Київський університет імені Тараса Шевченка

УДК 539.3

УЛІТКО ІГОР АНДРІЙОВИЧ

КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ В ПРУЖНИХ ТІЛАХ, ЯКІ ЗДІЙСНЮЮТЬ ОБЕРТОВИЙ РУХ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-

математичних наук

Київ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в | Київському університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник | доктор фізико-математичних наук, професор Селєзов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу гідродинаміки хвильових процесів.

Офіційні опоненти | доктор фізико-математичних наук, професор Карнаухов Василь Гаврилович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу термопружності.

кандидат фізико-математичних наук Олійник Валерій Никифорович, Інститут гідромеханіки НАН України, старший науковий співробітник відділу гідродинамічної акустики.

Провідна установа | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України

Захист відбудеться “ 16 ” червня 1999 р. о “ 15 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 252 127 м. Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка

Автореферат розіслано “ 14 ” травня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Т.Ю. Кепич

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню закономірностей поширення хвиль і стаціонарних коливань в пружних твердих тілах, які знаходяться в обертовому русі, а також дослідженню, на основі аналізу цих закономірностей, стаціонарних режимів коливань резонаторів хвильових гіроскопів.

Актуальність теми дисертації. Проблема динамічного деформування пружних тіл, які здійснюють рух у просторі до недавнього часу не була предметом систематичних досліджень в механіці. Це пояснюється тим, що нові задачі механіки цього класу є досить складними. З іншого боку – не було практичної потреби у використанні розв'язків таких задач. Положення суттєво змінилося в останні два-три десятиліття в зв'язку з розробкою і впровадженням навігаційних пристроїв нового типу – так званих хвильових гіроскопів. В основі фунціювання цих пристроїв лежать явища розщеплення спектрів власних частот і прецесії нормальних мод коливань пружних тіл, що виникають завдяки руху цих тіл у просторі (зокрема, завдяки обертовому руху) і можуть характеризувати цей рух.

В зв'язку з цим, останнім часом спостерігаємо формування окремого розділу механіки, предметом якого є вивчення динамічного деформування пружних тіл під дією зовнішніх сил, з головним вектором і головним моментом відмінними від нуля на певному проміжку часу навантаження тіла. Підпорядкована таким умовам задача механіки включає в себе всі можливі випадки динамічного деформування при довільному просторовому русі. При такому найбільш загальному підході до проблеми з'ясовується, що навіть у випадку малих деформацій при великих переміщеннях тіла у просторі, граничні задачі механіки є нелінійними.

Завдяки роботам українських та іноземних вчених вдалося виділити ті практично важливі випадки, коли можна побудувати лінеаризовані варіанти теорії просторового руху деформівних тіл, які забезпечують високу точність опису динамічних явищ і ефектів, що породжуються просторовим рухом тіла і допускають використання порівняно простого математичного апарату. Одним з найважливіших є випадок регулярного (рівномірного або рівноприскореного) обертового руху навколо нерухомої у просторі осі. В цьому випадку для пружних тіл, деформівний стан яких описується лінійним тензором Коші вдалося сформулювати векторну крайову задачу для узагальненого динамічного рівняння Ламе та подати в спрощеному вигляді рівняння Ейлера просторового руху пружного тіла. В дисертаційній роботі розглядається саме цей варіант загальної теорії для випадку рівномірного обертового руху.

Проведений дисертантом ретельний аналіз публікацій, в яких викладено конкретні постановки крайових задач, методи їх розв'язку та тлумачення ключових результатів, отриманих різними авторами свідчить, що залишилися ще не з'ясованими основоположні закономірності впливу обертового руху на резонансні стани тіл скінчених розмірів, процеси поширення хвиль та модуляцію стаціонарних коливань. Зрозуміло, що без повного розкриття цих закономірностей неможливо дати точний кількісний опис характеристик різних типів хвильових гіроскопів, що працюють як на біжучих, так і на стоячих хвилях. Із сказаного випливає, що створення основ загальної теорії коливань та поширення хвиль в пружних тілах, що перебувають в обертовому русі, яка грунтується на порівняно невеликій кількості вихідних принципів і одночасно охоплює різні моделі резонаторів хвильових гіроскопів є актуальною науковою і практично значущою проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Відображені в дисертаційній роботі результати служили основою для виконання планових наукових досліджень кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського університету імені Тараса Шевченка по фундаментальним проектам міністерства України у справах науки і технологій № 13.3/40: ''Розробка теорії взаємодії зовнішніх механічних рухів з коливаннями та пружними хвилями в деформівних тілах'' (№ ДР 0195U005967) в період з 1994 по 1996 р. та № 1.4/196: ''Взаємодія та рух твердих тіл, що коливаються'' (№ ДР 0197U003133) з 1997 р. по ц.ч.

Мета дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є встановлення закономірностей поширення пружних хвиль в твердих тілах, які перебувають в обертовому русі, а також відповідних ефектів для задач про стаціонарні коливання резонаторів хвильових гіроскопів на підставі аналізу точних аналітичних розв'язків ключових початково-граничних задач як для необмеженого середовища, так і для тіл скінчених розмірів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше здійснено постановку та знайдено точний аналітичний розв'язок крайових задач про поширення гармонічних хвиль в необмеженому пружному просторі, поширення стаціонарних і нестаціонарних хвиль в півпросторі, а також задач про стаціонарні коливання і нестаціонарні хвилі в шарі за умов, що вказані тіла знаходяться в рівномірному обертовому русі.

