ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Кіріченко Людмила Олегівна

УДК 519.673:519.217:621.372

Моделювання та розпізнавання випадкових та хаотичних збурень, діючих на неоднорідні марковські системи

Спеціальність 01.05.02—математичне моделювання та

обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському державному технічному університеті радіоелектроніки, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

Дікарєв Вадим Анатолійович,

Харківський державний технічний університет радіоелектроніки, професор кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент

Смеляков Сергій В’ячеславович,

Харківський військовий університет, начальник кафедри інформатики;

доктор технічних наук, професор

Комяк Валентина Михайлівна,

Харківський інститут пожежної безпеки, професор кафедри фундаментальних наук.

Провідна установа: Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України, м. Харків.

Захист відбудеться 30 травня 2000 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 в Харківському державному технічному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці університету за адресою:

61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розіслано 27 квітня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В умовах постійного ускладнення задач сучасного математичного моделювання вивчення марковських процесів набуває особливої значимості. Процеси, що мають марковську властивість, зустрічаються в радіотехніці, електроніці, теорії масового обслуговування, плануванні в економіці. Загальна теорія марковських процесів була розроблена в працях А. А. Маркова, А. М. Колмогорова, Є. Б. Динкіна, А. В. Скорохода, В. Феллера.

У дисертаційній роботі розглядаються питання, пов’язані зі збуренням неоднорідних марковських процесів хаотичними та випадковими впливами, що відповідає прикладним задачам в реальних умовах. Важливі результати з теорії неоднорідних марковських процесів були отримані В. В. Анісімовим, К. Г. Валеєвим, Р. Л. Добрушиним, С. Б. Кузнецовим, А. И. Зейфманом, И. М. Соніним, Д. В. Сенченко. Задачі, що пов’язані з випадковим збуренням стохастичних систем, розглянуті в роботах А. Д. Вентцеля, І. Н. Коваленка, В. С. Королюка, А. Ф. Турбіна, А. В. Чистякова.

Одним з найважливіших напрямків теорії неоднорідних марковських процесів є визначення умов, за яких здійснюється стабілізація процесу. Один зі способів стабілізації полягає в наданні сильних, швидко змінних у часі збурень його основним параметрам. За виконанням певних умов таке збурення дозволяє стабілізувати (або майже стабілізувати) процес. Ці питання докладно розглянуті в роботах В. А. Дікарєва.

Актуальною задачею є дослідження поведінки марковських систем під дією збурень, що породжені хаотичними процесами. Хаос виникає майже скрізь, де є нелінійність: у лазерах та нелінійних оптичних системах, хімічних реакціях, нелінійних електричних ланцюгах, біологічних системах. Хаотична поведінка нелінійних систем докладно висвітлена у монографіях В. С. Аніщенко, Ю. І. Неймарка, Ф. Муна, Г. Шустера. Для дослідження хаотичних процесів крім стандартних методів аналізу були впроваджені нові характеристики, такі як показники Ляпунова, ентропія Колмогорова, фрактальна розмірність. Велику роль у вивченні детермінованого хаосу відіграє чисельний експеримент. У теперішній час методи комп’ютерного моделювання хаотичних систем продовжують інтенсивно розвиватися.

Внаслідок змін в уявленні детермінованості та випадковості виникла необхідність у розробці принципово нових підходів до розрізнення шуму та детермінованого хаосу. У дисертаційній роботі розглядаються питання розпізнавання хаотичних та випадкових збурень, що діють на марковські системи.

Виходячи зі згаданого вище, тему дисертаційній роботи можна вважати актуальною.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась згідно з планом науково-технічних робіт Харківського державного технічного університету радіоелектроніки в рамках держбюджетних тем: 443-1 “Синтез алгоритмів керування процесами стабілізації в економічних та технічних системах без післядії” (№ДР U011360) і 511(320) “Розробка теоретичних методів аналізу швидкоплинних електродинамічних процесів з метою ідентифікації їх характеристик” (№ДР U014162).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є розроблення методів та алгоритмів, що дозволяють моделювати неоднорідні марковські процеси, що збурені хаотичними та випадковими діями, та ідентифікувати типи збурень за вихідними характеристиками процесів.

Для досягнення цієї мети в роботі вирішені задачі:

1) удосконалення методів, що дозволяють розрізняти хаотичні процеси та випадкові шуми, подані часовими реалізаціями, за допомогою розроблення критерію, заснованого на визначенні спектру показників Ляпунова;

2) модифікація алгоритмів моделювання поведінки неоднорідних марковських процесів під впливом збурень, з урахуванням особливостей хаотичних збурень;

3) проведення обчислювальних експериментів та розроблення методики розрізнення хаотичних процесів i випадкових шумів, що збурюють неоднорідну марковську систему, за часовими реалізаціями вектора розподілу ймовірностей на виході системи;

4) розроблення алгоритмів моделювання хаотичних збурень неоднорідних марковських процесів, що мають властивості _фокусування, з урахуванням особливостей процесів, які фокусують;

5) розроблення методики досліджень та проведення обчислювальних експериментів з метою аналізу змінювань основних характеристик _фокусування в залежності від параметрів хаотичних збурень.

