Київський університет

імені Тараса Шевченка

Єрежепова Арзаім Мадреїмівна

УДК 517.9

Оптимальні врівноважені стани кінетичної системи

Моно-Ієрусалимського та їх аналіз

01.05.04 - Системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1999

1.Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичних методів еколого-економіч-них досліджень факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Ляшенко Ігор Миколайович

(Київський університет імені Тараса Шевченка, зав.кафедри)

Офіційні опоненти:

1.- Доктор фізико-математичних наук, професор Хусаінов Денис Ях’євич

(Київський університет імені Тараса Шевченка, професор)

2. - Доктор фізико-математичних наук Мазко Олексій Григорович

(Інститут математики НАН України, пров.наук.спів.)

Провідна організація - Інститут Кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, відділ оптимізації керованих процесов

Захист відбудеться “ 9 ” “вересня” 1999 р. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.09 Київського університету імені Тараса Шевченка, Київ, пр.Глушкова, 2, корп.6, ауд.40 о 15 годині

(тел./факс 252 - 58 - 83, e-mail rada @ cyb.univ.kiev.ua.)

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка, Київ, вул.Володимирська,58.

Автореферат розісланий “26” “липня” 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

В.П.Шевченко

Загальна характеристика роботи.

Актуальність теми. В останні десятиріччя питання моделювання кінетич-ного росту біологічних популяцій викликають інтерес у багатьох вчених - математиків та біологів. Кількісна мікробіологія, що грунтується на моде-люваннi хіміко-кiнетичних процесів мікробного росту, є галуззю бiокiне-тики, яка швидко розвивається i має багато фундаментальних результатiв та практичих застосувань. Зокрема, досліди з вирощування мікроорганіз-мів стали основою створення сучасних біотехнологічних процесів.

В розвиток кінетичного моделювання в мікробіології вагомий вне-сок зробили дослідження Бірюкова В.В.,Беляніна В.М.,Варфоломєєва С.Д., Єлізарова Є. Я., Ієрусалимського Н. Д., Заславського Б. Г., Кантере М. В., Печуркіна Н.С., Позмогової І. М., РоботновоЇ І. А., Романовського Ю. М., Степанової Н. В., Свірєжева Н. М., Чернавського Д. С. та багатьох інших вчених.

Завдяки використанню зовнiшнього керування вдалося забезпечити неперервнiсть процесу вирощування популяцiї, що суттєво збагатило тео-рiю i практику сучасної мiкробiологiї. Але, в зв'язку з відсутністю методів оптимізації умов росту популяції при неперервному культивуванні перева-ги керованого процесу поки що використовуються в достатній мірі. На перший план при цьому випливають задачі оптимального керування та оп-тимізації параметрів врівноважених стаціонарних режимів процесу непе-рервного культивування. Оптимізація при використанні кінетичних моде-лей дозволяє знайти не лише набір оптимальних умов ведення процесу, але й оптимальну програму зміни параметрів. Саме це i визначає актуальнiсть методу оптимiзацiї росту мiкроорганiзмiв з використанням кiнетичної сис-теми Моно-Iєрусалимського. Задача оптимального збирання врожаю для кінетичної системи Моно-Ієрусалимського вперше була поставлена Ля-шенко І.М. і Ляшенко О.I., в роботах яких для частинного випадку гіпер-болічної залежності швидкості росту від концентрацій лімітуючого по-живного субстрату та інгібіруючих метаболітів вивчені оптимальні врів-новажені режими кінетичної системи Моно-Ієрусалимського.

В данiй дисертацiйнiй роботі проведено системний аналіз опти-мальних саціонарних розв’язків диференціальних рівнянь системи Моно- Iєрусалимського для загального випадку неконкурентного та конкурент-ного інгібірування пожвним субстратом та метаболітами.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана відповідно до плану наукових досліджень кафедри мате-матичних методів еколого-економічних досліджень факультету кіберне-тики Київського університету імені Тараса Шевченка.

