Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна

БОЛОТОВ Дмитро Валерійович

УДК 514

ГІПЕРШАРУВАННЯ

З ОБМЕЖЕННЯМИ НА КРИВИНУ

01.01.04 – геометрія і топологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Харківському національному yніверситеті iм. В. Н. Каразіна Міністерства Освіти та науки України.

Науковий керiвник:

Борисенко Олександр Андрійович,

член кор. НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор, завідуючий кафедрою геометрії Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна

Офiцiйнi опоненти:

Мілка Анатолій Дмитрович,

доктор фiзико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України ім. Б.І. Вєркіна ( м. Харків ).

Шарко Володимир Васильович,

доктор фiзико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України

Провiдна установа:

Математичний інститут РАН ім. В. А. Стеклова (м. Москва), відділ геометрії та топології.

Захист вiдбудеться "28" грудня 2000 р. о 15.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.11 при Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харкiв, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна за адресою: м. Харкiв, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 26 листопада 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ігнатович С. Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія шарувань як самостійна дисципліна починається від визначних праць Ж. Ріба, С. П. Новікова, Д. Вуда, А. Хефлігера. Ця теорія приваблива тим, що вона міститься на перетині кількох галузей математики, таких як теорія динамічних систем, теорія диференційних рівнянь, геометрія підмноговидів, алгебраїчна та диференційна топологія.

Одне з найбільш важливих питань в теорії шарувань - це питання існування шарувань з певними обмеженнями топологічної або геометричної природи, як на многовид, так і на шари. Однак, перше питання, на яке необхідно дати відповідь - це питання існування будь якого шарування на даному многовиді. Зокрема, ненульова ейлерова характеристика є перешкодою до існування гіпершарування на компактному многовиді.

Вперше Ж. Ріб (1946) конструктивно довів існування шарування на тривимірній сфері S3. Побудоване шарування носить його ім'я. Після цього І. Тамура і Н. Лоусон, узагальнюючи конструкцію Ж. Ріба, побудували приклади гіпершарувань на певних непарновимірних сферах. Після цього Тамура довів, що кожна непарновимірна сфера допускає певне гіпершарування.

Особлива увага приділялась і приділяється зараз шаруванням тривимірних компактних многовидів. Виявляється, що кожний компактний 3-вимірний многовид допускає певне гіпершарування. Цей важливий факт встановив Д. Вуд. Далі В. Терстон посилив цей результат і довів, що кожен компактний n-вимірний многовид з нульовою ейлеровою характеристикою допускає гладке гіпершарування.

В теорії шарувань виникають і більш тонкі питання пов'язані, наприклад, з динамікою шарування. Зокрема, які необхідні умови існування у шаруванні компактного шару?

В цьому зв'язку відзначимо визначний результат С. П. Новікова, який показав (1964), що шарування гладкості С2 на сфері S3 повинно мати компактний шар, гомеоморфний тору T2. Виявляється, що цей факт є перешкодою щодо існування деяких класів шарувань на ріманових многовидах.

В теорії шарувань ріманових многовидів цікаві питання існування, що зв'язані з обмеженнями на першу або другу квадратичні форми шарів. Причому ці обмеження можуть бути двох типів. Перше - обмеження типу рівності. Друге - обмеження типу нерівності.

До теперішнього часу широкі дослідження виконані для таких класів шарувань:

а) цілком геодезичні шарування (виродженість другої фундаментальної форми шарування);

б) гармонійні шарування (виродженість сліду другої фундаментальної форми шарування);

в) ріманові шарування (голономна інваріантність трансверсальної метрики);

г) цілком омбілічне шарування (рівність головних кривин другої квадратичної форми шарування).

Ці класи належать до першого типу.

Вивченню цих питань присвячено ціле коло робіт.

Зокрема, Д. Джонсон і Л. Вітт показали, що компактний многовид зі скінченною фундаментальною групою не допускає цілком геодезичного гіпершарування з компактним шаром. Звідси та з результатів С. П. Новікова слідує, що тривимірний компактний многовид зі скінченою фундаментальною групою не допускає цілком геодезичного гіпершарування.

Д. Сулліван довів, що шарування є гармонійним для певної метрики (жорстке шарування) тоді, і тільки тоді, коли кожний шар перетинає замкнута трансверсальна до шарування крива. Звідси та з теореми С. П. Новікова випливає, що тривимірний компактний многовид зі скінченою фундаментальною групою не допускає гармонійного шарування.

Напевно, найбільш вивченим класом з перелічених є ріманові шарування. Це пов'язане з тим, що цей клас шарувань найбільш нагадує розшарування. Приваблює те, що ріманові та цілком геодезичні шарування в певному сенсі двоїсті: якщо існує ортогональне до ріманового шарування, то воно повинне бути цілком геодезичним.

Виявляється, якщо на многовиді задане ріманове гіпершарування, то його можна визначити за допомогою невиродженої замкненої форми. Зокрема, з результатів Тишлера (1971) слідує, що об'ємлючий простір повинен бути тотальним простором певного розшарування над колом.

Багато інших властивостей ріманових шарувань отримані такими визначними вченими, як Р. Рейнхарт, П. Моліно, Ф. Тондер та ін.

Е. Гіз та М. Брунела дали класифікацію орієнтованих компактних 3–вимірних многовидів, що допускають цілком омбілічні шарування. А саме, вони показали, що кожен такий многовид є розшаруванням Зейферта або розшаруванням над колом з шаром, гомеоморфним тору.

Нові класи шарувань, які належать до шарувань типу нерівності, а саме параболічні, еліптичні та гіперболічні шарування введені О. А Борисенко. Ці класи узагальнюють цілком геодезичні омбілічні та гармонійні шарування. Дисертацію частково присвячено вирішенню питань існування цих класів шарувань на компактних 3-многовидах.

Шарування, що визначаються обмеженнями, пов'язаними лише з внутрішньою геометрією, менш вивчені.

Одним з яскравих результатів, отриманих під час вивчення внутрішньої геометрії шарувань, є такий результат Г. Штака (1992):“

Якщо компактний ріманів многовид Mn допускає гіпершарування, всі шари якого мають недодатну у секційну кривину, то його універсальний накриваючий простір гомеоморфний Rn”

Ця теорема є узагальненням знаменитої теореми Картана-Адамара.

Г. Штак ставить питання: “Чи допускає яка-небудь ріманова сфера розмірності більшої або рівної п'яти гіпершарування невід'ємної секційної кривини?”

У дисертації вирішується питання існування на компактному просторі гіпершарування невід'ємної кривини Річчі та дається часткова відповідь на питання Г. Штака.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Тема є складовою частиною планової теми кафедри геометрії Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна "Геометрія та топологія спеціальних класів ріманових многовидів та підмноговидів"

(шифр 0100 U 003354).

Мета дослідження. Головна мета дослідження полягає у вирішенні наступних проблем:

v Нехай (M, g) - ріманів многовид. Чи існує на ньому шарування з недодатною або невід'ємною секційною кривиною (кривиною Річчі) шарів?

v Нехай (M, g) - ріманів многовид. Чи існує на ньому шарування з недодатною або невід'ємною зовнішньою кривиною шарів?

Теоретична та практична цінність і наукова новизна. Всі результати дисертації є новими та полягають у наступному:

·

· Побудовано метрику невід'ємної кривини на S3 таку, що шарування Ріба є параболічним для неї. Наслідком цього є те, що вимогу аналітичності в класифікаційній теоремі послабити неможливо. Цей приклад також говорить про те, що клас параболічних шарувань не є підкласом жорстких шарувань.

· Наведено умови відсутності еліптичних, гіперболічних та параболічних шарувань з обмеженням на кривину Річчі об'ємлючого простору. Наведено нетривіальні приклади таких шарувань.

· З використанням апарату алгебраїчної та диференційної топології показано, що компактний многовид позитивної кривини не допускає гіпершарування майже невід'ємної кривини Річчі. Це дає часткову відповідь на питання, поставлене Г. Штаком, про можливість задати метрику та гіпершарування на непарновимірній сфері такі, що в індукованій метриці шарування мало б усі шари невід'ємної секційної кривини.

Загальна методика дослідження. У дисертації використано методи ріманової геометрії, геометрії підмноговидів, загальної, диференційної та алгебраїчної топології.

Практичне та теоретичне значення. Робота має теоретичний характер. Результати можуть бути використані для подальших досліджень у теорії шарувань. Також вони можуть знайти застосування у викладанні спеціальних курсів для студентів-математиків старших курсів.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на міжнародних конференціях з геометрії у Черкасах (1997 та 1999 рр.), у Польщі (2000 р), а також обговорювалися на Харківському міському семінарі з геометрії (керівник - академік О. В. Погорєлов), на семінарах кафедри геометрії Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна (керівники - член-кор. НАН України доктор фізико-математичних наук О. А. Борисенко та доктор фізико-математичних наук Ю. А. Амінов), на семінарі кафедри вищої геометрії Московського державного університету ім. М. В. Ломоносова (керівник академік С. П. Новіков), на семінарі відділу теорій наближень Інституту математики НАН України (керівник – доктор фізико-математичних наук, В. В. Шарко).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у статтях [1-3] та у тезах доповідей [4 -5].

Об'єм i структура дисертації. Дисертація викладена російською мовою на 112 сторінках тексту і складається з вступу, основної частини (розділи 1-4), висновків, списку використаних джерел (62 найменувань) та 4 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В першому розділі описуються основні об'єкти і конструкції, зв'язані з топологією шарувань. Зокрема, вводяться поняття мінімальної множини, голономії шару, стабільності і локальної стабільності, що безпосередньо використовуються нами під час доказів основних результатів дисертації.

В другому розділі досліджується геометрія шарувань, а також описуються деякі класи шарувань з обмеженнями типу рівності. Доведення деяких результатів демонструють техніку диференційних форм, яка безпосередньо використовується нами під час доведень основних результатів та побудови прикладів. Наприклад, ми доводимо теорему Сулівана, яка дає топологічні перешкоди до існування гармонійних шарувань. Наводимо важливі приклади ріманових та цілком геодезичних шарувань. В кінці другого розділу ми даємо огляд шарувань недодатної кривини, а також приводимо результат Г. Штака, що узагальнюює теорему Картана – Адамара.

Особливе місце у теорії шарувань займають тривимірні компактні многовиди. Зацікавлення до них викликане не тільки тим, що вони - наочні, але й тим, що всякий тривимірний многовид (як вже згадувалося) допускає деяке гіпершарування.

В третьому розділі вперше досліджена зовнішня геометрія шарувань на компактних тривимірних ріманових многовидах.

Для того, щоб точно сформулювати отримані нами результати, нагадаємо рівняння Гаусса.

Нехай та – пара ортонормованих векторів, дотичних до шарування у певній точці з . Тоді маємо:

де – зовнішня кривина шару, що проходить через в напрямку та дорівнює різниці секційних кривин шару та об'ємлючого простору.

Означення .  Параболічним шаруванням будемо називати шарування, для якого.

Означення .  Гіперболічним шаруванням будемо називати шарування, для якого, і яке не є параболічним. В разі суворої нерівності скажемо, що шарування – сильно гіперболічне.

Означення .  Еліптичним шаруванням будемо називати шарування, для якого, і яке не є параболічним.

Помітимо, що в тривимірному випадку цілком геодезичне шарування є параболічним; гармонійне шарування є гіперболічним; а цілком омбілічне шарування є еліптичним. Таким чином, введені поняття узагальнюють шарування, що описані в другому розділі.

На мові диференційних форм ми доводимо наступний інтегральний варіант теореми Ю. А. Амінова.

Теорема 1. Нехай M3 – компактний орієнтований ріманів многовид, F – орієнтоване гіпершарування на ньому, а – одиничне, ортогональне до F векторне поле. Тоді вірна наступна формула:

де – форма об'єму на M3, а – кривина Річчі в напрямку .

Безпосереднім наслідком доведеної теореми є наступне твердження.

Якщо компактний тривимірний ріманів многовид M3 є многовидом невід'ємної кривини Річчі, то на ньому не існує гіперболічного шарування.

Якщо компактний тривимірний ріманів многовид M3 є многовидом недодатної кривини Річчі, то на ньому не існує еліптичного шарування.

Якщо компактний тривимірний ріманів многовид M3 є многовидом знакопостійної кривини Річчі, то на ньому не існує параболічного шарування.

Ми бачимо, що крім топологічних перешкод до існування тих або інших обмежень на зовнішню геометрію шарів є і геометричні. Такою перешкодою, наприклад, є кривина Річчі об'ємлючого простору.