Наукова новизна одержаних результатів.

1) Удосконалено методику розрізнення випадкових шумів та детермінованих хаотичних процесів, поданих часовими реалізаціями. На відміну від існуючих, запропонована методика містить критерій розрізнення, побудований на визначенні спектру показників Ляпунова.

2) Дістали подальший розвиток алгоритми моделювання збуреннях неоднорідних марковських процесів, які поширено на випадок, коли збурення є хаотичними.

3) На підставі одержаних результатів обчислювальних експериментів запропоновано методи розрізнення хаотичних та випадкових збурень за вихідними характеристиками збуреного марковського процесу.

4) Запропоновано алгоритми дослідження впливу збурень на неоднорідні марковські процеси з _фокусуваннями різних типів. Запропоновано алгоритм визначення величини _околу. На підставі результатів обчислювальних експериментів установлено залежності змінювань характеристик _фокусування від параметрів хаотичних збурень.

Практичне значення одержаних результатів.

Усі розроблені в дисертації методи та алгоритми реалізовано в вигляді програмних засобів зі зручним інтерфейсом. Результати дисертації, що подано у другому розділі, було використано для аналізу структури кардіосигналу; розроблення генераторів хаотичних коливань; вивчення режимів роботи нелінійних електронних ланцюгів. Одержані результати може бути застосовано для досліджень сигналів складної форми з метою їх ідентифікації. Результати дисертації, що подано у третьому та четвертому розділах, було використано для аналізу динаміки процесів дифузії, які обумовлюють хімічні зміни в лікарських препаратах, та може бути застосовано для дослідження поведінки складних систем, що мають марковську властивість, у хімії, медицині, радіофізиці.

Розроблені методи і програми було використано в наукових дослідженнях по створенню лікарських форм і при контролі технологічних процесів одержання ряду лікарських форм у Державному науковому центрі лікарських засобів Держкоммедбіопрому і НАН України, що підтверджується відповідним актом впровадження.

Прикладні програми моделювання марковських і хаотичних процесів та розрахунку їх характеристик використовуються в навчальному процесі Харківського державного технічного університету радіоелектроніки при викладанні дисциплін “Теорія ймовірностей і математична статистика” і “Вступ до синергетики”, що підтверджується відповідним актом впровадження.

Особистий внесок здобувача. У [1] автору належить розроблення алгоритму визначення показника Ляпунова для систем диференціальних рівнянь з запізнюванням. У [2,11] автором запропоновано математичну модель нелінійного електронного приладу, розроблено програмну реалізацію і проведено чисельний експеримент по виявленню хаотичних режимів роботи приладу. У [4,8] автором запропоновано методи моделювання збурених марковських систем і засоби розпізнавання процесів, що збурюють; проведено чисельний експеримент. У [5] автором запропоновано методику дослідження та проведено фрактальний аналіз флуктуацій кардіосигналу. У [6] запропоновано і чисельно реалізовано алгоритм редукції нескінченних марковських систем. У[7] запропоновано модель стабілізації розподілу лікарських препаратів, що заснована на системі диференціальних рівнянь Колмогорова. У [9] автором поставлено задачі, чисельно реалізовано та протестовано методи розрізнення хаотичних і випадкових процесів. У [14] автором поставлено задачі та чисельно реалізовано алгоритми визначення розмірностей експериментальних даних.

Апробація результатів дисертації. Основні результати проведених досліджень доповідались і обговорювались на: —

Третій Міжнародній конференції “Теория и техника передачи, приема и обработки информации" (Туапсе, 1997 р.);—

8th General Meeting “European women in mathematics” (Trieste, Italy, 1997);—

Загальноросійській молодіжній науковій конференції “XXIV Гагаринские чтения” (Москва, 1998, 1999 рр.); —

Міжнародній конференції “Вычислительные методы: Проблемы и перспективы” (Гомель, Білорусія, 1998 р.);—

Третьому Міжнародному молодіжному форумі “Радіоелектроніка і молодь у ХХІ ст.”, (Харків, 1999 г); —

семінарі Харківського державного технічного університету радіоелектроніки “Синергетика” (1999 р.).—

семінарі наукової ради НАНУ “Системный анализ, математическое моделирование и принятие решений в социальных, экономических и технических системах” (2000 р.);—

міському семінарі українського регіонального відділення IEEE “Физика и медицина” (2000 р.);

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 наукових статтях, 1 доповіді та 5 тезах доповідей.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків та 2-х додатків на 8 сторінках. Повний обсяг дисертаційної роботи – 165 сторінок. Дисертація містить 64 рисунка, 16 таблиць, список використаних літературних джерел з 121 найменуванням на 11 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Перший розділ присвячено аналітичному огляду наукових досліджень за проблемами неоднорідних марковських систем та хаотичних процесів, розрізнення шумів та хаосу; сформульовано мету і задачі досліджень.

