Цейтлін Леонід Мусійович

УДК: 519.2

УЗАГАЛЬНЕНІ ІНТЕГРАЛИ ДЛЯ ВЕКТОРНИХ ФУНКЦІЙ ТА ВЕКТОРНИХ МІР

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Харків, 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна.

Науковий керівник: Кадець Володимир Михайлович,

кандидат фізико-математичних наук

Харківський національний університет

ім. В. Н. Каразіна

доцент кафедри теорії функцій та функціонального

аналізу

Офіційні опоненти: Плічко Анатолій Миколайович,

доктор фізико-математичних наук, професор,

Кіровоградський державний педагогічний

університет ім. В. Винниченка,

професор кафедри математики,

Руткас Анатолій Георгієвич

доктор фізико-математичних наук, професор,

Харківський національний університет

ім. В. Н. Каразіна

зав. кафедри математичного моделювання та

математичного забезбечення ЕОМ

Провідна організація: Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б. І. Вєркіна НАН України (м. Харків)

математичний відділ

Захист відбудеться 1-го вересня 2000р. о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 у Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна за адресою: 61077. м. Харків, пл. Свободи 4.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Хар-ківського національного університету ім. В. Н. Каразіна.

Автореферат розісланий “24” липня 2000р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук Ігнатович С.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Поняття інтеграла є дуже важливим для багатьох галузей математики, в тому числі функціонального аналізу. Існує багато озна-чень інтеграла для функцій зі значеннями в банаховому просторі, але всі вони мають свої обмеження. Найстаріше означення Рімана найбільш часто використовується в математичному аналізі, але з точки зору функціонального аналізу великою проблемою є те, що простір функцій, інтегровних за Ріманом, не є банаховим; інтеграл визначений тільки для обмежених функцій на сегменті. Найбільш популярне в функціональному аналізі означення Бохнера має багато корисних властивостей, але може бути застосовано лише для ви-мірних функцій. До того ж, воно не є більш загальним за означення Рімана, бо існують функції, що є інтегровними за Ріманом та не є інтегровними за Бохнером. Означення Петтіса є дуже загальним, клас функцій, інтегровних за Петтісом, є досить широким, але інтеграл Петтіса не зберігає деяких ва-жливих властивостей інтеграла для скалярних функцій. Наприклад, існують функції, інтегровні за Петтісом. для яких першообразна не є диференційовною. Як означення Бохнера, так й означення Петтіса не є "конструктивними", тобто не дозволяють наблизити інтеграл якимось "простими" інтегральними сумами (подібно до означень Рімана та Лебега).

Цікавим напрямком в узагальнені поняття інтегрування є використання множин часткових інтегралів, тобто множин, що для інтегровних функцій складаються з однієї точки – інтегралу функції – а для неінтегровних функцій можуть розглядатися як узагальнений інтеграл. Властивості такої множини можуть бути пов'язані з властивостями банахова простора, де діє функція, і таким чином давати додаткову можливість класифікації банахових просто-рів.

Через згадану вище “неконструктивність” означення Бохнера та Петтіса не дозволяють визначити поняття множини часткових границь інтеральних сум, яке існує для інтеграла Рімана. Тому створення нового означення інтегра-ла. що є не меньш загальним, ніж інтеграл Бохнера, але дозволяє визначити множину часткових інтегралів, виявляється актуальною та цікавою задачею. В дисертації введено нове означення інтеграла (інтеграл Рімана-Лебега), вивчені його властивості та властивості множини границь інтегральних сум Рімана-Лебега для неінтегровних функцій. Доведені умови непорожнечі та опуклості цієї множини.

Множина границь інтегральних сум Рімана розглядалася кількома автора-ми для випадку векторної функції та скалярної міри (І. Гальперін та Н. Міллер, П. Гарман, М. Накамура та І. Амемія, Г. В. Елліс, В. М. Кадець). Було доведено, що ця множина є непорожнею в сепарабельних просторах; є зір-ковою; є опуклою у деяких класах просторів, наприклад скінченновимірних та В-опуклих (у т.ч. l-p при 1 < р < ). Але досі не вивчалося питання про множину границь інтегральних сум Рімана скалярної функцій за векторною мірою, хоча такі інтеграли також є важливими, наприклад, в спектральній теорії операторів. В дисертації вивчаються властивості цієї множини; доведе-но, що ця множина є завжди непорожнею, та наводиться характеризація тих просторів, де вона також є опуклою.

