ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім.І.І.Мечнікова

ШЕБАНІНА Олена В’ячеславівна

УДК 517.925.54

АСИМПТОТИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ n-го ПОРЯДКУ

З НЕЛІНІЙНОСТЯМИ ТИПУ ЕМДЕНА - ФАУЛЕРА

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса - 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі диференціальних рівнянь

Одеського державного університету ім.І.І.Мечнікова

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент

ЄВТУХОВ В’ячеслав Михайлович, Одеський державний університет ім.І.І.Мечнікова, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: академік АН Грузії, доктор фізико-математичних наук, професор КІГУРАДЗЕ Іван Таріелович, Інститут математики ім.А.Размадзе АН Грузії, директор;

доктор фізико-математичних наук, професор ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович, Кам’янець-Подільський педагогічний університет, завідувач кафедри.

Провідна установа: Київський національний університет ім.Тараса Шевченка, кафедра інтегральних рівнянь.

Захист відбудеться “1” жовтня 1999р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 Одеського державного університету ім.І.І.Мечнікова за адресою 270026, м.Одеса, вул.Дворянська,2, ауд.73.

З дисертацією можна ознайомитись у наукові бібліотеці Одеського державного університету ім.І.І.Мечнікова (270026, м.Одеса, вул.Преображенська, 24).

Автореферат розісланий “31” серпня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У зв’язку з сучасними потребами практики все більшого значення набувають проблеми дослідження нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь. Останнім часом (див. монографію І.Т.Кігурадзе, Т.А.Чантурія ”Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений”.-М.: Наука, 1990) теорія таких рівнянь суттєво поширилася за рахунок значної кількості результатів принципового характеру. Наприклад, дано класифікацію рівнянь за осциляційними властивостями їх розв’язків, одержано ознаки існування і відсутності сингулярних, правильних, коливних, неколивних та монотонних розв’язків різних типів, отримано асимптотичні оцінки для деяких типів розв’язків в околі нескінченності та ін.

Велику роль в побудові асимптотичної теорії нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь відіграло класичне рівняння Емдена-Фаулера, окремі випадки якого виникають в багатьох галузях природознавства. Одержані для цього рівняння результати сприяли в подальшому розгляду двочлених узагальнених рівнянь типу Емдена-Фаулера другого порядку. В роботах І.Т.Кігурадзе, Т.А.Чантурія, Ш. Белогорця, Л.Б. Клебанова, О.В.Костіна, В.М. Євтухова та ін. були розроблені ефективні методи дослідження асимптотичного поводження всіх їх правильних та сингулярних розв’язків.

Для нелінійних рівнянь n-го порядку у роботах І.Т. Кігурадзе і Г.Г. Квінікадзе були одержані умови існування розв’язків із степеневою асимптотикою , а також асимптотичні оцінки для так званих кнезеровських та швидкозростаючих розв’язків.

Узагальнюючи ідею, яку було використано при дослідженні асимптотичного поводження розв’язків рівнянь типу Емдена-Фаулера другого порядку,

О.В. Костін запропонував підхід застосування формул Г. Харді

при

для отримання асимптотичних зображень такого типу комплекснозначних розв’язків, відмінних від степеневих, нелінійних рівнянь n-го порядку виду

.

Цей підхід набув подальшого розвитку у роботах В.М.Євтухова, в яких для рівняння типу Емдена-Фаулера - го порядку

,

де {1,1}, і - неперервна функція, були одержані необхідні та достатні умови існування, а також асимптотичні зображення при усіх можливих типів так званих - розв’язків.

О з н а ч е н н я. - розв’язком рівняння - го порядку називається визначений на проміжку розв’язок , який задовольняє такі три умови:

1)

1)

1)

.

Множина всіх - розв’язків за своїми асимптотичними властивостями розпадається на неперетинних класів, з яких (особливих) не охоплюються формулами Г. Харді.