2. Встановлені при аналізі цих розв'язків закони дисперсії гармонічних хвиль; явище їх просторової поляризації (кінематика руху частинок на фронті хвилі); явище модуляції цих хвиль; кількісні дані, що характеризують явище розщеплення власних частот коливань пружного шару та спектри власних частот; закономірності зміни форми імпульсу стиску в нестаціонарних задачах; умови існування стаціонарної поверхневої хвилі Релея – є новими науковими результатами і не перекриваються відомими дослідженнями інших авторів.

3. Отримала подальший розвиток задача про поширення поверхневих хвиль Релея. Новими тут є дані про вплив обертового руху на кінематичні закономірності руху частинок у хвилі.

4. Запроваджена повна математична модель хвильового гіроскопу камертонного типу, яка на відміну від робіт інших авторів враховує деформування основи резонатора, а також – вперше отримані аналітичні формули для розрахунку основних електромеханічних робочих характеристик такого гіроскопу, що грунтуються на співвідношеннях прикладної теорії згинних коливань біморфних п'єзокерамічних елементів.

Практичне значення одержаних результатів. Запроваджені в роботі теоретичні моделі для вивчення фундаментальних закономірностей поширення гармонічних хвиль в необмеженому пружному середовищі, стаціонарних і нестаціонарних хвильових процесів в півпрсторі і в шарі, які перебувають в обертовому русі узгоджуються з внутрішньою логікою розвитку динамічної теорії пружності, а одержані результати доповнюють і розширюють предмет даної дисципліни.

Як показує аналіз робочих характеристик хвильового гіроскопа камертонного типу та аналіз кінематики хвильового руху в поверхневих хвилях Релея, встановлені загальні закономірності поширення гармонічних пружних хвиль виявляють себе в широкому колі прикладних задач, а отже можуть застосовуватисть для якісної і кількісної оцінки в розробках гіроскопічних сенсорів кутової швидкості обертання різних типів.

Окремі результати в даний час використовуються в навчальному процесі. За матеріалом дисертації побудовано програму спеціального курсу ''Сучасні проблеми механіки суцільного середовища'', який викладається студентам магістратури при кафедрах теоретичної і прикладної механіки та механіки суцільного середовища Київського університету імені Тараса Шевченка.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертаційної роботи опубліковано 8 наукових праць [1–8]. В тому числі: 4 – в наукових журналах, 3 – в збірках праць та 1 – в тезах доповідей міжнародних наукових конференцій. Основні результати було отримано автором самостійно. В той же час робота [1] опублікована в співавторстві з В.М.Нікітенком, а робота [4] – в співавторстві з В.М.Баженовим. В першій роботі здобувачеві належить ідея асимптотичного розв'язку нелінійних рівнянь руху та аналітичний аналіз цього розв'язку, В.М.Нікітенком була здійснена чисельна реалізація розв'язків. В другій статті здобувачеві належить постановка задачі, ідея розв'язку у вигляді біжучих у взаємно-протилежних напрямках поверхневих хвиль та встановлення умов існування таких хвиль; В.М.Баженовим здійснено асимптотичний аналіз розподілів динамічних переміщень та знайдено асимптотичний вираз для визначника Релея.

Апробація результатів дисертації. Основні результати даної дисертаційної роботи доповідалися на таких Міжнародних наукових конференціях, конгресах та симпозіумах: 1995 IEEE International Frequency Control Symposium (м. Сан-Франциско, США); The 3rd International Congress on Industrial and Applied Mathematics, ICIAM 1995 (м. Гамбург, Німеччина); IV Міжнародна конференція з механіки неоднорідних структур (1995р., м. Тернопіль, Україна); II Международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды" (1996р., м. Ростов-на-Дону, Росія); The 11-th All-European Conference on Solid-State Transducers, Eurosensors-XI (1997р., м. Варшава, Польща); Міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми механіки і математики" (1998 р., м. Львів, Україна). В цілому робота обговорювалася на науковому семінарі “Проблеми механіки” при кафедрі теоретичної і прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка (1998 р.).

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів основної частини, висновків та переліку використаних літературних джерел, що налічує 85 назв; рисунків – 30, розміщених на 20 сторінках, таблиць – немає. Загальний обсяг дисертації – 175 сторінок.

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема, розкривається сучасний стан досліджень, пов’язаних з проблемами динамічного деформування пружних твердих тіл, які здійснюють просторовий рух; обгрунтовується необхідність проведення наукового пошуку в цій галузі і відзначається актуальність теми дисертації; формулюється мета роботи. Після стислого аналізу ключових результатів, які увійшли до дисертації, відзначено їх наукову новизну та практичне значення; вказано на публікації автора, в яких ці результати відображено і відзначено його особистий внесок в тих роботах, що опубліковані разом з співавторами. Також наводяться дані про зв’язок дисертаційної роботи з науковими темами, що виконуються в установі здобувача, дані про апробацію результатів дисертації.