Властивість Ляпунова, що виявляється тісно пов'язаною з вищезгаданою характеризацією, була введена в зв'язку зі спробами аналітиків узагальнити відому теорему А. А. Ляпунова про опуклість образу векторної міри на випа-док мір зі значеннями в банахових просторах. Ця теорема має застосування в теорії оптимального управління. В. М. Кадець та Г. Шехтман показали, що простори c0 та l-p при 1 р < , р 2 мають властивість Ляпуно-ва. Беручи до уваги зв'язок властивості Ляпунова з властивостями множини часткових інтегралів, виявлялося актуальним у рамках дисертаційного до-слідження приділити увагу виявленню нових класів просторів, що мають цю властивість. Такі класи знайдені в роботі - це с0(Г)-суми просторів, що ма-ють властивість Ляпунова, та простори неперервних функцій на зчислених компактах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисер-тація виконана в рамках планової теми 2-11-97 “Функційні простори та теорія операторів”.

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є:

1.

2.

3.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

1.

2.

3.

4.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів полягає в на-ступному:

1.

2.

3.

4.

Особистий внесок здобувача. Усі наведені в дисертації результати отримані здобувачем самостійно. В сумісній роботі [2] здобувачу належать теореми про властивість Ляпунова с0(Г)-сум просторів та просторів неперервних функцій.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційного дослід-ження доповідалися автором на Міжнародній науковій конференції ім. ака-деміка М. Кравчука в Києві в 1995 та 1996 рр., на наукових семінарах Університету Бен-Гуріона, Беер-Шева. Ізраїль, та Ізраїльського Технологічного Інституту “Техніон”, Хайфа, Ізраїль у 1996 р., а також на семінарі з функці-онального аналізу в Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна (керівник – доц. В. М. Кадець).

Публікації. Основний зміст роботи опубліковано у 4-х друкованих працях.

Структура та обсяг роботи. Робота складається з вступу, трьох розділів, списку літературних джерел, який нараховує 57 назв. Дисертація викладена на 111 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі роботи наводиться огляд літератури з таких питань як векторне інтегрування, множина границь інтегральних сум, векторні міри, образ векторної міри.

У другому розділі роботи розглядається поняття множини границь ін-тегральних сум Римана векторного інтеграла Стильтьєса та її зв'язок з властивістю Ляпунова банахових просторів. Спочатку подаються основні озна-чення.

Розглянемо скалярну функцію f:[0;1]R, банаховий простір X, ?-алгебру ? підмножин сегмента [0; І] та векторну міру ?:? X. Нехай П – будь-яке розбиття відрізка [0;1] на підвідрізкі ?k = [tk-1; tk], k = 1,..., n. Нехай ? = {?k, k = 1,..., n - множина позначених точок: ?-k?k. Означимо інтеграль-ну суму Рімана функції f відносно міри ? природним чином:

Діаметром розбиття П = {?k} будемо називати dП.= max|?k|. Якщо при dП0 значення інтегральної суми прямує по деякої границі х X, то функція f є інтегровною за Ріманом, а точка х є її інтегралом Рімана: x = . Якщо такої границі нема, то замість неї можна розглянути мно-жину часткових границь I(?, f). Таким чином ми приходимо до означення множини границь: множина границь I(?, f) функції f відносно міри ? – це множина таких точок х X. що для будь-якого ? > 0 та будь-якого ? > 0 знайдеться таке розбиття П з dП<? та така множина позначених точок ?, що ||S?(f, ?, ?) – x|| < ?.

Властивості множини I(?, f) розглядаються у зв'язку з властивістю Ля-пунова банахова простора X. Ця властивість була введена в теорію банахових просторів завдяки вивченню узагальнень відомої теореми А.А. Ляпунова про векторну міру. Ця теорема стверджує, що безатомна зчислено-адитивна мі-ра зі значеннями в скінченномірному лінійному просторі завжди має опуклий образ. Проте для мір зі значеннями в нескінченномірних просторах ця тео-рема не є вірною. Незважаючи на це, було помічено, що замкнення образа міри деколи виявляється опуклим і в нескінченномірних просторах. Це спо-стереження призвело до наступної формуліровки поняття ляпуновської міри та властивості Ляпунова банахова простора.

Означення 1. Векторна міра ?:? Х називається ляпуновською, якщо замкнення її образу є опуклим.

