Міністерство освіти і науки УкраїниМіністерство освіти і науки України

Тернопільський державний технічний університет імені Івана ПулюяТернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

Барановський Сергій ВіталійовичБарановський Сергій Віталійович

УДК 518.001.57:627.157:627.40УДК 518.001.57:627.157:627.40

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ДЕФОРМАЦІЇ НЕЗВ’ЯЗНОГО ПІЩАНОГО РУСЛА ТУРБУЛЕНТНИМ ВОДНИМ ПОТОКОММАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ДЕФОРМАЦІЇ НЕЗВ’ЯЗНОГО ПІЩАНОГО РУСЛА ТУРБУЛЕНТНИМ ВОДНИМ ПОТОКОМ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних науккандидата технічних наук

Тернопіль - 2000Тернопіль - 2000

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано у Рівненському державному технічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент

БОМБА Андрій Ярославович,

Рівненський державний гуманітар-ний університет, докторант кафедри прикладної математики та інформатики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, доцент

БЕЛЯЄВ Микола Миколайович,

Дніпропетровський державний технічний університет залізнич-но-го транспорту, завідувач кафедри гідравліки і водопостачання;

доктор технічних наук, доцент

ВЛАСЮК Анатолій Павлович,

Рівненський державний технічний університет, завідувач кафедри прикладної математики

Провідна установа - Інститут космічних досліджень НАН України та

Національ-ного космічного агентства України, відділ моделювання динамічних процесів Землі і планет, м. Київ

Захист відбудеться “ 6 ” жовтня 2000 р. о 1100 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 58.052.01 в Тернопільському державному технічному університеті ім. Івана Пулюя, за адресою: 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Тернопільського державного технічного університету ім. Івана Пулюя (46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56).

Автореферат розіслано “ 4 ” вересня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Б.Г. Шелестовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Підвищення якості проектування і будівництва таких відповідальних типів гідротехнічних споруд, як мостові опори, заплавні і руслові опори високовольтних ліній електропередач, руслорегулювальні і берегозахисні півзагати, вибір їх оптимальних конструкцій вимагає як експериментального вивчен-ня та дослідження процесів, що виникають поблизу головних частин цих споруд при обтіканні їх водним потоком, так і, виходячи з можливостей сучасної комп’ю-терної технології, створення нових, ефективних з погляду практичних розрахунків математичних моделей цих процесів.

Однією з головних причин порушення нормальної роботи вищезгаданих спо-руд є розмивання основ їх фундаментів, викликане розвитком значних місцевих рус-лових деформацій. Хоча вивченню цього явища присвячено велику кількість ро-біт, які лягли в основу різних рекомендацій для прогнозування величин розмивів, однак, як свідчать статистичні дані, і на сьо-год-ніш-ній день з причини підмивання фундаментів, наприклад, опор відбувається близь-ко 50-70% всіх аварій на мостових переходах. Тільки безпосередні витрати на ремонт та поновлювальні роботи зруйнованих об’єктів становлять десятки мільйонів гривень.

Проведені різними вченими дослідження явища розмиву відображають складність фізичної суті процесу, що зумовлено багатьма факторами, серед яких слід назвати як конструктивні особливості і розміри споруд, так і кінематичні, турбулентні характеристики водного потоку та параметри русла ріки, які при моделюванні цього процесу на фізичних моделях не завжди повною мірою можна врахувати. Тому залежності, що отримані як результати експериментальних досліджень, часто не відтворюють гідравлічних процесів у натурних умовах, а це призводить до значних прорахунків у проектуванні гідротехнічних споруд, що підтверджується практикою їх експлуатації, коли розрахункові величини розмивів, прийняті під час проектування, виявлялися заниженими і призвели до аварій.

Розроблені методики, в основному, носять емпіричний характер і придатні для визначення параметрів розмиву тільки біля окремих типів споруд з урахуванням деяких характеристик водного потоку, що їх обтікає, даючи змогу розраховувати лише глибину розмиву без з’ясування форми воронки розмиву та зони активного відкладення частинок ґрунту, а також без урахування транспортування наносів. Крім того, різноманітність підходів різних авторів до трактування основних факторів, що визначають процес розмиву поблизу гідротехнічних споруд, призводить до значної розбіжності і в прогнозованих значеннях параметрів розмиву, знайдених за різними методиками.

Використання математичного моделювання при дослідженні процесів деформації русла під впливом водного потоку дає можливість змінювати гідравлічні параметри самого потоку та геометричні розміри споруди в будь-яких межах. Тому пошук математичних моделей, що адекватно відтворюють фізичні процеси розмивання русла та розроблення відповідних програмних продуктів для ЕОМ є на сьогодні однією з актуальних проблем гідротехніки.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота пов’язана з держбюджетною науково-дослід-ною темою “Математичні моде--лі нелінійних стаціонарних і нестаціонарних фільтра-ційних і гідравлічних проце-сів, проблеми взаємозв’язку та врахування локальних неоднорідностей” № І-34 на підставі рішення експертної комісії УІІВГ від 10 січня 1995 р., протокол №4 до наказу ректора від 12 січня 1995 р. за №6 та з науковою темою на замов-ле-н--ня Держкомводгоспу України: шифр теми 250/308 “Розробка методів комплекс--но-го регулюва-ння русел передгірських ділянок річок Карпат”, які виконувалися на кафедрі гідротехнічних споруд Рівненського державного технічного університету.

Мета і завдання дослідження. Мета роботи - розроблення методів математичного моделювання і дослідження процесів деформації дна біля руслових гідротехнічних споруд на підставі сучасних моделей руху рідини, наносів та турбулентності.

Для досягнення сформульованої вище мети були поставлені такі завдання дослідження:

1. На основі дифузійної теорії перенесення наносів турбулентним вод-ним потоком розробити математичні моделі процесу деформації незв’язного піщаного рус-ла, зокрема для випадків, коли поверхня дна розглядається як змінна в часі ділянка границі області.

2. Розробити методику реалізації побудованих математичних моделей для випадків, коли швидкість та коефіцієнт дифузії залежать як від зміни в часі концентрації наносів, так і від змінної ділянки границі області, а також застосувати її для розв’язання відповідних двовимірних задач, що виникають при моделюванні процесів утворення піщаних хвиль, деформацій затоплених пагорбків і впадин при обтіканні їх водним потоком, та формування воронки розмиву при виході потоку з ділянок із закріпленим дном.

3. Застосувати розроблену математичну модель та методику її реалізації для моделювання процесу розмиву, що ви-никає поблизу окремих типів гідротехнічних споруд, зокрема для випадку, коли плановий розподіл швидкості потоку близький до умов руху ідеальної рідини.

4. З метою апробації розробленої математичної моделі, методу її реалізації, калібровки, побудови модельних співвідношень для коефіцієнта дифузії, а також подальшого дослідження процесу деформації русла біля окремих типів гідротехнічних споруд, провести чисельні експерименти у випадках обтікання незатоплених нормально і косо розміщених півзагат та циліндричних перешкод.

5. Порівняти результати чисельних експериментів з натурними даними та даними експериментальних досліджень, проаналізувати адекватність запропонованої моделі фізичному процесові.

Об’єкт дослідження. Процес деформації русла під впливом турбулентного водного потоку.

Предмет дослідження. Процес місцевих деформацій незв’язного піщаного русла під впливом турбулентного водного потоку у випадках, коли руслоформувальні наноси переносяться переважно у зваженому стані.

Методи дослідження. Гідравлічні, гідрологічні та інші особливості річок, що суттєво впливають на характер виникнення і розвитку місцевих деформацій русла, виділені в результаті аналізу літературних джерел і даних досліджень інших авторів. Зокрема, виділено клас технічних задач, для яких є доцільним використання дифузійної теорії перенесення наносів для побудови математичних моделей процесів деформації незв’язного піщаного дна русла.

В основу розробленого методу реалізації запропонованих нелінійних математичних моделей покладено ідею почергового “заморожування” компонент процесу в часі. При побудові розв’язків відповідних модельних задач у випадках переважання конвективної складової процесу над дифузійною використано класичний асимптотичний метод Вішіка-Люстерника, модифікований і розвинутий А.Я. Бомбою стосовно розв’язання задач конвективної дифузії.

Наукова новизна одержаних результатів. Проведені теоретичні дослід-же-н-ня дали змогу отримати ряд нових результатів.

1. На основі відомої дифузійної теорії руху зважених наносів створені нові математичні мо-делі процесів місцевих деформації незв’язного піщаного русла під впливом турбулентного водного потоку, в яких поверхня дна розглядається як змінна в часі ділянка границі області, що дають можливість розраховувати не лише глибину воронки розмиву, але і її форму та зону відкладення частинок грунту;

2. Розроблено нову процедуру побудови покрокової чисельної асимптотики розв’язків відповідних сингулярно збурених нелінійних задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними межами, зокрема, для випадків, коли швидкість потоку і коефіцієнт дифузії залежить як від шуканої функції, так і від змінної ділянки границі;

3. В рамках верифікації вихідних математичних моделей в умовах неповних даних вперше одержані модельні співвідношення для коефіцієнта дифузії в залежності від швидкості потоку та її градієнту для випадків обтікання незатоплених циліндричних перешкод та нормально і косо розміщених півзагат;

4. Чисельні дослідження процесів деформації русла біля окремих гідротехнічних споруд на основі запропонованих моделей підтвердили ефект зменшення максимальної глибини воронки розмиву внаслідок транспортування наносів з верхніх ділянок русла при збільшенні швидкості набігаючого потоку починаючи з деякого її критичного значення.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані математичні моделі дають можливість розраховувати не лише глибину воронки розмиву, але і її форму, а також зону активного відкладення наносів з урахуванням зміни епюр швидкостей у процесі деформації русла, транспортування наносів для конкретних умов обтікання споруд, а також розвиток процесу в часі. Отримані практичні результати розширюють сферу застосування методів математичного моделювання при проектуванні різних типів гідротехнічних споруд.

Представлені в роботі моделі та покрокова процедура чисельно-асимпто-тич-ного наближення роз-в’яз-ків нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвек-тивної дифузії можуть бути використані і при побудові моделей процесів конвективного теплопереносу в областях з вільними ділянками їх границь.

Отримані результати можуть стати основою для подальшого дослідження та моделювання процесу деформації русла водним потоком з більш точним урахуванням основних турбулентних характеристик потоку та конструктивних особливостей споруд різних типів.

Розроблені в дисертації рекомендації прийняті інститутом “Львівдіпроводгосп” до впровадження у проектах берегоукріплень передгірських ділянок річок Івано-Франківської та Закарпатської областей.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що становлять основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У публікаціях, які написані у співавторстві, здобувачу належить: в роботі [4] - отриманий розв’язок поставленої модельної задачі та виконані чисельні дослідження; [5] - отриманий розв’язок поставленої модельної задачі та проведені числові розрахунки на основі розробленої разом з А.Я. Бомбою покрокової процедури чисельно асимптотичного наближення розв’язків сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними межами; [6] - виконані чисельні розрахунки на основі запропонованої в роботі математичної моделі та методики її реалізації, обробка та аналіз отриманих результатів; [7] - побудовані модельні співвідношення для компонентів швидкості потоку і коефіцієнта дифузії залежно від зміни в часі положення поверхні дна та виконані теоретичні і чисельні дослідження в рамках запропонованої математичної моделі процесу; [8] - отриманий розв’язок поставленої модельної задачі та проведені теоретичні дослідження.

Апробація результатів дисертації. Окремі положення роботи допові--далися на науково-прак-тичних конференціях Української державної академії водного гос-подарства (Рівне, 1995-1998); під час роботи школи-семінару “Прикладні проблеми математики та інформатики” (Рівне, 1996 р.); на міжнародній науковій конференції “Крайові задачі термомеханіки” (Львів, 1996 р.); на Всеук-ра-їнсь-кій науковій конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделю-ван-ня та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, ЛДУ, 1996 р.); ювілейній Всеук-ра-їнсь-кій науково-технічній кон-ференції “Актуальні проблеми водного господарства” (Рівне, 1997р.); на міжнародній науковій конференції “Сучасні пробле-ми механіки і математики” (Львів, 1998 р.); на міжнародній науковій конференції “Су-часні пробле-ми теорії фільтрації” (Рівне, 1998 р.).

У цілому робота обговорювалася на Всеукраїнському семінарі з гідравліки (Київ, УТУ, 17 лю-то-го 1999 р.), на розширеному науковому семінарі Тернопільського державного технічного універ-си-тету імені Івана Пулюя (Тернопіль, 25 червня 1999 р.), на науковому семінарі кафедри гідро-технічних споруд Рівненського державного технічного університету (Рівне, 21 грудня 1999 р.,).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи відображено в 9 наукових працях (4 написані без співавторів), з них 4 - статті у фахових наукових журналах та збірниках наукових праць.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку використаних джерел та додатків. Повний обсяг дисертаційної роботи - 145 сторінок, і містить - 34 рисунки, 3 таблиці, а також один додаток.Список використаних джерел включає 119 бібліографічні найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і завдання дослід-ження, визначено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення.

У першому розділі описано стан досліджень та виконано огляд існуючих емпіричних залежностей для визначення мак-си-мальної глибини воронки розмиву; наведено основні співвідношення для моде-лю-вання стійкості поверхневого шару ґрунту під впливом зовнішніх факторів, якими ви-с-ту-пає, зокрема, турбулентний водний потік, з погляду механічних властивостей ґрун-то-вого середовища, а також представлено методику розрахунку процесу проникне-н-ня пульсацій тиску в це середовище; подано огляд найбільш поширених моделей про-цесу змулення частинок ґрунту турбулентним водним потоком та характеристи-ку основних методів математичного моделювання турбулентного водного потоку.

Явище місцевого розмиву зацікавило вчених різних країн ще в другій половині XIX століття. До найперших дослідників у цій сфері можна віднести А. Мінарда, Дюран-Кле, Х. Енгельса, Ребока і Коппа, А.М. Фролова, А.А. Гельфера. У дисертаційній роботі наведено основні результати досліджень Дж. Ласея, Л.Дж. Тісона, І.І. Агроскіна, Г.Т. Дмітрієва, А.М. Латишенкова, І.А. Ярославцева, Е.М. Лаурсена, К.К. Інгліса, В.С. Муромова, А.С. Образовського, І. Ларраса, К.Ф. Артамонова, Г.Б. Руруа, Х.Н. Бройзерса, Б.Л. Височанського, З.К. Еріставі, В.А. Маглакелідзе, Х.В. Шена, Ю.А. Коваленка, В.Ш. Ципіна, В.С. Алтуніна, М.А. Балгереєва, Н.Д. Канарського, С.К. Джайн, М.М. Журавльова, Р.Дж. Гарде.

При аналізі названих робіт виявлено значну розбіжність у тлумаченні основних факторів, що впливають на процес розмивання, на що вказують і проведені числові розрахунки глибини розмиву за методиками різних авторів. Крім того, наведені в роботі залежності носять чисто емпіричний характер і не дозволяють створювати придатних для потреб практики математичних моделей процесу розмивання.

Стійкість поверхневого шару ґрунту під впливом зовнішнього турбулентного водного потоку багато в чому визначається механічними властивостями самого ґрунтового середовища. Б.І. Дідухом, В.Л. Лобисьовим, В.М. Лятхером запропонована гранична умова миттєвої локальної стійкості верхнього шару, в якій основним параметром виступають пульсації тиску в грунті, для визначення яких при розв’язанні відповідних задач в дисертаційній роботі пропонується використовувати чисельно-асимптотичні методи.