У другому розділі запропоновано методику розрізнення шумових і хаотичних процесів, що подані своїми часовими реалізаціями. Еволюція хаотичної системи однозначно визначається динамічними законами, на неї не діють ніякі випадкові сили, але динаміка системи є стохастичною (рис.1). Використання стандартних методів спектрального і кореляційного аналізу не дозволяє розрізнити випадкові та хаотичні процеси. Запропонована в роботі методика заснована на сумісному використанні декількох критеріїв хаотичності: побудові псевдофазового простору, розрахунку фрактальної розмірності та спектру показників Ляпунова.

Рис.1. Реалізації випадкового (а) і хаотичного (б) процесів

Оскільки більшість хаотичних систем є маломірними, то розпізнати детермінований хаотичний процес можна на етапі відновлення фазового портрета на основі послідовності відліків лише однієї компоненти його стану. Функція відновлення (процедура Паккарда-Такенса) визначається як

, (1)

де – -а компонента траєкторії системи, а - час затримки, що вибирається довільно з такими обмеженнями: якщо значення занадто мале, виконується рівність , і відновлений портрет стає обмеженим областю поблизу діагоналі простору; якщо значення занадто велике, значення і стають некорельованими та структура атрактору зникає. На рис.2 показано фазові портрети атрактору Лоренца, відновлені за значеннями компоненти . Значення подані в частках від одиниці часу.

Рис.2. Фазові портрети атрактору Лоренца,
відновлені при значеннях (а), (б), (в)

Шумові процеси не мають структури. Тому при будь-яких значеннях часу затримки їх фазові портрети подають набір заплутаних траєкторій. Проте відсутність структури у фазового портрета не може гарантувати випадковість аналізованого процесу. Якщо хаотична система має велике число ступенів свободи, її фазовий портрет може не відбивати упорядкованість траєкторій.

У теперішній час узвичаєним методом розрізнення випадкових і хаотичних процесів є обчислення фрактальної розмірності. Функції фазових змінних можуть демонструвати скейлінгове поводження , де – масштаб довжини, а показник є відповідною фрактальною розмірністю. Одним із найбільш вживаних методів визначення є розрахунок кореляційної розмірності . Для розрахунку кореляційного інтеграла , за яким здійснюється оцінювання розмірності експериментальних даних, необхідно побудувати - мірний псевдофазовий простір:

, (2)

де – вектор точки у псевдофазовому просторі, – кількість точок, – відстань між точками, – функція Хевісайда, – норма, що визначає відстань між точками. Кореляційна розмірність визначається як і розраховується в просторах зростаючої розмірності. Якщо динамічна система, що породила досліджуваний сигнал, є скінченновимірною, а відповідний атрактор має або цілу, або дробову розмірність , то, коли , кореляційна розмірность не залежить від розмірності псевдофазового простору і має граничне значення.

Для шумових процесів, тобто породжених системою з дуже великим числом ступенів свободи, фрактальна розмірність не має граничного значення, і її значення приблизно дорівнює розмірності фазового простору, у якому вона обчислюється. У табл. 1 приведено значення кореляційної розмірності з точністю в залежності від розміру псевдофазового простору , розраховані для різних реалізацій.

Таблиця 1

Значення кореляційної розмірності

Розмірність

Система Лоренца | 1,52 | 2,06 | 2,06 | 2,06

Рівняння Маккей-Гласса | 1,43 | 1,93 | 1,95 | 1,95 | 1,95

Модельний білий шум | 1,96 | 2,95 | 3,99 | 4,96 | 5,92 | 6,91 | 7,93

Шум технічного приладу | 1,66 | 2,57 | 3,39 | 4,20 | 4,90 | 5,60 | 6,50

У роботі запропоновано метод розрізнення випадкових і хаотичних процесів, заснований на визначенні спектра показників Ляпунова. Траєкторії хаотичних систем мають чутливу залежність від початкових умов. Показник Ляпунова характеризує експоненціальну розбіжність первісно близьких траєкторій. Якщо – міра початкової відстані між двома точками, то через малий час , відстань між траєкторіями, що виходять із цих точок, стає рівною . У -мірній динамічній системі -мірний елемент об’єму змінюється у середньому як . Для кожної системи існує спектр показників Ляпунова , , сигнатура якого визначає, як змінюються у фазовому просторі -мірні об’єми. Якщо – фундаментальна матриця рішень для рівняння системи у варіаціях, а – її власні значення, то показники Ляпунова визначаються як .