Означення 2. Банаховий простір Х має властивість Ляпунова, якщо будь-яка безатомна зчислено-адитивна міра зі значеннями в Х є ляпуновською.

Далі у роботі розглядається питання про опуклість множини I(?, f). Ре-зультатом цього розгляду є такі теореми:

Теорема 3. Нехай ? - зчислено-адитивна міра, визначена на борелівських підмножинах відрізка [0; 1] зі значеннями в банаховому просторі X. Хай для будь-якої обмеженої функції f:[0; 1]R множина I(?, f) є опуклою. Тоді міра ?,, а також будь-яке її обмеження на вимірну підмножину від-різка [0; 1], є ляпуновськими (зокрема, міра ?? є безатомною).

Теорема 4. Нехай f:[0; 1]R – будь-яка обмежена функція, а ? – без-атомна міра, що визначена на борелівських підмножинах відрізка [0; 1] зі значеннями в банаховому просторі Х. Хай для міри ?,, а також для будь-якого її обмеження на борелівську підмножину відрізка [0; 1], замкнення образу міри є опуклим. Тоді множина I(?, f) є опуклою.

Далі у роботі розглядається питання про непорожнечу множини I(?, f). Доведена така теорема:

Теорема 5. Для будь-якої обмеженної функції f та будь-якої зчислено-адитивної міри ? множина I(?, f) є непорожнею.

Далі ми вводимо до розгляду множину слабких границь WI(?,, f).

Означення 6. Точка хХ належить до множини слабких границь WI(?,, f), якщо існує така послідовність розбить {П-n} з позначеними точками ?n що dПn0, a S?(f, ?n, ?n) прямує до х в слабкий топології простора X.

Ясно, що I(?,, f) WI(?,, f). Ми розглядаємо питання про опуклість мно-жини WI(?, f) та умови її співпадіння з множиною I(?,, f). Так саме, як властивості множини сильних границь I(?,, f) пов'язані з властивістю Ля-пунова, тобто властивостями сильного замкнення образу міри ?, властиво-сті множини слабких границь пов'язані з властивостями слабкого замкнення образу міри. Тому ми по-перше розглядаємо слабке секвенційне замкнення образу міри w-seq-cl(?(?)) (тобто образ ?(?) з приєднаними до нього слабкими границями всіх слабо збіжних послідовностей точок з ?(?); ця мно-жина не обов'язково є слабо замкненою). Про цю множину відомо, що вона є опуклою. За допомогою цього факту доводиться наступна теорема:

Теорема 7. Для будь-якої безатомної зчислено-адитивної міри ? та будь-якої обмеженої функції f множина слабких границь WI(?, f) є опуклою.

Щодо умов співпадіння множини слабких границь WI(?, f) та множини сильних границь I(?, f), ці умови також виявляються пов'язанними з вла-стивостями образу міри. По-перше доводиться така теорема:

Теорема 8. Для зчислено-адитивної міри ? наступні умови є еквівален-тними:

1. wcl?(?) = cl?(?)

2. cl?(?) є опуклим.

Ця теорема допомагає довести наступну:

Теорема 9. Для зчислено-адитивної міри ? наступні умови є еквівален-тними:

1. для будь-якої обмеженої функції f, WI(?, f) = I(?, f)

2. для будь-якої обмеженої функції f, множина I(?, f) є опуклою.

Вищезгадані результати свідчать про те, що властивість Ляпунова відіграє важливу роль в питаннях векторного інтегрування. Тому в наступному параграфі роботи розглядається питання про властивість Ляпунова деяких банахових просторів.

Відомо, що простір c0 має властивість Ляпунова. Також відомо, що пряма сума скінченого набору банахових просторів, кожен з яких має властивість Ляпунова, також має цю властивість. В роботі ці результати узагальнюються таким чином.

Теорема 10. Нехай {Х?}-?? - сім'я банахових просторів, кожен з яких має властивість Ляпунова. Тоді с0(Г)-сума цієї сім'ї також має цю вла-стивість.

З цієї теореми випливають такі висновки:

Висновок 11. Якщо простір Х має властивість Ляпунова, то й простір с0(Г, Х) усіх функцій f : Г X, таких що множина {?? : ||f(?)|| > ?} є скінченою для будь-якого ?, також має цю властивість.

Висновок 12. Сума по c0 послідовності банахових просторів, що мають властивість Ляпунова, також має цю властивість.

