ВІННИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЮХИМЧУК СЕРГІЙ ВАСИЛЬОВИЧ

УДК 681.5.03.037.8+681.5.01.012

ПОБУДОВА МЕТОДОЛОГІЇ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ НЕСТАЦІОНАРНИХ СИСТЕМ ДЛЯ ЗАДАЧ ОЦІНКИ ЇХ СТІЙКОСТІ ТА ЧУТЛИВОСТІ В ПРОСТОРІ ПРИРОСТІВ ПАРАМЕТРІВ

Спеціальність 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

ВІННИЦЯ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Вінницькому державному технічному університеті Міністерства освіти України.

Науковий консультант доктор технічних наук, професор,

Заслужений діяч науки і техніки України Мокін Борис Іванович,

Вінницький державний технічний університет, ректор.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор,

Заслужений діяч науки і техніки України Іваненко Віктор Іванович,

Національний технічний університет України ”КПІ”,

завідувач кафедри математичного моделювання

економічних систем;

доктор технічних наук, професор, Квєтний Роман Наумович,

Вінницький державний технічний університет,

завідувач кафедри автоматики та

інформаційно - вимірювальної техніки;

доктор технічних наук, доцент, Михальов Олександр Ілліч,

Державна металургійна академія України, професор кафедри

прикладної математики і обчислювальної техніки.

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, відділ математичних систем моделювання проблем екології та енергетики, м. Київ.

Захист відбудеться ”15”квітня1999 р. о 930годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 05.052.01 у Вінницькому державному технічному університеті за адресою: 286021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Вінницького державного технічного університету.

Автореферат розісланий ”12”березня1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Лисогор В.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Питання оцінки стійкості нелінійних нестаціонарних систем у нинішній час цікавить широке коло фахівців, які працюють у різних галузях науки і техніки. Для ефективного розв’язку задач, які виникають при проектуванні багатьох технічних систем, необхідні зручні в застосуванні та доступні інженерам методи аналізу стійкості нелінійних нестаціонарних систем.

Дійсно, проектанти любих автоматичних систем, як правило, не мають точної інформації про дійсні значення параметрів об’єктів управління, контролю чи вимірювання. Якщо орієнтуватися при розрахунках на деякі апріорні дані про значення відповідних параметрів, необхідно бути впевненим, що при можливих відхиленнях від цих даних автоматичні системи не стануть нестійкими, а їх показники якості не будуть суттєво відхилятися від розрахункових. Такі задачі розв’язуються у межах нового наукового напрямку, який сформувався у 80 - х роках, - теорії робастної стійкості.

Незважаючи на велику кількість публікацій, які присвячені теорії робастної стійкості, для нелінійних нестаціонарних систем до цього часу не отримано остаточного розв’язку задач оцінки їх стійкості. При цьому аналіз отриманих результатів показав, що у межах існуючих робастних методів неможливо оцінити вплив первинних параметрів класу систем, що розглядається, на стійкість при описі їх поведінки у просторі змінних станів.

Таким чином, розробка більш ефективних методів оцінки стійкості нелінійних нестаціонарних систем, лишається актуальною науковою проблемою теорії моделювання та автоматичного контролю і управління.

Розробка нових методів оцінки стійкості такого класу систем має особливе значення для розвитку науки та виробництва в Україні, бо дає можливість, при впровадженні отриманих результатів, створити новий клас засобів діагностування працездатності широкого класу систем, - насамперед в електроенергетиці та інформаційно - вимірювальній техніці. Крім того, такі методи можуть знайти практичне застосування при розробці систем контролю за витратами всіх видів енергоресурсів на промислових підприємствах України, розробці нових вимірювальних пристроїв обліку витрат газу, - особливо актуальних для України, промисловість якої потребує значного покращання оперативності та точності обліку витрат енергоносіїв, що є першим кроком до їх заощадження.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконувалась у відповідності з проектом Державного фонду фундаментальних досліджень України ”Розробка робастних методів аналізу нелінійних систем автоматичного керування динамічними об’єктами”, затвердженому наказом ДКНТП України від 22.03.1994, №52 (№ держ. реєстр. 0194U042191); державною науково - технічною програмою 04.00 ”Екологічно чиста енергетика та ресурсозберігаючі технології” (шифр завдання 05.51.03./419 - 92, затвердженого Постановою Комітету по науково - технічному прогресу при Кабінеті Міністрів України від 04.05.1992 р. № 12 та наказом ДКНТП України від 01.03.1993 р. №15, № держ. реєстр. 0193U002771); координаційним планом науково - дослідних робіт Міністерства освіти України за фаховим напрямом ”Інформатика і нові інформаційні технології”, затвердженим наказом Міністерства освіти України від 13.02.1997 р. №37 (№ держ. реєстр. 0197U012665), а також з тематичними планами проведення НДДКР у Вінницькому політехнічному інституті (ВПІ) та Вінницькому державному технічному університеті (ВДТУ) на госпдоговірних засадах з ВО ”Вінницяенерго”(№ держ. реєстр. 01880044245), з Державним концерном України ”Арксі” (м.Боярка, Київська область)(№ держ. реєстр. 0194U008791), ВО ”Хімпром”(м.Вінниця) (№ держ реєстр. 0194U025745), Ладижинською ДРЕС (м.Ладижин, Вінницької області) (№ держ. реєстр. 0195U003915), ВАТ ”Вінницягаз” (№ держ. реєстр. 0194U044166), а також з тематичними планами проведення НДДКР у ВПІ та ВДТУ за рахунок коштів державного бюджету, узгодженими Міністерством освіти України (№ держ. реєстр. 0191000320,0193U029093, 0194U016744).

Мета і задачі дослідження.

Метою дослідження є розробка методології, яка б дозволяла розв’язувати задачі робастної стійкості нелінійних нестаціонарних систем шляхом математичного моделювання та її використання для побудови нових інформаційно - вимірювальних систем та вимірювальних пристроїв. Для досягнення цієї мети необхідно вирішити наступні задачі:

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Наукова новизна одержаних результатів.

В роботі отримані наступні наукові результати:

1.

1.

1.

1.

1.

Практичне значення одержаних результатів.

Одержані наукові результати впроваджені на ТЕЦ підприємства теплових мереж (ПТМ) ПЕО ”Вінницяенерго”, на Державному концерні України ”Арксі” (м. Боярка, Київської області), на ВО ”Хімпром” (м. Вінниця), на Ладижинській ТЕС (м. Ладижин, Вінницької області), ВАТ ”Вінницягаз” та на Вітебському телевізійному заводі ВО ”Вітязь” (м. Вітебськ, Республіка Білорусь). Впровадження підтверджуються відповідними актами.

Використання одержаних у роботі результатів дозволило розробити промисловий обчислювач об’єму газу ”Універсал”, який зареєстрований у Державному реєстрі засобів вимірювальної техніки, допущених до застосування в Україні за № У759 - 97, що підтверджується сертифікатом затвердження типу засобів вимірювальної техніки, виданим Державним комітетом України по стандартизації, метрології та сертифікації (Держстандартом України) за №UA - М1/1 - 167 - 97, виданим 18.11.1997 року та сертифікатом відповідності засобів вимірювальної техніки затвердженому типу, виданим Держстандартом України за №UA - М1/2 - 119 - 97 18.11.1997 року. Вищеназваний обчислювач витрат газу дозволено серійно випускати Вінницькому державному технічному університету.

Одержані наукові результати, які використані при розробці систем контролю та обліку всіх видів енергоресурсів та ТЕЦ ПТМ ПЕО ”Вінницяенерго”, Державному концерні ”Арксі” та ВО ”Хімпром”, дозволили підвищити точність та оперативність контролю за виробітком та споживанням основних енергоресурсів на промислових підприємствах (електричної енергії, перегрітої пари, холодної та гарячої води, стислого повітря, тощо), що дає можливість оперативно контролювати споживання енергоресурсів, здійснювати заходи по зменшенню їх витрат.

Впровадження систем контролю та обліку всіх видів енергоресурсів тільки на ТЕЦ ПТМ ПЕО ”Вінницяенерго” та концерні ”Арксі” дало економічний ефект більше 80 тис. рублів у цінах на 1січня 1991 року.

На Ладижинській ТЕЦ впроваджені результати роботи при створенні комп’ютерних систем підготовки операторів, що дозволило досить просто, порівняно з існуючими методами, реалізувати алгоритми оцінки стійкості та діагностики стану систем управління технологічними процесами на даній ТЕЦ та підвищити точність рішення таких задач.

На Вітебському телевізійному заводі ВО ”Вітязь” впроваджена методика оцінки чутливості вихідного сигналу інформаційно - вимірювальних систем обробляючих центрів типу ”індикатор контакту” до зміни первинних параметрів таких систем, що дозволило підвищити точність вимірювання розмірів деталей, що обробляються.

Апробація результатів.

Викладені в дисертації результати досліджень були оприлюднені на 46 наукових конференціях, симпозіумах, серед них : ”Гагарінські наукові читання з космонавтики та авіації” (м. Москва, 1985р.), Всесоюзна науково - технічна конференція (НТК) ”Структурне та покомпонентне діагностування пристроїв радіоелектронної апаратури” (м.Москва, 1986 р.), IV Всесоюзна нарада ”Надійність, живучість та безпека автоматизованих комплексів” (м. Москва, 1988 р.),Всесоюзна НТК ”Технічне та програмне забезпечення комплексів напівнатурного моделювання” (м. Москва, 1988 р.), ІІІ та IV радянсько - польська НТК ”Комплексна автоматизація у промисловості” (Вроцлав, 1988 р; Київ, 1990 р.), Всесоюзні НТК ”Вимірювальні інформаційні системи” (ВІС-85, 91) (м. Вінниця, 1985 р., м. Санкт - Петербург, 1991р.), ІІ міжнародна НТК ”Актуальні проблеми фундаментальних наук” (м. Москва, 1994 р.), І, ІІ та IV Всеукраїнські конференції з обробки сигналів і зображень та розпізнавання образів (УКРОБРАЗ - 92, 94, 98) (м. Київ, 1992, 1994, 1998 роки), Міжнародній НТК ”Інформаційні технології і системи” (м. Львів, 1993р.), І - IV міжнародних НТК ”Контроль і управління в технічних системах (КУТС - 92, 93, 95, 97) (м. Вінниця, 1992, 1993, 1995, 1997 роки), Всесвітньому конгресі ITS-93 ”Інформаційні комунікації, мережі, системи і технології” (м. Москва, 1993р.), І - IV Українських конференціях по автоматичному управлінню” (Автоматика - 94, 95, 96, 97) (м. Київ, 1994р., м. Львів, 1995р., м. Севастополь, 1996р., м. Черкаси, 1997р.), Міжнародний НТК ”Математичне моделювання в електротехніці та електроенергетиці” (м. Львів, 1995р.), Всеросійській НТК ”Автоматизація досліджень, проектування та випробування складних технічних систем і технологічних процесів” (м. Калуга, 1995р.), V Українській НТК ”Пристрої перетворення інформації для контролю і управління в енергетиці” (м. Харьків, 1996р.), Міжнародній конференції по математичному моделюванню (м. Херсон, 1998р.).

Патент Російської Федерації №2069045 ”Промисловий лічильник витрат газу”, серед авторів якого є пошукувач, демонструвався на Міжнародній виставці винаходів та нових ідей ”Genius-96” (м. Будапешт, Угорщина), на ІІІ Міжнародній виставці винаходів, ідей та ноу - хау ”Inventica-96” (м. Яси, Румунія). На виставці у м. Яси патент нагороджений дипломом з особливою відзнакою міжнародного журі та золотою медаллю.

Публікації.

Результати дисертації опубліковані у монографії, навчальному посібнику, 14 статтях у наукових журналах, 3 збірниках наукових праць, 40 матеріалах і тезах конференцій, 2 авторських свідоцтвах СРСР, 6 патентах України і трьох патентах Російської Федерації.

Обсяг і структура дисертації.

Дисертаційна робота складається із вступу і семи розділів, списку використаних джерел та трьох додатків, загальний обсяг дисертації 406 сторінок, з яких основний зміст викладений на 272 сторінках друкованого тексту, містить 58 рисунків, 3 таблиці. Список використаних джерел складається з 277 найменувань. Додатки містять виведення проміжних результатів, протоколи випробувань систем і приладів, при розробці яких використані наукові результати, отримані в дисертаційній роботі та акти впровадження результатів роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність проблеми досліджень, показано зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана характеристика наукової новизни та практичного значення одержаних результатів, а також їх впровадження.

У першому розділі проведений огляд методів аналізу поведінки нелінійних систем із змінними параметрами. Проведений огляд дозволив зробити висновок, що при умовах зміни первинних параметрів систем з плином часу, під дією неконтрольованих параметричних збурень, нині неможливо здійснити оцінку стійкості такого класу систем шляхом використання функцій Ляпунова. Крім того, існуючі робастні методи оцінки стійкості розроблені, в основному, для лінійних неперервних або дискретних систем; лише деякі з них можливо використовувати для оцінки стійкості нелінійних дискретних систем.

Відомі пакети прикладних програм не дозволяють в прийнятні часові проміжки здійснювати розрахунки, які б могли визначати стійкість класу систем, що розглядаються, для всієї множини можливих значень первинних параметрів систем, які змінюються з часом.

Також показано, що при повільній зміні параметрів нелінійних систем, для оцінки стійкості такого класу систем у частотній області, можливо використовувати Фур’є - інтегральний метод ідентифікації, який був розроблений у 80-х роках професором Б.І.Мокіним.

Проведений огляд методів аналізу поведінки нелінійних систем із змінними параметрами дозволив визначити мету і задачі дослідження.

У другому розділі здійснено побудову нового простору опису поведінки нелінійних нестаціонарних систем - простору приростів параметрів. В реальних умовах експлуатації різноманітних систем їх змінні стану залежать від чисельних значень коефіцієнтів підсилення, постійних часу, коефіцієнтів демпфірування, ширини зони нечутливості і тому подібних первинних параметрів ланок, які складають структурні схеми систем, що аналізуються. При цьому чисельні значення таких первинних параметрів, а, відповідно, і змінних стану, змінюються з часом як в силу природних причин (наприклад, старіння радіоелементів), так і під впливом неконтрольованих параметричних збурень. У цьому випадку, розв’язуючи задачу стійкості, збурення руху виникають за рахунок зміни первинних параметрів ланок структурної схеми динамічної системи при незмінних початкових значеннях змінних стану.

Нині задача оцінки асимптотичної стійкості динамічних систем частіше всього розв’язується в просторі змінних стану. Якщо ж первинні параметри нелінійних систем змінюються з часом, то аналітичний розв’язок задач аналізу поведінки таких систем відомими методами в просторі змінних стану отримати практично неможливо, а дослідження процесів в них проводиться, в основному, за допомогою безпосереднього моделювання на ЕОМ. При цьому моделювання частіше всього проводять при заданому наборі первинних параметрів, яке повторюється для кожного нового набору. Зрозуміло, що це призводить до збільшення часу розв’язку задач аналізу поведінки і не завжди дозволяє простежити вплив параметрів, що змінюються, на властивість стійкості в силу неможливості промоделювати поведінку систем при всіх елементах числових множин, які задають ці параметри.

Нині у спеціалістів по теорії систем склався однозначний погляд про те, що кінцевим результатом застосування будь-яких процедур ідентифікації для реальних об’єктів управління, контролю або процедур отримання необхідної вимірювальної інформації про будь-які властивості або характеристики об’єктів чи процесів є отримання лише деякої оцінки параметрів відповідних об’єктів чи процесів, але не їх дійсного значення. Таким чином, при побудові систем управління, контролю, або інформаційно - вимірювальних систем (ІВС) доводиться мати справу з існуванням деякої невизначеності, яку неможливо усунути. Причому така невизначеність часто виникає за рахунок зміни чисельних значень первинних параметрів любих систем, що обумовлена впливом неконтрольованих параметричних збурень.

Виходячи з вищевикладеного, виникає необхідність розробки нового простору, опис поведінки нелінійних нестаціонарних систем у якому дозволив би оцінити вплив зміни первинних параметрів широкого класу систем на властивість їх стійкості.

Припустимо, що скінченномірні вектори керуючих (вхідних) впливів X(t), первинних параметрів систем, що аналізуються, P(t) і координат ,що спостерігаються, Z(t) представляються кусково - неперервними функціями, заданими на інтервалі часу [t0, T], тобто

X(t) kc ([t0,T];Rn) , (1)

P(t) kc ([t0,T];Rp) , (2)

Z(t) kc ([t0,T];Rk) . (3)

Природно вважати, що при виконанні умов (1) (3) скінченномірний вектор змінних стану Y(X(t), P(t), t) також буде представлятися кусково - неперервною функцією, яка задана на інтервалі часу [t0,T], тобто

Y(X(t),P(t),t) kc ([t0,T];Rm) . (4)

При виконанні умов (1) (4) функція Y(X(t), P(t),t) здійснює відображення Уk (оператор Немицького) кусково - неперервних функцій, визначених на інтервалі часу t [t0,T] наступного вигляду:

Уk:kc([t0,T];Rn)kc([t0,T];Rp) kc([t0,T];Rm) , тобто (5)

Уk(X(),P()) kc([t0,T];Rm) для X() kc і P() kc ,

що задається тотожністю

Уk(X(),P())(t) Y(X(t),P(t),t) . (6)

Знайдемо похідну відображення Уk яка визначає новий простір, що вводиться для розв’язання задач оцінки стійкості нелінійних нестаціонарних систем.

Відзначимо, що якщо kc([t0,T];Rn), kc([t0,T];Rp) і kc([t0,T];Rm) належать, відповідно, лінійним нормованим просторам X, P і Y, а U - окіл точки в P, тоді формально можна записати:

, (7)

де збіжність (7) приймається по нормі в просторі Y.

Якщо межа (7) існує, то відображення h D називають першою варіацією по Лагранжу відображення Уk в точці .

Слід підкреслити, що перша варіація може бути і не лінійна по h. Якщо ж лінійність має місце, тобто якщо

, (8)

то відображення Уk має в точці першу варіацію і при цьому існує лінійний неперервний оператор L(P,Y) такий, що

. (9)

Підкреслимо також загальновідомий факт, що диференціювання є лінійний оператор. Сукупність L(P, Y) всіх неперервних лінійних операторів, які визначені на всьому просторі P і здійснюють відображення P в Y (де P і Y - нормовані простори), утворять, по відношенню до операцій додавання та множення на число, лінійний простір. Якщо ж, крім того Y - банаховий простір, то й L(P, Y) - банаховий.

Таким чином, якщо скінченномірний вектор змінних стану системи Y(X(t), P(t), t) здійснює деяке відображення Уk (див. (6)) у банаховому просторі, то сукупність операторів L(P, Y) буде також банаховим простором. Проте на жаль, простори кусково - неперервних функцій (1)-(4) не є повними. Тому, як правило, розглядають їх вкладення в банаховий простір L ([t0,T];Rm) - простір вимірювальних суттєво обмежених вектор - функцій.

Після виконання даної операції введемо у розгляд новий простір, що буде банаховим простором в силу наведеного вище, а опис поведінки систем будемо проводити у вигляді

, (10)

де P0 - скінченномірний вектор початкових значень первинних параметрів системи вимірністю (1p).

Якщо ж вектор змінних стану системи задає неперервну функцію Y(X(t), P(t), t), визначену на множині:

Y : Rn Rp R Rm , (11)

то при цьому функція Y(X(t), P(t), t) здійснює відображення У неперервних функцій (що є оператором Немицького), визначених на інтервалі часу t [t0, T].

У:С([t0,T]; Rn)С([t0,T];Rp)С([t0,T];Rm), тобто (12)

У(X(), P())C([t0,T];Rm) (13)

для X() C і P() C .

Дане відображення задається тотожністю

У(X(),P())(t)Y(X(t),P(t), t) . (14)

Якщо ж функція Y(X(t), P(t), t) неперервна, а також неперервні її частинні похідні Yx(X(t),P(t), t) і Yp(X(t),P(t), t), то оператор Немицького, заданий співвідношенням (12), неперервно диференційований на множині (14) і існує похідна відображення У.

При виконанні (11) - (14), (10) можна представити у вигляді:

(15)

Відзначимо, що опис нелінійних нестаціонарних систем у вигляді (10) і (15) дозволяє проводити аналіз їх поведінки не у просторі змінних стану систем, як у класичному випадку опису систем, а в іншому просторі, який будемо називати простором приростів параметрів. Така назва обумовлена тим фактором, що поведінка систем при описі їх у вигляді (10) і (15) розглядається відносно приростів змінних стану, які обумовлюються приростами первинних параметрів систем.

Слід підкреслити, що опис систем у вигляді (10) і (15) проводиться за допомогою апарату теорії чутливості. Використання такого апарату дозволяє перейти від нелінійних нестаціонарних диференціальних рівнянь, що описують поведінку систем у просторі змінних стану, до лінійних нестаціонарних диференціальних рівнянь відносно зміни приростів змінних стану, які обумовлені зміною первинних параметрів системи, що полегшує моделювання поведінки класу систем, що розглядаються.

Опис у вигляді (15) для випадку систем другого порядку дозволяє побудувати траєкторії, що є аналогами фазових траєкторій, і оцінити вплив зміни первинних параметрів нелінійних систем на зміну змінних стану, обумовлених зміною цих первинних параметрів. Тобто, якщо для неперервних і диференційованих по первинних параметрах змінних станів для систем другого порядку, фазові траєкторії являють собою залежності , то для систем другого порядку у випадку їх опису у вигляді (15) аналоги фазових траєкторій являють собою залежності:

(16)

Аналоги, що одержані, дозволяють, використовуючи добре розроблені методи аналізу нелінійних систем у просторі змінних станів, досліджувати особливі точки на площині, аналогічній фазовій площині.

Підкреслимо, що якщо Y(t) визначена на множині Rm (див. (11)), є неперервною та має неперервні частинні похідні першого порядку, то отримання опису систем у просторі приросту параметрів (15) значно спрощується порівняно з її описом у вигляді (10).

Тому, при описі поведінки систем у просторі приростів параметрів бажано передбачити деякі операції, що без суттєвих втрат у точності розв'язання, дозволяли б використовувати опис виду (15), а не (10).

Отримати конструктивні результати при описі поведінки систем у новому просторі можливо шляхом чисельного інтегрування рівнянь чутливості динамічних систем, що аналізуються. У розділі розроблені алгоритми побудови нового простору, які відрізняються способами знаходження відповідних значень елементів матриць чутливості.

У третьому розділі розроблена методологія аналізу поведінки нелінійних нестаціонарних систем (МАП ННС) у просторі приростів параметрів.

Проблема пошуку та використання єдиних підходів при аналізі поведінки таких систем для різних за своєю природою технічних та технологічних процесів стає особливо актуальною нині, в зв’язку із швидким розвитком засобів обчислювальної техніки і, як наслідок, - методів моделювання. Добре відомо, що першим етапом аналізу поведінки будь - яких систем є розв’язання задач оцінки їх стійкості. Така ситуація породжує необхідність побудови методології математичного моделювання нелінійних нестаціонарних систем в задачах оцінки їх стійкості.

Слід відзначити, що до методології відносяться не тільки вчення про відповідний метод але й самі методи наукового пізнання і практичних дій. Що стосується систем спеціальних методів кожного із розділів природничих наук та їх теоретичного обгрунтування у рамках цих розділів, то їх можливо характеризувати як спеціальні, конкретно - наукові або часткові методології.

Таким чином, часткова методологія - це вчення про деякий метод наукового пізнання і його практичне використання.

Якщо врахувати, що у роботі запропоновано здійснювати опис поведінки класу систем, що розглядається, у принципово новому просторі - просторі приростів параметрів, які дозволяє створити новий метод оцінки стійкості нелінійних нестаціонарних систем, то є можливість розробити МАП ННС.

Для успішного використання такого методу необхідно : побудувати придатну для аналізу запропонованим методом структурну схему системи, поведінка якої аналізується; здійснити математичний опис як окремих елементів структурної схеми, так і системи в цілому у вигляді, придатному для математичного моделювання; ідентифікувати (визначити) номінальні чисельні значення первинних параметрів систем; ідентифікувати закони (області) зміни первинних параметрів систем, що аналізуються.

Крім того, для його практичного застосування, як уже відзначалося, необхідно передбачити деякі операції, які б дозволяли використовувати опис систем у вигляді (15), а не (10) в зв’язку із значним спрощенням математичного апарату, який використовується, у цьому випадку, при розв’язку задач стійкості класу систем, що розглядається.

Тому ще однією складовою в МАП ННС повинні входити саме такі операції, які дозволяють використовувати розроблений метод оцінки стійкості в інженерній практиці. Причому такі операції необхідно передбачити для різних характерів зміни первинних параметрів P(t), які входять у (15) та обумовлені впливом неконтрольованих параметричних збурень.

Така проміжна операція ніяким чином не знімає нагальної потреби побудови як узагальненого, так і більш докладного алгоритму розв’язку задач оцінки стійкості нелінійних нестаціонарних систем для створення інженерного інструменту використання такої методології математичного моделювання. Підкреслимо, що на основі отриманих результатів, як правило, повинен бути розширений тезаурус знань про систему та про таку її властивість, як стійкість.

Таким чином, МАП ННС, як витікає із вищенаведеного, повинна складатися із взаємопов’язаного ланцюга підпроблем, які розглядаються як етапи розв’язку задачі оцінки стійкості. При цьому передбачається здійснення їх в деякій суворій послідовності, яка дозволяє досягти мети, що поставлена, за допомогою відповідного алгоритму розв’язку. Такий алгоритм повинен складатися із зазначеної послідовності деяких операцій та змісту дій, що їх реалізують.

Для того, щоб можливо було використовувати опис систем у вигляді (15), здійснено узагальнення методу описуючих функцій. Отримані вирази для описуючих функцій при різних характерах зміни первинних параметрів типових нелінійних ланок, які входять у структурні схеми відповідних систем. Такі вирази отримані при лінійних характерах зміни первинних параметрів типових ланок з однозначними нелінійними характеристиками, а також при гармонічних характерах зміни первинних параметрів типових ланок з однозначними та неоднозначними нелінійними статичними характеристиками.

В таблиці 1 наведені вирази, які визначають описуючі функції при гармонічних характерах зміни параметрів статичних характеристик деяких неоднозначних нелінійних ланок.

Таблиця 1. Описуючі функції типових неоднозначних нелінійних ланок при гармонічних характерах зміни їх параметрів.

Вид статичної характеристики нелінійної ланки і характери зміни параметрів | Вирази, які визначають описуючі функції.

1. | 2.

Продовження табл.1.

1 | 2

Продовження табл.1.

1 | 2

Отримані вирази дозволяють зробити висновок, що, на відміну від класичного випадку, описуючі функції залежать не тільки від амплітуди вхідного сигналу А, але й від параметрів, які визначають закони зміни характеристик нелінійних ланок та частоти вхідного сигналу.

Побудова МАП ННС завершується розробкою евристичного алгоритму розв’язку задачі аналізу поведінки нелінійних нестаціонарних систем у просторі приростів параметрів, який на відміну від відомих, дозволяє визначати області робастної стійкості класу систем, що розглядається.

У четвертому розділі з метою підтвердження можливості використання запропонованої МАП ННС розв’язано ряд задач оцінки стійкості та чутливості нелінійних інформаційно - вимірювальних систем (ІВС) із змінними параметрами.

Так, для стежучих електроприводів релейної дії розв’язана задача вибору параметрів релейних елементів, що забезпечують мінімальну чутливість вихідного сигналу до їх змін і визначення областей зміни параметрів, які забезпечують стійкість такого класу електроприводів у введеному просторі приростів параметрів.

Скориставшись методом зрівнюваючих операторів, отримані нестаціонарні рівняння відносно функцій чутливості вихідного сигналу електроприводу до зміни вихідного сигналу B(t) релейної ланки (Ub(t)) та до зміни зони нечутливості C(t) релейної ланки (Uс(t)) у припущенні, що зміни параметрів B(t) та C(t) мають лінійний характер: B(t)=b0bt, C(t)=c0ct (bb0, cc0):

(17)

(18)

де ТД - постійна часу електродвигуна; К - коефіцієнт передачі виконавчого двигуна і редуктора; а(А,t,b,c,) - узагальнена описуюча функція релейної ланки без гістерезису при лінійних характерах зміни її параметрів.

Розв’язок рівнянь (17) та (18), отриманий за допомогою пакету MathCad - PLUS 5.0, наведено на рисунках 1 та 2.

Отримані результати дозволяють зробити висновок про слабкий вплив частоти вхідного сигналу на значення відповідних функцій чутливості Ub(t) та Uс(t).

Рис. 1. Графіки зміни функції чутливості вихідного сигналу електроприводу до зміни вихідного сигналу релейної ланки.

Рис. 2. Графіки зміни функції чутливості вихідного сигналу електроприводу до зміни зони нечутливості релейної ланки.

Як слідує з рис.1 та рис.2, існують такі параметри, при яких Ub=0 та Uc=0, тобто в цьому випадку забезпечується мінімальна чутливість вихідного сигналу електроприводу, що розглядається, до їх зміни.

Аналіз рівнянь (17) та (18) дозволив отримати аналітичну залежність, яка задає необхідні умови стійкості системи та визначити області стійкості у новому просторі, представлені на рисунку 3.

Результати, наведені на рис.3, отримані при слідуючих наборах параметрів: А=5В, =5с-1, с0=3mA, c=0,05mA, b0=2B.

Рис.3. Область стійкості електропривода в області параметрів релейного елементу.

Використовуючи МАП ННС, для ІВС, які побудовані на основі електромеханічних компенсаційних систем, що працюють у режимі автоколивань, узагальнена структурна схема яких наведена на рисунку 4, отримано опис поведінки системи такого типу у просторі приростів параметрів.

Рис. 4. Узагальнена структурна схема ІВС, що будуються на основі електромеханічних компенсаційних систем, які працюють у режимі автоколивань.

На рисунку 4. ЧЕ - чутливий елемент, РС - рухома система, ДП - датчик положення, ПППр - підсилювально -перетворювальний пристрій; ЕК - електронний ключовий пристрій; СДЕТ(Н) - стабілізоване джерело електричного струму (напруги); КП - компенсуючий перетворювач; РВ - рухомий вузол; НЛ - нелінійна ланка; Fвх, Fкп вхідний та компенсуючий впливи, відповідно; x - лінійне або кутове переміщення; u - вихідний сигнал НЛ.

Поведінка системи у новому просторі описується рівняннями:

(19)

(20)

де - функції чутливості вихідного сигналу до зміни параметрів релейної ланки з гістерезисом b і с, відповідно;

x - вихідний сигнал; А1 - момент інерції рухомої системи; В - коефіцієнт демпфірування; Д - жорсткість підвісу рухомого вузла; Т2 - постійна часу компенсуючого перетворювача; k - добуток коефіцієнтів перетворення датчика положення, підсилювально - перетворювального пристрою, компенсуючого перетворювача; а(А,t,b,c,,) та q(А,t,b,c,,) - складові узагальненої описуючої функції релейного елементу з гістерезисом при гармонічних характерах зміни його параметрів, вирази для яких наведені у таблиці 1.

Для системи, поведінка якої описується рівняннями (19) та (20) визначені достатні умови абсолютної стійкості шляхом вивчення асимптотичної поведінки рішень системи рівнянь відносно канонічних складових розв’язку системи рівнянь вільних коливань. Знаходження таких умов дозволило отримати області стійкості системи, що розглядається. Результати, що отримані, дали можливість побудувати області зміни первинних параметрів, у яких зберігається властивість стійкості, які зображені на рисунках 5 та 6.

Рис. 5. Область стійкості ІВС, яка розглядається, за умови, що с>0. | Рис.6. Область стійкості ІВС, яка розглядається, за умови, що с<0.

Шляхом математичного моделювання за допомогою пакету прикладних програм МОДО-С, розробленому у Московському енергетичному інституті, підтверджена адекватність отриманих результатів.

Для отримання вимірювальної інформації в обробляючих центрах гнучких автоматизованих виробництв найбільш часто входять ІВС, які являють собою головку дотику типу ”індикатор контакту”, структурна схема яких наведена на рисунку 7.

Рис. 7. Структурна схема ІВС обробляючих центрів типу ”індикатор контакту”.

Найбільш чутливим елементом таких ІВС, який безпосередньо зв’язаний з деталлю, що обробляється, є релейний елемент. Зміна його первинних параметрів, під дією неконтрольованих збурень, призводить до зниження точності обробки деталей на обробляючих центрах. Тому розв’язана задача оцінки впливу зміни параметрів релейного елементу на вихідний сигнал ІВС, що розглядається, при умові, що характер змін описується лінійними співвідношеннями.

Використовуючи МАП ННС, отримані рівняння динаміки ІВС у просторі приростів параметрів, які мають вигляд:

де ku, Т - параметри імпульсного елементу; kc, kД - коефіцієнти передачи, відповідно, верстатної системи та датчика координат; Тс - постійна часу верстатної системи; a(A,t,b,c,) - узагальнена описуюча функція релейної ланки; , - відповідні функції чутливості.

Для чисельних даних, які характеризують обробляючий центр ФП27С, отриманий розв’язок рівнянь (21), (22) за допомогою пакету MathCad PLUS 5.0, наведений на рисунках 8 та 9.

Як слідує з рис. 8, 9 вихідний сигнал ІВС обробляючих центрів типу ”індикатор контакту” більш чутливий до зміни параметру с, що характеризує зміну зони нечутливості релейного елементу, ніж до зміни параметру b. Тому елементи, що забезпечують задану зону нечутливості, повинні бути високопрецізійними. Крім того, існують такі параметри релейних елементів, при яких Ub=0 та Uc=0, тобто прирости відповідних параметрів у деяких областях не впливають ( або мало впливають ) на вихідний сигнал системи, що розглядається. Такі особливості поведінки функцій чутливості дадуть можливість проектувати ІВС, інваріантні до зміни параметрів релейних ланок, що входять в їх структурні схеми.

В останньому підрозділі цього розділу розроблено узагальнений алгоритм моделювання поведінки нелінійних нестаціонарних систем у просторі приросту параметрів, що базується на використанні векторних ітерацій пакету MathCad, який дозволяє будувати достатньо прості та прозорі комп’ютерні схеми розв’язку диференціальних рівнянь у частинних похідних, до яких зводиться опис динаміки таких систем у просторі приростів параметрів.

У п’ятому розділі, застосовуючи МАП ННС, розв’язана задача робастної стійкості та оптимізації параметрів САР силових трансформаторів з пристроями регулювання під навантаженням (РПН), які є головним і найбільш ефективним засобом забезпечення якості напруги в електричній мережі.

Побудована структурна схема САР силових трансформаторів з РПН, ланками якої є суттєво нелінійні, логічні елементи та елементи цифрової техніки. Отримана структурна схема дозволяє здійснити комп’ютерний аналіз робастної стійкості таких САР за допомогою пакету програм МОДО-С. Моделювання САР, що розглядається, дозволило отримати перехідні функції для робочого діапазону часу затримок з=(560) с. Такі функції мають аперіодичний характер та дозволяють зробити висновок по робастну стійкість таких САР при зміні її відповідного параметру в усьому робочому діапазоні. Аперіодичний характер перехідних процесів обумовлюється фільтруючими властивостями електроприводу пристрою РПН, за час переключення якого встигають згаснути всі процеси в інших елементах схеми.

Головними параметрами регуляторів рівня напруги, які можливо настроювати, є зона нечутливості та час затримки з . Якщо використати можливості ППП МОДО-С, то крім задачі оцінки робастної стійкості САР, можливо розв’язати і більш складну задачу - задачу оптимізації таких її параметрів.

В якості критерію оптимізації використовується слідуючий вираз:

J = C1 J1 + C2 J2 min . (23)

В (23) С1 - вартість збитків підприємств електричних мереж, які обумовлені відмовою трансформаторів; С2 - вартість збитків споживача, які обумовлені поганою якістю електричної енергії (по напрузі) на його шинах; J1 - функціонал, який визначає ймовірність відмови трансформатору з РПН при фіксованій зоні нечутливості; J2 - функціонал, який визначає зниження якості електричної енергії (по напрузі) при такій самій зоні нечутливості.

Функціонал J1 та функціонал J2 запропоновано підрахувати за допомогою слідуючих виразів:

, (24)

(25)

У виразах (24) та (25): n, к - відповідно, початкове та кінцеве значення часової затримки регулятора; f(з) - умовна густина ймовірності відмови трансформатора, яка є функцією часової затримки з при фіксованому значенні зони нечутливості регулятора ; t1-t0 - інтервал спостереження; Kj - ”вага” споживача електричної енергії; Ujp(t) - біжуче значення напруги на шинах j-того споживача, яке залежить від параметрів, які настроюються у регуляторів силових трансформаторів з пристроями РПН; Ujном - номінальне значення напруги на шинах у j-го споживача; n - кількість споживачів електроенергії, які підключені до вузла мережі, що розглядається.

Раніше було визначено, що регулятори, які розглядаються, стійкі в діапазоні зміни з=(560)с. Зрозуміло, що пошук оптимальних за критерієм (23) значень часової затримки регулятора будемо проводити саме в цьому діапазоні.

З досвіду статистичної оцінки умовної густини ймовірностей f(з) відмови трансформаторів з РПН, яка входить у складову J1 (24) критерію (23) встановлено, що її можливо апроксимувати гамма - розподілом:

(26)

де Г() - гамма- функція; = 0,25 для пристроїв з резистивною схемою комутації та = 0,5 для індуктивної схеми комутації.

Для отримання чисельних значень функціоналу (25), за допомогою пакету МОДО-С, сформована залежність напруги на його шинах U(t), яка характерна для однієї із конкретних підстанцій з врахуванням виходу її за верхню межу зони нечутливості та можливість переключення САР при великих значеннях з. Скориставшись чисельними результатами підрахунку функціоналів (24) та (25), можливо отримати чисельні значення функціоналу (23), які наведені на рисунку 10.

Графіки, наведені на рисунку 10, показують що існує явний мінімум критерію J для різних значень зони нечутливості регуляторів з РПН, що дозволяє визначити оптимальні за критерієм (23) затримки часу з силових трансформаторів з пристроями РПН. Якщо ж буде відбуватися зміна C1 в сторону відносного збільшення від C2, то мінімум критерію (23) буде зсуватися в область більших значень часу затримки регуляторів з.

Зрозуміло, якщо форма напруги, що регулюється U(t), буде іншою, то оптимальні значення з (при фіксованих ), будуть відрізнятися від тих, які наведені на рис.10. Але їх підрахунок можливо здійснити за допомогою запропонованої методики.

У шостому розділі дисертаційної роботи розроблені алгоритми та пристрої оцінки стійкості, діагностики та відновлення сигналів у частотній області на основі модифікованих математичних моделей Фур’є - інтегрального методу ідентифікації (ФІМІ).

У ході нормальної експлуатації систем, які можливо лінеаризувати, за допомогою ФІМІ було отримано, що

(27)

де P(l1) та Q(l1) —відповідно, значення дійсної та уявної частотних характеристик систем, що досліджуються, на частотах =l1 (l=1, 2, 3...n) , а P(0) — значення дійсної частотної характеристики систем на частоті =0 (відмітимо, що Q(0)=0 ); al - коефіцієнти