В першому розділі дисертації подано огляд літературних джерел, в яких містяться дослідження, присвячені проявам інертності хвиль та коливань в рухомих у просторі пружних тілах. Метою цього огляду було встановити окреме місце і відношення власних досліджень автора до вже відомих результатів, тобто здійснити вибір власного напрямку.

Найбільш досконало вивчені ілюстрації хвильових явищ в рухомих пружних тілах обмежуються випадком гармонічних коливань та хвиль в умовах регулярного (рівномірного або рівно-прискореного) обертового руху. Виникнення цього напрямку пов’язане з іменем Г.Х.Браяна, який наприкінці XIX ст. вперше ставить проблему створення математичної моделі, яка б адекватно відображала природу явищ розщеплення частот та прецесії нормальних мод коливань пружних тіл скінчених розмірів (зокрема оболонок обертання) під час обертового руху. Впродовж століття дослідження з цієї теми періодично з’являються у виданнях по механіці та в суміжних з нею галузях, наприклад, в сейсмології (розщеплення частот власних коливань Землі, пов’язане з добовим обертанням).

Зазначимо, що модель Браяна передбачає можливість відтворити просторовий макро-рух тіла (в найпростішому випадку — визначити величину і напрямок кутової швидкості обертання) шляхом спостереження за сукупністю змінних і параметрів хвильового мікро-руху. Це положення складає предмет порівняно нової дисципліни — теорії твердотільних хвильових гіроскопів, що має своїм технічним застосуванням розробку різних типів твердотільних гіроскопічних сенсорів. В різний час проблемам створення та вивченню робочих характеристик хвильових гіроскопів присвятили свої роботи Дж.Бардес, Л.І.Брозгуль, Н.Вакатсюкі, Ж.Ванг, Н.Е.Єгармін, В.Ф.Журавльов, Д.М.Клімов, А.А.Кірієнков, Н.Кларк, С.П.Кисиленко, М.Конно, С.Кудо, Б.Лао, І.В.Лебедєва, Ю.К.Мінаєв, М.А.Павловський, А.М.Павловський, А.Л.Попов, С.А.Сарапулов, Е.Л.Смірнов, Я.Сьодерквіст, А.Ф.Улітко, К.Чанг, Ж.Янг та багато інших авторів. На сьогодні в цій галузі спостерігаємо значний прогрес як з точки зору створення конструктивно різноманітних сенсорів (оболонкового, камертонного типів, на поверхневих акустичних хвилях та ін.), так і сенсорів, різноманітних за принципом дії (ємнісні, магнітострикційні, електромеханічні). В дисертаційній роботі проаналізовано переважно ті розробки, в яких резонатори виготовляються з високодобротних електромеханічно активних матеріалів, оскільки побудовані на принципі п’єзоефекту гіроскопічні сенсори найкращим чином задовольняють вимогам точності та надійності, що висуваються до сучасних повністю інтегрованих багатофункціональних мікросенсорних систем.

Застосування хвильоводів на поверхневих акустичних хвилях (ПАХ) для спостереження гіроскопічних ефектів відкриває нову тенденцію в розвитку теорії твердотільних хвильових гіроскопів (Б.Лао, Дж.Бардес і Н.Кларк, С.А.Сарапулов і С.П.Киселенко та ін), адже побудова математичних моделей гіроскопічних сенсорів на ПАХ вже вимагає широкого застосування методів просторової динамічної теорії пружності замість прикладних методів і теорій коливань одно- та двовимірних пружних об’єктів. При цьому широко використовуються результати хвильової динаміки пружних тіл (Ж.Ахенбах, В.Т.Грінченко, Г.Лемб, В.В.Мелєшко, І.Т.Сєлєзов, Дж.В.Стретт (Лорд Релей), та ін.)

Одночасно з розвитком нових типів хвильових гіроскопів, з побудовою їх конкретних математичних моделей виділяється і коло специфічних теоретичних проблем, що вимагають створення узагальненої замкненої теорії, яка б з необхідною повнотою описувала довільне динамічне деформування пружних тіл, які здійснюють складний просторовий рух і в певному колі випадків допускала б застосування математичних методів лінійної динамічної теорії пружності. Цей напрямок досліджень розвивається переважно в роботах російських та українських авторів (В.Ф.Журавльов, А.Ф.Улітко та ін.). В огляді літератури проаналізовані різні варіанти теорій просторового руху і за базову вибрано теорію А.Ф.Улітка. Закінчується літературний огляд коротким резюме стосовно необхідності розв’язання поставлених в дисертації задач.

У другому розділі дисертації викладено в конспективній формі основні результати загальної теорії просторового руху пружних тіл А.Ф.Улітка (Улитко А.Ф. Пространственное движение упругих тел // Известия АН СССР. МТТ. – 1990. – № 6. – c. 55-66.).