Висновок 13. Простір c0(Г) має властивість Ляпунова для будь-якого Г.

Далі доводиться така теорема про властивість Ляпунова:

Теорема 14. Нехай К - зчислений компактний топологічний простір. То-ді простір неперервних функцій С(К) має властивість Ляпунова.

Повна характеризація просторів неперервних функцій на компактах, що мають властивість Ляпунова, ще невідома. Але в роботі висувається гіпотеза, що формулюється в термінах розкиданих компактів. Нагадаємо означення:

Означення 15. Підмножина А топологічного простору Х називається щіль-ною в собі, якщо вона не містить ізольованих точок (інакше кажучи, всі точки А є граничними точками А).

Означення 16. Підмножина А топологічного простору Х називається роз-киданою, якщо вона не містить щільних в собі непорожніх підмножин.

Гіпотеза формулюється так:

Гіпотеза 17. Простір С(К) має властивість Ляпунова тоді й тільки то-ді, коли компакт К є розкиданим.

У третьому розділі дисертації мова йде про нове означення інтеграла для функцій зі значеннями в банахових просторах - інтеграл Рімана-Лебега. По-перше подається аналіз існуючих підходів до визначення інтеграла в бана-хових просторах: розглядаються інтеграли Рімана, Бохнера, Петтіса. Після зауважень щодо переваг та недоліків цих понять ми переходимо до визна-чення інтеграла Римана-Лебега.

Нехай (?, ?, ?) – простір з мірою, Х – банахів простір, f :? Х – будь-яка функція, А – вимірна підмножина ?. Розглянемо П – деяке розбиття множи-ни А на зчислену кількість неперетинних вимірних множин: , , ?i ?j = при і j. Нехай – послідовність позначених точок, тобто tk?k. Ми можемо скласти формальний ряд S(f, П, T) = . Якщо цей ряд абсолютно збігається, ми буде-мо називати його (абсолютною) інтегральною сумою Рімана-Лебега. Якщо цей ряд збігається лише безумовно, то ми будемо називати його безумовною інтегральною сумою Рімана-Лебега. Далі ми вважаємо, що А = ?, якщо не зумовлене противне.

Буде природним упорядкувати множину розбить вказаного раніше виду та-ким чином. Нехай П1 = та П2 = – два розбиття. Ми скажемо, що розбиття П1 слідує за розбиттям. П2 (або є роздрібленням П2, або є дрі-бнішім за П2), якщо множина індексів ? може бути розбита на неперетинні підмножини I-k, так що D-k = . Якщо П1 слідує за. П2, то ми будемо писати П1П2. Тепер ми можемо дати означення інтеграла Рімана-Лебега.

Означення 18. Функція f:? Х називається (абсолютно) інтегровною за Ріманом-Лебегом на вимірній множині А, якщо існує такий елемент хX, що для будь-якого ?>0 існує таке розбиття П множини А, що для будь-якого дрібнішого розбиття Г П та будь-якого набору позначених точок T, ||S(f, Г, T) — х|| < ?, причому сума S(f, Г, T) збігається абсолютно. Елемент х називається тоді інтегралом Рімана-Лебега функції f та позначується, як звичайно, . Аналогічно, функція f називається безумовно інтегровною за Ріманом-Лебегом, якщо виконана та ж сама умова, але суми S(f, Г, T) збігаються безумовно.

Елементарні властивості інтеграла Римана-Лебега такі:

Теорема 19. Якщо функції f1:? Х та f2:? Х є інтегровними за Ріманом-Лебегом, то їх сума f1 + f2 також є інтегровною та її інтеграл дорівнює сумі інтегралів функцій f1 та f2

Якщо функція f:? Х є інтегровною за Ріманом-Лебегом, то для будь-якого скаляра ? функція ?f також є інтегровною та .

Якщо функція f:? Х є інтегровною за Риманом-Лебегом, то для будь-якого лінійного неперервного оператора Т : Х Y функція Tf : ? Y також є інтегровною та .

Далі в роботі розглядається співвідношення інтеграла Рімана-Лебега з ві-домими інтегралами Лебега, Бохнера, Петтіса. Доведено такі факти:

Теорема 20. Будь-яка інтегровна за Бохнером функція f є також інте-гровною за Ріманом-Лебегом, і значення обох інтегралів співпадають.