Для розрахунку показників Ляпунова за значеннями однієї часової реалізації будується псевдофазовий простір і розглядається еволюція векторів зміщення між точками і : , де – мале. Через часовий проміжок вектор зміщення відобразиться в. Еволюцію в може бути подано як , де є апроксимацією для . Показники Ляпунова визначаються як , де є базисом псевдофазового простору.

Розрахунок спектра показників Ляпунова за значеннями часової реалізації дозволяє визначити, якому процесу — шумовому або хаотичному — вона відповідає. У хаотичних систем у спектрі Ляпунова крім позитивних показників (звичайно один або два), обов’язково є від’ємні. Чисельний експеримент показав, що всі показники Ляпунова для шумових процесів є позитивними і за розміром значно більші за одиницю. У табл. 2 подано значення спектра показників Ляпунова з точністю , що обчислені для різних реалізацій.

Сумісне використання декількох критеріїв хаотичності процесу дозволяє збільшити надійність розрізнення випадкових і хаотичних реалізацій, а також зменшити кількість точок у реалізації, що є важливим при аналізі даних, отриманих експериментальним шляхом.

Таблиця 2

Атрактор Лоренца

Атрактор Ресслера

Модельний білий шум

Шум технічного приладу

Значення спектра показників Ляпунова

У третьому розділі розроблено алгоритми моделювання неоднорідних марковських процесів, на які діють хаотичні або шумові збурення, та запропоновано методи розрізнення хаотичних та випадкових збурень за вихідними характеристиками марковського процесу. У розділі розглянуто дві задачі. Перша – дослідження впливу хаотичних і випадкових збурень на еволюцію вектора розподілу; друга – встановлення, чи можна за спостереженим значенням збуреного вектора розподілу, не маючи попередніх знань за перехідні характеристики марковського процесу, визначити характер і тип збурень.

Розглянемо неоднорідний марковський процес із кінцевим числом станів і неперервним часом. Нехай матриця перехідних ймовірностей процесу має вигляд

, (3)

де . Вектор розподілу ймовірностей станів у момент часу при заданому в початковий момент часу розподілі визначається як

, (4)

де .

Нехай деяка реальна система, що моделюється процесом , зазнає неперервних у часі хаотичних або шумових збурень. Матриця збуреного процесу на кожному часовому відтинку буде мати вигляд

, (5)

де – у загальному випадку лінійна функція часової реалізації випадкового або хаотичного процесу, яку визначено на інтервалі . На кожному _у кроку відбувається нормування матриці :

, (6)

Часова еволюція вектора розподілу ймовірностей при постійному збуренні процесу буде визначатися як

. (7)

Значення вектора в моменти часу фіксуються у вигляді часових реалізацій, поданих у табличній формі.

Чисельні дослідження показали, що хаотичні збурення з нульовими математичними сподіваннями не викликають зсувів середніх значень компонентів вектора розподілу. Тому для аналізу структури збурень на виході марковської системи було розглянуто центровані реалізації хаотичних і випадкових процесів. У цьому випадку можна визначити функцію різниці для будь-якої _ї збуреної і незбуреної компоненти вектора розподілу ймовірностей

. (8)

Досліджуючи часову реалізацію , можна одержати якісні та кількісні характеристики процесу, що збурює. На рис.4 показано траєкторії однієї з компонентів вектора розподілу ймовірностей для незбуреного (а) і збуреного (б) процесів . На рис. 3 (в) подано невеличкий відрізок траєкторії збуреної компоненти.

Рис.3. Траєкторії компоненти для незбуреного й збуреного
марковського процесу

Чисельний аналіз еволюції функцій різниці показав, що траєкторії “збурених хаосом” складових вектора розподілу ймовірностей набувають топологічної структури, яка властива хаотичному процесу, що збурює. Розрахунки, проведені методами, розглянутими в другому розділі, показали, що часові реалізації, означені функціями , мають таку ж фрактальну розмірність і спектр показників Ляпунова, як і хаотичні процеси, що збурюють марковську систему. Аналогічно, траєкторії компонентів вектора розподілу для марковського процесу, що зазнає випадкового впливу, набувають структури, властивій даному виду шумового збурення. Вони мають еквівалентні спектри потужності Фур'є і функції щільності розподілу ймовірності, а також необмежену фрактальну розмірність і позитивний спектр показників Ляпунова.