В третьому розділі розглядається задача про поширення плоских гармонічних біжучих хвиль в необмеженому середовищі, яке обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої осі. При постановці задачі вважається, що відносні пружні переміщення точок тіла є досить малими в порівнянні з його характерними розмірами, а також, що зовнішні сили є самозрівноваженими. Цими умовами забезпечується регулярність обертового руху під час поширення хвиль. Вважається також, що відцентрові сили інерції зрівноважені зовнішніми об'ємними силами, оскільки в даній моделі пружне середовище розглядається як відкрита коливальна система Нехай вісь декартової системи координат з одиничним вектором буде віссю обертання, тоді узагальнене динамічне рівняння Ламе має вигляд

, (1)

де , – густина – коефіцієнт Пуасона, – модуль зсуву матеріалу. Побудовано розв'язки цього рівняння для біжучих плоских гармонічних хвиль, які поширюються в напрямку вісі обертання та перпендикулярно до неї. Встановлено, що в такому середовищі можуть в загальному випадку одночасно існувати три незалежних типи хвиль, які поширюються з дисперсією та запроваджено їх класифікацію.

Зокрема у випадку, коли напрямок хвильового вектора співпадає з напрямком вектора кутової швидкості, рівняння Ламе (1) визначає такі розв’язки.

1. Бездисперсійна поздовжня хвиля, в якій вектор зміщення матеріальних частинок середовища є колінеарним вісі обертання тіла

. (2)

2. Диспергуюча квази-поперечна хвиля з коловою поляризацією в площині . Напрямок руху частинок на колових траєкторіях тут співпадає з напрямком обертання тіла:

, (3)

3. Диспергуюча квази-поперечна хвиля з коловою поляризацією в площині , в якій напрямок руху частинок є протилежним напрямку обертання тіла:

, (4)

де

, (5)

В цих формулах – нормована кутова швидкість обертання, а та – швидкості, відповідно, поперечних та поздовжніх хвиль в нерухомому пружному тілі, – додатня амплітуда. Залежності фазових швидкостей хвиль від нормованої частоти , які відповідають записаним вище значенням хвильових чисел та , представлено на рис.1 та рис.2, тут же схематично показано напрямок руху частинок середовища на фронтах хвиль.

Рис.1 | Рис.2

Як видно з рис.1 фазова швидкість квази-поперечної хвилі з розв’язку (3) при малих кутових швидкостях обертання (великі ) є досить близькою (з недостачею) до значення і повільно спадає зі збільшенням кутової швидкості (малі ). Навпаки, фазова швидкість хвилі з розв’язку (4), будучи близькою (з перебільшенням) до значення , зі збільшенням кутової швидкості зростає і при стає нескінченно великою. В дисертаційній роботі детально проаналізовано цей випадок аномальної дисперсії хвилі. Шляхом переходу до нерухомої системи відліку доведено, що для кутової швидкості обертання рівній круговій частоті хвилі даний тип хвильового руху перестає існувати, а розподіл переміщень та швидкостей описується співвідношеннями динаміки абсолютно твердого тіла.

Аналогічними, хоча і більш складними в математичному плані, є співвідношення, що описують поширення хвиль в напрямку, перпендикулярному до вісі обертання тіла. В цьому випадку можуть одночасно існувати такі типи хвиль: 1.) бездисперсійна поперечна хвиля з вертикальною поляризацією (SV - хвиля), в якій напрямок зміщень частинок середовища є колінеарним напрямку осі обертання; 2.) диспергуюча квази-поперечна хвиля з еліптичною поляризацією в площині , що має фазову швидкість завжди меншу , і для якої напрямок руху частинок на еліптичних орбітах співпадає з напрямком обертового руху тіла; 3.) диспергуюча квази-поздовжна хвиля з еліптичною поляризацією в площині , в якій напрямок руху частинок є протилежним напрямку обертання тіла. Останній хвильовий розв’язок характеризується таким же явищем аномальної дисперсії у випадку . В роботі проведено належний аналіз відповідних дисперсійних співвідношень.

Завершується розділ вивченням питання про суперпозицію гармонічних біжучих хвиль, що представлені розв’язками (3) та (4). В частинному випадку додавання двох хвиль рівної довжини і амплітуди, які поширюються у взаємно-протилежних напрямках вздовж осі обертання тіла, виникають дві модульовані хвилі з частотою модуляції, що точно дорівнює значенню кутової швидкості обертання: . При заданій довжині хвилі можна записати

(6)

для прямої модульованої хвилі та

(7)

для оберненої. Цей результат вказує на принципову відмінність хвильового руху в тілі, яке обертається, від класичних закономірностей для нерухомого тіла (теорія стоячих хвиль, тобто нормальних мод коливань), а також якісно узгоджується і доповнює теорію прецесії нормальних мод, що використовуються в деяких типах твердотільних хвильових гіроскопів.

Важливим наслідком даного дослідження є також те, що для ізотропного тіла не всі напрямки поширення хвиль по відношенню до осі обертання є рівноцінними: в описаних вище випадках поряд з диспергуючими завжди виділяється бездисперсійна хвиля. Це положення значно спрощує математичний аналіз динамічних задач такого класу для пружних тіл скінченої геометрії.