Теорема 21. Нехай f : ? ? – інтегровна за Ріманом-Лебегом скалярна функція. Тоді f є також інтегровною за Лебегом, і значення обох інтегра-лів співпадають.

Далі наводиться приклад функції, яка є інтегровною за Риманом-Лебегом, але не за Бохнером. Таким чином доведено, що клас функцій, інтегровних за Риманом-Лебегом, є строго більшим за клас “класично” інтегровних за Бохнером функцій.

Теорема 22. Безумовно інтегровна за Ріманом-Лебегом функція також є інтегровною за Петтісом, і значення інтегралів співпадають.

Далі наводиться приклад функції, що є інтегровною за Петтісом, але не за Ріманом–Лебегом (навіть безумовно). Таким чином класи функцій, що є інтегровними за Бохнером, Ріманом-Лебегом абсолютно, Ріманом-Лебегом безумовно та Петтісом, в такому порядку, створюють строго зростаючу по-слідовність класів просторів. Але виявляється, що якщо простір Х є сепарабельним, то перші два та останні два члени цієї послідовності співпадають:

Теорема 23. Нехай Х – сепарабельний банахів простір. Тоді для функцій зі значеннями в Х інтегровність за Ріманом-Лебегом співпадає з інтегровністю за Бохнером.

Теорема 24. Нехай Х – сепарабельний банахів простір. Тоді для функцій зі значеннями в Х безумовна інтегровність за Риманом-Лебегом співпадає з інтегровністю за Петтісом.

Останні дві теореми дають цікаве обгрунтування широко відомому нефор-мальному твердженню про те. що “різниця між інтегровностями за Бохнером та за Петтісом така ж, як між абсолютною та безумовною збіжностями”.

Розгляд основних властивостей інтеграла Рімана-Лебега завершується та-кою теоремою, що характеризує цей інтеграл як функцію множини:

Теорема 25. Для будь-якої інтегровної за Ріманом-Лебегом функції f:? Х (абсолютно або безумовно), функція ?(A) = є зчислено-адитивною мірою.

Далі в роботі розглядається множина границь інтегральних сум Рімана-Лебега, що виникає таким же природним чином, як множина границь інте-гральних сум Рімана у другому розділі.

Означення 26. Нехай f : ? Х – довільна функція. Ми скажемо, що точка хХ належить до множини границь I(f), якщо для будь-якого ?>0 та будь-якого розбиття П множини ? знайдеться таке дрібніше розбиття Г П з позначеними точками Т, що ||S(f, Г,T) — х|| <??, причому ряд S(f, Г,T) збігається абсолютно.

Також можливо розглянути аналогічне поняття безумовної множини гра-ниць, де розглядаються безумовні інтегральні суми Римана-Лебега.

Якщо функція f є інтегровною за Риманом-Лебегом, то I(f) складається, очевидним чином, з єдиної точки – інтеграла f. Проте, навіть якщо f не є інтегровною, множина I(f) може бути непорожнею та виступати в ролі “узагальненого інтеграла” функції f.

Легко бачити, що множина I(f) завжди є замкненою.

У роботі розглядаються питання про опуклість та непорожність множини I(f) для функцій на безатомному просторі з мірою. По-перше доводиться така теорема:

Теорема 27. Множина границь I(f) є опуклою.

Доведення цієї теореми базується на таких лемах:

Лема 28. Нехай (?, ?, ?) – простір з безатомною мірою. Для будь-якої функції f :??. Х та будь-якого розбиття П множини ? множина {S(f, Г, T): ГП} є опуклою (як для абсолютних, так і для безумов-них сум).

Лема 29. Множина границь I(f) дорівнює перетину замкнень множин {S(f, Г, T): ГП} по всім П.

Далі досліджується питання про непорожність множини I(f). Для цього вводиться допоміжне означення слабкої множини границь:

Означення 30. Нехай f :??. Х – довільна функція. Ми скажемо, що то-чка хХ належить до слабкої множини границь WI(f), якщо для будь-якого слабкого околу U точки х та будь-якого розбиття П множини ? знайдеться дрібніше розбиття Г П з позначеними точками T, таке що S(f, Г, T) U.

Очевидно, що I(f) WI(f). Але виявляється, що наступна теорема є вірною:

Теорема 31. Для будь-якої функції f :??. Х множина слабких границь WI(f) співпадає з множиною сильних границь I(f).

Доказ цієї теореми базується на такій лемі, аналогічній до леми 29:

Лема 32. Множина слабких границь WI(f) порівнює перетину слабких за-мкнень множин {S(f, Г, T): ГП} по всім ПП0, де П0 – довільне фіксоване розбиття.

Далі доведено, що множина WI(f) є непорожнею в рефлексивному про-сторі, коли f має скалярну інтегровну мажоранту. Але завдяки теоремі 31 це дає нам таку теорему:

Теорема 33. Нехай Х – рефлексивний банахів простір, а функція f :??. Х має інтегровну скалярну мажоранту. Тоді множина I(f) є непорожнею.

Далі непорожність множини I(f) доводиться в іншому випадку:

Теорема 34. Нехай банахів простір Х є сепарабельним, функція f :??. Х має інтегровну мажоранту. Тоді I(f) для абсолютних сум.

Доказ цієї теореми є досить складним.

Таким чином, множина I(f) є непорожнею у досить великому класі про-сторів. Але існують простори, де I(f) для деяких функцій є порожнею. У дисертації наведено приклад такої функції в просторі l1([0; 1]).

Далі про множину I(f) доведено таку теорему:

Теорема 35. Нехай S – замкнена опукла множина потужності не більш за континуум у банахову просторі X. Тоді існує функція f : [0; 1]X, така що I(f) = S.

Далі в роботі поняття інтеграла Рімана–Лебега використовується для ви-значення нових класів банахових просторів та вивчення їх властивостей.

Означення 36. Нехай (?, ?, ?) – простір з мірою, f : ?? ?+ – довільна функція. Верхнім інтегралом Лебега цієї функції назвемо величину = sup I(f) (при цьому, якщо I(f) = 0, то будемо вважати, що = +).

Еквівалентне означення верхнього інтеграла Лебега: = inf{}, де інфімум береться по всім g – інтегровним мажорантам функції f.

Означення 37. Простір усіх функцій f : ? X, для яких < будемо називати простором .

Формула || f ||RL = визначає норму на просторі , яку ми нази-ваємо RL-нормою. Простір з RL-нормою є банаховим.

У роботі доводиться, що функція, інтегровна за Ріманом–Лебегом, нале-жить до простору . Множина функцій, інтегровних на Ріманом-Лебегом виявляється замкненим підпростором простору в RL-нормі. Таким чином ця множина також є банаховим простором, який ми позначаємо RL1.

Легко бачити, що простір L1(X) функцій, інтегровних за Бохнером є за-мкненим підпростором в RL1 та в . У роботі досліджується питання: коли простір L1(X) є доповненим в RL1. Для цього вводиться таке поняття:

Означення 38. Нехай f, g – функції, інтегровні за Ріманом–Лебегом. Назовемо їх еквівалентними, якщо для будь-якого А ?, .

Легко бачити, що якщо будь-яка інтегровна за Ріманом–Лебегом функція має еквівалентну інтегровну за Бохнером функцію, то L1(X, ?) є доповненим в RL1(X, ?). Тому в роботі розглядається декілька достатніх умов того, що кожна інтегровна за Ріманом–Лебегом функція має еквівалентну інтегровну за Бохнером. Такими умовами є:

Теорема 39. Нехай банахів простір Х має властивість Радона-Нікодима. Тоді будь-яка інтегровна за Ріманом-Лебегом функція має еквівалентну інтегровну за Бохнером.

Теорема 40. Нехай банахів простір Х має наступну властивість: кожний сепарабельний підпростір в Х міститься в сепарабельному доповненому підпросторі в Х (клас таких просторів включає до себе, наприклад, усі слабко-компактно породжені простори). Тоді будь-яка інтегровна за Ріма-ном-Лебегом функція f : ? Х має інтегровну за Бохнером еквівалентну.

Також у роботі наведений приклад функції в просторі Х = L[0; 1], що є інтегровною за Ріманом–Лебегом, але не має еквівалентної інтегровної за Бохнером функції.