Приведені результати чисельного аналізу дозволяють вирішити задачу розрізнення хаотичних і випадкових збурень за спостереженим значенням збуреного вектора без попередніх знань про перехідні характеристики процесу . Для цього необхідно за часовими реалізаціями вектора розрахувати фрактальну розмірність і спектр показників Ляпунова і провести порівняльний аналіз методами, розглянутими в другому розділі.

Для побудови якісних характеристик процесу, що збурює, необхідно усунути постійні складові траєкторій компонентів вектора розподілу ймовірностей. Процедура усунення постійної компоненти збуреного марковського процесу залежить від вигляду траєкторій вектора . Сучасні обчислювальні системи обробки даних дозволяють апроксимувати цю складову за допомогою поліномів різних ступенів або тригонометричних функцій. Альтернативна процедура, яка заснована на побудові усередненої часової реалізації сигналу складної форми, розглянута в [5]. На рис.4 показані отримані по реалізації компоненти псевдофазовий портрет, спектр потужності та щільність розподілу для системи, що збурює. За сукупністю цих характеристик можна припустити, що перешкоди, які збурюють марковську систему, викликані хаотичним процесом Лоренца.

У четвертому розділі розглядається змінювання основних характеристик _фокусування при хаотичних збуреннях неоднорідного марковського процесу , аналізованого в інтервалі . Зроблено моделювання неоднорідних марковських процесів, що мають властивості _фокусування. Запропоновано і чисельно реалізовано алгоритм визначення _околу. Чисельно досліджено залежності величини від таких параметрів хаотичного збурення: числа точок збурень, показника Ляпунова хаотичної системи, потужності збурень, вигляду послідовностей часових моментів, у яких діють збурення.

Рис.4. Відновлені фазовий портрет, спектр потужності та щільність
розподілу процесу, що збурює

Професором В.А.Дикарєвим доказано теорему про фокусування. Нехай інфінітезимальна матриця марковського процесу неперервна в деякому лівому півоколі точки , й існує такий стовпець , що усі його елементи задовольняють умові

. (9)

Тоді для будь-якого початкового розподілу ймовірностей , заданого в точці , виконується

, (10)

де – _та компонента лівого нульового власного вектора матриці . Точки , для яких виконується (10), є точками фокусування на розподіл . Якщо замість умови (10) виконується умова

, (11)

де , то такі є точками _фокусування.

Розглянемо марковський процес , що описується системою диференціальних рівнянь Колмогорова , обумовленою інфінітезимальною матрицею

(12)

із n станами і початковим розподілом . Нехай параметри процесу в деякі дискретні моменти часу зазнають хаотичних збурень . Збурення можуть діяти двома способами.

1) Збурюється інфінітезимальна матриця. Тоді на кожному часовому інтервалі матриця буде мати вигляд:

, (13)

де km - позитивний коефіцієнт потужності та

. (14)

При чисельному моделюванні на кожному часовому інтервалі система диференціальних рівнянь Колмогорова розраховується з новими збуреними значеннями елементів інфінітезимальної матриці.

2) Збурюються значення компонентів вектора розподілу ймовірностей , тобто в моменти часу

, (15)

При чисельному моделюванні на кожному часовому інтервалі система диференціальних рівнянь Колмогорова розраховується з новими значеннями компонент початкового вектора розподілу . Незбурені значення компонентів початкового вектора розподілу в моменти часу є рішеннями системи на часовому інтервалі .

Розглянуто процеси з _фокусуванням двох типів: _фокусування першого типу виникає при порівняно малих інтегралах (9); _фокусування другого типу – у точках, близьких до точки фокусування при розбіжних інтегралах (9). Розглянуто два варіанти побудови послідовностей точок збурень . Рівномірна послідовність точок збурень на відрізку відповідає випадку, коли хаотичні збурення діють періодично на всьому часовому інтервалі. Збіжна послідовність точок збурень відповідає випадку, коли частота збурень збільшується з часом.

Проведені чисельні експерименти показали, що _фокусування другого типу в більшості випадків є більш стійкою при збуреннях. Цю властивість наочно продемонстровано на рис.5. Дослідження показали, що хаотичні збурення, породжені різними відображеннями, викликають адекватні зміни -окіл, якщо відображення мають однаковий показник Ляпунова; збурення вектора початкового розподілу ймовірностей призводять до більш сильних змін -окіл, ніж порівняні по розміру збурення інфінітезимальної матриці процесу.