Мета роботи. Метою роботи є постановка нових задач оптималь-ного керування для узагальненої моделі Моно-Ієрусалимського та розроб-ка метода дослідження оптимальних врівноважених режимів кінетичної системи з точки зору їх існування, єдиності та стійкості.

Наукова новизна. В процесі роботи

·

·

·

·

· Встановлено опуклість задачі параметричної оптимізації для моделі Моно-Ієрусалимського з фактором інтенсифікації виробництва біомаси та доведено єдиність та асимптотичну стійкість оптимального врівно-важеного стану (досліджені обидва випадки - неконкурентне та конку-рентне інгібірування).

Методи дослідження. В роботі використовуються теорія опти-мального керування, теорія нелінійної оптимізації, методи параметричної оптимізації, теорія стійкості для диференціальних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Встановлена в дисертації єдиність асимптотично стійких оптимальних врівноважених станів кінетичної системи Моно-Ієрусалимського дає математичне об-грунтування вибору оптимального режиму роботи культиватора непе-рервної дії при вирощуванні мікроорганізмів. Закладений в основу про-цеса оптимізації критерій загального економичного прибутку дає можли-вість оцінити економічну ефективність відповідного оптимального режи-му роботи культиватора.

Апробація результатів роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка, Інституту кібернетики Національної академії наук України, а також на:

- Всеукраїнській конференції “Моделювання та дослідження стійкості систем” (15 - 19 травня 1995 p., Київ);

- Всеукраїнській конференції “Моделювання та дослідження стійкості систем” (20 - 24 травня 1996 p., Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в чотирьох статтях та в трьох тезах конференцій.

Структура та обсяг. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох глав, висновків та списку літератури. Робота викладена на 122 сторінках тексту, список використаних джерел містить 110 найменувань.

Основний зміст.

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень з оптимізації мікробіологічних процесів, що описуються кінетичною системою Моно-Ієрусалимського, подано стислий огляд найбільш важливих результатів стосовно даної тематики. Приведені основні результати дисертації та стислий зміст дисертації по главах.

Перша глава роботи складається з чотирьох розділів.

Розділ 1.1 містить реферативні результати з існуючих моделей хе-мостатного культивування клітинних популяцій. Теорія хемостатного культивування виходить з того, що ріст культури характеризується хемос-татною кривою, що зображає залежність густини популяції Х, концентра-ції поживного субстрата S, концентрації продуктів життєдіяльності (мета-болітів) Р від швидкості протоку D в культиваторі:

(1)

Тут aў,bў,S0- задані додатні константи, aў і 1+bў, m = m (S,P) - пи-тома швидкість росту мікроорганізмів, що в найпростішому випадку має гіперболічну залежність

(2)

яка відображає лімітування росту субстратом та інгібірування метаболітами.

В багатьох випадках поживний субстрат при великій концентрації має також інгібіруючий вплив і тоді замість (2) маємо

(3)

або

(4)

Формули (3) та (4) є моделями відповідно неконкурентного та кон-курентного інгібірування субстратом і метаболітами. Саме ці два випадки детально досліджуються в дисертації.

В розділі 1.2 даються постановки нових моделей - задач оптималь-ного збирання врожаю для кінетичної системи Моно - Іерусалимського

(5)

та її двох узагальнень:

- 1) системи з нейтралізуючим контрагентом:

(6)

- 2) системи з зовнішньою інтенсифікацією виробництва:

(7)

Тут х(t) і 0,0 y(t) Ј y0, z(t) і 0 - фазові траєкторії; u(t) і 0, v(t) і 0, w(t) і 0 -оптимальні керування.

Критерій - загальний врожай за фіксований проміжок часу [0,T] для системи (5) має вигляд

Розглядаються врівноважені стани, коли а u і 0, v і 0, w і 0 - числові параметри. Для відшукання оптимальних врівнова-жених станів розглядаються три задачі параметричної оптимізації, коли для випідків (5), (6), (7) відповідними критеріями є

ux ® max (8)

ux - gv ® max, g > 0 (9)

ux - (1 + r)w ® max, r > 0 (10)

де g > 0, та r > 0 - вартісні параметри.