У зв’язку з вищевказаним актуальним є питання про поширення результатів В.М.Євтухова на істотно нелінійні неавтономні диференціальні рівняння більш загального виду.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках теми «Асимптотична поведінка розв’язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь», що виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського державного університету ім.І.І.Мечникова згідно з координаційним планом наукових досліджень Міністерства освіти України з напрямку «Геометричні і аналітичні методи та їх застосування».

Мета і задачі дослідження. Отримати необхідні і достатні умови існування, а також асимптотичні зображення при кожного з можливих типів - розв’язків суттєво нелінійного неавтономного звичайного диференціального рівняння - го порядку

(1)

де -дійсні сталі, які задовольняють умовам

для кожного при - неперервно диференційовані функції,

-<<.

Наукова новизна одержаних результатів.

1.

1.

1.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має в основному теоретичний характер. Але результати дисертації та розроблена в ній методика дослідження можуть бути використані для вивчення асимптотичних властивостей розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь n-го порядку більш загального виду, а також дослідження конкретних нелінійних диференціальних рівнянь, які трапляються в теоретичній фізиці, механіці і т. ін.

Особистий внесок здобувача. Напрямок досліджень, постановка завдань та розробка деяких з методів дослідження належать науковому керівникові. Результати дисертації, які виносяться на захист, одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати, одержані в дисертації, доповідалися та обговорювалися на V Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1996 р.), на Всеукраїнській конференції «Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування» (Чернівці, 1996р.), на І Міжнародній науково-практичній конференції «Математика та психологія в педагогічній системі» (Технічний університет, Одеса, 1996 р.), на Міжнародній науковій конференції «Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування» (Каменець-Подільський, 1996 р.), на Міжнародній науковій конференції (треті Боголюбівські читання) «Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань» (Київ, 1997 р.), на наукових семінарах з якісної теорії диференціальних рівнянь у Московському державному університеті ім. Ломоносова (1997 р.) і в Одеському державному університеті ім І.І. Мечникова.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 наукових роботах. У 5-ти роботах, написаних у співавторстві з науковим керівником, В.М.Євтухову належать постановка завдань та напрямок досліджень, а конкретні результати отримані здобувачем самостійно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку та списку цитованої літератури, що містить 100 найменувань. Загальний обсяг роботи - 149 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі стисло висвітлюється стан наукової проблеми за темою дисертації, обгрунтовується актуальність теми, дається загальна характеристика роботи і формулюються основні результати, одержані автором.

В першому розділі дано огляд літератури, в якому окреслено основні етапи розвитку асимптотичної теорії диференціальних рівнянь з нелінійностями типу Емдена-Фаулера і проаналізовано розроблені для такого типу рівнянь методи дослідження. З використанням цих методів і доведених лем про асимптотику розв’язків одного класу нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку обґрунтовано підхід для дослідження основного об’єкта дисертації. Йому присвячено наступні три розділи роботи. Тут використовуються такі допоміжні позначення:

, , ;

;

; ),

де

Асимптотичні властивості - розвязків рівняння (1), для яких , вивчаються у випадках, коли для кожної фіксованої пари (i, j) J при деякому виконуються такі дві умови:

S l.1) функції

є асимптотично порівнюваними при ;

Sl.2) функція відмінна від нуля у деякому лівому околі і для головного елемента системи функцій з S l.1) існує скінченна або рівна границя

.

- розвязки, для яких , досліджуються у випадку, коли і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови:

S0.1) функції

є асимптотично порівнюваними при ;

S0.2) для головного елементу системи функцій з S0.1) існує скінченна або рівна границя

де .

Головним елементом системи функцій будемо називати функцію , для якої при кожному .

- розв’язкам рівняння (1), для яких та , присвячено теореми 2.1-2.7.

Теорема 2.1. Нехай і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1) та Sn.2). Тоді будь-який додатний -розв’язок рівняння (1), для якого , допускає при асимптотичні зображення виду

, (2)

де має при одне з зображень:

, (3)

або

, (4)

де - відмінна від нуля стала, ,

.

Теорема 2.2. Нехай і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1) та Sn.2). Тоді будь-який додатний -розв’язок рівняння (1), для якого , допускає при асимптотичні зображення виду

(5)

де має при одне з зображень:

, (6)

або

, (7)

де - відміна від нуля стала,,

.

В теоремах 2.3-2.7 встановлюються необхідні і достатні умови існування у рівняння (1) розв’язків з асимптотичними зображеннями (2)-(3); (2),(4); (5)-(6); (5), (7).

Теорема 2.3. Нехай при для деякої фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1), Sn.2) і при існує скінченна або рівна границя . Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв’язків з , які допускають при асимптотичні зображення (2)-(3), необхідно, щоб

, (8)

, (9)

, . (10)

Якщо ж для деякого поряд з умовами (8)-(10) алгебраїчне рівняння

,

де

,

не має коренів з нульовою дійсною частиною і при , то у рівняння (1) існує - розв’язок вказаного типу.

Теорема 2.4. Нехай виконуються умови теореми 2.1. Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв’язків з , які допускають при асимптотичні зображення (2), (4) і відрізняються від розв’язків з зображеннями (2), (3), необхідно, щоб виконувались умови:

при ;

при будь-якому ;

,

де та визначається аналогічно .

Якщо ж для деякого поряд з цими умовами алгебраїчне рівняння

,

не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (1) існує -розв’язок з асимптотиками (2), (4).

Теорема 2.5 Нехай при для деякої фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1), Sn.2) і при існує скінченна або рівна границя . Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв’язків, для яких , що допускають при асимптотичні зображення (5), (6), необхідно, щоб виконувались умови

, , (11)

, (12)

при (13)

(14)

Теорема 2.6. Нехай виконуються всі умови теореми 2.5, а також умови (11)-(14). Тоді: 1) якщо і, то у рівняння (1) існуює -розв’язок, який допускає при асимптотичні зображення (4), (5); 2) якщо , алгебраїчне рівняння

,

де

, ,

не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (1) існує - розв’язок з асимптотиками (4), (5).

Теорема 2.7. Нехай виконуються умови теореми 2.2. Тоді для існування у рівняння (1) додатних - розв’язків, які допускають при асимптотичні зображення (4), (6), що відрізняються від зображень (4), (5), для яких , необхідно і достатньо, щоб для деякого виконувались умови:

при , .

для будь-якого ,

,

де і визначається аналогічно .

Результати дослідження асимптотичної поведінки -розв’язків рівняння (1), для яких , де , містяться у теоремах 3.1-3.6.

Теорема 3.1. Нехай , і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sl.1) та Sl.2). Тоді будь-який додатний -розв’язок рівняння (1), для якого , допускає при або асимптотичні зображення виду

(15)

,

або асимптотичні зображення

,

(16)

,

де - відміна від нуля стала, ,

, .

Більш того, якщо , то для похідних -розв’язків з асимптотиками (15) мають місце при асимптотичні співвідношення:

,

(17 )

.

При доводиться теорема 3.2, що кожен -розв’язок, для якого , допускає при одне з зображень (15) або (16) при у випадку, коли для цього розв’язку існує скінченна або рівна границя

.

Далі встановлюються (теореми 3.3-3.6) необхідні і достатні умови існування у рівняння (1) -розв’язків з асимптотичними зображеннями (15), (16) ().

Для прикладу сформулюємо дві з них.

Теорема 3.3. Нехай і для деякої фіксованої пари

(i, j) J виконуються умови Sl.1), Sl.2). Нехай, крім того, . Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв’язків, для яких і мають місце при асимптотичні зображення (15), (17), необхідно, щоб виконувались умови

, ,

при ;

,

де і визначений так, щоб відповідний інтеграл прямував або до 0, або до при . Якщо ж поряд з цими умовами

,

то рівняння (1) має -розв’язок з асмптотиками (15), (17).

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови теореми 3.1. Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв’язків, для яких , що допускають при асимптотичні зображення (16) і відрізняються від розв’язків з зображеннями (15), (17), необхідно і достатньо, щоб

,

для будь-якого ,

,

де границя інтегрування (- будь-яке число з проміжку ) і вибрана таким чином, щоб інтеграл прямував або до 0, або до при .