Далі в роботі розглядаються питання, пов'язані з множиною границь інте-гральних сум Рімана–Лебега скалярної функції по векторній мірі. Ця части-на роботи є аналогом другого розділу, але замість сум Рімана розглядаються суми Рімана–Лебега. Подібно до другого розділу, розглядаються питання про опуклість та непорожнечу множини границь I(f) в такому означенні. Беру-чи до уваги, що кожна зчислено-адитивна векторна борелівська міра ?, на сегменті [0; 1] може бути зображена як сума ? = ? + ?, де ? – безатомна міра, а ? – суто атомарна міра, зосереджена на зчисленому числі точок, ми роз-глядаємо лише випадки безатомної та суто атомарної міри ?. Для першого випадку доведена така теорема:

Теорема 41. Нехай ???– суто атомарна борелівська векторна міра на се-гменті [0;1]. Тоді будь-яка обмежена функція є інтегровною за Ріманом-Лебегом відносно ??

Для другого випадку доведені такі теореми, аналогічні теоремам з другого розділу:

Теорема 42. Нехай міра її є безатомною. Нехай для будь-якої обмеженої функції f : [0;1]? множина I(f) є опуклою. Тоді міра ?, а також будь-яке її обмеження на вимірну підмножину сегмента [0; І], є ляпуновськими.

Теорема 43. Нехай міра ?, а також будь-яке її обмеження на вимірну підмножину сегмента [0; І], є ляпуновськими. Тоді для будь-якої обмеженої функції f : [0;1]? множина границь I(f) є опуклою.

Щодо непорожнечі множини границь в такому означенні доведено таку те-орему:

Теорема 44. Нехай f : [0;1]? – обмежена функція, ? – зчислено-адитивна борелівська векторна міра на сегменті. Тоді множина границь I(f) є непорожнею.

ВИСНОВКИ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Tseytlin L. The Limit Set of Riemann Sums of a Vector Stieltjes Integral. // Quaestiones Mathematicae - 1998 - vol. 21 - pp.61-74.

2. Tseytlin L., Vladimirskaya O. On the Lyapunov property of certain Banach spaces. II Крайові задачі для диференціальних рівнянь, зб. наукових праць, вип. 2 - Київ 1998. с 263-275.

3. Tseytlin L. Notes on Vector Integration. // Вісник Харківського універси-тету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. № 458, 1999, с. 154-158.

4. Kadets V.M., Tseytlin L.M. On “integration” of non-integrable vector-valued functions. // Математична фізика, аналіз, геометрія. 2000, т. 7, № 1, с. 49-65.

5. Цейтлин Л.М. Множество пределов интегральных сумм Римана вектор-ного интеграла Стильтьеса // П'ята міжнародна конференція імені ака-деміка М. Кравчука, Київ, 16-18 травня 1996 p. Тези доповідей.

АНОТАЦІЇ

Цейтлін Л.М. Узагальнені інтеграли для векторних функцій та векторних мір. Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеню кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Харків-ський національний університет ім. В. Н. Каразіна, м. Харків, 2000р.

В дисертації розглядаються узагальнення поняття інтеграла для функцій та мір зі значеннями в банахових просторах. Вивчено поняття множини гра-ниць інтегральних сум Рімана скалярної функції по векторній мірі та його зв'язок з властивістю Ляпунова банахових просторів. Вивчені нові класи ба-нахових просторів, що мають властивість Ляпунова. Введено нове означен-ня інтеграла для функцій зі значеннями в банаховому просторі – інтеграл Рімана–Лебега. Вивчені його властивості, зв'язок з іншими означеннями ін-теграла. Клас функцій, інтегровних за Ріманом–Лебегом є строго більшим за клас функцій, інтегровних за Бохнером, але строго меншим за клас функцій, інтегровних за Петтісом. Вивчені властивості множини границь інтегральних сум Рімана–Лебега. Поняття інтеграла Рімана–Лебега застосовано для вив-чення нових класів банахових просторів та RL1. Також розглянута множи-на границь інтегральних сум Рімана–Лебега скалярної функції по векторній мірі.

Tseyltin L.M. Generalized integrals for vector functions and vector measures. Manuscript. Dissertation for the scientific degree of candidate of physics and mathematics in the speciality 01.01.01, mathematical analysis. V. N. Karazin Kharkov National University, Kharkov. 2000.

The dissertation deals with various generalizations of the notion of integral for functions and measures that take values in Banach spaces. The author studies the notion of the Riemann integral sums of a scalar function with respect to a vector measure, its relation to the Lyapunov property of Banach spaces. New classes of Banach spaces that have Lyapunov property are introduced. A new definition of an integral for functions with values in Banach spaces – Riemann–Lebesgue integral – is introduced. The author studies its properties and relation to other definitions of the integral. The class of Riemann–Lebesgue integrable functions is strictly larger than that of Bochner integrable functions, but strictly smaller than that of Pettis integrable functions. The notion of the limit set of Riemann–Lebesgue integral sums is studied. The notion of Riemann-Lebesgue integral is applied to study new classes of Banach spaces, and RL1. Also the limit set of Riemann–Lebesgue integral sums for a scalar function with respect to a vector measure is studied.