В розділі 1.3 досліджуються умови існування та єдиності оптималь-ної траєкторії для задачі оптимального збирання врожаю.Спочатку дослід-жується допоміжна задача оптимального збирання врожаю

(11)

де Vt - допустимий процес задачі; u(t) - кусково - неперервне керування;s, x0, x1- задані сталі, причому 0 < x0 < x1.

Критерій можна записати також в еквівалентній формі

(12)

Очевидно, що оптимальною траєкторією задачі (10) при

m = const >0 буде:

a) при

б) при

При m = m (х), де m (х) - неперервно диференційовна функція, очевидно, що оптимальною траєкторією буде :

а) при , u(t) = 0, x(t) - розв'язок задачі Коші

б) при

якщо при цьому функція m (х) має властивості:

1) (двохстороння обмеженість),

2)(монотонне спадання),

3) - строго опукла вгору.

Завдяки третій властивості на відрізку 0 Ј x Ј x1 завжди існує єдиний максимум функції m (х) х:

При цьому 0 < х* Ј x1.

Оптимальний врожай для задачі (10) буде

Далі розглядається питання про синтез оптимальної траєкторії за-дачі оптимального збирання врожаю для кінетичної системи Моно - Іє-русалимського

(13)

Відносно функції m (y,z) вводяться такі умови:

1) m (y,z) - обмежена і неперервна в функція, причому

2) m (y,z) - неперервно диференційовна в функція, причому (14)

для

Комбінуючи перше і друге диференціальні рівняння системи (13), а також перше та третє рівняння цієї ж системи, приходимо до висновку, що вона володіє двома асимптотично стійкими інваріантними площинами

(15)

що разом утворюють інваріантну пряму.

Ці інтеграли задають закон збереження речовини і дозволяють в околі стаціонарної точки системи диференціальних рівнянь (13) виключити з розгляду динаміку поживного субстрата y та метаболітів z. В результаті на інваріантній прямій (15) приходимо до нового вигляду задачі оптималь-ного збирання врожаю:

де m0(x) = m(y0 - ax, bx ); u(t) - кусково - неперервне керування. Одержана задача є допоміжною задачею оптимального збирання врожаю (11), яка при виконанні умов (14), та додаткової умови, що функція m0(x)х -строго опукла вгору, має оптимальну траєкторію, яка складається з двох ділянок:

а) при 0 Ј t Ј T0 буде u(t) = 0, a x(t) - розв’язок задачі Коші

б) при T0 Ј t Ј T буде

Знаходження магістралі, як основної ділянкі оптимальної траєк-торії задачі оптимального збирання врожаю (13), що розглядається на ін-варіантній прямій (15), зводиться до знаходження таких оптимальних ста-ціонарних точок системи диференціальних рівнянь (13), які максимізують продуктивність біологічної системи:

Ця задача розв’язується у другій главі дисертації. Відносно існу-вання стаціонарних розв'язків системи диференціальних рівнянь (13) при

u = const доведена.

Теорема 1. Нехай виконуються умови (14). Для того, щоб система диференціальних рівнянь (13) при u = const мала нетривіальний стаціонарний розв’язок, необхідно та достатньо, щоб виконувалась нерівність

Цей стаціонарний розв’язок єдиний.

В розділі 1.4 розглядається задача оптимального збирання врожаю, коли на ріст популяції впливає єдиний фактор - поживний субстрат, який має одночасно лімітуючий та інгібіручий вплив. Відшукання оптималь-них врівноважених станів зводиться до задачі умовної оптимізації:

(16)

де

Доведені такі теореми.

Теорема 2. Відповідна (16) задача оптимаьного збирання врожаю має єдиний оптимальний врівноважений стан:

Теорема 3 Оптимальний врібноважєний стан задачі оптимального збирання врожаю, що відповідає (16), при умові є асимптотично стійким за Ляпуновим.

