твердого тіла”, Донецьк, 23-25.06.2004 і 9-13.06.2007 р.;

· IV Європейський математичний конгрес (Fourth European Congress of Mathematics “4ecm”), Стокгольм (Швеція), 27.06-2.07.2004 р.;

· Літня школа і конференція по динамічних системах (Summer School and Conference on Dynamical Systems), Міжнародний центр теоретичної фізики ЮНЕСКО і МАГАТЕ ім. Абдуса Салама, Трієст (Італія), 19.07-6.08.2004 р.;

· Семінар ІФАК з узагальнених рішень у задачах керування (IFAC Workshop on Generalized Solutions in Control Problems “GSCP-2004”), Переславль-Залеський (Росія), 21-29.09.2004 р.;

· 16-й Всесвітній конгрес Міжнародної федерації автоматичного керування (16th IFAC World Congress), Прага (Чеська республіка), 4-7.07.2005 р.;

· Засідання Президії НАН України, Київ, 28.12.2005 р.;

· Третя міжнародна конференція з проблем управління, Інститут проблем управління ім. В.О. Трапезникова РАН, Москва (Росія), 20-22.06.2006 р.;

· VIII Кримська Міжнародна математична школа “Метод функцій Ляпунова і його застосування” (МФЛ-2006), Алушта, 10-17.09.2006 р.;

· 45-я Конференція з керування та прийняття рішень (45th IEEE Conference on Decision and Control CDC'06), Сан Диєго (США), 13-15.12.2006 р.;

· Міжнародний конгрес “Нелінійний динамічний аналіз”, присвячений 150-річчю акад. О.М. Ляпунова, Санкт-Петербург (Росія), 4-8.06.2007 р.;

· XIV Міжнародна конференція з автоматичного управління “Автоматика-2007”, Севастополь, 10-14.09.2007 р.;

· Міжнародна конференція з нелінійних диференціальних рівняннях з частинними похідними (Nonlinear partial differential equations “NPDE 2007”, Ялта, 10-15.09.2007 р.;

· X Міжнародна науково-технічна конференція “Моделювання, ідентифікація, синтез систем керування”, п. Канака, АР Крим, 16-23.09.2007 р.;

· Міжнародна конференція з керування в квантових системах “Control, Constraints and Quanta”, Міжнародний математичний центр ім. С. Банаха, Бендлево (Польща), 10-16.10.2007 р.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в статтях [1-21] у наукових фахових журналах та збірниках наукових праць. До опублікованих праць, що відображають наукові результати дисертації, також належать роботи [22-38].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 288 сторінках і містить вступ, основну частину з семи розділів, висновки, список літератури. Дисертація також містить 11 малюнків та одну таблицю. Список використаної літератури складається з 200 джерел і розташований на 23 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, а також апробація результатів роботи.

У першому розділі подається огляд робіт, які мають безпосереднє відношення до теми дисертації, а також викладено загальну методику дисертаційних досліджень.

Підрозділ 1.1 містить огляд робіт у галузі математичного моделювання та дослідження стійкості руху механічних систем з пружними елементами. У підрозділі 1.2 перелічено результати відомих публікацій з проблем керування та стабілізації моделей пружних систем. У підрозділі 1.3 викладено загальні результати щодо зображення розв’язків диференціальних рівнянь за допомогою неперервних напівгруп операторів у банахових просторах. У підрозділі 1.4 викладено основні положення методу модального керування механічними системами з розподіленими параметрами.

У другому розділі введено клас узагальнених динамічних систем з багатозначним потоком розв’язків та досліджено умови часткової асимптотичної стійкості цих систем у нескінченновимірних просторах [9, 14, 22, 25, 27, 34]. Нехай X – метричний простір, у якому задано функцію відстані . Для дослідження динамічних процесів в X будемо розглядати функції, що визначені при всіх моментах часу. Позначимо за множину всіх функцій, позначимо далі за множину всіх підмножин. Таким чином, елементами множини є або пуста множина, або одна функція, або декілька таких функцій.

Означення 2.1. [9] Будемо називати відображення багатозначною D-системою в X, якщо виконані такі умови:

A1. для всіх ;

A2. кожен елемент задовольняє умові;

A3. для кожних виконано умови, де , при , та при ;

A4. для кожних існує таке, що з умов випливає

;

A5. для будь-яких, та послідовності існує таке, що

.

Елементи множини будемо називати розв’язками задачі Коші для системи з початковою умовою.

У наведеному означенні умови A1 та A2 постулюють існування розв’язків, а з умови A3 випливає, що зсув траєкторії на додатний час також є траєкторією (групова властивість). Умови A4 та A5 забезпечують регулярність розв’язків без припущення про їх єдиність. Будемо називати елемент особливою точкою системи , якщо функція належить множині. Для дослідження асимптотичної поведінки розв’язків при в дисертаційній роботі доведено узагальнення принципу інваріантності ЛаСалля LaSalle J.P. Stability theory and invariance principles / J.P. LaSalle // Dynamical systems. Vol. 1: (L. Cesari, J.K. Hale, and J.P. LaSalle eds.) . – 1976. – New York: Academic Press. – P. 211– 222. на випадок багатозначних D-систем.

Означення 2.2. Нехай – багатозначна D-система в X. Будемо називати особливу точку x0 системи асимптотично стійкою по відношенню до функціонала, якщо

I. Для довільного існує таке, що з умови випливає для всіх,.

II. Існує таке, що з випливає для всіх.

У порівнянні з відомим підходом Мовчан А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам / А.А. Мовчан // Прикладная математика и механика. – 1960. – Т. , Вып. . – С. 988–1001., в означенні 2.2 не передбачається, що функціонал y(x) відповідає деякій метриці. Відсутність умови позитивної визначеності функціонала дозволяє розглядати це означення як узагальнення поняття асимптотичної стійкості за частиною змінних у сенсі О.М. Ляпунова та В.В. Румянцева.

Для формулювання умов часткової стійкості введемо клас K функцій Хана, який складається з усіх строго зростаючих функцій, що задовольняють умову.

Теорема 2.1. [9] Нехай – багатозначна D-система в метричному просторі X, і нехай x0 – її особлива точка. Припустимо, що існують неперервні функціонали, які задовольняють наступні умови:

C1. існують функції, для яких при всіх;

C2. для будь-яких, функція не зростає на;

C3. існує таке, що з умов, випливає       предкомпактність множини;

C4.

Тоді особлива точка x0 асимптотично стійка по відношенню до y.

Ця теорема дозволяє встановити часткову асимптотичну стійкість без припущень про єдиність розв’язків та диференційовність функціонала Ляпунова V. Для застосування цього результату розглянемо окремо випадок D-системи, що визначається диференціальним рівнянням у банаховому просторі.

Нехай E – банахів простір з нормою, і нехай X – замкнена підмножина простору E, що містить кулю. Тоді X – метричний простір з функцією відстані. Припустимо, що задано замкнений нелінійний оператор з усюди щільною в X областю визначення. Для початкової умови розглянемо абстрактну задачу Коші:

(1)

Надалі будемо припускати, що F є інфінітезимальним генератором неперервної напівгрупи нелінійних операторів в X. Тоді задача Коші (1) коректна, та всі її узагальнені розв’язки можна зобразити у вигляді:

Таким чином, кожному відповідає одноелементна множина, і таке відображення є багатозначною D-системою в X у сенсі означення .1. Нехай – диференційовний за Фреше функціонал, тоді функція часу є диференційовною на кожному класичному розв’язку задачі (1) при фіксованому x0, і похідну V в силу (1) можна записати у вигляді:

,

де – значення лінійного функціонала в точці. Припустимо, що F(0)=0, тоді відповідна D-система має особливу точку x=0. Будемо казати, що особлива точка x=0 диференціального рівняння (1) є асимптотично стійкою по відношенню до функціонала, якщо для відповідної D-системи точка x=0 є асимптотично стійкою по відношенню до y згідно з означенням 2.2.

Теорема 2.2. [9] Нехай F – інфінітезимальний генератор неперервної напівгрупи нелінійних операторів в X, F(0)=0, та нехай – неперервний функціонал. Припустимо, що існує диференційовний за Фреше функціонал, що задовольняє наступні умови:

1) для деяких;

2) для всіх;

3) існує таке, що для кожного множина є предкомпактною в X;

4) множина є інваріантною для (1), тобто з, випливає для всіх;

5) множина не містить цілих напівтраєкторій системи (1) для.

Тоді особлива точка x=0 диференціального рівняння (1) є асимптотично стійкою по відношенню до y.

Цей результат розповсюджує теорему Є.О. Барбашина – М.М. Красовського та теореми 19.1, 19.2 з монографії В.В. Румянцева та О.С. Озіранера Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В.В. Румянцев, А.С. Озиранер. – М.: Наука, 1987. – 256 с. на задачу часткової асимптотичної стійкості у нескінченновимірних просторах. В окремому випадку теорема 2.2 описує достатні умови сильної асимптотичної стійкості тривіального розв’язку нелінійного диференціального рівняння (1).

Для використання теореми 2.2 необхідно перевірити умову передкомпактності (відносної компактності) траєкторій нелінійного диференціального рівняння в банаховому просторі. У підрозділі 2.3 запропоновано достатні умови передкомпактності для траєкторій задачі Коші наступного вигляду:

(2)

де – лінійний оператор, – неперервна функція часу, – неперервне відображення.

Теорема 2.3. [14] Нехай E – банахів простір з базисом, A – інфінітезимальний генератор рівномірно обмеженої С0-напівгрупи лінійних операторів в E, при всіх, K – компакт. Припустимо також, що всі множини передкомпактні при.

Тоді кожний узагальнений розв’язок задачі (2) міститься у деякій компактній підмножині простору E.

Із використанням цього результату досліджено передкомпактність траєкторій наступної задачі Коші:

(3)

де та – локально-ліпшіцеві відображення.

Теорема 2.4. [14] Нехай E – банахів простір з базисом, A – інфінітезимальний генератор рівномірно обмеженої С0-напівгрупи лінійних операторів в E, всі множини передкомпактні при, – компактний оператор. Припустимо, що існує диференційовний функціонал, що задовольняє умови:

1) обмежені при всіх;

2) при кожному;

3) похідна в силу рівняння (3) задовольняє оцінці

.

Тоді для кожного задача Коші (3) має єдиний розв’язок на, при цьому – передкомпактна множина в просторі E.

Ці результати використано далі при розв’язанні задач сильної стабілізації та часткової стабілізації моделей механічних систем з пружними балками.

У третьому розділі досліджено проблеми керованості та стабілізації механічної системи, що складається з твердого тіла з k приєднаними балками Ейлера – Бернуллі [1, 5, 8, 23, 24, 28, 29]. Кількість балок може бути довільною. Розглянута система обертається в площині навколо нерухомої точки O під дією керуючого моменту M, що прикладений до твердого тіла (мал. 1.) Позначимо за li довжину балки з номером i, wi(x,t) – поперечний зсув точки i-ї балки з лагранжевою координатою в момент часу t, (t) – кут між віссю O1 та нерухомим напрямком. Вважається, що кожна балка жорстко защемлена одним зі своїх кінців у твердому тілі на відстані d від точки O. Розглянута система моделює обертальний рух супутника у вигляді твердого тіла-носія з пружними антенами. Для виводу рівнянь руху цієї механічної системи зобразимо поперечний зсув wi(x,t) сумою ряду Фур’є по певній системі базисних функцій:

(4)

та будемо вважати коефіцієнти цього розвинення узагальненими координатами, що відповідають пружним коливанням балки.

Мал. 1. Тверде тіло з пружними балками.

Функції у розвиненні (4) обрано власними функціями такої задачі Штурма – Ліувілля:

Відомо, що при кожному фіксованому ця задача має зліченну систему власних значень, а відповідні власні функції утворюють ортонормований базис в. Введемо змінні

,

де, величини та позначають, відповідно, модуль Юнга, момент інерції поперечного перетину та масу на одиницю довжини i-ї балки. Будемо вважати всі ці величини додатними константами.

Рівняння руху розглянутої механічної системи записано в формі рівнянь Лагранжа другого роду наступним чином:

(5)

де – параметр керування. У підрозділі 3.1 наведено перетворення [1], що зв’язує момент M з керуючим параметром v. Система (5) розглядається у гільбертовому просторі l2, елементами якого є нескінченні вектори

,

що задовольняють умову

.

У підрозділі 3.2 одержано допоміжну лему 3.1, за допомогою якої доведено основний результат (теорему .2) про наближену керованість розглянутої моделі.

Теорема 3.2. [8] Припустимо, що

(6)

для всіх. Тоді система лінійного наближення для (5) в околі нуля є наближено керованою.

Для розв’язання задачі стабілізації нелінійної системи (5) у підрозділі .3 дисертації запропоновано такий функціонал керування зі зворотним зв’язком:

, (7)

де J0 – момент інерції твердого тіла-носія відносно осі обертання, c0 та h – додатні константи.

Теорема 3.3. [8] Нехай виконано припущення (6) і нехай c0, h – додатні константи. Тоді керування зі зворотним зв’язком v=v(x) у вигляді (7) забезпечує сильну асимптотичну стійкість тривіального розв’язку нелінійної системи (5).

У підрозділі 3.4 розглянуто випадок системи з однаковими механічними параметрами всіх балок: li=l, i=, ci=c для i=1, 2, …, k. За такими припущеннями умова (6) не виконується при . Показано, що система лінійного наближення для) не є сильно стабілізовною в цьому випадку. Для розв’язання задачі часткової стабілізації розглянемо обмежений лінійний оператор [5]:

.

Якщо k=1, то є одиничним оператором в l2. У загальному випадку вектор описує стан „усередненої” механічної системи, для якої узагальнені координати з індексом n відповідають усередненим значенням модальних координат того ж самого індексу n відносно всіх k балок початкової системи.

Теорема 3.4. [5] Нехай c0, h – довільні додатні константи. Тоді керування зі зворотним зв’язком v=v(x) у вигляді (7) забезпечує асимптотичну стійкість розв’язку x=0 нелінійної системи (5) по відношенню до обмеженого функціонала

в l2. При цьому розв’язок x=0 замкненої системи (5), (7) є неасимптотично стійким за Ляпуновим.

З механічної точки зору стабілізація розв’язку x=0 по відношенню до функціонала призводить до стабілізації орієнтації твердого тіла-носія з одночасним гасінням усереднених координат та швидкостей коливань пружних балок.

У підрозділі 3.5 розглянуто підсистему рівнянь руху, що містить скінчену кількість пружних координат для випадку двох балок [1]. Наведено результат чисельного інтегрування рівнянь руху, що ілюструє ефективність запропонованого функціонала керування для задачі стабілізації.

У четвертому розділі досліджено задачі програмного керування системою (5) та її наближеннями [12, 13, 15, 17, 18, 35 – 37] із використанням стандартної канонічної форми Бруновського Brunovskэ P. A classification of linear controllable systems / P. Brunovskэ // Kybernetica. – 1970. – Vol. 6. – P. 173–188.. Спочатку розглянуто підсистему лінійного наближення для системи (5), що відповідає випадку однієї балки (k=1) та узагальненим координатам з індексами не вище за N:

(8)

де 0=, 0=, j та j – координата та швидкість, що відповідають j-ї моді коливань балки, j=1, , …, N. Коефіцієнти систем (5) і (8) зв’язані співвідношеннями

(9)

Позначимо

.

Теорема 4.1. [12] Припустимо, що та всі різні для j=1, 2, …, N. Тоді існує лінійне перетворення

(10)

що приводить систему (8) до стандартної канонічної форми Бруновського:

(11)

У підрозділі 4.1 наведено явний вигляд компонент перетворення (10) для довільної кількості пружних координат N. Застосування цього результату дозволяє записати розв’язки наступних двоточкових задач керування.

Задача 4.1. Для заданих

знайти функцію керування, для якої система (8) має розв’язок, що задовольняє граничні умови.

Задача 4.2. Для даних знайти функцію керування, яка мінімізує значення функціонала

в класі всіх керувань, що розв’язують задачу 4.1.

Сформулюємо основні результати щодо застосовності теореми 4.1 для розв’язання цих задач.

Теорема 4.2. [12] Нехай виконано умови теореми 4.1. Тоді для будь-яких значень існує керування, що розв’язує задачу .1. Вказане керування задається формулою

де - довільна функція, що задовольняє певним граничним умовам при та (явний вигляд граничних умов та коефіцієнтів наведено в підроздділі .1).

У підрозділі 4.2 встановлено, що умови теореми 4.1 є остаточними в тому сенсі, що нелінійна скінченновимірна апроксимація системи (5) не може бути зведена до канонічної форми Бруновського за будь-якою кількістю узагальнених координат. А саме, доведено такий результат.

Теорема 4.3. [13] Розглянемо нелінійну систему

(13)

і припустимо, що, для всіх. Тоді не існує дифеоморфізму, який зводив би систему (13) до канонічної форми Бруновського (11).

З цієї теореми випливає, що нелінійна система (13) не є плоскою (flat) за термінологією М.J.йvine, Ph.P. Fliess M. Flatness and defect of nonlinear systems: introductory theory and examples / M. Fliess, J. Lйvine, Ph. Martin, P. Rouchon // Internat. Journal of Control. – 1995. – Vol. 61(6). – P. 1327–1361.. Теорему 4.2 застосовано для розв’язання задачі оптимального керування.

Теорема 4.4. [15] Нехай, та всі різні для. Тоді для будь-яких, існує єдине оптимальне керування, що розв’язує задачу 4.2 для системи (8). Вказане оптимальне керування є гладкою функцією, що визначається формулою

(12)

де коефіцієнти задовольняють певній системі лінійних алгебраїчних рівнянь (систему наведено в підрозділі 4.3).

Сім’я оптимальних керувань з теореми 4.3 може бути використана при наближеному розв’язанні задачі керування нескінченновимірною системою. Для формулювання цього результату запишемо лінеаризовану (в околі нуля) систему (5) в операторному вигляді:

(14)

де – фазовий вектор, – керування, лінійний оператор задано блочно-діагональною матрицею

Позначимо

. (15)

Теорема .5. [17] Нехай, при всіх, та

(16)

Тоді існує, при якому для кожних та є таке число, що нерівність

виконана при всіх. Керування, визначено формулою (12).

Для обґрунтування можливості практичного застосування цього результату в підрозділі 4.5 перевірено умови збіжності ряду (16) для рівняння (14), якщо коефіцієнти відповідають формулам (9) для балки Ейлера – Бернуллі.

Висновок з теореми 4.5. [18] Нехай коефіцієнти системи (14) визначаються формулами (9). Тоді для кожних із щільної підмножини та будь-якого існує керування у формі (12), при якому відповідний розв’язок системи (14) задовольняє оцінку

.

У п’ятому розділі запропоновано математичну модель просторового руху керованого робота-маніпулятора, що складається з n балок Ейлера – Бернуллі та трьох твердих тіл (платформи, маточини, вантажу) [2, 3, 19 – 21, 26, 38]. Ця модель враховує розподіл мас твердих тіл і телескопічні зсуви ланок. Використовуючи варіаційний принцип Гамільтона – Остроградського, отримано рівняння руху маніпулятора у вигляді системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними (підрозділи 5.1 – 5.2). У загальному вигляді ці рівняння опубліковано в статті]. Встановлено умови існування окремих розв’язків цієї системи, що відповідають стану рівноваги маніпулятора (підрозділ 5.3).

У підрозділах 5.4 – 5.6 досліджено систему лінійного наближення в околі стану рівноваги для випадку маніпулятора з одною ланкою у вигляді балки довжини l. Таким чином, у момент часу компоненти відносного зсуву точки центральної лінії балки з просторовою координатою визначаються функціями та у відповідній рухомій декартовій системі координат. Зазначена система координат відповідає послідовним обертанням фіксованої системи координат на кут у горизонтальній площині та у вертикальній площині. Система перетворює такі обертання під дією керуючих моментів та, що прикладені до маточини в нижній точці балки. Будемо припускати, що тверде тіло (вантаж) жорстко приєднано до верхньої частини балки у власному центрі мас. Для кожного значення існує керуючий момент, що реалізує стан рівноваги, розглянутої механічної системи. Система лінеаризованих рівнянь руху в околі такого стану рівноваги має наступний вигляд [19]:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

де та – керуючи параметри, що зв’язані з моментами MT та MR за допомогою відомих перетворень,

Процедуру для обчислення форми рівноваги та моменту наведено в підрозділі 5.3. Параметри системи (17)–(21) мають таку фізичну інтерпретацію: – маса на одиницю довжини балки; ; – модуль Юнга; та – моменти інерції поперечного перетину балки відносно відповідних осей та; – маса твердого тіла (вантажу); – головні центральні моменти інерції твердого тіла (вантажу); – маса маточини;– моменти інерції маточини; – радіус платформи, відносно якої обертається маточина; – момент інерції платформи; – відстань між початком рухомої системи координат та центром мас маточини.

Для запису системи рівнянь (17)–(21) в компактній формі розглянемо гільбертів простір

де – простір Соболева функцій з, що мають узагальнені похідні порядку до включно з. Для елементів

скалярний добуток визначено формулою

.

Введемо лінійний оператор та елемент наступним чином:

(22)

Передбачається, що та – функції класу; та– константи.

Нехай є класичним розв’язком задачі (17)–(21) з керуванням для. Позначимо

Тоді та для всіх. Розглянемо пару, яка відповідає позначенням для з, в формулі (22). Аналогічно, нехай – пара, що відповідає випадку, у визначенні. Таким чином, крайову задачу (17) – (21) зведено до наступної системи диференціальних рівнянь:

(23)

(24)

де – фазовий вектор, – вектор керування. Надалі будемо вважати цю систему абстрактним формулюванням задачі (17)–(21) з та.

Оскільки система (23), (24) розпадається на дві незалежні підсистеми, то проблему стабілізації можна розв’язувати окремо по відношенню до компонент та. Сформулюємо основні результати у цьому напрямку.

Теорема 5.1. [19] Розглянемо задачу Коші при:

(25)

(26)

де визначаються формулами (22) , ,

(27)–

довільна константа, , – достатньо великі константи.

Тоді задача Коші (25)–(26) з керуванням коректна при, а розв’язок є стійким за Ляпуновим, а саме, для кожного існує таке, що будь-який розв’язок задачі (25)–(27) задовольняє умову

Припустимо далі, що , .

Теорема 5.2.1] Нехай, – достатньо великі константи,. Тоді кожна напівтраєкторія рівняння (25) з керуванням у вигляді зворотного зв’язку (27) міститься у деякій компактній підмножині простору.

Теорема 5.3. [20] Нехай, – достатньо великі константи. Припустимо також, що (тобто рівняння (25) описує коливання у вертикальній площині). Тоді розв’язок рівняння (25) з керуванням у вигляді зворотного зв’язку (27) є асимптотично стійким за Ляпуновим.

У підрозділі 5.7 розглянуто математичну модель маніпулятора з гнучкими ланками, що з’єднані пружними шарнірами [2]. Для цієї моделі отримано керування, що забезпечує асимптотичну стійкість стану рівноваги та наведено результати чисельного моделювання руху. Доведено, що розглянута система є спостережуваною.

У шостому розділі запропоновано та досліджено модель керованого робота-маніпулятора, що складається з твердого тіла (маточини), пружної балки довжини l, та твердого тіла (вантажу) [4, 7, 10, 11, 16, 30, 33]. Розглянута механічна система обертається у вертикальній площині відносно нерухомої точки O під дією керуючого моменту M, що прикладений до тіла