Рис.5. Компонента p(t) збурених процесів першого (а) і другого (б) типів
для різних коефіцієнтів потужності хаосу km=20 (1),50 (2), 100 (3)

У п'ятому розділі розглядається практичне застосування запропонованих методів і алгоритмів. У підрозділі 5.1 розглянуто технологію отримання лікарських препаратів методом екстракції, яка є дифузійним процесом. Запропоновано алгоритм, який апроксимує дифузійний процес марковським процесом із неперервним часом і скінченим числом станів, що дозволяє використовувати марковські системи для моделювання дифузійних процесів і їх аналізу за допомогою методів, розглянутих вище. У підрозділі 5.2 аналізується додаткова інформація, що міститься у флуктуаціях кардіосигналу. Об’єктом спектрального і фрактального аналізу є флуктуації, яким у фазовому просторі відповідає розширення фазової траєкторії (рис. 6). Дослідження, проведені за допомогою методики, запропонованої у другому розділі, виявили хаотичний характер флуктуаційних компонентівкардіосигналу. У підрозділі 5.3 запропоновано математичну модель і алгоритми моделювання поведінки генератора хаотичних коливань із V_образною перехідною характеристикою. Отримані чисельні результати добре узгоджуються з даними експериментальних досліджень.

Рис.6. Фазовий портрет кардіосигналу

.

ВИСНОВКИ

1. Запропоновано методику розрізнення випадкових шумів і детермінованих хаотичних процесів, заданих своїми часовими реалізаціями, засновану на сумісному використанні декількох критеріїв хаотичності системи. На відміну від існуючих методика містить критерій розрізнення, побудований на визначенні спектру показників Ляпунова. Методику тестовано на великому числі відомих модельних прикладів і експериментальних даних. Отримані результати можуть бути використані для аналізу сигналів складної форми будь-якої природи, що подані в числовому вигляді, з метою з'ясовування їх структури.

2. Створено алгоритми еволюції неоднорідних марковських систем під впливом хаотичних та шумових збурень. Досліджено вплив хаотичних збурень на марковські системи. Чисельний експеримент показав, що траєкторії вектора розподілу ймовірностей, якщо стохастична матриця процесу є хаотично збуреною, набувають топологічної структури, яка властива даному виду хаотичного збурення. Таким чином, часова реалізація вектора розподілу ймовірностей дозволяє розрізняти хаотичні та випадкові фактори, що впливають на марковський процес. Запропоновано методи розрізнення хаотичних та шумових збурень за вихідними характеристиками марковського процесу. Отримані результати можуть бути використані для аналізу динаміки процесів, що мають марковську властивість.

3. Створено алгоритми моделювання хаотичних збурень неоднорідних марковських процесів, що мають властивості _фокусування. Запропоновано і чисельно реалізовано алгоритм визначення величини у випадку явища _фокусування. Запропоновано алгоритми дослідження впливу збурень на марковські процеси з _фокусуваннями різних типів.

4. На підставі результатів обчислювальних експериментів установлено загальні залежності змінювань характеристик _фокусування від параметрів хаотичних збурень: збурення, породжені різними процесами, викликають адекватні зміни, якщо мають однаковий найбільший показник Ляпунова, збурення з більшим показником Ляпунова викликають більші зміни -окіл; збурення вектора початкового розподілу ймовірностей призводять до більш сильних змін -окіл, чим порівняні по розміру збурення інфінітезимальної матриці процесу.

5. Розглянуто екстракцію лікарських форм, яка є дифузійним процесом. Запропоновано алгоритм апроксимації неперервного процесу дифузії неоднорідним марковським процесом зі скінченим числом станів, що дозволяє використовувати методи, запропоновані в третьому і четвертому розділах. Отримані результати були застосовані для аналізу динаміки процесів дифузії, що обумовлюють хімічні зміни в лікарських препаратах.

6. Запропоновано метод одержання додаткової інформації, що міститься у флуктуаціях кардіосигналу, і розроблено методику, яка заснована на результатах другого розділу. Розроблена методика й отримані експериментальні результати можуть бути використані при розробці діагностичних медичних систем для аналізу серцевої діяльності.

7. Всі запропоновані в дисертаційній роботі алгоритми реалізовані у вигляді пакетів прикладних програм у системі символьної математики Mathematica_зі зручним інтерфейсом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Герасин С. Н., Дикарев В.А., Кириченко Л.О. Вычисление спектра показателей Ляпунова для систем дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием // Автоматизированные системы управления и приборы автоматики.-1997. -Вып.106. -С.130-133.

2. Земляный О.В., Кириченко Л.О. Хаос в нелинейной динамической системе с v- образной переходной характеристикой // Радиоэлектроника и информатика. -1998. -№2. -C.66-67.

3. Кириченко Л.О. Некоторые сравнительные характеристики случайных и хаотических процессов // Радиоэлектроника и информатика. -1998. -№3. -С.131-133.