Більш докладно нами вивчені параболічні шарування. Якщо розглянути на тривимірному компактному многовиді аналітичну метрику невід'ємної секційної кривини, то виявляється, що параболічне шарування (яке не є цілком геодезичним) допускають тільки плоскі просторові форми. А саме, вірна наступна класифікаційна теорема.

Теорема 2. Нехай M3 – компактний орієнтований ріманів многовид з аналітичною метрикою і F – параболічне гіпершарування на ньому. Тоді,

1) Якщо секційна кривина многовиду невід'ємна, то або

a) M3 -- плоска просторова форма, або

b) M3 гомеоморфний , причому F в цьому випадку є тривіальним S2 – розшаруванням над S1, і метрика на локально є метрикою прямого добутку шару на евклідів фактор;

2) Якщо, то або

а) M – плоска просторова форма, або

b) F є M2 – розшаруванням над S1, де M2 – замкнена поверхня роду , і метрика на M3 локально є метричний добуток шару на евклідів фактор.

В останньому випадку скінченнолистове накриття M3 є ізометричним рімановому добутку .

Перша частина теореми 2 не може бути узагальнена на випадок, що підтверджує наступний результат.

Теорема 3. На S3 існує метрика класу невід'ємної секційної кривини така, що шарування Ріба є параболічним для цієї метрики.

Цей приклад показує, що клас параболічних шарувань ширший від класу цілком геодезичних, і не міститься в класі жорстких шарувань, тому що останній не допускає шарувань з рібівськими компонентами.

Нарешті, в роботі ми наводимо приклад шарування від'ємної зовнішньої кривини. А саме, ми показуємо, що на просторі одиничних дотичних векторів до замкненої поверхні від'ємної кривини існує шарування постійної від'ємної зовнішньої кривини.

Також ми наводимо результат О. А. Борисенко, який надає деякі топологічні перешкоди щодо існування гіперболічних шарувань.

В завершення розділу 3 ми аналізуємо перешкоди для існування гіпер,шарувань недодатної секційної кривини.

Усі наведені вище нові результати розділу 3 опубліковані нами у [1, 5].

Четвертий розділ дисертації присвячено гіпершаруванням невід'ємної кривини Річчі.

У пункті 4.1 ми робимо огляд компактних просторів позитивної секційної кривини, тому що саме ці многовиди (яких відомо зовсім мало) виявилися перешкодою до існування гіпершарувань невід'ємної кривини Річчі.

У пункті 4.2 ми доводимо основний результат четвертого розділу, що дає часткову відповідь на питання Г. Штака.

Теорема 4. Нехай на компактному многовиді Mn () задана ріманова метрика позитивної секційної кривини. Тоді на ньому не існує гіпершарування майже невід'ємної кривини Річчі. Останнє означає, що кожний шар в індукованій метриці має невід'ємну кривину Річчі поза деякої компактної множини.

Як наслідок, ми одержуємо наступну теорему.

Теорема 4 а). Нехай на компактному многовиді Mn () задана ріманова метрика позитивної секційної кривини. Тоді на ньому не існує гіпершарування невід'ємної кривини Річчі.

Цей результат є, на наш погляд, одним з головних результатів, одержаних в дисертаційній роботі.

Помітимо, що послабивши вимогу на кривину шарів, ми вимагаємо позитивності секційної кривини об'ємлючого простору. Замість останньої вимоги ми могли накласти певні топологічні обмеження на компактні шари. При цьому теорема 4 залишилася б вірною.

На завершення останнього розділу ми демонструємо, що шарування Ріба надає контр-приклад до теореми 4 в тривимірному випадку.

Результати розділу 4.2 опубліковані нами у [2-4].

ВИСНОВКИ

·

· В роботі доведена класифікаційна теорема, яка стверджує, що у класі компактних ріманових 3-многовидів, які мають аналітичну метрику невід'ємної секційної кривини, тільки плоскі просторові форми допускають нетривіальні параболічні шарування. Побудовані приклади таких шарувань.

· Побудована така

· З використанням апарату алгебраїчної та диференційної топології показано, що компактний многовид позитивної кривини не допускає гіпершарування майже невід'ємної кривини Річчі. Це дає часткову відповідь на питання Г. Штака про можливість існування гіпершарування невід'ємної секційної кривини на рімановій сфері. При цьому, вимагаючи позитивності секційної кривини об'ємлючого простору, ми значно послабили вимогу на кривину шарів.