В четвертому розділі дисертації побудовано розв’язки задач про стаціонарні коливання та про поширення нестаціонарних хвиль в пружному шарі та в півпросторі, які перебувають в рівномірному обертовому русі. Тут же встановлено умови існування та вивчено кінематику стаціонарної поверхневої хвилі Релея. Задачі сформульовано в такій постановці: 1.) вісь обертання лежить в граничній площині півпростору (в серединній площині шару), 2.) зовнішні сили є рівномірно розподіленими по граничним поверхням і однорідними по двом (в задачах для шару і у випадку поширення хвиль вглибину півпростору) або по одній (поширення хвилі Релея) поверхневим координатам. Такі навантаження відслідковують поворот осей системи координат, тобто обертаються разом з тілом з тією ж кутовою швидкістю . При таких умовах здійснюється відокремлення бездисперсійних хвильових розв’язків рівнянь руху Ламе типу (1), що відповідають хвильовим рухам в тілі без обертання, а дослідження зв’язаних “коріолісових” ефектів проводиться в умовах плоскої задачі теорії пружності.

В стаціонарних задачах для шару і півпростору побудова розв’язків грунтується на отриманих в попередньому розділі результатах для квази-поперечних та квази-поздовжних хвиль, що поширюються перпендикулярно до вісі обертання, але на відміну від необмеженого середовища, коливання континууму тут є зв’язаними, тобто характеризуються складною суперпозицією вказаних типів диспергуючих хвиль. В роботі побудовано розподіли полів динамічних переміщень і напружень, що виникають в шарі і в півпросторі під дією нормальних гармонічних навантажень. Детально проаналізовано випадки малих, в порівнянні з частотою хвиль, кутових швидкостей обертання та аномальні випадки, коли значення цих параметрів співпадають: . Так, зокрема, у випадку асимптотичні розподіли переміщень, наприклад, в пружному шарі можна подати у вигляді

,

, (8)

де – товщина шару, – товщинна координата, – інтенсивність зовнішнього навантаження. Таким чином домінуючою в товщинних коливаннях шару є компонента переміщень , утворена суперпозицією прямих і обернених поздовжніх хвиль. Цей тип коливань слабко спотворюється членом другого порядку малості у вигляді суперпозиції поперечних хвиль. Для зв’язаної компоненти переміщень , яка не мала б місця у відсутність обертового руху, як повздовжні, так і поперечні складові мають одну і ту ж величину, пропорційну . Ці наближені формули можна застосовувати в розрахунках для гіроскопічних сенсорів в діапазоні нормованих кутових швидкостей, що не перевищують .

Як і для необмеженого середовища, випадок рівності параметрів хвильового мікро-руху та обертового макро-руху, , характеризується аномальними розподілами переміщень і напружень: тут квази-поздовжні складові хвиль вироджуються так, що маємо пропорційні члени в формулах для переміщень та незмінні з товщиною члени в формулах для напружень, тобто хвильовий рух шару взагалі характеризується лише суперпозицією квази-поперечних хвиль. В задачі про поширення стаціонарних біжучих хвиль в пружному півпросторі у вказаних двох випадках отримуємо цілком аналогічні висновки стосовно характеру розподілів хвильових полів.

В той же час між розподілами динамічних напружень і переміщень в шарі і в півпросторі має місце істотна відмінність. В пружному шарі, що рівномірно обертається, суперпозиції прямих і обернених квази-поперечних і квази-поздовжних хвиль, як і в класичному випадку, утворюють стоячі хвилі, тобто нормальні моди коливань з дискретними спектрами власних частот, тоді як в півпросторі резонансні стани відсутні. Відмінність від випадку нерухомого шару полягає в тому, що для кожного типу коливань замість однієї маємо дві послідовності дискретних значень власних частот: фактично, відбувається розщеплення частот, обумовлене обертовим рухом. В дисертації детально проаналізовано розв’язки відповідного частотного рівняння (алгебраїчне рівняння четвертого ступеня). Для аналізу цих даних в роботі побудовано спектри власних частот коливань в залежності від нормованої кутової швидкості , а не від значень хвильових чисел, як це прийнято в класичній динамічній теорії пружності. На рис.3 зображено декілька перших кривих з сімейства , а на рис.4 – з сімейства , які відповідають квази-поперечним та квази-поздовжним хвилям. Пунктирними лініями показано значення частот та для нерухомого шару. Ці прямі відіграють роль асимптот для відповідних частин спектру при .

Рис. 3 | Рис. 4

Видно, що частоти є монотонними функціями , тоді як частоти не є монотонними і для кожного номера в точках та обертаються в нуль. Побудовані з вершинами в цих точках півдуги еліпсів є проекціями відповідних уявних значень на дійсну площину . Це означає, що в загальному випадку товщинні коливання шару характеризуватимуться не лише гармонічними складовими у розв’язках для переміщень і напружень. У випадку критичних кутових швидкостей обертання, які при заданій товщині шару співпадають з швидкостями поздовжніх та поперечних хвиль в нерухомому тілі, чи то знаходяться у відкритому інтервалі між цими значеннями, матимуть місце аномальні випадки, коли одна із складових хвильового поля описуватиметься гіперболічними функціями.

