Київський нацiональний унiверситет

iменi Тараса Шевченка

Бондаренко Вiталiй Михайлович

УДК 512.547

КЛАСИФIКАЦIЙНI ЗАДАЧI В ТЕОРIЇ

МОДУЛЯРНИХ ЗОБРАЖЕНЬ ГРУП

01.01.06 -- алгебра i теорiя чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора фiзико-математичних наук

Київ -- 2000

Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана в Iнститутi математики НАН України

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук,

Гудiвок Петро Михайлович,

Ужгородський державний унiверситет,

завiдувач кафедри алгебри

доктор фiзико-математичних наук, професор

Кириченко Володимир Васильович,

Київський нацiональний унiверситет

iменi Тараса Шевченка,

завiдувач кафедри геометрiї

доктор фiзико-математичних наук,

академiк АН Молдови

Рябухiн Юрiй Михайлович,

Iнститут математики АН Молдови,

провiдний науковий спiвробiтник

Провiдна установа – Львiвський державний унiверситет iменi Iвана Франка,

кафедра алгебри i топологiї

Захист вiдбудеться “15 сiчня 2001р.” о 14.00 годинi на засiданнi

спецiалiзованої вченої ради Д26.001.18 Київського нацiонального

унiверситету iменi Тараса Шевченка за адресою:

03127, м.Київ-127, проспект академiка Глушкова, 6,

механiко-математичний факультет.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Київського нацiонального

унiверситету iменi Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розiсланий “6 грудня” 2000 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради ____________________ А. П. Петравчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертацiйна робота присвячена розв'язку класифiкацiйних задач теорiї модулярних зображень скiнченних груп, а також класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри, що виникають в процесi дослiджень. Отриманi результати застосовуються в теорiях зображень iнших об'єктiв (скiнченновимiрних алгебр, орiєнтовних графiв, частково впорядкованих множин) i для детального дослiдження операторiв, що дiють в градуйованих векторних просторах.

Актуальнiсть теми. Класифiкацiйнi задачi теорiї зображень та лiнiйної алгебри виникають в самих рiзних ситуацiях. Добре вiдомi широкi застосування нормальної форми Жордана i канонiчної форми Кронекера-Вейєрштрасса (для пучка матриць). Iнтерес до таких задач сильно вирiс в зв'язку з розвитком теорiї модулярних i цiлочислових зображень груп.

Добре вiдомо, що опис модулярних зображень групи G над полем k (тобто тодi, коли характеристика p поля k дiлить порядок групи) зводиться до аналогiчної задачi для її силовської p-пiдгрупи. Циклiчна p-група (з точнiстю до еквiвалентностi) скiнченне число нерозкладних зображень, якi описуються тривiальним чином; довiльна нециклiчна p-група має вже (над полем характеристики p) нескiнченне число нерозкладних зображень.

Першим прикладом класифiкацiї зображень нециклiчної p-групи над полем характеристики p була отримана в 1961 р. В. А. Башевим 1 класифiкацiя зображень групи (2,2), яка легко звелася до задачi про пучок матриць. Пiсля цього серед спецiалiстiв з теорiї зображень панувала думка, що i для iнших p-груп модулярнi зображення можна описати. Проте пiзнiше вияснилося, що в бiльшостi випадкiв це не так, бо задача про опис зображень мiстить в собi класичну нерозв'язану задачу лiнiйної алгебри про канонiчну форму пари операторiв, що дiють в скiнченновимiрному векторному просторi (пiзнiше такi задачi були названi дикими, а решта - ручними 2,3 А саме в 1963 р. С. А. Кругляк 4 довiв, що дикою є задача про опис модулярних зображень групи (p,p) при (а значить i довiльної скiнченної нециклiчної p-групи при). В 1970 р. Ш. Бреннер 5 довела, що дикими є задачi про опис модулярних зображень груп (2,2,2) i (2,4), а значить i довiльної нециклiчної 2-групи G, такої, що ( - комутант групи G). I, таким чином, надiятися на класифiкацiю модулярних зображень (нециклiчних) p-груп можна було тiльки при p=2 i лише для груп, фактор-група по комутанту для яких iзоморфна групi (2,2). Такi групи, як добре вiдомо, вичерпуються наступними трьома нескiнченними серiями 2-групп: дiедральнi групи, квазiдiедральнi групи, узагальненi групи кватернiонiв.

Наступний, пiсля В. А. Башева, результат про повну класифiкацiю модулярних зображень p-груп був отриманий бiльш нiж через 10 рокiв автором 6 i (незалежно) К. Рiнгелем 7 А саме, були описанi модулярнi зображення всiх дiедральних групп. Вказанi результати є наслiдком розв'язання (тими ж авторами) задачi про опис зображень вiльного добутку двох циклiчних груп другого порядку над полем характеристики 2, яка, в свою чергу, є наслiдком розв'язання задачi про класифiкацiю (з точнiстю до подiбностi) пар матриць над полем довiльної характеристики,рiвних в квадратi нулю. При розглядi останньої задачi К. Рiнгель використав .

метод, запропонований I. М. Гельфандом i В. А. Пономарьовим 8, а автор ввiв i розв'язав деякий клас матричних задач з одним спiввiдношенням.