4. Залесская Е.В., Кириченко Л.О. Распознавание хаотических колебаний, воздействующих на марковский процесс // Радиоэлектроника и информатика.-1998. -№4. -С.68-71.

5. Огиенко А.А., Кириченко Л.О., Герасин С.Н., Огиенко В.А. Особенности аддитивной и мультипликативной флуктуаций экг, выявленные при спектральном и фрактальном анализе // Вестник Харьковского государственного политехнического университета. Сер. Новые решения в современных технологиях. -1999. -Вып.46. -С.30-33.

6.

7. Герасин С.Н., Кириченко Л.О., Родзинский А.А. Применение марковских моделей фармакокинетики при анализе стабильности лекарственных форм // Радиоэлектроника и информатика. -1999. -№2. -C.107-109.

8. Залесская Е.В., Кириченко Л.О. Методы различения разных типов хаотических колебаний, возмущающих марковский процесс // Вестник Харьковского государственного политехнического университета. Сер. Новые решения в современных технологиях. -1999. -Вып.66. -С.146-152.

9. Залесская Е.В., Кириченко Л.О. Способы различения случаных и хаотических сигналов // Збірник наукових праць за матеріалами 3-го Міжнародного молодіжного форуму “Радіоелектроніка і молодь у ХХІ ст.”. -Харків: ХТУРЕ. -1999. - Ч.2. -С.277-280.

10. Кириченко Л.О. Моделирование случайных сигналов с заданными спектральными характеристиками // Тезисы докладов 3-й Международной конференции "Теория и техника передачи, приема и обработки информации". -Харьков-Туапсе: ХТУРЭ. -1997. -С.52.

11. Kirichenko L.O., Zemlyaniy O.V. Numerical simulation and experimental investigation of the nonlinear electronic circuit with V-shaped transfer characteristic // Тезисы докладов Международной конференции “Вычислительные методы: Проблемы и перспективы”. Гомель (Белоруссия). -1998. -С.142-143.

12. Кириченко Л.О. Алгоритм расчета максимального показателя Ляпунова бесконечномерных систем. // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции “XXIV Гагаринские чтения”.- М.: МГАТУ. -1998.-Ч.3. -С.15-16.

13. Кириченко Л.О. Сравнительный анализ случайных и хаотических процессов // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции “XXV Гагаринские чтения”.- М.: МГАТУ.-1999.- С.152-153.

14. Герасин С.Н., Кириченко Л.О., Коваленко А.Н. О вычислении размерностей хаотических систем по экспериментальным данным // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции “XXV Гагаринские чтения”.- М.: МГАТУ. -1999.- С.144.

АНОТАЦІЯ

Кіріченко Л.О. Моделювання та розпізнавання випадкових та хаотичних збурень, діючих на неоднорідні марковські системи. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи.
– Харківський державний технічний університет радіоелектроніки, Харків, 2000.

У дисертаційній роботі розглянуто питання дослідження еволюції неоднорідних марковських процесів під впливом випадкових та хаотичних збурень. Модифіковано методику розрізнення випадкових шумів та хаотичних процесів, поданих часовими реалізаціями, яка містить критерій розрізнення, побудований на визначенні спектру показників Ляпунова. Алгоритми моделювання збурених неоднорідних марковських процесів поширено на випадок, коли збурення є хаотичними. Запропоновано методи розрізнення хаотичних та випадкових збурень за вихідними характеристиками збуреного марковського процесу. Проаналізовано зміни основних характеристик марковських процесів із властивостями _фокусування в залежності від параметрів хаотичних збурень. Результати дисертації були використані для досліджень стабільності формування лікарських препаратів; визначення аномалій у серцевій діяльності; аналізу режимів роботи хаотичних генераторів.

Ключові слова: хаотичний процес, випадковий шум, часова реалізація, неоднорідний марковський процес, марковський процес з властивостями _фокусування.

АННОТАЦИЯ

Кириченко Л.О. Моделирование и распознавание хаотических и случайных возмущений, действующих на неоднородные марковские системы. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский государственный технический университет радиоэлектроники, Харьков, 2000.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы моделирования и исследования эволюции неоднородных марковских процессов под действием хаотических и случайных возмущений. Предложена методика различения хаотических процессов и случайных шумов, возмущающих неоднородную марковскую систему, по временным реализациям вектора распределения вероятностей на выходе системы.

Во втором разделе обобщены методы компьютерного моделирования хаотических систем, позволяющие моделировать нелинейные динамические системы всех типов поведения. Создана база данных моделей, содержащая большинство известных на сегодняшний день систем с хаотическим поведением. Модифицирована методика различения хаотических процессов и случайных шумов, заданных временными реализациями. Предложен метод различения, основанный на определении спектра показателей Ляпунова. Методика протестирована на большом числе известных модельных примеров и экспериментальных данных. Полученные результаты могут быть использованы для анализа сигналов сложной формы с целью выяснения их структуры.