Отримані відомості про нормальні моди коливань, спектри власних частот та їх розщеплення у випадку пружного шару, а також аналогічні, або близькі по суті результати для пружного півпростору дозволили виробити загальний підхід до побудови розв’язків нестаціонарних задач, в яких збудження хвиль відбувається під дією прикладених до бічних поверхонь нормальних імпульсних навантажень. Так, зокрема, для пружного шару розв’язок будується за допомогою повторних інтегральних перетворень: спочатку застосовується скінчене перетворення по власним функціям стаціонарної задачі, що дозволяє представити розв’язок для динамічних переміщень і напружень у вигляді рядів Фур’є з невідомими коефіцієнтами – функціями часу; потім для визначення цих коефіцієнтів застосовується інтегральне перетворення Лапласа (метод Стокса-Грінберга). Таким же чином в нестаціонарній задачі для півпростору розв’язок будується спочатку з застосуванням косинус-перетворення Фур’є по глибинній координаті, а потім до знаходження невідомих щільностей цього перетворення застосовується перетворення Лапласа по часу. Особливістю динамічних задач цього типу для тіл, які знаходяться в обертовому русі є те, що обернений порядок застосування інтегральних перетворень призводить до невиправданих математичних ускладнень, пов’язаних з оберненням Лапласа в комплексній площині Рімана.

Завершується розділ дослідженням закономірностей поширення гармонічної біжучої хвилі Релея на вільній поверхні пружного півпростору. Як і слід було очікувати, хвилі Релея поширюються з дисперсією Їх швидкість визначається із складного трансцендентного рівняння, що не зводиться до алгебраїчного. Обмеження на швидкості релеєвських хвиль (умова існування) формулюється у вигляді нерівності

, (9)

де – невідома фазова швидкість хвилі Релея. При ця нерівність перетворюється на класичну . З ростом кутової швидкості обертання при заданій частоті значення фазової швидкості хвилі зменшується. Крім того, для біжучих по поверхні у взаємно-протилежних напрямках хвиль їх фазові швидкості виявилися різними: прості обрахунки показують, що для матеріалу з коефіцієнтом Пуасона при швидкість прямої хвилі складає , а оберненої , тоді як відповідне значення для нерухомого тіла є . Було проведено аналіз розподілів переміщень у хвилі для малих кутових швидкостей обертання півпростору. Зокрема встановлено, що суттєвого спотворення зазнають лише глибинні компоненти переміщень в біжучих хвилях, а суперпозиція прямих і обернених хвиль Релея породжує модульовані біжучі хвилі, як і у випадку хвиль в необмеженому середовищі.

У п’ятому розділі викладається розроблена автором теорія хвильового гіроскопа камертонного типу. При побудові математичної моделі даного хвильового гіроскопа його резонатор розглядається як складна коливальна система, до якої входять два тонких біморфних п'єзокерамічних стержня та електромеханічно не активне напівкільце, що їх з’єднує і має такі ж механічні характеристики, як і біморфні стержні. Кожний із стержнів, в свою чергу, поділяється на дві рівні частини, в яких знаки наведеної поляризації є різними відносно серединної площини, завдяки чому в однорідному електричному полі маємо сумарну деформацію згину. Один із стержнів використовується для збудження згинних коливань в площині розташування камертона, а інший служить для реєстрації вихідного електричного сигналу на згинних коливаннях “з площини”, які виникають завдяки обертовому руху навколо вісі симетрії фігури. Інакше кажучи біморфні елементи мають взаємно протилежну орієнтацію по відношенню до основи камертона – напівкільця.

Математична постановка задачі отримується як наслідок з аналізу всіх типів динамічного деформування резонатора під час обертання (згин стержнів в площині розташування камертона і згин напівкільця в площині його кривизни, згин з крученням напівкільця з площини кривизни і згин стержнів з площини розташування камертона, кручення стержнів). Оскільки в такому сенсорі кутової швидкості радіус напівкільця є набагато меншим за довжину стержнів , так що , то частоти згинно-крутильного типу коливань напівкільця є значно вищими від частот згинних коливань стержнів. Враховуючи це, автором використано статичні загальні розв’язки для згинно-крутильної деформації напівкільця з метою встановлення математично коректних умов спряження між біморфними стержнями та напівкільцем. В результаті побудовано розв’язок для згинних коливань стержнів при складній системі умов спряження на нижніх торцях (пружне закріплення, що відповідає дії згинаючих моментів, перерізуючих сил та моментів кручення) та граничних умов на верхніх торцях (зовнішньому електричному навантаженню ставиться у відповідність дія згинаючого моменту). Для робочої моди резонатора, резонансне рівняння було отримано у вигляді

, (10)

де – безвимірний хвильовий параметр, – константа узгодження жорсткості на кручення напівкільця та згинної жорсткості стержнів. , а значення отримується з заміною знака при на протилежний. Величини та також є комбінаціями тригонометричних і гіперболічних функцій від . Зазначимо, що рівняння при перетворюється на тимошенківське резонансне рівняння для стержня з одним жорстко закріпленим кінцем. З числової оцінки розв'язків рівняння (10) при та знаходимо такі найнижчі значення резонансних частот (строго кажучи – власних чисел), фундаментальної симетричної моди коливань, що здійснюються у взаємно-перпендикулярних напрямках: та . Як відомо, перша резонансна частота консольно закріпленого стержня відповідає значенню . Отже, пружне кільце малого радіуса несуттєво зменшує значення резонансних частот камертона. Ці дані також вказують на розщеплення резонансних частот коливань, завдяки дії сил інерції Коріоліса.