В дисертацiйнiй роботi повнiстю описуються модулярнi зображення квазiдiедральних груп; звiдки випливає, що групи є також ручними.

_____________________________________________________________________

1 Башев В. А. Представления группы в поле характеристики 2 // ДАН СССР. - 1961. - 141. вып. 5. - C. 1015-1018.

2Donovan P., Freislich M. R. Some evidence for an extension of the Brauer-Thrall conjecture // Sonderforschungsbereich. Theor. Math.(Bonn). - 1973. - 40. - P. 24-26.

3Дрозд Ю. А. О ручных и диких матричных задачах // Матричные задачи. - Киев: Инcтитут математики АН УССР. - 1977. - С. 104-114.

4 Кругляк С. А. О представлениях группы (p,p) над полем характеристики p // ДАН СССР. - 1963. - 153. - вып. 6. - C. 1263-1265.

5 Brenner S. Modular representations of p-groups // J. Algebra. - 1970. - N 1. - P. 69-102.

6 Бондаренко В. М. Представления диэдральных групп над полем характеристики 2 // Мат. сб. - 1975. - 96. - вып. 1. - С. 63-74.)

7Ringel C. The indecomposable representations of dihedral 2-groups // Math. Ann. - 1975. - 214. - N 1. - P. 19-34.

8 Гельфанд И. М., Пономарьов В. А. Неразложимые представления группы Лоренца // Успехи мат. наук. - 1968 . - 23. вып. 2. - С. 3-60.

Класифiкацiйнi задачi лiнiйної алгебри широко застосовуються в теорiї цiлочислових зображень груп. Розв'язана А. В. Ройтером9 задача про опис цiлочислових зображення циклiчної групи 4-го порядку (перший результат для груп непростого порядку) - це по сутi задача про приведення трьох матриць одночасними перетвореннями рядкiв i незалежними перетвореннями стовпцiв.

При описаннi Л. О. Назаровою 10 цiлочислових зображень групи (2,2) виникає задача про приведення чотирьох матриць такими ж самими перетвореннями, яка незалежно розв'язана

М. Гельфандом та В. О. Пономарьовим 11. Пiзнiше A. В. Яковлев 12 звiв задачу про опис

2-адичних зображень циклiчної групи 8-го порядку до деякої матричної задачi, яка виявилася ручною 13 (як вiдмiчено в останнiй роботi, цей факт доведено також учнем А. В. Яковлева

Ассаром). П. М. Гудiвком 14 показано, що скiнченна p-група, яка має нескiнченне число нерозкладних p-адичних зображень, є дикою в усiх випадках, за виключенням нециклiчної групи 4-го порядку i циклiчної групи 8-го порядку (p-групи зi скiнченним числом нерозкладних зображень вичерпуються циклiчними групами порядку i 15,16.

Те ж саме можна сказати про задачi, зв'язанi з описом зображень деяких класiв кiлець, що розглядалися в працях Ю. А. Дрозда, В. В. Кириченка, А. В. Ройтера, Х. Якобiнського та iн.

Крiм окремих класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри, при вивченнi зображень рiзних об'єктiв виникають цiлi класи (схожих одна на одну) матричних задач, якi дослiджуються одночасно кiлець 17. Цей результат був використаний автором 18 для класифiкацiї взаємно анулюючих па (вказується деякий алгоритм, який дозволяє кожну iз конкретних матриць звести до нової матрицi, що належить цьому ж класу, але вже має меншу розмiрнiсть). Вказаний метод вперше застосовується в процесi дослiдження модулiв над дiадою двох локальних дедекiндових р матриць (див. параграф 5), яка - ранiше, але бiльш складним методом - була отримана I. М.Гельфандом i В. А. Пономарьовим 8.

Суттєве узагальнення цього класу матричних задач виникає при розглядi задачi про цiлочисловi зображення циклiчної групи 8-го порядку 12 i задачi, поставленої I.М Гельфан-

дом 19 на Мiжнародному математичному конгресi в Нiцце в зв'язку з класифiкацiєюмодулiв Хариш-Чандри для групи SL(2,R) 13.В останнiй роботi доведено, що введенi задачi є ручними; звiдси випливає, що задача I. М. Гельфанда є також ручною. В дисертацiї отримано повний розв'язок (в явному виглядi) матричних задач iз вказаного класу, а також деяких їх узагальнень (якi автор назвав зображеннями в'язок напiвланцюгiв). Цей результат використовується для отримання повного розв'язку задачi I. М. Гельфанда та її, введеного автором, узагальнення; при деяких обмеженнях на поле задачi подiбного типу розглядалися також

iншими авторами 20,21

_______________________________________________________________________________________________________________

9 Ройтер А. В. О представлениях циклической группы 4-го порядка целочисленными матрицами // Вестник Ленинград. ун-та. - 1960. - 19. - С. 58-78.

10Назарова Л. А. Целочисленные представления четверной группы // ДАН СССР. - 1961. - 140. - N 5. - С. 1011-1014.