Беручи до уваги те, що в основі руслових процесів лежить взаємодія водного потоку і русла, виражена, зокрема, в обміні наносами за рахунок їх постійного осідання та змулення, для оцінки шляхів побудови математичної моделі цього процесу були проаналізовані існуючі теоретичні моделі процесів змулення частинок ґрунту водним потоком В.М. Маккавеєва, розвинуті у роботах А.В. Караушева, М.А. Веліканова, Ф.І. Франкля (так звані дифузійні моделі), а також гравітаційна теорія М.А. Веліканова. Проведений аналіз свідчить, що кожна з розглянутих моделей перенесення змулених наносів не позбавлена окремих недоліків. Тому, зважаючи на можливі шляхи реалізації, для побудови математичної моделі процесу деформації русла для окремого класу технічних задач була обрана дифузійна теорія. Зауважимо, що приклади застосування такої моделі для розрахунку процесів розмиву русла освітленим потоком та осідання наносів у водосховищах та відстійниках можна знайти в роботах, зокрема, Г.І. Шамова. Крім того, дифузійна теорія широко застосовується і при дослідженні процесів масоперенесення розчинних речовин у рідині. Теоретичні дослідження таких процесів масопереносу при фільтрації в пористих середовищах проводилися в роботах Н.Н. Веригіна, С.Н. Нумєрова, В.І. Лаврика, В.Н. Ніколаєвского, А.Я. Бомби, А.П. Власюка та ін. Так, А.Я. Бомбою розроблено ефективний чисельно-асимпто-тич-ний метод дослідження такого роду процесів масоперенесення у випадку переважання його конвективної складової над дифузійною, пов’язаний із розв’язанням нових типів задач для сингулярно збурених параболічних рівнянь.

Вплив водного потоку на процеси відриву, перенесення та відкладення частинок ґрунту визначається полем осереднених швидкостей та статистичними параметрами їх миттєвих значень. Розрахунок цих кінематичних і турбулентних характеристик по-току можливий і шляхом математичного моделювання турбулентного водного по-току, що традиційно представляє значний теоретичний і практичний інтерес. Осно-вою для такого моделювання, як і раніше, залишаються рівняння динаміки ре-аль-ної рідини. Зауважимо, що наявні аналітичні та числові методи розв’язання цих рівнянь розроблені для простих випадків і, в основному, для умов ламінарного руху рідини. При розв’язанні ж задач, що відносяться до випадків турбулентного режиму руху рідини, виникає проблема відшукування випадкових функцій, якими є поля миттєвих швидкостей та тиску в потоці, що з математичної точки зору є досить складним і сучасними методами розв’язання рівнянь Нав’є-Стокса вони не можуть бути знайдені. Часткове вирішення цієї проблеми може бути здійснено шляхом вико-рис-та-ння диференціальних рівнянь осередненого руху та їх наступного замикання за до-по-могою певної моделі турбулентності, оскільки нормальні і дотичні напруги Рейнольдса в них є невідомими величинами. Основними вимогами до таких моделей є те, щоб вони були відносно простими і в той же час враховували суттєві фактори, що визначають розглядувані процеси.

Провівши аналіз найбільш поширених моделей турбулентності, зроблено висновок, що найбільш простими і водночас ефективними при моделюванні складних турбулентних потоків для різних умов руху рідини є моделі з двома рівняннями перенесення типу k-e - моделі. При чисельній реалізації цієї моделі для замикання рівнянь осередненого руху та рівнянь перенесення кінетичної енергії турбулентності k і швидкості її дисипації e пропонується використовувати, крім рівняння нерозривності в інтегрованій формі, оскільки воно не містить величину тиску, а компоненти швидкості потоку входять в нього лише через похідні по коорди-натах, ще й рівняння Пуассона для тиску, яке отримується шляхом диференціювання рівнянь Рейнольдса осередненого руху по координатах з наступним їх сумуванням. Таке рівняння може бути записане у вигляді

(1)

Наближений розв’язок цього рівняння знаходився ітераційним методом послідовної верхньої релаксації (ПВР). На основі аналізу проведених числових роз-рахунків отримане оптимальне значення коефіцієнта релаксації в межах 1,5...1,8.

У другому розділі представлено різні варіанти математичного моделювання процесу відриву, перенесення та відкладення частинок грунту в примежовій зоні на основі дифузійної теорії перенесення наносів В.М. Маккавеєва у випадку, коли дно розглядається як деяка змінна в часі ділянка границі області; наведені розв’язки відповідних нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії, зокрема для випадків, коли швидкість потоку та коефіцієнт дифузії залежать не тільки від шуканої функції, а й від вільної межі області.

Використання емпіричних залежностей для визначення глибини місцевого розмиву в прак-тиці будівництва гідротехнічних споруд різних типів залишає поза увагою такі важливі фактори, як форма воронки розмиву та зони активного відкладення частинок, а також процес їх формування з часом. Тому, і на сьогоднішній день створення придатних для практичних розрахунків математичних моделей процесів деформації русла, які давали б можливість розраховувати не лише глибину воронки розмиву, а й її форму та зону відкладення наносів в процесі їх формування в часі, залишається досить важливим, актуальним і до кінця не вирішеним питанням. Одним зі шляхів такого моделювання може бути використання дифузійної моделі процесу змулення дрібних частинок грунту турбулентним водним потоком, яка була запропонована Маккавеєвим для розрахунку розподілу наносів у потоці за умови незмінності положення поверхні дна.