Асимптотична поведінка -розв’язків, для яких досліджується у випадку рівняння

. (18)

Тут також, як і раніше, спочатку встановлюється теорема 4.1 про всі можливі асимптотичні зображення -розв’язків рівняння (18), для яких , а потім вирішується питання (теореми 4.2-4.3) про фактичне існування у нього розв’язків з одержаними асимптотичними зображеннями.

Теорема 4.1. Нехай для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови S0.1), S0.2) і при цьому . Тоді будь-який додатний -розв’язок рівняння (18), для якого , допускає при або асимптотичні зображення

, (i, j) J, (19)

або зображення виду

,, (20)

де сij, при n- непарному, при n- парному і границя інтегрування вибрана так, щоб відповідний інтеграл прямував при або до 0, або до .

Теорема 4.2. Нехай для будь-якої фіксованої пари (i, j) J виконуються умови S0.1), S0.2) і при цьому . Тоді для існування додатних -розвязків рівняння (18), для яких і мають місце при асимптотичні зображення (19), необхідно виконання умов:

, , , (21)

, , (22)

де , якщо n- парне число і , якщо n- непарне число, а та вибрано так, щоб відповідні інтеграли прямували при або до 0, або до .

Більш того, якщо поряд з умовами (21)-(22) алгебраїчне рівняння

, де ,

не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (18) існує - розв’язок вказаного типу.

Теорема 4.3. Нехай виконуються умови теореми 4.1. Тоді для існування додатних -розвязків рівняння (18), для яких і мають місце при асимптотичні зображення (20), відмінні від зображень (19), необхідно, щоб для деякого у випадку парного n і виконувались умови:

при , (23)

при будь-якому , (24)

, , (25)

де границі інтегрування і вибрані так, щоб відповідні інтеграли прямували при або до 0, або до .

Більш того, якщо для деякого поряд з умовами (23)-(25) алгебраїчне рівняння , не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (18) існує - розв’язок виду (20).

ВИСНОВКИ

1.

2. Доведено теореми про асимптотичні зображення при всіх можливих типів -розв’язків рівняння (1).

3. Отримано необхідні та достатні умови існування у рівняння (1) -розв’язків з одержаними асимптотичними зображеннями.

4. При вперше одержано результати про асимптотику -розв’язків з умовою .

5. У випадку і перетину класів рівнянь, розглянутих в дисертації і в працях О.В.Костіна, для -розв’язків з умовою одержано не тільки достатні, але і необхідні умови їх існування. При цьому для таких розв’язків отримано асимптотичні зображення нового виду. Більш детально досліджено розв’язки з умовою . Деякі з випадків розглянуто при слабіших обмеженнях на гладкість коефіцієнтів рівняння.

6. При результати дисертації є новими і дозволяють описати асимптотику не тільки правильних, але і сингулярних розв’язків рівняння (1).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ш е б а н і н а О. В. Об асимптотическом поведении решений одного нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложение. Сб.научн.тр. НАН Украины.-К., 1996.-С. 275-276.

2. Ш е б а н і н а О. В., Є в т у х о в В. М. К вопросу об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка // Дифференциальные уравнения.-1997.-т.33, № 6.- С.858.

3.

1.

5. Ш е б а н и н а Е. В. Асимптотические представления монотонных решений дифференциальных уравнений n -го порядка с нелинейностями типа Эмдена-Фаулера //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб.научн.тр. НАН Украины.- К., 1999.-С.270-274.

6. Ш е б а н і н а О. В., Є в т у х о в В. М. Об асимптотике правильных решений некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка.//Математика и психология в педагогической системе «Технический университет» Сб.ст. 1-й Международной научно-практической конференции.- Одесса, 1996.-Ч.1.-С.33-35.

7. Ш е б а н і н а О. В. Асимптотическое поведение решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка// Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування: Всеукраїнська конференція, 1996. м.Чернівці.-Київ, 1996. - С.198.

8. Ш е б а н і н а О. В., Є в т у х о в В. М. Асимптотическое поведение решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка //V Міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука. - К., 1996. - С.135.