Описані основні етапи розробленого метода знаходження та аналізу оптимальних врівноважених режимів культивування популяції.

Друга глава роботи присвячена розгляду двох задач оптимального збирання врожаю для кінетичної системи Моно - Ієрусалимського (5) з критерієм (8) та обмеженнями Перша задача відповідає випадку неконкурентного інгібірування

(17)

друга задача, відповідає випадку конкурентного інгібірування

(18)

Для знаходження оптимальних врівноважених режимів кінетичної системи Моно - Ієрусалимського (5), (17) сформульована задача парамет-ричної оптимізації у вигляді

Теорема 4 Задача параметричної оптимізацїї (19) має єдиний максимум:

Відповідно, для кінетичної системи Mono - Ієрусалимського (5) та функції питомої швидкості (18) сформульована задача параметричної оп-тимізації:

(20)

Теорема 5 Задача параметричної оптимізації (20) має єдиний максимум

.При умові задача (20) є задачою опуклого програмування.

Теорема 6 Всі оптимальні стаціонарні точки

системи диференціальних рівнянь (5), (17) та (5), (18), що є розв’язками задач параметричної оптимізації (19) та (20), є асиптотично стійкими за Ляпуновим (стійкими відносно збурень в правих частинах диференціальних рівнянь).

Із асимптотичної стійкості оптимальних стаціонарних точок кіне-тичної системи Моно-Ієрусалимського (5) при m(y,z), що визначаються співвідношеннями (17) або (18), випливає асимптотична стійкість опти-мальних врівноважених режимів в обох випадках (неконкурентного та конкурентного) інгібірування поживним субстратом та метаболітами.

У третій главі роботи досліджена більш загальна модель Моно -Ієрусалимського - система з нейтралізуючим контрагентом:

(21)

Як і раніше, розглядається хемостатний режим роботи культиватора неперервної дії, коли питомий ріст мікроорганізмів інгібірується надлиш-ком субстрата. Але система має додаткову особливість. В культиватор по-дається контрагентна речовина, яка повністю або частково нейтралізує ме-таболіти, що призводить до зростання темпу m(y,z) нарощування біомаси.

Як критерій оптимальності розглядається максимум загального прибутку за наперед визначений часовий проміжок [0,T]:

(23)

де g > 0 - вартісний параметр, що співвимірює вартість продукції біомаси популяції ux та витрати нейтралізуючого контрагента v; Vt - допустимий процес, що описується задачою Коші (21), (22) та системою обмежень

Оптимальні стаціонарні точки одержуються у вигляді розв’язку па-раметричної задачі нелінійної оптимізації:

(24)

(25)

для випадку неконкурентного інгібірування (17) та

(26)

на множині (25) для випадку конкурентного інгібірування (18) росту популяції.

Тут введено позначення . Допустима область являє собою прямо-кутний трикутник, де цікаві для нас випадки позначені цифрами:

1.

2.

3.

Ці три випадки мають таку економічну інтерпретацію. В першому випадку оптимум досягається на границі z=0, де v > 0, контрагент використовується для повного знищення продуктів обміну (це відбувається при досить низь-кій ціні контрагента). В другому випадку оптимум є внутрішньою точкою допустимої множини D, де v > 0, z > 0, контрагент використовується лише для часткового знищення продуктів обміну (це відбувається, коли ціна контрагента не є малою). В третьому випадку оптимум досягається на гра-ниці , де v > 0, контрагент не використовується (це відбувається при достатньо високій ціні контрагента).

Теорема 7 Параметрична задача нелінійної оптимізацгї (24). (25) є двохекстремальною і має точки екстремуму, що лежать відповідно на границях допустимої області (z = 0) та (v = 0).

Теорема 8 Параметрична задача нелінійної оптимізацгї (26), (25) є двохекстремальною і має точки екстремуму лише на границях допустимої області, тобто при z = 0 (v > 0) та (v = 0).

Для обох критеріїв (24) та (26) знайдені точки перемикання g = g0, при яких глобальний максимум змінює своє місцезнаходження. Маємо відповідно: