ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені Івана Франка

ЦИНАЙКО ПЕТРО ВАСИЛЬОВИЧ

УДК 517.944

РОЗВ’ЯЗКИ ДВОХТОЧКОВИХ І КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ

ГІПЕРБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

01.01.02-диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Тернопільському державному педагогічному університеті імені Володимира Гнатюка.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

Хома Григорій Петрович,

Тернопільська академія народного господарства, професор кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Слюсарчук Василь Юхимович,

Рівненський державний технічний університет, професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Каленюк Петро Іванович,

Державний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедри обчислювальної математики і програмування.

Провідна установа: Чернівецький державний

університет ім. Ю. Федьковича, кафедра диференціальних рівнянь, Міністерство освіти України, м.Чернівці.

Захист відбудеться “21” жовтня 1999 р. о 1520 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 035.051.07 при Львівському державно-му університеті ім. І.Франка (290001, м. Львів, вул. Університет-ська, 1).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського держав-ного університету (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “17” вересня 1999 р.

Вчений секретар Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основною проблемою в теорії рівнянь матема-тичної фізики є відшукання розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними, що задовольняють певні додаткові умови, зокрема початкові та крайові. Однак у теорії звичайних диферен-ціальних рівнянь поряд з початковою задачею (задачею Коші) почали вивчати багатоточкові задачі, що мало природне узагальнення як у математичному розумінні, так і в розумінні фізичної інтерпретації. Така задача в 60-их роках була поставлена і для рівнянь з частин-ними похідними. Потрібно в області

Bp = {(t, x): 0 Ј t Ј T; - Ґ < x < Ґ, i=1,2,...,p}

знайти розв'язок гіперболічного рівняння

L[u(t,x)] = f(t,x), (t,x) О Bp , (0.1)

який задовольняє умови

u(tj ,x) = jj(x), j=1,2,...,n, 0Ј t1Ј t2 Ј …Ј tnЈT. (0.2)

Виявилося, що розв'язок багатоточкової задачі (0.1), (0.2) взагалі не буде єдиним. Як встановлено Б.Й.Пташником, дослі-дження таких задач вимагає додаткових умов, накладених на функцію f(t, x). Якщо використовувати метод Фур'є для дослідження задачі (0.1), (0.2), то додатковими умовами для функції f є періодичність за просторовими змінними.

Одночасно з розвитком теорії багатоточкових задач методом Фур'є досліджувалися крайові періодичні задачі

utt - a2 uxx = g(x,t)+e f (x,t,u,ut ,ux),

u(0,t)= u(p,t)=0, (0.3)

u(x,t+T)= u(x,t),

для гіперболічних рівнянь другого порядку.

На даний момент опубліковано чимало праць, присвячених дослі-дженню крайових задач і крайових періодичних задач для різних класів ди-ференціальних рівнянь. Замітимо, що крайові періодичні задачі для звичайних диференціальних рівнянь грунтовно вивчені А.М.Самойлен-ком і його учнями за допомогою чисельно-аналітичного методу. До 80-х років для рівнянь з частинними похідними здебільшого доведен-ня існування періодичних розв'язків проводилось за допомогою рядів Фур'є, до того ж період T і крайова умова підбирались так, щоб можна було досягти бажаного результату. Першою серед робіт у цьому на-прямі була робота М. А. Артем'єва, в якій розглядалось конкретне не-лінійне гіперболічне рівняння другого порядку вигляду ztt-zxx=Ф(x,t)+ef(z). Нові часткові результати при розв'язанні крайової періодичної задачі були одержані Ю. М. Березанським, В. М. Бороком, Х. Брезісом, О. Вейводою, М. М. Ладиженською, А. М. Митряковим, Л. Ніренбергом, Б. Й. Пташником, П. Рабіновичем, І. А. Рудаковим, І. В. Скрипником, С. Л. Соболєвим, Г. Т. Соколовим, В. М. Соловйовим.

Актуальність розвитку теорії крайових задач як для звичайних диференціальних рівнянь, так і для рівнянь із частинними похідними визначається потребами практики у зв'язку з важливістю її застосу-вання для розв'язання багаточисельних проблем і т.д. Як уперше бу-ло вказано М. А. Артем'євим, однією з причин, яка зв'язана з розв'язанням періодичних задач (0.3), є проблема малих знаменників. Така проблема виникла при розв'язанні багатоточкових задач для рівняння гіперболічного типу. Зауважимо, що лише при конкрет-ному виборі числа a (раціональному), періоду T=1 і відповідних крайових умовах x=0 і x=1 М. А. Артем'єву вдалося довести теорему існу-вання і єдиності розв'язку задачі (0.3). Такий підхід при доведен-ні існування періодичних розв'язків рівнянь із частинними похідними використовувався багатьма математиками (В. Н. Карпом, А. П. Митряковим, Б. Й. Пташником, В. М. Поліщуком, П. Рабіновичем, Г. Т. Соколовим, М. В. Соловйовим), до того ж результати одержувались кожен раз у спеціально виділених просторах функцій. У 1984 році чеськими математиками О. Вейводи і М. Штедри в роботі вдалося класифікувати простори розв'язків крайо-вої періодичної задачі (0.3). Більше вього, точні розв'язки ліній-ної задачі (0.3) (e=0) знайдені за допомогою простої модифікації формули Даламбера, яка дозволила уникнути виразів, в яких потрібно сумувати нескінченні ряди. Перевагою розробленого аналітичного ме-тоду, який використовується в просторі неперервно диференційованих функцій, крім надзвичайної простоти, є і відсутність умови на зна-чення функцій, які стоять в правій частині рівняння utt - uxx =f(x,t,u,ut, ux, e), у межових точках інтервалу [0, p]. Потрібно зау-важити, що в анотованій вище роботі О. Вейводи і М. Штедри не вив-чалася проблема виникнення просторів існування розв'язків.

Вирішенню таких питань, а також відшуканню аналітичних розв'язків задачі (0.3), присвячені роботи Ю. О. Митропольського і Г. П. Хоми, Г. П. Хоми і Я. Б. Петрівського, Н. Г. Хоми. У них частково розвинено новий науковий напрям у теорії чисельно-аналітичних ме-тодів як для хвильових звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, так і для хвильових рівнянь гіперболічного типу з частин-ними похідними.

Використовуючи методику дослідження крайових періодичних задач (0.3) вищезгаданих авторів, нами в дисертаційній роботі проведено дослідження лінійної двохточкової задачі

utt - uxx = g(x, t), (x,t) О R2, (0.4)

u(x,0) = u(x, p)=0, x О R;

лінійної крайової задачі

utt - uxx = g(x, t), x О R, 0<t<p, (0.5)

u(x,0) = u(x, p)=0, x О R;

і встановлено на їх основі умови існування гладких розв'язків не-лінійної крайової задачі

utt - u xx = F[u,ut ,ux ], x О R, 0<t< p, u(x,0) = u(x, p)=0, x О R,

у спеціально визначених просторах функцій. Зауважимо, що дослідження задачі (0.4) вперше було проведено лише в класі гладких функцій.

Мета роботи. Знайти точні розв'язки лінійної двохточкової і лінійної крайової задачі для лінійного неоднорідного гіперболіч-ного рівняння другого порядку і на основі них встановити умови іс-нування розв'язків крайових задач для квазілінійних рівнянь друго-го порядку. Встановити класи функцій, в яких дані розв'язки існу-ють.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи загальної теорії диференціальних рівнянь із частинними похідними, теорії інтегральних рівнянь і функціонального аналізу.

Наукова новизна.

- Доведено теореми існування і єдиності класичних розв'язків лінійної двохточкової і лінійної крайової задач для гіперболічного рівняння другого порядку.

- Визначено конкретні класи функцій, в яких існують класичні розв'язки лінійної двохточкової і лінійної крайової задач для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку гіперболічного типу.

- Отримано умови існування гладких розв'язків крайових задач для квазілінійних гіперболічних рівнянь другого порядку.

Теоретична і практична цінність. Результати дисертації є вагомим внеском у теорію крайових періодичних задач для квазілінійних гіперболічних рівнянь другого порядку. Знайдені алгоритми можуть бути використані для вивчення конкретних задач практики.

Апробація роботи. Результати роботи були темами доповідей на Міжна-родній науковій конференції “Нелінійні крайові задачі математичної фізики і їх застосування” (м. Кам'янець-Подільськ, 1996 р.); на Міжнародній науковій конференції “Нелінійні проблеми диференціаль-них рівнянь математичної фізики (м. Нальчик, Кабардино-Балкарії, 1997 р.); на П’ятій і Сьомій міжнародних наукових конференціях ім. академіка М.Кравчука (м. Київ, 1996,1998 р.); на семінарі відділу теорії нелінійних коливань і математичної фізики Інституту матема-тики НАН України (керівник - академік Ю.О.Митропольський); на Львівському міському семінарі з теорії диференціальних рівнянь (керівники Б.Й.Пташник, С.П.Лавренюк, П.І.Каленюк, 1999 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [ 1-10 ]. У працях [5-7], [9, 10], опублікованих у співавторстві з Ю.О.Митропольським, Г.П.Хомою, Н.Г.Хомою, співавторам належить постановка задач.

Основні положення дисертації, що виносяться на захист:

- Доведення теорем існування і єдиності класичних розв'язків лінійної двохточкової і крайових задач для неоднорідного гіпербо-лічного рівняння другого порядку в конкретно виділених класах функ-цій.

- Знаходження обернених операторів і вивчення їх властивостей.

- Встановлення умов існування гладких розв'язків крайових задач для квазілінійних гіперболічних рівнянь другого порядку.

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку і списку використаних джерел, викладених на 128 сторінках машинописного тексту. Список лі-тератури містить 148 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дано короткий огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми роботи, вказані мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються дослі-дження двохточкових і крайових задач для диференціальних рівнянь гіперболічного типу.

У другому розділі дисертації вивчається періодична задача

utt - uxx = g (x,t), (x,t) О R2 , (0.6)

u (x+w,t) = u(x,t), u(x,t+T)=u(x,t), (x,t) О R2 . (0.7)

Розглядаються такі простори: - простір обмежених функцій двох змінних x,t, неперервно-диференційованих j раз по x і k раз по t на R2 ; (R2)=0,0(R2 ); Gx - простір функцій двох змін-них x, t, неперервних і обмежених на R2 разом з похідною по x; Gt - простір функцій двох змін-них x, t, неперервних і обмежених на R2 разом з похідною по t; Qw - простір w - періодичних по x функцій; - простір w - періодичних і непарних по x функцій; QT=2p - простір T - періодичних по t функцій; - простір T - періодичних і непарних по t функцій; L(X,Y) - простір лінійних і обмежених відобра-жень X в Y; Wb - простір функцій g О, які задовольняють умови.

g(b+x,t+x-t+b)+g(b+x,t-x+t-b)= - g(x,t+x-t) - g(x,t-x+t), "(x,t, t) О R3,

.

На основі допоміжних результатів, наведених у підрозділі 2.1 у підрозділі 2.2 встановлено умови існування класичного розв'язку періодичної задачі 0.6), (0.7).

Доведено наступне твердження.

Теорема II.2.4. Для g О Gt З Qw З QT З Wb функція u = Rg, визначена формулою

(Rg)(x,t,b) = - ,

є функцією із простору 2,2 , яка задовольняє умови лінійної періо-дичної задачі (0.6), (0.7).

У підрозділі 2.3 на основі залежності, що визначає простір фун-кцій Wb , виведено функціональне рівняння

g(b+x,b-t) = g(x, t), "(x, t) О R2 ,

при допомозі якого визначено три числа bj , j=1,2,3, три періоди і три класи функцій

1 = w1q, w1q = (2p-1) p, p О Z, q О N, (2p-1, q) = 1,

1= {g: g(x,t)= g(x+w1 ,t)= - g(x,-t)=g(x, p-t)};

22 =(2s-1)w2 , (2s-1) w2 q= 4pp, pО Z, q О N, (p, 2s-1) = 1,

2 = {g: g(x,t) = - g(x,-t) = -g( +x,t) = g(x,t+2p)};

23 =(2s-1) w3 , (2s-1) w3 = 2p (2p-1), p О Z, s О N, (2p-1,2s-1) = 1,

3 ={g: g(x,t)=g(x+w3 ,t)= g(+x, p-t)= - g(x,-t)=g(x,t+2p)},

де запис (k,m) означає, що числа k і m взаємно прості.

Встановлено властивість.

Теорема II.3.2. Якщо g О j , то g О, j=1,2,3.

Третій розділ присвячений знаходженню точного розв'язку двох-точкової задачі для лінійного гіперболічного рівняння другого по-рядку в класі неперервно-диференційованих функцій.

У підрозділі 3.1 розглядається така двохточкова задача:

utt - uxx = g(x,t), u(x,0)= u(x,p)=0, (x,t) О R2 . (0.8)

Дано відповідь на питання про розв'язність двохточкової задачі (0.8) в класі неперервно-диференційованих за часовою змінною функ-цій на основі операторів Rj, які визначаються згідно формул

(Rj g)(x, t) = - , (0.9)

j=1,2,3.

Справедливі наступні твердження.

Теорема III.1.1. Якщо gОGt j , j=1,2,3, то функція u(x,t)=(Rj g)(x,t,bj ) є класичним (u О 2,2 (R2)) розв'язком двохточкової задачі (0.8).

Теорема III.1.2. Нехай gОGt j , j=1,2,3. Тоді

Rj: L(j, 1,1j); RjО L(tj, 2,2j); j=1,2,3.

Довівши у підрозділі 3.2 в класах j, j=1,2,3, що відповідна однорідна двохточкова задача

= 0, u0(x, 0) = u0(x, p) = 0, (0.8)

має лише тривіальний розв’язок в класах , доведено наступне твердження.

Теорема III.2.1. Для g О Gt j, функція u(x,t)=(Rjg)(x,t), визначена формулою (0.9), є єдиною функцією з простору 2,2 j, j=1,2,3, яка задовольняє умови двохточкової задачі (0.8).

У підрозділі 3.3 на основі узагальненої формули Даламбера про-ведено грунтовне дослідження існування розв’язку лінійної двохточкової зада-чі

utt - uxx = f(x,t), u(x,0)= u(x,p)=0, (x,t)ОR2 , (0.11)

в класі неперервно-диференційованих за просторовою змінною функцій.

На основі рівності

f(x,t)=f(x+b,b-t)=f(x-b,b-t)=f(x,t+2p)=-f(- x,t)=-f(x,-t) (0.12)

показано, що в підпросторах і рівність (0.7) виконується для таких трьох чисел j =bj і відповідних їм трьох періодів wj (та-ких самих як і для періодичної задачі), і трьох класів функцій :

={ f: f(x,t) = f(x+w1, t) = f(x,p-t) = -f(-x,t) = -f(x,-t)}.

={f:f(x,t)=f(x+w2/2,p-t)=f(x+w2,t)=f(x,t+2p)=-f(-x,t)=-f(x,-t)},

={f: f(x,t)=-f(x+w3 /2,t)=f(x,t+2p)=-f(-x,t)=-f(x,-t)}.

Теорема III.3.1. Якщо f О Gx , j = 1,2,3, то функція u =f, яка визначається формулою

(f)(x, t) = , (0.13)

j= (2p-1)p, j = 1,2, 3 = 2p p, p О Z,

є класичним розв'язком не тільки двохточкової задачі (0.11), а класичним розв'язком крайової періодичної задачі

utt - uxx = f(x,t), (x,t) О R2,

u (x,0) = 0, u(x, p) = 0, x О R, u (x+wj ,t) = u(x,t), (x,t) О R,

причому

||u(x,t) |Ј||f(x,t)|; ||ul (x,t)|Ј||f(x,t)|, l=t,x,

де ||f(x,t)|={sup |f(x,t)|: (x,t) О R2}.

Четвертий розділ присвячений дослідженню точних розв'язків кра-йових задач в класі 2p-періодичних і 4p-періодичних функцій.

У підрозділі 4.1 розглянуто крайову задачу

utt - uxx = f(x,t), x О R, 0 < t < p, (0.14)

u (x,0) = 0, u(x,p) = 0, x О R, (0.15)

і введено такі простори функцій: - простір функцій двох змінних x, t, неперервних і обмежених на R ґ [0,p]; Gxp - простір функцій двох змінних x, t, неперервних і обмежених на R ґ [0, p] разом з похідною по x.

На основі представлення розв'язку неоднорідного рівняння (0.14) у вигляді

u1(x,t) = (P1 f)(x,t) +C1t є + C1t

доведено, що крайова задача (0.14), (0.15) має розв'язок у таких класах функцій: