НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
АРЛІНСЬКИЙ Юрій Мойсійович
УДК 513.88
МАКСИМАЛЬНІ АКРЕТИВНІ РОЗШИРЕННЯ
СЕКТОРІАЛЬНИХ ОПЕРАТОРІВ
01.01.01 – математичний аналіз
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ - 2000
Дисертацiєю є рукопис
Работа виконана в Схiдноукраїнському державному унiверситетi Мiнiстерства освiти i науки України (м. Луганськ)
Офiцiйни опоненти:
доктор фiзико-математичних наук, професор
АДАМЯН Вадим Мовсесович,
Одеський державний унiверситет iм. I.I.Мечнікова, завiдувач кафедри;
доктор фiзико-математичних наук, провiдний науковий спiвробiтник
КОЧУБЕЙ Анатолiй Наумович
Iнститут математики НАН України;
доктор фiзико-математичних наук, професор
СТОРОЖ Олег Георгiйович
Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка.
Провiдна установа:
Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б.I.Вєркiна НАН України (м. Харкiв)
Захист вiдбудеться " 26 " грудня 2000 р. о 15 годинi на засiданнi
спецiалiзованої вченої ради Д 26.206.01 в Iнститутi математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенкiвська, 3.
З дисертацiєю можна ознайомитися в бiбліотецi Iнституту математики НАН України.
Автореферат розiсланий 10 листопада 2000 р.
Вчений секретар
Спецiалiзованої вченої ради Романюк А.С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Важливу роль у сучасній теорії лінійних oператорів відіграє теорія самоспряжених розширень симетричних операторів у гільбертовому просторі, основи якої закладені в класичних роботах Дж. фон Неймана, М.Стоуна і К.Фpидpіхса. Подальший розвиток ця теорія отримала в роботах М.Г.Крейна. Визначене ним поняття -функції симетричного оператора, встановлена ним формула резольвент, а також його фундаментальні результати з напівобмежених самоспряжених розширень, доповнені М.І.Вішиком та М.Ш. ірманом, знайшли суттєве застосування до спектральної теорії, до крайових задач, до теорії функцій та квантової механіки.
За останні 30 років у теоріі власних розширень ермітових, а також неермітових операторів у роботах Ф.С. Рофе-Бекетова, М.Л.Горбачука, а далі А.Н.Кочубея, В..М.Брука, В.А.Михайлеця,
Л. І. Вайнермана, В.І. Горбачук, В.Е.Лянце, О.Г.Сторожа, В.О.Деркача, М.М.Маламуда та інших отримав істотний розвиток та застосування метод абстрактних граничних умов. Ключовим елементом цього методу є поняття простору граничних значень або граничної трійки, грунтоване на абстрактних формулах Гріна для ермітового оператора та його спряженого. У рамках методу абстрактних граничних умов, зокрема отримано опис самоспряжених та максимальних дисипативних граничних задач для диференціальних операторів з операторними коефіцієнтами.
У роботах В.О.Деркача та М.М.Маламуда -функція інтерпретована як функція Вейля, відповідна граничній трійці (простору граничних значень) ермітового лінійного відношення. З використанням формули резольвент М. Г. Крейна ця інтерпретація дала можливість розв'язати ряд спектральних задач, а також по-новому висвітлити деякі аспекти теорії розширень ермітових операторів та її застосування.
За допомогою методу абстрактних граничних умов, а також функції Вейля в роботах А. Н. Кочубея, В. А. Михайлеця, О. Г.Сторожа, В. О. Деркача, М. М. Маламуда, Е. Р. Цекановського та
автора був отриманий опис власних максимальних акретивних та максимальних секторіальних розширень невід`ємного симетричного оператора.
Загальна задача про опис усіх максимальних акретивних розширень щільно заданого акретивного оператора в термінах абстрактних граничних умов поставлена Р. Філліпсом у зв'язку з дослідженням задачі Коші для систем диференціальних рівнянь, ним же запропоновано метод розв'язання цієї задачі, зв'язаний з геометрією просторів з індефінітною метрикою. Свої абстрактні результати Р. Філліпс застосовував в основному до власних розширень мінімального диференціального оператора. Пізніше метод Р. Філліпса був використаний В. Д. Івансом та
Дж. Ноулсом для опису всіх (у тому числі і невласних) максимальних акретивних розширень мінімального додатно визначеного оператора, породженого звичайним диференціальним виразом на відрізку в гільбертовому просторі з вагою, а після цього О.Я.Мільо та О.Г.Сторожем для абстрактного додатно визначеного симетричного оператора зі скінченним дефектним числом.
Важливим підкласом акретивних операторів є секторіальні оператори з вершиною в нулі. Такі оператори мають замикальну півторалінійну форму, а максимальні секторіальні оператори породжують неперервну однопараметричну стискаючу півгрупу, яка має голоморфне стискаюче продовження в сектор комплексної площини.
Спеціальним випадком секторіальних операторів є невід`ємні ермітові оператори, теорія самоспряжених розширень яких створена М.Г.Крейном. Згідно з цією теорію, серед усіх невід`ємних самоспряжених розширень є максимальне (жорстке) та мінімальне (м'яке), причому жорстке розширення збігається з розширенням по Фрідріхсу, а м'яке для додатно визначеного оператора є розширенням Неймана. У загальному випадку (необов`язково ермітовому ) секторіального оператора також існує його розширення по Фрідріхсу з властивостями близькими до ермітового випадку.
В зв'язку з цим виявляється актуальним розвиток загальної теорії максимальних акретивних та, зокрема, максимальних секторіальних розширень секторіальних операторів та секторіальних лінійних відношень, яка містила б у собі відомі результати для випадку, коли початковий оператор є невід`ємним симетричним, а також її застосування до граничних задач для диференціальних операторів.
Зв`язок з науковими програмами, планами, темами Робота виконана у відповідності до планів наукової роботи кафедри прикладної математики Східноукраїнського державного університету по темах БН-10-91 ``Дослідження деяких класів лінійних операторів та їхніх застосувань у теорії рівнянь та випадкових процесів", ГН-129-95 ``Деякі проблеми теорії лінійних операторів та теорії апроксимації функцій", а також у рамках INTAS (проект 93-0249) ``Hilbert and Krein space operators and functional models".
Напрям досліджень, обраний у дисертації, передбачено планами наукової роботи Східноукраїнського державного університету.
Мета і задачі дослідження:
- дати опис у термінах абстрактних граничних умов усіх максимальних акретивних та, зокрема, максимальних секторіальних розширень та асоційованих з ними замкнених форм для довільного секторіального оператора або секторіального лінійного відношення;
- визначити аналог поняття -функції (функції Вейля) та інших оператор-функцій, пов'язаних із секторіальними операторами, встановити їхні аналітичні властивості, побудувати функціональну модель секторіального оператора, а також дати опис резольвент максимальних акретивних розширень секторіального лінійного відношення у формі близький до формули резольвент М. Г. Крейна самоспряжених розширень ермітового оператора;
- застосувати отримані результати до опису всіх максимальних акретивних та максимальних секторіальних розширень мінімальних диференціальних операторів, породжених диференціальними виразами другого порядку.
Наукова новизна отриманих результатів
1. Для довільного секторіального лінійного відношення визначене поняття -секторіального розширення Неймана-Крейна, що збігається з поняттям м'якого розширення M.Г.Крейна у випадку невід`ємного симетричного оператора, вивчені властивості такого розширення та його замкненої асоційованої форми, встановлений критерій єдиності -секторіального розширення, отримані уявлення розширень Фрідріхса та Неймана-Крейна у вигляді сильних резольвентних границь.
2. Дано параметричний опис усіх замкнених форм, асоційованих з -секторіальними розширеннями, з якого у випадку додатно означеного симетричного оператора одержується опис М.Г. Крейна - М. Ш. Бірмана всіх замкнених форм, асоційованих з невід`ємними самоспряженими розширеннями.
3. Уведено поняття граничної трійки для секторіального лінійного відношення, обгрунтоване на абстрактній першій формулі Гріна яке збігається з поняттям додатного простору граничних значень, уведеного А.Н.Кочубеєм, у випадку додатно означеного симетричного оператора. З граничними парами та з граничними трійками в роботі зв'язуються аналітичні оператор-функції, одна з яких - функція двох комплексних змінних у лівій півплощині, названа нами -функцією, визначає просту частину секторного оператора з точністю до унітарної еквівалентності. Інша оператор-функція одного комплексного змінного – це -функція, яка для щільно визначеного секторіального оператора може бути визначена рівністю та у випадку невід`ємного симетричного оператора збігається з -функцією М.Г.Крейна - І.Є.Овчаренка. Вивчені аналітичні властивості та -функцій. По та -функціях побудована в деякому гільбертовому просторі з відтворюючим ядром функціональна модель простого щільно заданого секторіального оператора.
4. За допомогою граничних операторів і граничного простору та з використанням двох параметрів отриманий опис усіх -акретивних та -секторіальних розширень секторіальних лінійних відношень та, зокрема, секторіальних лінійних операторів. Для цього запропонований метод істотно відмінний від методу Р.Філліпса. Отриманий також опис усіх -акретивних та -секторіальних звужень спряженого лінійного відношення. Для дуальної пари щільно заданих секторіальних та коерцитивних операторів із взаємно спряженими Фрідріхсовими розширеннями дана параметризація всіх її -акретивних (-секторіальних) розширень як у термінах абстрактних граничних умов, так і в термінах формул М.І.Вішика - М.Ш.Бірмана. Встановлено формула, яка описує резольвенти всіх -акретивних розширень секторіального лінійного відношення. Істотним елементом цієї формули є -функція. Дана характеристика точок спектра -акретивного розширення в термінах параметрів та -функції. У випадку невід`ємного симетричного оператора та при спеціальному виборі параметрів формула резольвент збігається з формулою М.Г.Крейна - І.Є.Овчаренка, що описує канонічні резольвенти невід`ємних самоспряжених розширень.
5. Уведено поняття секторіального оператора, який має дивергентну форму та для такого оператора також даний опис усіх його -акретивних розширень і їхніх спряжених у термінах абстрактних граничних умов.
6. Результати, перелічені в попередніх пунктах, застосовано для опису граничних умов, що задають усі -акретивні та -секторіальні розширення мінімальних операторів, породжених звичайними диференціальними виразами другого порядку на півосі та рівномірно еліптичними диференціальними виразами другого порядку дивергентного виду в обмеженій області простору . В останньому випадку отримані результати доповнюють результати М.І.Вішика, присвячені опису розв`язуваних граничних задач для таких диференціальних операторів. Крім того, даний опис усіх -акретивних одновимірних операторів Шредінгера та їхніх резольвент, що відповідають одноточковим взаємодіям на прямій. Ці результати також доповнюють відомі описи самоспряжених операторів Шредінгера для такого випадку.
7. Вивчені властивості перетворень Келі -секторіальних лінійних відношень, надані формули для перетворень Келі -секторіальних розширень Фрідріхса та Неймана-Крейна.
8. Для однопараметричних півгруп породжених -акретивними операторами , у термінах поведінки півгрупи в околі нуля дано критерій -секторіальності генератора , а у випадку виконання цієї умови дано опис замкненої асоційованоі форми.
Усі результати, викладені у роботі, є новими.
Практичне значення отриманих результатів Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані при вивченні граничних задач для диференціальних рівнянь.
Особистий вклад здобувача. Викладені в дисертації результати отримані автором самостійно. Результати праць в співавторстві з Е.Р.Цекановським [2-5] для невід'ємного ермітового оператора є частковими випадками загальних результатів дисертації.
Апробація результатів дисертації Основні результати дисертації доповідалися на 2-й (1991 р.), 4-й (1993 р.), 8-й (1997 р.) Кримських осінніх математичних школах із спектральних та еволюційних задач, на міжнародній конференції "Aspects of Spectral Theory" (Відень, Австрія, 1996 р.), на семінарі з теорії операторів у Технічному університеті Берліну (1996 р., керівник - проф. П. Йонас), на міжнародній конференції з теорії операторів та її застосуванням, присвяченій М. Г. Крейну (Одеса, 1997 р.), на міжнародній конференції з теорії характеристичних функцій (Ульяновськ, 1997 р.), на міжнародному семінарі "International Workshop on Operator Theory and its Applications" (Гронинген, Голландія, 1998 р.), на семінарі в Інституті математики НАН України (1998 р., керівники – академік НАН України Березанський Ю.М., чл.-кор. НАН України М.Л. Горбачук).
Публікації Основні положення дисертації опубліковані в статтях [1-23] та тезах доовідей [24-28].
Структура роботи Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 162 найменування. Повний обсяг дисертації складає 283 сторінки.
ЗМІСТ РОБОТИ
В вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, стисло викладені основні її результати. Використовуються такі позначки: - область визначення, область значень, ядpо та pезольвентна множина лінійного опеpатоpа pеальна та уявна частини обмеженого оператора у гільбертовому просторі, - дефектний оператор для стиску - сектор комплексної площини з вершиною в нулі та півкутом.
Ми дотримуємось термінології монографії Т. Като. Лінійний оператор у гільбертовому просторі називається акретивним, якщо для всіх, та -акретивним, якщо - акретивний та не має акретивних розширень у. Властивості -акретивних операторів встановлені у роботах Р.Філліпса, Т.Като, В.Е.Лянце, А.В.Штрауса та інших. Акретивний оператор назвемо -секторіальним (з вершиною у нулі та півкутом), якщо числова область міститься у секторі та секторіальним, якщо -секторний та -акретивний. Лінійне відношення (л. в.) будемо називати акретивним (-секторіальним), якщо його числова область міститься у правой півплощині (у секторі), -акретивним (секторіальним), якщо
- акретивне (-секторіальне) л. в. та не має акретивних розширень у. Якщо - секторіальне л. в., то замкнену асоційовану півторалінійну форму будемо позначати, а її область визначення -. Згідно з першою та другою теоремами про зображення, для-секторіального л. в. мають місце рівності
де - операторна частина , (-секторіальний оператор у підпросторі),
- "реальна частина", тобто невід`ємний самоспряжений оператор, асоційований з реальною частиною форми, та -- обмежений самоспряжений оператор у підпросторі. Нехай означає лінеал, де сингулярная частина л. в..
Розділ 1 містить огляд літератури з питань теорії розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі, близьких до тематики роботи. Зокрема, наведені 1) основні результати М.Г.Крейна - М.І.Вішика - М.Ш.Бірмана до теорії невід`ємних самоспряжених розширень невід`ємних симетричних операторів, 2) огляд, присвячений методу абстрактних граничних умов в теорії власних розширень ермітових операторів, 3) основні елементи методу Р.Філліпса, що стосуються теорії максимальних акретивних розширень акретивних операторів, 4) основні теореми про максимальні секторіальні оператори та замкнені секторіальні форми.
Підрозділи 2.1, 2.2 та 2.4 містять основні відомості про акретивні та секторіальні лінійні оператори, лінійні відношення та секторіальні форми. У підрозділах 2.3 та 2.4 доведені нові теореми про зображення замкнених форм, асоційованих з -секторіальними лінійними відношеннями та їхніми зворотними, а саме, для будь-якого секторіального л. в. встановлені рівності:
У підрозділі 2.5 вивчаються властивості дробово-лінійних перетворень Келі -секторіальних лінійних відношень.
Означення 1. Якщо лінійний оператор в, визначений на підпросторі, задовольняє умову ,, то у випадку будемо говорити, що належить класу, у випадку оператор назвемо -субоператором.
Оператори класу (-субоператори) є стисками, природно вважати ермітові стиски -субоператорами, а клас множиною самоспряжених стисків. Відзначимо, що є -субоператором (належить класу) тоді і тільки тоді, коли л. в. є -секторіальним ( секторіальним) та при цьому.
Нехай. Для будь-якого оператора класу має місце рівність, де - обмежений самоспряжений оператор у підпросторі. Основні властивості операторів класу містяться у такій теоремі.
Теорема 1 1) Якщо, то при будь-якому натуральному cправедливі рівності. Крім того, - цілком неунітарний стиск класу, тобто, а - самоспряжений унітарний оператор.
2) Якщо, то оператори виду також належать класу при будь-якому скінченному наборі невід`ємних цілих чисел. Крім того, якщо, то.
3) Нехай- характеристична функція стиску по Б.Секефальві-Надю, Ч.Фояшу та. Тоді має недотичні унітарні граничні значення, причому має місце рівність
Оператор є самоспряженим стиском тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних умов:
У підрозділі 2.6 вивчаються однопараметричні півгрупи стисків, породжені -секторіальними операторами.
Як відомо, для того, щоб сильно неперервна півгрупа допускала голоморфне стискаюче продовження у сектор, необхідно та достатньо, щоб її генератор був секторіальним оператором. Основні результати підрозділу 2.6 містяться у наступному твердженні.
Теорема 2. 1) Нехай. Для того, щоб сильно неперервна півгрупа стисків у гільбертовому просторі допускала голоморфне стискаюче продовження у сектор, необхідно, щоб для усіх та достатньо, щоб при будь-якому, де, оператори належали класу.
2) Нехай -секторіальний оператор та. Тоді наступні умови еквівалентні:
c) існує похідна; d) існує похідна.
Якщо , то справедливі рівності:
3) Нехай - -півгрупа стисків, яка голоморфна у секторі та -її генератор. Тоді лінеали не залежать від та збігаються з лінеалом, а оператори утворюють в голоморфне сімейство типу.
Розділ 3-й присвячений вивченню -секторіальних розширень секторіального л.в.та, асоційованих із ними, замкнених півторалінійних форм. Нехай - щільно заданий секторіальний оператор у гільбертовому просторі і нехай - асоційована з ним замкнена півторалінійна форма. За визначенням Т.Като, максимальний секторіальний оператор , асоційований з формою за першою теоремою про зображення, називається розширенням по Фрідріхсу оператора. З визначення слідує, що та.
Якщо -секторіальний оператор, то секторіальний оператор, крім того, якщо оператор є коерцитивним, тобто для всіх виконується нерівність, то і його розширення по Фрідріхсу є коерцитивним -секторіальним оператором та .
Згідно з Ф.С.Рофе-Бекетовим, Фрідріхсовим розширенням секторіального л.в. називається -секторіальне л.в., асоційоване з формою. Характеристичні властивості Фрідріхсового розширення щільно заданого секторіального оператора наведені в монографії Т.Като, а для секторіального л.в. встановлені Ф.С.Рофе-Бекетовим. Зокрема, з усіх -секторіальних розширень лінійного відношення Фрідріхсове розширення має найменшу область визначення форми, тобто область визначення асоційованої з форми міститься в області визначення форми, асоційованої з будь-яким секторіальним розширенням.
Нехай - спряжене л.в. та - дефектні підпростори л.в.. Для Фрідріхсового розширення мають місце співвідношення:
де - довільне -секторіальне розширення. У підрозділі 3.2 дане визначення розширення Неймана-Крейна секторіального л.в. та вивчені його властивості.
Означення 2. Нехай - секторіальне л.в. Тоді його розширенням Неймана-Крейна будемо називати л.в..
З означення виходить, що для розширення Неймана-Крейна має місце рівність
Означення 2 аналогічне означенню розширення Неймана, даному Т.Андо, К.Нішіо для випадку невід`ємного ермітового оператора та Е.Коддінгтоном,
Х. де Сноо для невід`ємного ермітового л.в.. Якщо -секторіальне л.в., то є секторіальним розширенням У підрозділі 3.2 доведено, що розширення Неймана-Крейна володіє такими властивостями:
Теорема 3. Нехай - секторіальне л.в.. Тоді
1. cправедлива рівність
;
2. для будь-якого -секторіального розширення має місце включення
;
3. для будь-якого справедливі рівності:
;
4. якщо л.в. коерцитивне, то, де - проектор на, відповідний розкладу;
5. для того, щоб л.в. мало єдине -секторіальне розширення, необхідно, щоб при усіх та достатньо, щоб хоча б для одного такого виконувалася рівність
.
Означення 3. Максимальне секторіальне розширення секторіального л.в. назвемо екстремальним, якщо для будь-якого виконується рівність
.
Екстремальними є Фрідріхсове розширення та розширення Неймана-Крейна. Характерична властивість розширення Неймана-Крейна міститься у такому твердженні: якщо є -секторіальним екстремальним розширенням л.в., то форма є замкненим звуженням форми
, таким чином, розширення Неймана-Крейна є єдиним серед усіх -секторіальних розширень з максимальною областю визначення асоційованої замкненої форми, що володіють властивістю екстремальності.
Для -секторіального л.в. визначимо при кожному л.в.
.
Якщо, то є розширенням Неймана-Крейна секторіального та коерцитивного л.в.. Лінійний многовид не залежить від вибору. Нехай та - проектори у на та відповідно. Визначимо на півторалінійну форму
.
При це замкнена форма, асоційована з.
Теорема 4. Справедливі наступні рівності:
,
.
Як і у випадку невід`ємного ермітового оператора, розглянутого Т.Андо та
К. Нішіо, замкнений секторіальний оператор припускає -секторіальне розширення, що є оператором у тому та тільки в тому випадку, коли виконується умова: для будь-якої послідовності векторів такої, що, випливає, що. Для нещільно заданого обмеженого секторіального оператора мають місце також аналоги результатів
А.В. Штрауса для нещільно заданого обмеженого невід`ємного оператора:
Теорема 5. Нехай - обмежений секторіальний оператор, визначений на підпросторі. Тоді розширення Неймана-Крейна є оператором у тому та тільки у тому випадку, якщо виконується умова
.
При виконанні цієї умови при будь-якому має місце рівність
.
У підрозділі 3.3 вивчаються перетворення Келі розширень Фрідріхса та Неймана-Крейна. Нехай - -субоператор, заданий на підпросторі, - ортопроектори на та відповідно. Оператори є обмеженими -секторіальними та припускають обмежені -секторіальні розширення. Розглянемо оператори. Доведено, що оператори та належать класу та що ці оператори подаються у вигляді границь деяких сімейств операторів. Крім того ми дамо вирази для та, що використовують сильні недотичні значення характеристичної функції Б. Секефальві-Надя та Ч. Фояша стиску, а саме, мають місце рівності
.
Оператори та відіграють ту ж роль, що й крайні самоспряжені стискаючі розширення нещільно заданого ермітового стиску у теорії М. Г. Крейна, а саме, якщо - секторіальне л.в. та - його дробово-лінійне перетворення Келі, то справедливі рівності
Використовуючи це твердження, у підрозділі 3.4 доводяться подання розширень Фрідріхса та Неймана-Крейна -секторіального л.в. у вигляді сильних резольвентних границь. Окрім сімейства розглянемо також сімейство -акретивних розширень
Встановлені рівності:
де границі в правій частині - недотичні до уявної осі. Зазначимо, що для наступні умови є еквівалентними:
1) л.в. є секторіальним для деякого;
2) ;
3) для усіх та деякого справедлива нерівність,
де та - ортопроектор в на дефектний підпростір.
У підрозділі 3.5 визначається клас як множина усіх -акретивних розширень секторіального л.в., що задовольняють умови
.
У цьому класі містяться усі екстремальні -секторіальні розширення. Ми доводимо, що якщо - невід`ємне л.в., то клас збігається з множиною всіх власних -акретивних розширень. У загальному випадку за умови трансверсальності визначене ненульове секторіальне л.в. що володіє наступними властивостями:
1); 2) множина усіх -секторіальних розширень класу збігається з множиною усіх -секторіальних розширень таких, що. Трансверсальність має місце, наприклад, якщо коерцитивне л.в..
Підрозділ 3.6 присвячений параметричному опису всіх замкнених форм, асоційованих з -секторіальними розширеннями довільного секторіального л.в., у якого. Для цієї мети визначається поняття граничної пари.
Означення 4. Cукупність назвемо граничною парою секторного л.в., якщо - гільбертів простір, та.
Очевидно, що граничні пари існують та якщо та дві різноманітні граничні пари для, то існує ізоморфізм такий, що. Має місце така теорема.
Теорема 6. Нехай - гранична пара для секторіального л. в.. Тоді формули
встановлюють бієктивну відповідність між усіма замкненими формами, асоційованими з -секторіальними розширеннями л.в. та усіма парами де - замкнена секторіальна форма в, - лінійний оператор такий, що для деякого виконується нерівність
.
Пари та тільки вони визначають розширення класу.
Нехай - гранична пара для коерцитивного секторіального л. в. та нехай Оператор відображає на, а вектор при кожному є розв'язком граничної задачі:
.
Крім того, оператор є проектором на відносно розкладу
.
Визначимо на квадратичний функціонал:
.
Правильна також рівність.
Для коерцитивного супремум досягається на векторі такому, що та.
Теорема 7. Нехай - секторіальне та коерцитивне л. в. та - гранична пара для . Тоді рівності
встановлюють бієктивну відповідність між усіма замкненими формами, асоційованими з -секторіальними розширеннями л.в. та усіма парами, де- замкнена секторіальна форма в - лінійний оператор, що при деякому задовольняє умову
Для того, щоб -секторіальне розширення було коерцитивним, необхідно та достатньо, щоб форма була коерцитивною у.
Зазначимо, що якщо - -секторіальне л. в. та -- секторіальна форма у , то для півкута форми в теоремах 6-7 має місце оцінка
.
У підрозділі 3.7 ми розглядаємо секторіальні оператори, що мають дивергентну форму. Припустимо, що
(а) - замкнені, щільно задані лінійні оператори, визначені на лінійних многовидах у гільбертовому просторі, що приймають свої значення в гільбертовому проcторі та такі, що
(b) -- коерцитивний оператор;
Очевидно, що оператор, зважаючи на його обмеженість та коерцитивность, є також -секторіальним, а півторалінійні форми
,
внаслідок умов (а) та (b), є секторіальними та замкненими та із ними асоційовані -секторіальні оператори . Припустимо що
(с) лінійний многовид усюди щільний у за нормою графіка..У роботі доведено, що якщо виконані умови (а) - (с), то
1. оператор є щільно визначеним, замкненим та секторіальним оператором в, оператори та є його -секторіальними розширеннями, причому - Фрідріхсове розширення;
2. та для усіх , справедлива рівність, де - проектор у на відносно прямого розкладу;
3. оператор збігається з оператором або є його замиканням;
4. якщо оператор має обмежений зворотний, то та цей лінеал співпадає з підпростором або всюди щільний у ньому.
Якщо виконана умова
(d),
то виконується й умова (c), а також справедливі рівності
.
Ми називаємо оператор, визначений при виконанні умов (а) - (c), секторіальним оператором з дивергентним зображенням.
Нехай оператори та задовольняють умову (a). Згідно з визначенням у монографії В. Е. Лянце та О.Г.Сторожа, пара називається крайовою парою для, якщо - гільбертів простір та
Нехай - крайова пара для. Розглянемо два випадки.
1) Нехай виконується умова (d), тоді ця ж пара є граничною парою для. Ясно, що. З теореми 7 одержуємо наступний результат: формули
встановлюють біективну відповідність між усіма замкненими формами, асоційованими з -секторіальними розширеннями оператора та парами, де - замкнена секторіальна форма в -- такий лінійний оператор, що при деякому виконується умова
.
2) Припустимо, що, оператор має обмежений зворотний, виконана умова (c). Визначимо в скалярний добуток та позначимо та поповнення та продовження по неперервності оператора з на відносно норми.Тоді - гранична пара для. Нехай. Застосовуючи теорему 7, одержуємо наступний опис усіх замкнених секторіальних форм, асоційованих з -секторними розширеннями:
де та.
Розділ 4 присвячений визначенню та дослідженню оператор-функцій, зв'язаних з секторіальними операторами та їхніми розширеннями. Якщо - -секторіальне л. в. та - гранична пара для, то оператор-функція називається -полем. Оператор при кожному відображає на та має місце рівність. Тому є голоморфною оператор-функцією в області зі значеннями у Оператор-функцію двох комплексних змінних, визначену рівністю
,
ми називаємо - функцією секторіального л. в., відповідною граничній парі. голоморфна по та антиголоморфна по в області. Крім того, бо - секторіальне л. в., то є -секторіальним ядром у наступному сенсі:
при будь-якому виборі точок та векторів.
З властивостей розширень Фрідріхса та Неймана-Крейна випливає, що при будь-яких справедлива рівність
.
Тому, оператор-функція
є голомофною у області Функцію назвемо -функцією секторіального л. в., відповідною граничній парі.
Якщо - інша гранична пара для, то, як уже зазначалося, існує ізоморфізм та та -функції, відповідні граничним парам та, зв'язані співвідношеннями
.
Як показано у підрозділі 4.1, у випадку щільно заданого -секторіального оператора справелива наступна рівність:
.
Функція визначає простий секторіальний оператор з точністю до унітарної еквівалентності, а саме: для того, щоб прості щільно задані секторіальні оператори та з диз`юнктними розширеннями Фрідріхса та Неймана-Крейна були унітарно еквівалентними, необхідно та достатньо, щоб їхні -функції були зв'язані співвідношенням для усіх та у лівій півплощині, де – деякий лінійний ізоморфізм. Крім того, має місце наступний результат (підрозділ 4.3)
Теорема 8. Нехай - гільбертів простір та нехай - оператор-функція зі значеннями у , голоморфна по та антиголоморфна по всередині лівої півплощини комплексної площини та що володіє наступними властивостями:
1. - -секторіальне ядро;
2. для будь-якого існує сильна границя ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. оператор-функція є додатно визначеним ядром та для деякого.
Тоді існує гільбертів простір та замкнений, щільно заданий, простий -секторіальний оператор в такий, що та одна з його -функцій співпадає з у лівій півплощині.
При доведенні цієї теореми будується спеціальна функціональна модель секторіального оператора у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром. Зазначимо, що у випадку невід'ємного симетричного оператора -функція є неванліннівською функцією класу та збігаєтьсяз -функцією, визначеною та дослідженою М.Г.Крейном та І. Є. Овчаренком.
-функція, відповідна граничній парі, може бути також визначена як аналог функції Вейля, відповідної простору граничних значень (граничній трійці) у сенсі робіт В. А. Деркача та М. М. Маламуда. Наведемо означення граничної трійки для випадку щільно заданого секторіального оператора.
Означення 5. Нехай - щільно заданий замкнений секторіальний оператор. Трійка називається граничною трійкою оператора, якщо - гранична пара для та такий лінійний оператор, що виконується рівність
.
Граничні трійки існують, граничний оператор визначається однозначно по граничній парі та. Крім того, для -функції справедлива рівність.
Поняття граничної трійки для секторіального л. в. є аналогом поняття позитивного простору граничних значень, введеного А. Н. Кочубеєм для випадку додатного визначеного симетричного оператора.
У підрозділі 4.4 вивчаються інші оператор-функції, необхідні для опису резольвент -акретивних розширень секторіального л. в. Наведемо визначення для випадку щільно заданого секторіального оператора. Нехай - гранична пара та - гранична трійка оператора, відповідна . Розглянемо наступні оператор-функції, голоморфні у області :
Очевидно, що при виконуються рівності
.
Крім того, доведено, що та що
.
Для коерцитивного нехай, тоді вірні рівності
.
Центральним розділом роботи є розділ 5. Тут даний опис у термінах граничних умов усіх -акретивних та - секторіальних розширень секторіального л. в. та їхніх спряжених, а також виведена формула резольвент таких розширень. Розглядаються секторіальні л. в., які задовольняють умову
.
Ця умова виконується для л. в. з трансверсальними розширеннями Фрідріхса та Неймана-Крейна та, зокрема, для коерцитивного л. в. При цій умові, як доведено в роботі, для усякого -акретивного розширення виконуються включення:
.
У підрозділі 5.1 доведена теорема про загальний вигляд усіх -акретивних розширень та їхніх резольвент для випадку л. в., а у підрозділі 5.2 розглядається випадок оператора та, зокрема, дано опис усіх -акретивних розширень обмеженого оператора, у якого розширення Неймана-Крейна є оператором.
Тут ми сформулюємо результати для щільно заданого замкненого секторіального оператора. Визначимо оператор:
.
Цими рівностями оператор, внаслідок диз'юнктності операторів та, визначений коректно та у випадку трансверсальності розширень та оператор співпадає з оператором. Якщо - гранична пара для, то має місце рівність
.
По граничній парі для оператора однозначно визначається такий оператор, що виконується рівність
.
Трійку ми називаємо граничною трійкою для.
Теорема 9. Нехай - щільно заданий секторіальний оператор, для якого виконана умова, - гранична пара для та - граничні трійки для та для, відповідні. Тоді існує бієктивна відповідність між усіма -акретивними розширеннями оператора та усіма парами, де - -акретивне лінійне відношення у та такий лінійний оператор, що
.
Ця відповідність при будь-якому висловлюється рівностями
Розширення є -секторіальним, якщо та тільки якщо - -секторіальне л.в. Та при деякому виконується нерівність
та при цьому замкнена форма , асоційована з та її область визначення описуються таким чином:
,
де -- неперервне продовження з на. Розширення класу та тільки вони визначаються парами та є -акретивними звуженнями лінійного оператора. Крім того,
1) число є регулярною точкою оператора у тому та тільки у тому випадку, якщо та при цьому для резольвенти має місце рівність
;
2) число є власним значенням оператора у тому та тільки у тому випадку, якщо, та при цьому
.
Для коерцитивного оператора це твердження можна модифікувати.
Теорема 10. Нехай - щільно заданий секторіальний та коерцитивный оператор, -гранична пара для та - гранична трійка для. Тоді формули
встановлюють бієктивну відповідність між усіма -акретивними розширеннями та усіма парами, де - -акретивне л.в. в та - лінійний оператор такий, що
Розширення є -секторіальним тоді та тільки тоді, коли - -секторіальне л.в. та для деякого виконується
У цьому випадку
.
Розширення класу та тільки вони визначаються парами та є -акретивними звуженнями лінійного оператора. Крім того,
1) точка є регулярною точкою оператора тоді та тільки тоді, коли
та у цьому випадку резольвента має вигляд
;
2) точка є власним значенням оператора тоді та тільки тоді, коли
та у цьому випадку
.
Нагадаємо, що пара операторів, що задовольняє умову для усіх, називається дуальною парою, а оператор називається розширенням дуальної пари, якщо.
У підрозділі 5.2 розглядається також задача про -акретивні розширення дуальноі пари секторіальних операторів. Тут встановлений наступний результат.
Теорема 11. Нехай щільно задані, секторіальні та коерцитивні оператори утворять дуальну пару, та - граничні пари для та та - гранична трійка для. Припустимо, що має місце рівність та нехай
Тоді формули
встановлюють бієктивну відповідність між усіма -акретивними розширеннями дуальної пари та усіма -акретивними л.в. у такими, що
.
Розширення є -секторіальним тоді та тільки тоді, коли - -секторіальне л.в. та при деякому виконується умова
.
Теореми 10 та 11 при спеціальному виборі граничних трійок припускають переформулювання в термінах формул М. І. Вішика - М. Ш. Бірмана.
Теорема 12. 1) Нехай - щільно заданий секторіальний та коерцитивний оператор.
Тоді рівності
встановлюють бієктивну відповідність миж усіма -акретивними розширеннями оператора та усіма трійками, де підпростір у , - -акретивний оператор у підпросторі з областю визначення та - лінійний оператор, що задовольнить умову.
Розширення є -секторіальним тоді та тільки тоді, коли - -секторіальный оператор в та для деякого виконується нерівність
та при цьому для асоційованої замкненої форми справедливі рівності
- неперервне продовження на з збереженням умови підпорядкування. Оператор має обмежений зворотний тоді та тільки тоді, коли та у цьому випадку де -ортопроектор на.
2) Нехай -- також щільно заданий секторіальний та коерцитивний оператор та. Нехайта - проектори у та на та відносно розкладу. Тоді формули
встановлюють бієктивну відповідність між усіма -акретивними розширеннями дуальної пари та усіма парами, де - підпростір, - -акретивний оператор у підпросторі з областю визначення, причому
.
Розширення є -cекторіальним тоді та тільки тоді, коли - -секторіальний оператор та при деякому виконується нерівність
.
Задача про розв`язувані розширення дуальної пари щільно заданих операторів, що мають обмежені зворотні оператори, вирішена М.І.Вішиком. Результати М.І.Вішика використав М.Ш.Бірман для опису напівобмежених самоспряжених розширень додатно визначеного симетричного оператора та їхніх замкнених форм. Задача про -акретивні розширення акретивного оператора та, зокрема, задача про -акретивні розширення дуальної пари акретивних операторів розглядалася Р. Філліпсом, який використав при розв'язанні геометрію просторів Крейна. Теореми 9-12 цієї роботи доведені іншим способом, що заснований на поданні півторалінійної форми у вигляді
,
де – деякий лінійний оператор такий, що л. в. є -акретивним у. Для випадку невід'ємного симетричного оператора з теорем 9 - 12 випливають усі відомі результати про його -акретивні розширення, отримані раніше у роботах А.Н.Кочубея, В.А. Михайлеця, О. Г.Сторожа, О.Я. Мильо, Е.Р.Цекановського, В.О. Деркача, М. М. Маламуда.
У підрозділі 5.3 параметризовані усі -акретивні та -секторіальні розширення секторіального оператора, що має дивергентну форму, тобто оператора вигляду, де для операторів виконані умови (a) - (c). Для цьогої мети виявилося зручним використати такі крайові пари операторів та, для яких справедлива формула Гріна
.
Ці крайові пари введені та використовувались В.Е.Лянце та О.Г.Сторожом. Ми називаємо трійку граничною трійкою для. Має місце наступний результат.
Теорема 13. Нехай виконані умови (a), (b), (d), - гранична трійка для та - проектор у на відносно прямого розкладу. Тоді формули
встановлюють взаємно-однозначну відповідність між усіма -акретивними розширеннями оператора та усіма парами, де - - акретивне л.в. у - лінійний оператор такий, що. Оператор є -секторіальним тоді та тільки тоді, коли - -секторіальне л.в. та при деякому виконується умова підпорядкування. Для спряженого оператора мають місце наступні рівності
Якщо оператор має обмежений зворотний та виконані умови (a), (b), (d), то граничною трійкой для оператора можна вибрати трійку та застосувати теорему 10, а якщо покласти, то й теорему 11.
При побудові граничних трійок у випадку також зручним є вибір оснащеного гільбертового простору в якості граничного простору. Нехай даний оснащений гільбертів простір та нехай - крайова пара для. Тоді оператор діє з у та трійка
є граничною для. Якщо виконана умова (с) та оператор має обмежений зворотний, то, як зазначалося вище, лінеал всюди щільний у. Нехай -поповнення по нормі а --продовження на по неперервності відносно норми. Нехай, як і раніше.Ясно, що у такому випадку ми маємо рівність
та - гранична пара для. Можна показати, що при виконанні умови
(e) гільбертів простір неперервно вкладений у
граничною трійкою для оператора є трійка
,
де - відповідно оснащений гільбертів простір та оператор сюр`єктивно відображає на. Таким чином, застосовуючи теорему 10, можна дати параметризацію усіх -акретивних та -секторіальних розширень оператора й у розглядуваному випадку, а якщо виконуються умови (с) та (е) при заміні на то можна застосувати теорему 11 для опису усіх -акретивних та -секторіальних розширень дуальной пари.
У підрозділі 5.4, виходячи з результатів підрозділів 5.1 - 5.3, отримані абстрактні граничні умови для усіх -акретивних та -секторіальних звужень спряженого л.в.. Наведемо основний результат для оператора.
Теорема 14. Нехай - щільно заданий замкнений секторіальний оператор, що задовольняє умову. Нехай - гранична пара для та відповідна гранична трійка для. Тоді співвідношення
встановлюють бієктивну відповідність між усіма -акретивними звуженнями та усіма парами, де - стиск у та - такий лінійний оператор, що для усіх виконується умова
.
Оператор є -секторіальним тоді та тільки тоді, коли та для деякого виконується умова
.
У підрозділі 5.5 дисертації для загального випадку секторіального л.в. розвиваються методи робіт Р.Філліпса, В.Іванса - Дж.Ноуелса та О.Я.Мильо – О.Г.Сторожа, пов'язані з параметризацією -акретивних розширень у термінах максимальних невід'ємних (недодатних) лінеалів деякого спеціального граничного простору з індефінітною метрикою. У рамках такого підходу також дані інші доведення теорем 10 та 14.
Розділ 6 присвячений застосуванню основних результатів розділів 3 - 5 до опису -акретивних граничних задач для диференціальних операторів. Розглядаються оператори, що мають дивергентне зображення. У підрозділі 6.1 дано опис усіх -акретивних розширень, їхніх спряжених та резольвент невід'ємного симетричного оператора диференціювання другого порядку на півосі у гільбертовому просторі
,
де у подальшому - простори Соболєва. Виявляється, що формули
,
встановлюють бієктивну відповідність між усіма -акретивними розширеннями оператора та усіма парами, де
.
Область визначення спряженого оператора задається рівністю
.
Розширення є -секторіальним тоді та тільки тоді, коли. При цьому замкнена асоційована форма має вигляд
.
Фрідріхсовому розширенню формально відповідають параметри, а розширенню Неймана - Крейна -.
У підрозділі 6.2 розглянутий оператор, породжений у диференціальним виразом
,
з коефіцієнтами з, що підкоряються умові
для майже усіх, для усіх векторів та для деякого. Нехай
.
Оператор є замкненим щільно заданим секторіальним та коерцитивним оператором. Ми дамо опис усіх його -акретивних та -секторіальних розширень, а також їхніх спряжених. Наведемо результати для випадку оператора
при умові на потенціал:. Фрідріхсовим розширенням є оператор
,
а його "реальною частиною" - оператор
.
Нехай - ядро резольвенти оператора та. Тоді квадратичний функціонал при має вигляд
Нехай та є розв'язками