11 Gelfand I. M., Ponomarev V. A. Problem of linear algebra andclassification of quaduples of subspacies in a finite dimensional vector-space // Hilbert space operators (Coll. Math. Soc. J. Bolyai). -

Tihany (Hungary). - 1970.

12 Яковлев А. В. Классификация 2-адических представлений циклической группы восьмого порядка // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1972. - 28. - С. 93-129.

13Назарова Л. А., Ройтер А. В. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Функц. анализ и его прилож. - 1973. - 7. - вып. 4. - С. 54-69.

14 Гудивок П. М. О модулярных и целочисленных представлениях конечных групп // ДАН СССР. - 1974. - 214. - N 5. - С. 993-996.

15 Берман С. Д., Гудивок П. М. О целочисленных представлениях конечных групп // ДАН СССР. - 1962. - 145. - вып. 6. - С. 1199-1201.

16 Heller A., Reiner I, II. Representations of cyclic groups in rings

of integrals, I // Ann. Math. - 1962. - 76. - P. 73-92;

1963. - 77. - P. 318-328.

17 Назарова Л. А., Ройтер А. В. Конечнопорожденные модули над диадой двух локальных дедекиндовых колец и конечные группы, обладающие абелевым нормальным делителем индекса p // Изв. АН СССР. - 1969. - 33. - вып. 1. - С. 65-89.

18 Назарова Л. А., Ройтер А. В., Сергейчук В. В., Бондаренко В. М. Применение модулей над диадой для классификации конечных p-групп, обладающих абелевой подгруппой индекса p,и пар взаимно аннулирующих операторов //Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1972. - 28. - 1972. - С. 69-92.

19 Gelfand I. M. The cohomology of infinite dimensional Lie algebras; some questions

of integral geometry // Actes du Congres International des Mathematician. -vol. 1. - Nice. - 1970. - P. 95-111.

20 Хорошкин С. М. Неразложимые представления групп Лоренца // Функц. анализ и его прилож. - 1981. - 15. - вып. С. 50-60.

21 Crawley-Boevey W. W. Functorial filtration, II: claims and Gelfand problem // J. London Math. Soc. - 1989. - 40. - P. 385-402..

Подальший розвязок класифікаційних задач лінійної алгебри зв’язаний з введенням Л.О. Назаровою i А. В. Ройтером 22,23 зображень частково впорядкованих множин (з рiзними додатковими структурами)i введенням П. Габрiелем 24 зображень орiєнтовних графiв. Зображення таких об'єктiв виникають в рiзних областях алгебри;цi питання висвiтленi в багатьох статтях i рядi монографiй 25,26,27. Для всiх редуктивних груп Лi доведена принципова можливiсть зведення задач про класифiкацiю модулiв Харiш-Чандри до зображень орiєнтовних графiв зi спiввiдношеннями28. В рядi робiт розглядаються означення i властивостi бiльш широких класiв задач.

Основними результатами, що зв'язанi з класифiкацiєю зображень частково впорядкованих (скорочено ч. в.) множин без додаткових структур, є наступнi:

a) опис ч. в. множин скiнченного типу 29;

б) опис точних ч. в. множин скiнченного типу i їх зображень 30;

в) опис ч. в. множин ручного типу 31;

г) опис однопараметричних ч. в. множин i їх зображень32;

д) опис ч. в. множин скiнченного росту 33;

е) опис точних ч. в. множинскiнченного росту i їх зображень 34.

В дисертацiйнiй роботi описуютьсяточнi частково впорядкованi множини нескiнченного росту i вивчається структура їх зображень; цей результат завершує повний опис точних ручних частково впорядкованих множин.

Зображенням орiєнтовних графiв присвяченодуже багато робiт. Це зв'язано, зокрема, з тим, що коли розглядати зображення графiв, наклавши на них деякi спiввiдношення (що задаються орiєнтовними шляхами на графi i їх лiнiйними комбiнацiями), то отриманий клас задач мiстить в собi по сутi задачу про зображення довiльної скiнченновимiрної алгебри. На сучасному етапi розвитку теорiї зображень (скiнченновимiрнi) алгебри трактуються саме таким чином. Для орiєнтовних графiв без спiввiдношення всi класифiкацiйнi питання розв'язанi як вiдносно графiв скiнченного типу35,36, так i ручних графiв37,38. Вiдмiтимо, що задача I. M. Гельфанда, про яку йшла мова вище, також природним чином формулюється в термiнах зображень графiв.

Таким чином, при вивченнi молулярних i цiлочислових зображень груп, зображень асоцiативних алгебр, алгебр Лi i таке iнше виникають класифiкацiйнi задачi лiнiйної алгебри (часто одна i та ж задача в рiзних ситуацiях), якi розвиваючись, вже незалежно вiд початкових

задач, знаходять новi застосування в рiзних областях алгебри i функцiонального аналiзу, особливо в теорiях зображень (класичних i не класичних) об'єктiв.

_______________________________________________________________________________________________

22 Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множества // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1972. - 28. - C. 5-31.

23 Назарова Л. А., Ройтер А. В. %24 Категорные матричные задачи и проблема Брауэра-Трелла.-К.: 1973. - 99 с. (Препр. / АН Украины. Ин-т математики; 73.9).