Явище розщеплення частот, обумовлене обертанням камертона, породжує низку ефектів, що проявляються і в кінематиці нормальних мод і в математичному представленні вихідного електричного сигналу. Зокрема, у випадку вільних коливань встановлено, що торці стержнів камертона рухаються по коловим траєкторіям. Тут спостерігається повна якісна аналогія з кінематикою руху частинок на фронтах хвиль, що поширюються вздовж вісі обертання в необмеженому середовищі.

Якісну спорідненість явищ та ефектів, що характеризують поширення пружних хвиль в необмеженому середовищі в умовах обертового руху та досліджуваних гіроскопічних ефектів в коливаннях камертонного резонатора можна продовжити. В реальних умовах роботи гіроскопічного сенсора за рахунок скінченої механічної добротності п’єзокерамічних елементів збудження коливань можна здійснювати одночасно на двох резонансних частотах та , що відповідають кореням резонансного рівняння , та . Оскільки вимірювана нормована кутова швидкість знаходиться в діапазоні (типовий діапазон гіроскопічних сенсорів), а для збудження можна використовувати строго контрольовану частоту , то будуть справедливими такі формули для переміщень торців камертона

(11)

де – циліндрична жорсткість на згин біморфного п'єзостержня, –приведений коефіцієнт Пуасона, – значення згинаючого моменту на верхньому торці стержня, – амплітудна стала. З (11) випливає, що обидві компоненти переміщень стержнів камертона підпорядковані закону модульованих коливань з високою частотою осциляцій і низькою частотою модуляції, яка точно дорівнює значенню кутової швидкості обертання . Максимальне значення амплітуди коливань в напрямку “з площини” розташування камертона в разів менше ніж в його площині.

Основним інформативним параметром гіроскопічного сенсора є вихідна різниця електричних потенціалів на вимірювальному біморфному стержні камертона. Цілком аналогічно з (11) її можна представити у вигляді

(12)

де – п’єзомодуль кераміки на планарній деформації, – квадрат пленарного коефіцієнта електромеханічного зв’язку, – амплітудна стала. Отже, електричні характеристики камертонного гіроскопа також підпорядковуються закону модульованих коливань. В роботі проведено оцінку чутливості гіроскопа, тобто відношення вихідної до вхідної різниць потенціалів . Як видно з рис.5 амплітуда нормованого вихідного електричного сигналу, при певному значенні , лінійним чином залежить від кутової швидкості обертання. Навпаки, при певному значенні нормованої кутової швидкості , залежність чутливості від добротності різних п’єзокерамічних матеріалів є квадратичною (див. рис.6)

Рис.5 | Рис.6

ВИСНОВКИ

1. Розроблено основи теорії динамічного деформування пружних тіл, які перебувають в обертовому русі. Досліджено закономірності поширення плоских гармонічних хвиль в необмеженому пружному середовищі, яке рівномірно обертається. Знайдено, що в такому середовищі можуть одночасно існувати три незалежних типи хвиль, які поширюються з дисперсією. Проведено детальний аналіз законів дисперсії, яка обумовлюється коріолісовими та відцентровими силами інерції обертового руху. Встановлено, що дисперсійні хвилі мають еліптичну або колову поляризацію, а також запроваджено класифікацію, що поділяє такі хвилі на квази-поздовжні та квази-поперечні. Для аномального випадку дисперсії, коли кутова швидкість обертання співпадає з круговою частотою, знайдено виродження певних типів хвиль, тобто відсутність відповідних динамічних напружень в тілі. Встановлено, що при додаванні зустрічних дисперсійних біжучих хвиль одного типу з однаковою амплітудою, утворюється не стояча, а модульована біжуча хвиля з частотою модуляції, що дорівнює кутовій швидкості обертання.

2. Отримано точні розв'язки стаціонарної та нестаціонарної граничних задач для пружного шару, який обертається навколо осі, колінеарної його бічним поверхням. Встановлено, що навіть в умовах однорідного рівномірно розподіленого навантаження бічних поверхонь шару нормальними напруженнями, коливання матеріальних точок відбуваються у двох взаємно-ортогональних напрямках, тобто спостерігається явище поляризації хвиль, таке як і в необмеженому середовищі. Для випадків порівняно малих кутових швидкостей розкриті особливості кінематики хвильового руху. З аналізу розв'язку стаціонарної задачі подано кількісні дані про явище розщеплення спектрів власних частот коливань та побудовано залежності цих частот від кутової швидкості обертання. Аномальне явище відсутності окремого типу хвильового руху на частотах, які співпадають з кутовою швидкістю обертання та виникнення експоненціальних хвиль для певних значень кутової швидкості є новим цікавим наслідком такого дослідження. Побудовано розв'язок стаціонарної задачі для півпростору. Закономірності поширення цих хвиль є вцілому аналогічними до задачі про стаціонарні коливання пружного шару.