· Доведені нами результати можуть бути використані для подальших досліджень теорії шарувань на ріманових многовидах. Введені класи шарувань ставлять нові питання, зв'язані з їхнім подальшим вивченням. Застосовані в дисертації методи алгебраїчної та диференційної топології в вивченні геометрії шарувань на ріманових многовидах можуть вказати нові шляхи в розв'язанні геометричних питань.

СПИСОК ОПБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Болотов Д. В. Гиперслоения на компактных трёхмерных многообразиях с ограничениями на внешнюю кривизну слоёв // Математические заметки. - 1998. - Т. 63. В. 5. - С. 651-659.

2. Болотов Д. В. Гиперслоения неотрицательной кривизны Риччи // Успехи математических наук. - 2000. - Т. 55. В. 2. - С. 333-334.

3. Болотов Д. В. О гиперслоениях сфер // Математическая физика, анализ, геометрия. - 1999. - Т.6, N.3/4. -C.213-223.

4. Болотов Д. В. Гиперслоения компактных римановых пространств положительной кривизны // Тезисы международной конференции по геометрии "в целом". - Черкассы: ЧИТИ. - 1999. - С. 10.

5. Болотов Д. В. Гиперслоения на компактных трехмерных многообразиях // Тезисы международной конференции по геометрии "в целом". - Черкассы: ЧИТИ. - 1997. - С. 10-11.

Болотов Д. В. Гіпершарування з обмеженнями на кривину. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна, Харків, 2000.

Досліджено задачу існування гіпершарувань з обмеженнями на кривину шарів. Досліджено нові класи шарувань: гіперболічні, параболічні та еліптичні. Показано, що клас параболічних шарувань не належить до класу жорстких. Доведено, що компактні многовиди позитивної кривини не допускають гіпершарувань невід'ємної кривини Річчі.

Ключові слова: шарування, кривина.

Болотов Д.В. Гиперслоения с ограничениями на кривизну. -- Рукопись.

Диcсертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 – геометрия и топология. – Харковский национальный университет им. В. Н. Каразина, Харков, 2000.

Исследована задача существования гиперслоений с ограничениями на кривизну слоев. Изучены новые классы слоений: гиперболические, параболические и эллиптические. Построены нетривиальные примеры таких слоений. Показано, что класс параболических слоений не лежит в классе жестких. А именно, показано, что на трехмерной сфере существует метрика неотрицательной секционной кривизны, такая что в индуцированной метрике все слои слоения Риба являются параболическими подмногообразиями. Доказана классификационная теорема, утверждающая, что если на компактном трехмерное многообразии задана аналитическая метрика неотрицательной секционной кривизны и нетривиальное (не являющееся вполне геодезическое) параболическое слоение, то многообразие является плоской пространственной формой. Построен пример негеодезируемого (и не жесткого) параболического слоения на плоском торе.

Частично дан ответ на следующий вопрос, поставленный Г. Штаком. Существует ли на нечетномерной сфере размерности большей или равной пяти риманова метрика и гиперслоение такие, что в индуцированной метрике все слои имеют неотрицательную секционную кривизну? В диссертации доказано, что компактные многообразия положительной кривизны не допускают гиперслоения неотрицательной кривизны Риччи. Отметим что мы наложили дополнительные условия на кривизну объемлющего пространства, но при этом ослабили требование на кривизну слоев.

Ключевые слова: слоение, кривизна.

Bolotov D.V. Hyperfoliations with restrictions on curvature. – Manuscript

An existence of hyperfoliations with restrictions on the curvature of leaves is studied.

Thesis for a candidate's degree in Physics and Mathematics by speciality 01.01. 04 - geometry and topology. - V. N. Karasin Kharkov National University, Ukraine, Kharkiv, 2000.

Existence problems of hyperfoliations with restrictions on the curvature of leaves are investigated. New classes of foliations are studied: hyperbolic, parabolic and elliptic. It is shown, that the class of parabolic foliations does not lay in a class of tout foliations. It is proved, that the compact manifolds with positive curvature do not admit hyperfoliations of non-negative Ricci curvature.

Key words: Foliation, curvature.

Підп. до друку. Формат 60x90/16. Папір. друк. Офс. друк.

Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,16. Обл. - вид. арк. 1,0. Тираж100 пр. Зам. . Безкоштовно.