24 Gabriel P. Unzerlegbure Darstellungen, I //Manus. Math. - 1972. - 6. - N 1. - P. 71-103.

25 Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. -К.: ``Вища школа'', 1980. - 190 с.

26 ]Ringel C. M. Tame Algebras and Integral Quadratic Forms. -Lecture Notes in Mathematics. - 1099. - Springel-Verlag, 1984. -376 p.

27 Gabriel P., Roiter A. V. Representations of finite-dimensional algebras. -Encyclopaedia of Math. Sci. (Algebra Vlll). - 73. - Springel-Verlag, 1992. - 177 p.

28 Bernstein I. N., Gelfand I. M., Gelfand S. Structure locale de la categorie des modules de Harish-Chandra // C. R. Acad. Sci. Paris. - 1978. - A-286. - N 10. - P. 435-437;1978. - A-286. - N 11. - P.495-497.

29 Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного типа // Зап.

науч. семинаров ЛОМИ. - 1972. - 28. - C. 32-41.

30 Клейнер М. М. О точных представлениях частично упорядоченных множеств конечного типа // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1972. - 28. - C. 42-59.

31 Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества бесконечного типа //Изв. АН СССР. - 1975. - 39. - N 5. - С. 963-991.

32 Отрашевская В. В. О представлениях однопараметрических частично упорядоченных множеств //Матричные задачи. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1977. - С. 144-149.

33 Завадский А. Г., Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества конечного роста //

Функц. анализи его прилож. - 1982. - 19. - вып. 2. - С. 21-29.

34 Завадский А. Г. Алгоритм дифференцирования и классификация представлений //Изв. АН СССР. - 1991. - 55. - N 5. - С. 1007-1048.

35 Gabriel P.Representations indecomposables des ensembles ordonnes // Sem. Dubreil Algebra 26-canne, 1972-73, - expose 13. - Sec. Math. - Paris. - 1973. - P. 51-60.

36 Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Пономарев В. А. Функторы Кокстера и теорема Габриеля //Успехи мат. наук. - 1973. - 28. - N 2. - С. 9-34.

37 Donovan P., Freislich M. R. The representation theory of finite graphs and associated algebras //Carleton Lecture Notes. - 1973. - N 5. - P. 3-86.

38 Назарова Л. А. Представления колчанов бесконечного типа //Изв. АН СССР. - 1973. - 37. - N 4. - С. 752-791

Дисертацiйна робота присвячена подальшому розвитку класифiкацiйної частини теорiї модулярних зображень груп, узагальненню старих i постановцi нових класифiкацiйних задач, їх розв'язанню та застосуванню.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї зв'язана з дослiдженнями по теорiї зображень i теорiї матричних задач, якi проводяться в Iнститутi математики НАН України протягом багатьох рокiв. Автор брав активну участь в цих дослiдженнях i, зокрема, в дослiдженнях вiддiлу алгебри за 1996-2000 рр. по темi: “Категорно-матричнi та гомологiчнi методи в теорiї зображень

та теорiя груп”(номер державної реєстрацiї 0198U001999).

Мета i задачi дослiдження. Метою дослiдження є отримання критерiя ручностi довiльної скiнченної групи над довiльним полем i розв'язання класифiкацiйних задач теорiї модулярних зображень, що виникають при цьому, шляхом зведення iх до класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри; узагальнення задач лiнiйної алгебри, якi виникають в процесi дослiдження, i розвинення вiдповiдних методiв їх розв'язання (як тих, що належать автору, так i iнших); застосування отриманих результатiв в теорiях зображень локальних алгебр, орiєнтовних графiв

i частково впорядкованих множин та для вивчення лiнiйних операторiв, що дiють в скiнченновимiрних градуйованих векторних просторах.

Наукова новизна. В дисертацiї автором отриманi новi теоретичнi результати, головними iз яких є наступнi:

Описано всi скiнченнi групи, задача про опис зображень яких над полем характеристики є ручною.

Отримано повну класифiкацiю модулярних зображень квазiдiедральних груп.

Для кожного натурального числа n отримано повну класифiкацiю пар матриць A,B, що задовольняють рiвностi (знайдено канонiчну форму).

Отримано повну класифiкацiю нерозкладних зображень довiльної в'язки напiвланцюгiв.

Отриманo в явному виглядi розв'язок вiдомої задачi I. М. Гельфанда та її узагальнення (над полем довiльної характеристики).

Описано точнi частково впорядкованi множини нескiнченного росту та вивчено структуру їх нерозкладних зображень.

Для лiнiйних операторiв, що дiють в скiнченновимiрному векторному просторi, проградуйованому за допомогою частково впорядкованої множини з iнволюцiєю S (зокрема, в фiльтрованому просторi), i довiльного фiксованого мiнiмального многочлена f(t) описано випадки скiнченного та нескiнченного типiв, скiнченного та нескiнченного росту, ручного та дикого типiв.