У дисертаційній роботі розглядається процес конвективної дифузії частинок ґрунту в рідині, яка рухається з деякою швидкістю в області G={(x,y): -Ґ<x<+Ґ, 0<y<l(x,t)}, обмеженій горизонтальною лінією y=0 та змінною в часі границею L (y=l(x,t)) - межею розділу цієї рідини і твердої фази у випадку переважання його конвективної складової над дифузійною. Нехтуючи у випадку дрібних частинок ґрунту гідравлічною крупністю будемо розглядати їх відрив, переміщення та осідання під впливом водного потоку як дифузію з деяким фіктивним коефіцієнтом eD(x,y). Тоді, вважаючи, що функції D(x,y), u(x,y), v(x,y) не залежать від часу t, цей процес буде описуватися такою модельною задачею:

; (2)

, (3)

де c(x,y,t) - концентрація частинок у точці (x,y) в момент часу t; eD(x,y) - фіктивний коефіцієнт дифузії, який пов’язаний з інтенсивністю проник-не-ння частинок грунту в рідину; l(x,t) - невідома функція, що характеризує положення поверхні дна в даний момент часу, l(x,t)>0; e - малий параметр.

Розв’язок задачі (2)-(3) знаходимо наближено, провівши дискретизацію часу t з настільки малим кроком Dt, щоб на кожному з проміжків [tk, tk+1] можна було знехтувати зміною границі L і, вважаючи її при tk<t<tk+1 фіксованою, - L=Lk={(x,y): y=l(x,tk)}. Знайшовши розв’язок поставленої задачі в області з вже незмінною в часі ділянкою границі Lk, будуємо нове положення кривої L=Lk+1, яку прийматимемо за наближення границі області для наступного етапу часу, і т.д.

Вважаючи, що в початковий момент часу лінія розділу рідкої і твердої фази (поверхня дна) збігається з прямою L0={(x,y): y=l(x,t0)=l0}, розв’язок вихідної шукаємо на першому і наступних часових етапах у відповідних областях Gk={(x,y): -Ґ<x<+Ґ, 0<y<lk} у вигляді асимптотичного ряду:

, (4)

де Rn = O(en+1 ) - залишковий член; Pjk(x,h,t) - примежові функції (h - розтягнута змі-н-на в околі y=lk, яка для першого часового етапу рівна ); cjk(x,y,t) - чле-ни регулярної частини асимптотики.

Для корегування границі L (вільної ділянки границі вихідної області) після кожного часового етапу вводиться додаткова умова, яка пов’язує потік донних частинок ґрунту через вільну ділянку границі та швидкість зміни положення поверхні дна. Така умова має вигляд

. (5)

де n - одиничний вектор нормалі до границі області, орієнтований в її середину.

Оскільки зміна положення поверхні дна під впливом водного потоку приз-водить до відповідної зміни кінематичних характеристик потоку, а отже, і коефіцієнта дифузії, то при невеликих змінах поверхні дна для врахування цього фактора пропонуємо задавати залежність коефіцієнта дифузії та горизонтальної складової швидкості потоку від ділянки границі l(x,t) у вигляді

, . (6)

де l0 - початкове положення поверхні дна; D0(x,y) - початкове значення коефіцієнта дифузії; m - деяке число (параметр).

Врахування останніх співвідношень зумовлює потребу в розв’язанні суттєво нелінійних задач для рівнянь конвективної дифузії, у яких коефіцієнт дифузії залежить не тільки від концентрації наносів, але й від змінної в часі ділянки границі (поверхні дна). Розв’язок відповідної нелінійної сингулярно збуреної задачі знаходимо наближено, провівши як і в попередньому випадку дискретизацію часу, у вигляді асимптотичного ряду (4).

У випадку, коли швидкістю осідання частинок грунту w0 знехтувати не можна, рівняння (2) розглядаємо у вигляді

. (7)

У випадках значних змін положення поверхні дна для враху-ван-ня її впли-ву на розподіл швидкостей пропонуємо іншу, відмінну від (6), форму залежності складових u та w вектора швидкості потоку від вільної ділянки границі типу L: z=l(x,t) , а саме:

, , (8)

де u0 - швидкість рідини на її поверхні; l0 - деяке осереднене значення глибини потоку; a - досить мале число, уведення якого забезпечує ненульові значення швидкості потоку поблизу поверхні дна.

Ввівши нові змінні s, r таким чином, що:

, (9)

для опису процесу відриву та перенесення частинок ґрунту, приходимо до наступної модельної задачі:

, (10)

; , , (11)

та умові балансу маси частинок на поверхні дна (5). Тут

, . (12)

Після відшукання розв’язку задачі (10)-(12) на кожному часовому етапі, для визначення нового положення вільної ділянки границі Lk отримана формула

(13)

На рис. 1-2, як приклади використання запропонованої методики, зображе-но положення поверхні дна в різні моменти часу (t0=0c, t1=2,5c, t2=5,0c, t3=7,5c), розрахо-вані за останньою формулою відповідно для випадків обтікання водним потоком затопленого пагорбка та малої воронки при швидкості набігаючого потоку - 1м/с та діаметрі частинок однорідного ґрунту 1мм.

Коефіцієнт дифузії D прий-мався, згідно з гіпотезою Маккавеєва про коефіцієнт тур-булентного обміну, пропорційним деякій степені осередненої швид-кості потоку (наприклад, розрахунок вищерозглянутих випадків проводився при b=2)

D=cV b, (14)

а концентрація наносів у початковий момент часу, відповідно до дифузійної теорії змулення дрібних частинок, у вигляді:

Рис.1. Розвиток процесу розмиву при обтікан- Рис.2. Розвиток процесу розмиву при обтікан-

ні водним потоком малої воронки ні водним потоком затопленого пагорбка

. (15)

Зауважимо, що розв’язок вихідних модельних задач, що описують процес конвективної дифузії в областях із вільною ділянкою границі може бути знайдений наближено і методом кінцевих різниць.

У третьому розділі дисертаційної роботи представлено математичні моделі процесів деформації русла біля окремих типів гідротехнічних споруд, зокрема для випадків обтікання незатоплених косо- та нормаль-но розташованих півзагат, а також циліндричних перешкод (мостових опор) водним потоком.

Розглядаючи процес обтікання незатопленої нормально розташованої пів--за-га-ти вод-ним потоком, у якому плановий розподіл швидкості біля її поверхні достат-ньо близь-кий до випадку руху ідеальної рідини і може бути ним замінений, та використовуючи залежність показникового виду для розподілу швидкості пото-ку по вер--тикалі, компоненти швид-кості, з ура-ху-ванням впливу зміни положення поверхні дна (z=l(x,y,t)), пропонуємо представля-ти у вигляді:

, , (16)

, (17)

де m - показник параболи; u0, v0 - компоненти вектора швидкості фіктивно ідеального горизонтального потоку біля поверхні рідини.

Якщо ши-ри-на потоку настільки більша за довжину пів-за-га-ти, що впли-вом про-ти--лежного берега на поле швидкостей поблизу спо-ру-ди мож-на знех-ту-вати, то вирази для компонент швидкості u0, v0 ідеального горизонтального потоку можуть бути зна-й-дені шляхом конформного відображення півплощини з попереч-ним розрізом (півзагатою) Gz={z=x+iy: -Ґ<x<+Ґ, 0<y<+Ґ}\{(0,y): 0<yЈB} на півплощину (область ком-плексного потенціа-лу) Gx={x=j+iy: -Ґ<j<+Ґ, 0<y<+Ґ} (тут j, y - відповідно по-тенціал та функція течії певного фіктивно ідеального гори-зон-тального потоку, B - дов-жина півзагати) при відповідності Ґ®Ґ, iB®0, 0®±uҐB, у вигляді

, (18)

, (19)

Перейшовши від об-лас-ті G={(x,y,z,t): -Ґ<x<+Ґ, 0<y<+Ґ, 0<z<l(x,y,t), t>0}\{(x,y,z,t): x=0, 0<yЈB, 0<z<l(x,y,t), t>0} до відповідної області G* змінних (j,y,z,t), G*={(j,y,z,t): -Ґ<j<+Ґ, 0<y<+Ґ, 0<z<l(j,y,t)=l(x(j,y),y(j,y),t), t>0}, обмеженій зверху горизон-тальною площиною z=0 - поверхнею рідини, береговою стінкою з півзага-тою {(j,0,z,t): -Ґ<j<+Ґ, 0<z<l(j,0,t)}, вільною поверхнею L={(j,y,t): z=l(j,y,t)}, приходимо до наступної модель-ної задачі:

(20)

; ; (21)

, , ; (22)

. (23)

Концентрація нано-сів у початковий момент часу може бути задана у вигляді (15), а коефіцієнт eD приймаємо відповідно до (14).

Увівши нові змінні s, h, r (), розв’язок задачі (20)-(23) знаходимо чисельно-асимптотичними методами. При цьому для визначення положення поверхні дна отримано формулу

Рис. 3. Розрахункова конфігурація поверхні дна поблизу нормально

розташованої незатопленої півзагати

(24)

На рис.3 схематично зображено конфігурацію поверхні дна поблизу оголовка розташованої під прямим кутом до берегової лінії півзагати в деякий момент часу t=10с (розрахунок проводився при таких вихідних даних: uҐ=1м/с, B=1м, ґрунт - однорідний, з діаметром частинок 1мм).

На рис. 4 зображено графіки залежності максимальної глибини воронки розми-ву поблизу нормально розташованої півзагати, побудовані за емпіричними фор-мулами різних авторів та розрахований за дифузійною моделлю (штрихова лінія).

У випадку, коли довжина нормально розташованої незатопленої півзагати співмірна з шири-ною русла, компоненти вектора швидкості рідини на поверхні потоку u0, v0, знаходимо шляхом конформного відображення смуги з попереч-ним розрізом (півзагатою) Gz={z=x+iy: -Ґ<x<+Ґ, 0<y<H}\{(0,y): 0<yЈB} на смугу (область комплексного потенціа-лу) Gx={x=j+iy: -Ґ<j<+Ґ, 0<y<Hр} при відпові-д-ності Ґ®Ґ, iВ®0, 0® (тут Hр - ширина русла).

Рис. 4. Залежність максимальної глибини Рис. 5. Графік залежності глибини воронки роз-

воронки розмиву поблизу нормально роз- миву поблизу циліндричної опори від швидкос-

ташованої півзагати від швидкості набігаю- ті набігаючого потоку при розрахунку за форму-

чого потоку: 1- Ципіна В.Ш.; 2 - Бузунова І.А. ; лами: 1 - Журавльова М.М.; 2 - Гарде Р.; 3 - Му-

3 - Руруа Г.Б.; 4 - Маглакелідзе В.А.; 5 - ромова В.С. з врахуванням транспорту наносів;

розрахунок за дифузійною моделлю 4 - розрахунок за дифузійною моделлю; 5 - Ше-

на Х.В.; 6 - Лаурсена Е.М.; 7 - Ларраса І; 8 -

Джайна С.К.; 9 - Муромова В.С. для освітлених

потоків; 10 - Ципіна В.Ш.; 11 - Латишенква А.М.

Рис. 6. Розрахункова конфігурація поверхні дна поблизу циліндричної

перешкоди (мостової опори)

У випадку обтікання розміщених під кутом до берегової лінії незатоплених півзагат компоненти швидкості на поверхні рідини знаходимо шляхом конформного відображення півплощини з косим розрізом (півзагатою) на півплощину при відповідності Ґ®Ґ, 0®uB, . А при обтіканні циліндричних перешкод для визначення горизонтальних компонент швидкості потоку на її поверхні використовуємо формулу Жуковського.

На рис. 5 зображені графіки залежності максимальної глибини воронки розмиву від швидкості набігаючого потоку, що виникає поблизу циліндрич-ної опори (uҐ=1м/с, R=1м, ґрунт - однорідний, з діаметром частинок 2мм). За результатами розрахунків згідно дифузійної моделі отримано зменшення максимальної глибини воронки розмиву починаючи з деякого значення швидкості набігаючого потоку. Таке явище пояснюється тим, що із збільшенням швидкості потоку зростає і кількість наносів, які транспортуються потоком, а це, в свою чергу, призводить спочатку до сповільнення швидкості розмиву, а потім і до замулення воронки розмиву. За уважимо, що неврахування транспорту наносів з верхніх ділянок русла приводить до невиправдано завищених значень глибини воронки розмиву при збільшенні швидкості потоку. Наявність цього явища описували, зокрема, В.А. Маглакелідзе, Н.А. Михайлова, а також М.М. Журавльов. На рис. 6 показана конфігурація поверхні дна для такого випадку в деякий момент часу t=10с.

У четвертому розділі дисертаційної роботи представлено практичні рекомендації до використання запропонованих математичних моделей процесу деформації русла для розрахунку параметрів розмиву біля циліндричних мостових опор та незатоплених півзагат.

Розрахунок геометричних окрислів дна в зоні розмиву та його зміни в часі дає змогу більш обґрунтовано й ефективно обирати глибину залягання фундаментів гідротехнічних споруд такого типу, інші їх конструктивні особливості та оцінювати необхідні заходи щодо кріплення дна з метою забезпечення нормальної роботи і запобігання руйнування споруд.

Запропоновані в роботі математичні моделі процесів деформації русла та практичні рекомендації щодо їх використання стосується випадків, коли руслоформувальні наноси переносяться потоком переважно у змуленому стані. Для визначення межі застосування таких моделей у роботі пропонуємо критерій у вигляді:

. (25)

ВИСНОВКИВИСНОВКИ

1. На основі аналізу результатів експериментальних досліджень процесу роз-ми-ву, емпіричних залежностей для визначення параметрів розмивання та математичних моделей процесу змулення частинок ґрунту турбулентним водним потоком виділено клас технічних задач, для яких є доцільним використання дифузійної теорії перенесення наносів для розрахунку глибини воронки розмиву, конфігурації поверхні дна та її зміни в процесі розмивання.

2. Побудовано математичну модель процесу деформації піщаного дна русла, зокрема процесу утворення піщаних хвиль, на основі дифузійної теорії змулення частинок ґрунту та розроблено покрокову процедуру чисельно-асимптотич-ного наближення розв’язків відповідних нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях із вільними межами.

3. Побудовано модельні співвідношення для компонент осередненої швидкості та коефіцієнта дифузії залежно від зміни в часі положення поверхні дна. На цій основі отримані розв’язки задач про деформацію дна при обтіканні водним потоком затопленого пагорбка, малої воронки, втіканні до великої впадини та виході потоку рідини з ділянок із закріпленим дном.

4. Розроблені моделі та методика їх реалізації розширено для випадків деформації піщаного русла поблизу незатоплених косо та нормально розташованих півзагат, а також циліндричних перешкод (мостових опор) при обтіканні їх водним потоком, плановий розподіл компонент швидкості якого біля поверхні рідини близький до ідеального, а коефіцієнт дифузії залежить не тільки від осередненої швидкості потоку, але й від її градієнта.

5. Запропонована методика математичного моделювання процесу деформації піщаного дна русла дає змогу розраховувати не лише глибину воронки розмиву, але і її форму та зону відкладення частинок з урахуванням транспортування наносів, а також прогнозувати розвиток процесу в часі.

6. Зіставлення значень максимальної глибини воронки розмиву, виміряних у результаті натурних спостережень та знайдених за формулами інших авторів, з їх значеннями, отриманими на основі запропонованої методики, свідчить про адекватність виділених класів математичних моделей фізичним процесам та їх придатність для практичного застосування.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Барановський С.В. Про один метод розрахунку процесу деформації дна під впливом турбулентного водного потоку // Гидравлика и гидротехника: Межведом. научно-техн. сб. - Київ: Техніка, 1998. - Выпуск 59. - С. 110-115.

2. Барановський С.В. Про математичне моделювання процесів деформації незв’яз-ного піщаного дна біля окремих типів гідротехнічних споруд // Вісник Терно-пільсь-кого державного технічного унівеситету. – 1999. – Т. . - Ч. . – С. .

3. Барановський С.В. Про розв’язок одного класу нелінійних задач конвективної дифузії та моделювання розмивів поблизу півзагат // Вісник Тернопільського державного технічного унівеситету. – 1999. – Т. . - Ч. . – С. .

4. Барановський С.В., Бомба А.Я. Покрокова асимптотика розв’язання одного класу сингулярно збурених нелінійних задач з вільними поверхнями // Матема-тич-ні методи і фізико-механічні поля. - Львів. - 1999. Т. 42, № 2. - С. 47-52.

5. Барановський С.В., Бомба А.Я., Щодро О.Є. Моделювання і дослідження одного класу сингулярно збурених дифузійних процесів в області із змінною границею // Фізика конденсованих високомолекулярних систем. - Рівне: РДПІ, 1996. - №2. - С. 27-32.

6. Бомба А.Я., Щодро О.Є., Барановський С.В. Про моделювання і дослідження сингулярно збурених дифузійних процесів в контрастних середовищах // Волинсь-кий математичний вісник. - Рівне. - 1996. - № 2. - С.25-27.

7. Барановський С.В., Бомба А.Я. Про асимптотичне наближення розв’язків одного класу нелінійних задач конвективної дифузії в областях із вільними межами та проблеми моделювання розмивів // Во-линський математичний вісник. - Рівне. - 1998. - № 5. - С. 15-20.

8. Бомба А.Я., Барановський С.В., Щодро О.Є. Покрокова асимптотика роз-в’язку сингулярно збурених задач конвективної дифузії в скінченних областях з вільними межами та проблеми моделювання планових деформацій дна русла // Вісник УДАВГ. - Рівне: УДАВГ. - 1998. - № 1. - С. 21-27.

9. Барановський С.В. Про один підхід до моделювання тривимірного процесу деформації дна під впливом турбулентного потоку // Актуальні проблеми водного господарства. - Рівне: УДАВГ, 1997.- Том 1. - С.7- 10.

АНОТАЦІЇАНОТАЦІЇ

Барановський С.В. Математичне моделювання процесу деформації незв’язно-го піщаного русла турбулентним водним потоком. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. - Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2000.

У дисертації на основі дифузійної теорії перенесення наносів побудовано математичну модель процесу деформації незв’язного піщаного дна русла під впливом турбулентного потоку, у якій поверхня дна розглядається як змінна в часі ділянка границі області, та розроблено покрокову процедуру чисельно-асимп-то-тичного наближення розв’язків відповідних модельних задач. Отримано розв’я-з-ки задач про деформацію дна при обтіканні водним потоком затопленого пагорбка, малої воронки, втіканні до великої впадини та виході потоку рідини з ділянок із закріпленим дном. На цій основі проведено дослідження процесів деформації піщаного русла поблизу окремих типів гідротехнічних споруд у випадках, коли плановий розподіл швидкості біля поверхні рідини близький до ідеального, а коефіцієнт дифузії залежить як від осередненої швидкості потоку, так і від її градієнта. Запропонована методика математичного моделювання дає змогу розраховувати не лише глибину воронки розмиву, але й її форму та зону відкладення частинок з урахуванням транспортування наносів, а також прогнозувати розвиток процесу в часі.

Ключові слова: математичне моделювання, нелінійні задачі, процеси з післядією, регулярні і сингулярні збурення, чисельно-асимптотичні методи, вільна границя, розмив, дифузія, гідротехнічні споруди.

Барановский С.В. Математическое моделирование процесса деформации несвязного песчаного русла турбулентным водным потоком. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. - Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2000.

В диссертационной работе рассматривается вопрос математического моделирования процессов деформации несвязного песчаного дна русла под влиянием турбулентного водного потока. На основе анализа результатов эксперимен-тальных исследований процесса размыва, эмпирических зависимостей для определения параметров размыва и теоретических моделей процесса переноса взвешенных наносов турбулентным водным потоком для отдельного класса технических задач предлагаются математические модели процессов деформации несвязного песчаного дна русла. Процесс отрыва, переноса и отложения частиц рассматривается в таких моделях, как их диффузия в жидкость с некоторым фиктивным коэффициентом (отличным от такого для воды), а поверхность дна - как переменный во времени участок границы области. В работе также предложена математическая модель процесса деформации песчаного русла для случая, когда под влиянием турбулентного потока происходит разрушение поверхностного слоя грунта и переход его во взвешенное состояние, в которой вода и грунт рассматриваются как некоторая сплошная двухслойная среда с существенно отличающимися характеристиками (коэффициентом диффузии и компонентами скорости).

Для реализации предложенных математических моделей в работе представлена пошаговая процедура численно-асимптоти-чес-ко-го приближения решений соответствующих нелинейных сингулярно возмущенных задач для уравнений конвективной диффузии в областях со свободными границами.

На этой основе рассматривается математическая