3. Методом скінчених інтегральних перетворень та його узагальненням на напівнескінчений інтервал (метод Стокса-Грінберга) побудовано точний розв'язок задач про імпульсне навантаження нормальними напруженнями як для пружного шару, так і для півпростору. Знайдено, що імпульс стиску сталої інтенсивності, під час миттєвого навантаження, при віддаленні фронту хвилі від поверхні півпростору, або шару, змінює свою форму: за рахунок обертання він вже не є прямокутним, а спотворюється таким чином, що його амплітуда за фронтом хвилі весь час зменшується. Завдяки зв'язаності хвильових рухів нормальні напруження супроводжуються дотичними напруженнями, інтенсивність яких зростає за фронтом хвилі. У випадку пружного шару спостерігається обернений результат: при поширенні відбитого імпульсу розтягу його амплітуда за фронтом хвилі зростає, а амплітуда відбитого імпульсу зсуву зменшується. Наведено кількісні дані, що характеризують це явище. Обрахунки підтверджують, що швидкості поширення імпульсів співпадають з відповідними значеннями в нерухомому тілі.

4. Отримано розв'язок для гармонічної біжучої хвилі Релея на вільній поверхні пружного півпростору, який рівномірно обертається навколо осі, що лежить в площині його границі. Встановлено умови існування такого типу хвиль: знайдено, що для будь-якого значення кутової швидкості обертання їх фазова швидкість не може перевищувати відповідне значення фазової швидкості квази-поперечних хвиль в необмеженому тілі, яке рівномірно обертається. Вивчено кінематичні закономірності руху частинок у хвилях Релея для порівняно малих значень кутової швидкості обертання.

5. Подано послідовний виклад теорії хвильового гіроскопа камертонного типу, як складної трьох-елементної коливальної системи, що включає в себе напівкільце з електромеханічно неактивного матеріалу та біморфні п'єзокерамічні стержні. На відміну від робіт попередників, автором використана теорія зв'язаних електропружних згинних коливань біморфних елементів. З використанням теорії коливань крутильно-згинного типу Лява-Тимошенко та умов підводу і прийому електричних сигналів з біморфних стержнів отримано замкнену систему рівнянь відносно механічних та електричних змінних спряженого електропружного поля. Для цієї системи сформульовано фізично обгрунтовані граничні умови та умови спряження, що забезпечують єдиність розв'язку задачі. Вивчено резонансні властивості хвильового гіроскопа камертонного типу: знайдено явище розщеплення частот коливань, проведено кількісний і якісний аналіз резонансного визначника, що дало змогу встановити наближені формули для розрахунку резонансних частот. Побудовано розв’язки для коливань торців стержнів камертона як у випадку вільних коливань, так і у випадку вимушених коливань. Показано, що існує повна аналогія між гіроскопічними ефектами в коливаннях камертонного резонатора і закономірностями поширення гармонічних хвиль в пружному середовищі, яке обертається.. Детально вивчено випадок резонансних коливань. Отримано формули для переміщень торців камертона та для вихідної різниці електричних потенціалів у вигляді модульованих коливань, з частотою модуляції, що дорівнює кутовій швидкості обертання. Встановлено формулу для чутливості гіроскопа камертонного типу, як основного параметру, що характеризує ефективність такого типу перетворювача та проведено відповідні числові оцінки.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Основний зміст дисертації відображено в таких публікаціях:

1. Улітко І.А., Нікітенко В.М. Закономірності поширення біжучих нелінійних хвиль зсуву в напівнескінченому порожнинному циліндрі та в тонкостінній циліндричній оболонці // Вісник Київського університету, Сер.: фіз.-мат. науки. – 1994. – Вип.1. – С. 139-149.

2. Улитко И.А. Дисперсия плоских гармонических волн в равномерно вращающемся упругом пространстве // Доповіді НАН України. – 1995. – №1. – С. 54-57.

3. Улітко І.А. Гармонічні коливання пружного півпростору, який перебуває в обертовому русі // Акустичний вісник. – 1998. – Т.1. – № 2. – С. 73-79.

4. Улітко І.А., Баженов В.М. Гармонічна хвиля Релея на вільній поверхні пружного півпростору, який перебуває в обертовому русі // Вісник Київського університету, Сер.: фіз.-мат. науки. – 1998. – Вип.3. – С. 96-105.

5. Ulitko I.A. Mathematical theory of the fork-type wave gyroscope // Proc. 1995 IEEE International Frequency Control Symposium. –San Francisco (USA). – 1995. – P. 786-793.

6. Улитко И.А. Модуляция гармонических бегущих волн в равномерно вращающейся упругой среде // Труды ІІ Международной конференции: “Современные проблемы механики сплошной среды”. – Т.1. – Ростов-на-Дону : мп “Книга”. – 1996. – С. 137-141.

7. Ulitko I.A. Resonant properties of the tuning fork wave gyroscope // Proc. 11-th All-European Conference On Solid-State Transducers (EUROSENSORS-IX). – Vol. 2.