Всi перерахованi результати отриманi автором особисто.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати роботи, якi зв'язанi безпосередньо з модулярними зображеннями скiнченних груп, мають теоретичний характер i можуть знайти застосування в близьких роздiлах сучасної алгебри. Решта класифiкацiйних задач, розв'язаних автором i викладених в дисертацiйнiй роботi, можуть бути використанi в теорiях зображень асоцiативних алгебр, алгебр Лi, орiєнтовних графiв, тощо. Результати, зв'язанi з дослiдженням операторiв, що дiють в градуйованих векторних просторах, можуть знайти застосування в самих рiзних роздiлах математики.

Апробацiя результатiв дисертацiї.

Результати дисертацiйної роботи оприлюднено:

на П'ятому Всесоюзному симпозiумi з теорiї груп (м. Краснодар, 1976 р.),

на XVlll Всесоюзнiй алгебраїчнiй конференцiї (м. Кишиньов, 1985 р.)

на мiжнароднiй конференцiї з алгебри, присвяченiй пам'ятi О. I. Мальцева

(м. Новосибiрськ, 1989 р.),

на VI симпозiумi з теорiї кiлець, алгебр та модулiв

(м. Львiв, 1990 р.),

на мiжнароднiй конференцiї з алгебри, присвяченiй пам'ятi А. I. Ширшова

(м. Барнаул, 1991 р.),

на мiжнароднiй конференцiї з теорiї зображень та комп'ютерної алгебри

(м. Київ, 1997 р.),

на мiжнароднiй конференцiї з теорiї зображень алгебр

(м. Бiлефельд, Нiмеччина, 1998 р.),

на Другiй мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї,

присвяченiй пам'ятi Л. А. Калужнiна (м. Київ м. Вiнниця, 1999 р.),

на Третiй мiжнароднiй конференцiї ``Симетрiя в нелiнiйнiй математичнiй фiзицi '' (м. Київ, 1999 р.)

Крiм того, результати дисертацiйної роботи доповiдались на алгебраїчному семiнарi Ужгородського унiверситету (1977, 1983 i 1995 роки), на алгебраїчному семiнарi Iнституту математики НАН України (протягом 1977 2000 рокiв), на алгебраїчному семiнарi Київського

унiверситету iм. Тараса Шевченка (1999 i 2000 роки), на алгебраїчному семiнарi унiверситету мiста Бiлефельд (Нiмеччина, 1999рiк) та на алгебраїчному семiнарi унiверситету мiста Падерборн (Нiмеччина, 1999 рiк).

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiкованi в працях [1-35]. У виданнях з перелiку, затвердженого ВАК України, надрукована 21 стаття: [13, 5, 6, 8-12, 15-20, 22-26] (з них 17 особистi роботи автора).

Особистий внесок здобувача. Усi результатидисертацiйної роботи отриманi автором самостiйно. Зi спiльних робiт на захист виносяться лише результати, отриманi автором

особисто. У статтi [1] автору особисто належать всi результати, за винятком тверджень 13;

у статтi [2] автору особисто належать результати параграфiв 2, 3 (лема 2.1 i твердження 2.2, 3.1 разом з наслiдками); у статтi [6] автору особисто належать твердження 2 i леми 5-7; у статтi [9] автору особисто належать результати параграфа 4 i леми 5-7.

Структура та об'єм дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, шести роздiлiв,

висновкiв i списку використаних джерел, який займає 13 сторiнок i мiстить 111 найменувань.

Загальний обсяг роботи 310 сторiнок.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi дисертацiї обгрунтована актуальнiсть тематики, визначено мету та задачi дослiдження, подано огляд лiтератури, близької до теми дослiджень автора, i коротко викладенi змiст дисертацiї та методи дослiджень.

У першому роздiлi дисертацiї формулюються теореми, що повнiстю описують ручнi скiнченнi групи над довiльним полем характеристики .

Як вiдомо, при довiльна скiнченна p-група є дикою над полем характеристики. При ручнi групи описуються наступною теоремою.

Теорема 1.1. Нециклiчна скiнченна 2-група G є ручною над полем k характеристики 2 тодi i лише тодi, коли .

Через позначається, як звичайно, комутант групи G. Ручнi групи довiльного порядку над полем характеристики описуються такою теоремою.

Теорема 1.2. Скiнченна група G є ручною над полем k характеристики p тодi i лише тодi, коли довiльна її абелева p-пiдгрупа порядку бiльше 4 циклiчна.

Вiдмiтимо, що в це твердження формально можна включити i випадок , якщо за силовську 0-пiдгрупу вважати одиничну пiдгрупу.

Цi два критерiї є головними результатами дисертацiйної роботи. З ними в тiй чи iншiй мiрi зв'язанi всi iншi результати дисертацiї(з точки зору методiв дослiджень, якi належать автору,

i класифiкацiйних задач лiнiйної алгебри, якi виникають в процесi дослiджень).

У цьому ж роздiлi доведення сформульованих теорем зводиться до питання про ручнiсть квазiдiедральних груп над полем характеристики 2.

Опишемо схему доведення ручностi квазiдiедральних груп.

1-й крок. Оскiльки групова алгебра є локальною i квазiфробенiусовою, то замiсть неї можна розглядати фактор-алгебру по цоколю (``втративши'' при цьому лише одне нерозкладне, а саме регулярне, зображення), яка iзоморфна алгебрi. Iншими словами, виникає задача про класифiкацiю пар матриць A,B (над полем характеристики 2),

якi задовольняють такi рiвностi: при.

2-й крок. Позначимо через наступну частково впорядковану множину з iнволюцiєю: елементами A є числа , де , з природною впорядкованiстю (при цьому для , а i єдина пара непорiвняльних елементiв) i при .

Сформульована задача про пару матриць розглядається для довiльного поля i для довiльного натурального числа n. Вона зводиться до задачi про блокову матрицю (з квадратними дiагональними клiтинами), рiвну в квадратi нулю, за допомогою перетворень подiбностi спецiального вигляду:

можна робити довiльне елементарне перетворення одночасно з рядками всiх

горизонтальних смуг, номери яких належать множинi , де , але при цьому зi стовпцями

дуальних вертикальних смуг (тобто смуг з тими ж номерами) треба зробити обернене перетворення;

2) якщо , де , то рядки i-ї горизонтальної смуги, помноженi на елементи , можна додавати до рядкiв j-ї горизонтальної смуги, але при цьому кожного разу з дуальними стовпцями потрiбно зробити обернене перетворення.

3-й крок. Отримана на другому кроцi задача узагальнюється, а саме за A береться довiльна частково впорядкована множина, кожний елемент якої непорiвняльний не бiльше, нiж з одним елементом, а за таку iнволюцiю, яка може дiяти нетривiальним чином лише на точках, що порiвняльнi з усiма iншими точками (такi множини S називаються *-напiвланцюгами). Доводиться, що ця задача є ручною.

Перший i другий кроки розглядаються в роздiлi 1 дисертацiї, а третiй в роздiлi 3.

У роздiлi 3, крiм завершення доведення критерiїв ручностi скiнченної групи над полем ненульової характеристики, повнiстю описуються нерозкладнi зображення алгебри над довiльним полем (а значить i модулярних зображень квазiдiедральних груп). При цьому суттєво використовуються результати роздiлу 2, в якому повнiстю описанi зображення довiльної в'язки напiвланцюгiв (iсторiя виникнення задач такого типу викладена вище).

Зупинимося бiльш детально на викладених в роздiлах 2 i 3 результатах.

У роздiлi 2 дисертацiї розглядається наступний клас класифiкацiйних задач. Нагадаємо,

що напiвланцюг це частково впорядкована множина X, кожний елемент якої непорiвняльний не бiльше, нiж одним елементом; тодi X однозначно представляється у виглядi, де кожна пiдмножина (яка називається компонентою напiвланцюга) складається iз однiєї або двох непорiвняльних мiж собою точок i (тобто для довiльних).

В`язкою напiвланцюгiв назвемо пару , де деяка iнволюцiя на множинi, така, що для довiльного x iз двоелементної компоненти.

Зображенням в`язки над полем k назвемо набiр блокових матриць з коордиатами iз k, такий, що горизонтальнi i вертикальнi смуги матрицi занумерованi вiдповiдно елементами напiвланцюгiв i , i при цьому число рядкiв чи стовпцiв в смузi з номером (в залежностi вiд того чи) дорiвнює числу рядкiв чи стовпцiв в смузi з номером , якщо . Розмiрнiстю зображення назвемо суму числа рядкiв i стовпцiв усiх матриць . Два зображення U i V назвемо еквiвалентними, якщо одне з них може бути отриманим з iншого за допомогою таких перетворень: по-перше, в смугах з номерами x i можна робити, одночасно, довiльнi елементарнi

перетворення (однаковi, якщо обидвi смуги горизонтальнi або вертикальнi, i взаємно оберненi, якщо одна iз смуг горизонтальна, а iнша вертикальна), i, по друге, при в (вiдповiдно в ), то рядки (вiдповiдно стовпцi) смуги (матрицi ) з номером x можна добавляти до рядкiв смуги з номером y.

В дисертацiйнiй роботi отримана повна класифiкацiя (з точнiстю до еквiвалентностi) нерозкладних зображень довiльної в'язки напiвланцюгiв. При цьому канонiчнi зображення задаються в явнiй i iнварiантнiй (без '' вiдбиткiв" на вiдповiдi в тiй чи iншiй мiрi методу доведення) формi. Вiдмiтимо, що в сучасних працях, при розглядi зображень рiзних об'єктiв,

цi умови виконуються далеко не завжди; це, зокрема, викликано тим, що часто на перше мiсце

в дослiдженнях рiзних авторiв виступає не класифiкацiя зображень, а обчислення категорiї зображень, що дозволяє переходити до еквiвалентних категорiй, i навiть якщо ``нова'' задача повнiстю розв'язується, то питання про побудову функтора iз ''нової" задачi в задачу задану не розглядається. При цьому часто природного функтора i не iснує. Iншими словами, розв'язується по сутi бiльш слабка, хоча i еквiвалентна з точки зору теорiї категорiй, класифiкацiйна задача.

В роздiлi 2 розглядаються також iншi, зв'язанi з зображеннями в'язок напiвланцюгiв, питання про опис зображень з умовами невиродженостi, про в'язки скiнченного типу i скiнченного росту; розглядаються також деякi узагальнення зображень в'язок напiвланцюгiв, що виникають на практицi.

Отриманi в роздiлi 2 результати використовуються в подальших роздiлах дисертацiї.

У роздiлi 3 отримана повна класифiкацiя зображень локальної алгебри над довiльним полем k. Як уже було сказано, звiдси випливає класифiкацiя зображень квазiдiедральних групп над полем характеристики 2.

Перш нiж перейти до опису нерозкладних зображень алгебри , вкажемо їх iнварiанти.

Граф C, для ребер якого задана орiєнтацiя , позначаємо через (i вiдповiдно множина вершин

i ребер графа ). У нашому випадку неорiєнтовний граф C буде ланцюгом або циклом з вершинами, а деякою орiєнтацiю C. Для простоти термiнологiї вiдповiдний граф також будемо називати ланцюгом або циклом (в кожному конкретному випадку буде ясно,розглядається неорiєнтовний чи орiєнтовний граф). Вершини ланцюга (вiдповiдно цикла) довжини m будемо позначати символами (вершини i сусiднi); iндекси для цикла завджи розглядаються по модулю m.

Якщо в множинi кiнцiв ланцюга видiлена деяка пiдмножина M, то кiнець , який належить M, будемо називати вiдмiченим, а пару ланцюгом з вiдмiченими кiнцями (випадок не виключається).

Зiставимо ланцюгу (вiдповiдно циклу) послiдовнiсть (вiдповiдно , де , якщо , i , якщо ; будемо позначати її через (для ланцюга, що складається iз однiєї точки,; для циклiв iз однiєї точки i зi стрiлками, направленими вiдповiдно за i проти годинникової стрiлки, покладемо i , де i ).

Ланцюги (вiдповiдно цикли) i вважаються рiвними тодi i лише тодi, коли. Якщо ланцюг (вiдповiдно цикл), то через будемо позначати ланцюг (вiдповiдно цикл) , де (вiдповiдно Ланцюг, який отримується iз ланцюгiв i ототожненням правої вершини i лiвої вершини , будемо позначати через; якщо цикл, то через (p цiле число) позначається цикл , для якого .

Нехай s натуральне число i. Назвемо s-ланцюгом (вiдповiдно s-циклом) пару , де ланцюг (вiдповiдно цикл) i f функцiя, яка зiставляє кожнiй вершинi число . Трiйку назвемо s-ланцюгом з вiдмiченими кiнцями, якщо ланцюг з вiдмiченими кiнцями i функцiя приймає на M нульовi значення. Якщо s-ланцюг з вiдмiченими кiнцями, то дуальним до A назвемо s-ланцюг вiдмiченими кiнцями ,де ( i-а вершина ). Аналогiчним чином визначаєтьсяs-цикл, дуальний до s-циклу :де якщо при цьому , то s-цикл A будемо називати самодуальним.Через, де цикл iнатуральне число, будемо позначати s-цикл, де i-а вершина.

У випадку, коли s-ланцюги з вiдмiченими кiнцями i (вiдповiдно вершини i), введемо новий s-ланцюг з вiдмiченими кiнцями i.

Для s-ланцюга з вiдмiченими кiнцями покладемо, де при непарному i при парному i. Назвемо s-ланцюг з вiдмiченими кiнцями складеним, якщо його можна представити у видi при, i простим в противному разi(зокрема, при s-ланцюг з вiдмiченими кiнцями A тодi лишетодi є складеним, коли i); s-цикл A назвемо простим, якщо для довiльного.

Переходимо тепер безпосередньо до побудови нерозкладних зображень алгебри iформулювання класифiкацiйної теореми.

Позначимо через (вiдповiдно ) множину простих допустимих s-ланцюгiв з вiдмiченими кiнцями (вiдповiдно -циклiв ), що задовольняють наступнi умови: 1) якщо, то або , де; 2) якщо;

3) якщо, то . (Зокрема, для -циклу iз однiєю вершиною при i при ).

Для -ланцюга покладемо, а для -циклу , де; таким чином, задано розбиття множини (вiдповiдно ) на класи, якi попарно не перетинаються; множину цих класiв будемо позначати через (вiдповiдно )

Для довiльного позначимо через множину полiномiв виду, де незвiдний над полем k полiном (зi старшим коефiцiєнтом 1), вiдмiнний вiд t i t+a, i q натуральне число. Якщо -цикл i в класi iснує самодуальний -цикл, то покладемо, де.

Простому -ланцюгу з вiдмiченими кiнцями, який належить множинi, зiставляються такi зображення алгебри: а) при б) i при в) при .

Простому -циклу, який належить множинi, зiставляються зображення, де , якщо клас не мiстить самодуального -цикла; , якщо клас мiстить в собi самодуальний цикл i число парне; , якщо клас мiстить в собi самодуальний цикл i число непарне.

Укажемо явний вигляд цих зображень.

Для -ланцюгiв з вiдмiченими кiнцями i (не обов'язково простих) будемо писати , якщо iснує чиcло (де), таке, що i при i або , або i (при цьому вважаємо). Очевидно, що це вiдношення є вiдношенням порядку.