9. Ш е б а н і н а О. В. Правильні монотонні розв’язки одного класу нелінійних диференціальних рівнянь n-го порядку//Перспективні напрями розвитку АПК Причорноморського регіону: Тези доповідей обласної науково-практичної конференції. - Миколаїв, 1996. -С. 101-102.

10. Ш е б а н і н а О. В., Є в т у х о в В. М. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка// Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань: Міжнародна конференція, Треті Боголюбівські читання.- К.-1997.-С.55.

АНОТАЦІЯ

Дисертацію присвячено дослідженню асимптотичного поводження -розв’язків звичайних диференціальних рівнянь - го порядку, що містять у правій частині суму доданків з нелінійностями типу Емдена-Фаулера. За своїми асимптотичними властивостями множина всіх -розв’язків таких рівнянь розпадається на неперетинних класів. Для -розв’язків кожного з цих класів одержано точні асимптотичні формули при . Крім того, встановлено необхідні і достатні умови існування -розв’язків з отриманими асимптотичними зображеннями. Розроблена для даного класу рівнянь методика дослідження може бути поширена на рівняння - го порядку більш загального виду.

Ключові слова: диференціальні рівняння - го порядку з нелінійностями типу Емдена-Фаулера, асимптотичні зображення неколивних розв’язків.

АННОТАЦИЯ

Проблема изучения асимптотического поведения решений нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений традиционно занимает одно из центральных и принципиально важных мест в качественной теории дифференциальных уравнений.

В диссертации для обыкновенных дифференциальных уравнений -го порядка, содержащих в правой части сумму слагаемых с нелинейностями типа Эмдена-Фаулера, разработан подход, базирующийся на идеях, заложенных в работах И.Т.Кигурадзе, А.В. Костина и В.М.Евтухова, позволяющий описать асимптотику всех его -решений. По своим асимптотическим свойствам множество всех -решений уравнений -го порядка распадается на непересекающихся классов. Решения каждого из таких классов исследовались по следующей схеме. Сначала с использованием априорных асимптотических свойств -решений, установленных В.М. Евтуховым, рассматриваемое уравнение заменялось асимптотически эквивалентным на решениях из данного класса уравнением первого порядка, содержащего в правой части сумму слагаемых со степенными нелинейностями и общего вида переменными коэффициентами. На коэфициенты этого уравнения накладывались ограничения, допускающие применения к нему методики исследования, разработанной в работах А.В.Костина. С использованием этой методики для полученного уравнения первого порядка были установлены асимптотические представления при всех его правильных решений, а также необходимые условия существования каждого из них. Это позволило, с учетом априорных асимптотических свойств исследуемых -решений исходного уравнения, получить для них все возможные асимптотические представления и необходимые условия существования решений с такими представлениями. Вопрос о фактическом их существовании решался путем сведения к вопросу о существовании исчезающих на бесконечности решений у некоторой системы квазилинейных дифференциальных уравнений, полученной в результате преобразования, определяемого найденными асимптотическими представле-ниями. А этот вопрос в свою очередь решался на основании результатов работ А.В.Костина и В.М.Евтухова.

В результате применения указанного подхода получены все возможные асимптотические представления при для каждого из - х типов -решений рассматриваемых в диссертации уравнений. Более того, установлены необходимые и достаточные условия существования у них решений с полученными асимптотическими представлениями.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения - го порядка с нелинейностями типа Эмдена-Фаулера, асимптотические представления неколеблющихся решений.

ANNOTATION

The thesis deals with the research of the asymptotic behavior of the -solutions of the ordinary differential equations of the n-th order, which contain the sum of the addends with the nonlinearties of the Emden-Fowler type in their right part. According to its asymptotic properties the set of all -solutions of such equations can be divided into n+2 different classes. The exact asymptotic formula under are obtained for each of such solutions. Besides, the necessary and sufficient conditions for the existence of -solutions with obtained asymptotic representations are stated. The research methodic worked out for the given class may be spread onto the n-th order equations of the more ordinary type.

Key words: differential equations of the n-th order with nonlinearties of the Emden-Fowler type, asymptotic representations of the non-oscillation solutions.