В третьем разделе предложены алгоритмы хаотического и случайного возмущения параметров неоднородных марковских систем. Исследовано влияние хаотических возмущений на марковские системы. Численный эксперимент показал, что траектории вектора распределения вероятностей при “зашумленной хаосом” стохастической матрице процесса приобретают топологическую структуру, свойственную данному виду хаотического возмущения. Таким образом, временная реализация вектора распределения вероятностей на выходе марковской системы позволяет определить тип возмущений, влияющих на марковский процесс. Предложена методика распознавания хаотических и шумовых возмущений по временной реализации вектора распределения вероятностей марковского процесса. Полученные результаты могут быть использованы для идентификации факторов, влияющих на марковский процесс.

В четвертом разделе усовершенствованы алгоритмы моделирования марковских процессов с фокусирующими свойствами. Разработаны алгоритмы моделирования поведения марковских процессов с -фокусирующими свойствами под действием хаотических возмущений. Предложен и численно реализован алгоритм определения величины в случае явления -фокусировки. Предложены алгоритмы исследования влияния хаотических возмущений на марковские процессы с -фокусировками разных типов. Промоделированы хаотические возмущения неоднородных марковских процессов для случаев, когда в разные моменты времени возмущается инфинитезимальная матрица процесса и когда возмущается вектор начального распределения. Хаотические возмущения, порожденные разными динамическими системами, но имеющие одинаковые максимальные показатели Ляпунова, вызывают адекватные изменения -окрестностей. Возмущения вектора начального распределения вероятностей приводят к более сильным изменениям параметров -фокусировки, чем сопоставимые по величине возмущения инфинитезимальной матрицы процесса.

В пятом разделе рассмотрено практическое применение предложенных методов и алгоритмов. Предложен алгоритм аппроксимации процесса диффузии, возникающего при изготовлении лекарственных средств, неоднородным марковским процессом со счетным числом состояний. Это позволяет использовать методы, представленные в 3-м и 4-м разделах для исследования диффузионных процессов. Результаты были использованы для анализа динамики процессов диффузии, обуславливающих химические изменения в лекарственных препаратах. Предложена методика получения дополнительной информации, содержащейся во флуктуациях кардиосигнала. Предложенная методика может быть использована для анализа сердечной деятельности. Численно и экспериментально исследована динамическая система, являющаяся моделью хаотического генератора, который состоит из нелинейного элемента с передаточной характеристикой V-образной формы и коаксиального резонатора. Результаты могут быть использованы при разработке генераторов хаотических колебаний.

Все предложенные в диссертационной работе алгоритмы реализованы в виде пакетов прикладных программ в системе символьной математики Mathematica-4 и могут быть использованы в научных исследованиях, учебном процессе, а также при обработке сигналов сложной формы, полученных экспериментальным путем в технике, медицине, радиофизике и т.д.

Ключевые слова: хаотический процесс, случайный шум, временная реализация, неоднородный марковский процесс, марковский процесс с _фокусирующими свойствами.

ABSTRACT

Kirichenko L.O. Simulation and recognition chaotic and random influence, operating on inhomogeneous Markov systems. – Manuscript.

Thesis for the candidate degree of the technical sciences on the specialty 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods. – Kharkov state technical university of radioelectronics, Kharkov, 2000.

The thesis is devoted to problems of simulation and research of evolution inhomogeneous Markov processes under operation chaotic and random influence. The methods of distinguishing of chaotic processes and random noise given by time series, based on a use of several criterions of a chaos, are modified. The method of distinguishing, based on definition of a spectrum of Lyapunov exponents, is offered. The time series of a vector of distribution on an output of Markov system allows to determine the type of influences. The methods of recognition chaotic and noise influence on time series of a vector of distribution of Markov process is offered. The changes of the main characteristics Markov processes with _focusing properties according to parameters of chaotic influence is analyzed. The results of a thesis were used for researching of stability of creation of medicinal preparations; for revealing anomalies in cardiac activity; for learning modes of operations chaotic oscillator.

Keywords: chaotic process, random noise, time series, inhomogeneous Markov process, Markov process with _focusing properties.

Підписано до друку 20 04 2000.

Формат 60х84 1/16. Папір друк. офсетний.

Умов. друк. арк. 1,2. Облік. вид. арк.1,1.

Зам. № 2-315_. Тираж 100 прим. Безкоштовно.

Надруковано в учбово-виробничому видавничо-поліграфічному центрі

Харківського державного технічного університету радіоелектроніки.

61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.