Нехай -ланцюг з вiдмiченими кiнцями, i. Через будемо позначати -ланцюг з вiдмiченими кiнцями, де пiдланцюг, що складається iз вершин i стрiлок, якi їх з'єднують (тобто для якого), i обмеження на . Покладемо якщо , якщо або якщо i якщо або . Вершину -ланцюга з вiдмiченими кiнцями назвемо лiвою, якщо , i правою, якщо .

Аналогiчним чином визначаються лiвi i правi вершини -цикла, якщо покласти i, де -ланцюг в цьому випадку визначається так же, як i для ланцюга:.

Переходимо безпосередньо до побудови зображень виду i . Якщо зображення алгебри , то простiр, в якому воно реалiзується, будемо позначати через , а лiнiйне вiдображення, яке вiдповiдає елементу , через ; очевидно, що зображення однозначно визначається простором i лiнiйними вiдображеннями i (i, навпаки, довiльна пара матриць , така, що i , задає зображення алгебри якщо покласти. Нагадаємо, що лiнiйнi вiдображення пишуться справа вiд елементiв простору.

Для довiльного цiлого числа покладемо при , при i. Найменше число множини будемо позначати через .

Розглянемо спочатку випадок, коли -ланцюг з вiдмiченими кiнцями iз , для якого .

Для зображення базис простору складається iз елементiв , де i (при довiльному фiксованому )

якщо якщо i якщо i якщо i (символи i рiзнi).

Лiнiйний оператор дiє на базисних елементах наступним чином: 1a) або ; 2a) , якщо ; 3a) ; 4a) для решти випадкiв.

Зрозумiло, що в кожному конкретному випадку цi рiвностi потрiбно розглядати лише для допустимих значень .

Укажемо тепер дiю на базисних елементах оператора . Будемо вважати, що при символ дорiвнює , а символ . У випадку, коли , 1b) , якщо ; 2b) , якщо i ; 3b) для решти випадкiв.

Якщо ж , то елемент є лiнiйною комбiнацiєю базисних елементiв з коефiцiєнтами , причому коефiцiєнт при дорiвнює нулю кожного разу, коли . У випадку коефiцiєнт при вiдмiнний вiд нуля тодi i лише тодi, коли i виконується одна iз таких умов: 4b) 5b) i вершина лiва 6b) вершина лiва 7b) i вершини лiвi;

У випадку коефiцiєнт при вiдмiнний вiд нуля тодi i лише тодi, коли i виконується одна iз таких умов: 4b); 5b) i вершина права; 6b), i вершина права, 7b), i вершини правi

При цьому у випадку (вiдповiдно ) ненульовий коефiцiєнт дорiвнює -1, якщо i

(вiдповiдно i ) i 1 в противному разi.

Нехай тепер -ланцюг з вiдмiченими кiнцями iз , для якого .

Для зображення базис простору складається iз елементiв i (при довiльних фiксованих ) , якщо ; якщо i; , якщо i або непарне i або парне i , якщо i або непарне i або l парне i ; , якщо i або непарне i , або парне i ; , якщо i або непарне i або парне i .

Елементи для довiльного q i елементи для при кожному фiксованому визначається так же, як елементи для зображення .

Якщо ж , то елемент є лiнiйною комбiнацiєю базисних елементiв з коефiцiєнтами , причому елемент входить в розклад по базису з нульовим коефiцiєнтом, якщо. У випадку коефiцiєнт при вiдмiнний вiд нуля тодi i лише тодi, коли виконуються тi ж самi умови, що i для зображення i при цьому додатково має мiсце одна iз наступних умов: а) б) , парне i в) , непарне i ;

У випадку роль умов а)в) виконують такi умови: а) ; б) , парне i ; в) , непарне i .

При цьому, як i для зображення , при (вiдповiдно ) ненульовий коефiцiєнт дорiвнює -1, якщо (вiдповiдно i ) i 1 в противному разi.

Розглянемо, нарештi, випадок, коли , де -цикл iз .

Для довiльного покладемо .

Позначимо, далi, через множину , якщо , , якщо i або i вершина права або i вершина лiва, для решти випадкiв, i через множину , якщо , , якщо i або i вершина лiва, або i вершина права, для решти випадкiв.

Позначимо через найменше iз чисел , таких, що i.

Нехай векторний простiр над полем з базисом i лiнiйний оператор, матриця якого в цьом базисi є клiткою Фробенiуса (для алгебраїчно замкнутого поля клiткою Жордана ) з характеристичним полiномом . Позначимо через зображення алгебри , побудоване для -цикл таким же чином, як зображення для -ланцюга при ; коефiцiєнт при в розкладi по базису простору позначимо через. Вiдмiтимо, що оскiльки для циклiв iндекси розглядаються по модулю , то при рiвностi i збiгаються, i тому при визначеннi коефiцiєнта , потрiбно розглядати яквипадок , так i випадок (тобто, якщо то при коефiцiєнт вiдмiнний вiд нуля тодi i лише тодi, коли i або i виконується одна iз умов 4b)-7b), або i виконується одна iз умов 4b)-7b)). Тодi у випадку, коли , зображення визначається наступним чином: для довiльних r,i i q , якщо