Цейтлин Л.М. Обобщенные интегралы для векторных функций и векторных мер. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, г. Харьков, 2000 г.

В диссертации рассматриваются обобщения понятия интеграла для фун-кций и мер со значениями в банаховых пространствах. Рассмотрено понятие интегральных сумм Римана скалярной функции по векторной мере, множе-ство частичных пределов этих интегральных сумм I(?, f) и связь его свойств со свойством Ляпунова банаховых пространств. Доказана такая теорема:

Теорема. Пусть ? – счетно-аддитивная мера, определенная на борелевских подмножествах отрезка [0; 1] со значениями в банаховом простран-стве X. Множество I(?, f) выпукло для любой ограниченной функции f :[0; 1] ? тогда и только тогда, когда мера ?, а также любое ее ограниче-ние на измеримое подмножество отрезка [0;1] – ляпуновские.

Также доказано, что множество I(?, f) всегда непусто. Рассмотрено мно-жество слабых пределов интегральных сумм WI(?, f), доказано, что оно все-гда выпукло. Доказана следующая теорема об условии совпадения множеств сильных и слабых пределов:

Теорема. Для счетно-аддитивной безатомной меры ? следующие условия эквивалентны:

1. для любой ограниченной функции f, WI(???f) = I(???f)

2. для любой ограниченной функции f, I(???f) выпукло.

Рассмотрены новые классы пространств со свойством Ляпунова. Доказано, что с0(Г)-суммы пространств, обладающих свойством Ляпунова, также обла-дают этим свойством. Доказано, что пространства непрерывных функций на счетных компактах обладают свойством Ляпунова.

Введено новое определение интеграла для функций со значениями в ба-наховых пространствах – интеграл Римана–Лебега. Изучены свойства этого интеграла и его связь с другими определениями. Класс функций, интегриру-емых по Риману-Лебегу, строго больше, чем класс функций, интегрируемых по Бохнеру и по Риману, но строго меньше класса функций, интегрируемых по Петтису. В случае вещественнозначных функций интеграл Римана–Лебега совпадает с интегралом Лебега.

Изучается понятие интегральных сумм Римана-Лебега и множества I(f) их пределов для неинтегрируемых функций. Доказано, что для функций, имеющих интегрируемую мажоранту, это множество пределов всегда выпу-кло и непусто в достаточно широком классе банаховых пространств, напри-мер в рефлексивных и в сепарабельных пространствах. Показано, что любое выпуклое замкнутое множество мощности не более континуума может быть множеств пределов интегральных сумм Римана-Лебега для некоторой фун-кции.

Понятие интеграла Римана-Лебега применяется для изучения новых клас-сов банаховых пространств, и RL1. Для этого вводится понятие верхнего интеграла Лебега для функций, принимающих вещественные неотрицатель-ные значения. Это понятие определяется как супремум множества пределов интегральных сумм функции, или, что эквивалентно, как инфимум интегра-лов Лебега всех интегрируемых мажорант функции. Затем вводится понятие RL-нормы для функции f(t) со значениями в банаховом пространстве, как верхний интеграл Лебега нормы || f ||(t). Пространство определяется как пространство всех функций с ограниченной RL-нормой, а пространство RL1 – как пространство всех функций, интегрируемых по Риману–Лебегу. Это банаховы пространства, причем RL1 – замкнутое подпространство в .

Эти пространства содержат в себе пространство интегрируемых по Бохнеру функций L1. Рассмотрен ряд условий, гарантирующих дополняемость L1 в RL1. Показано, что это верно, когда пространство X, где принимает значе-ние функция, обладает свойством Радона-Никодима, либо следующим свой-ством: каждое сепарабельное подпространство в Х заключено в дополняе-мом сепарабельном подпространстве в X. (Последнее свойство выполнено, например, во всех слабо-компактно порожденных пространствах). Приведен пример пространства X, для которого L1 недополняемо в RL1. Показано, что RL1[0;1] содержит изоморфную копию такого "большого" пространства как l([0;1]).

Также рассматривается множество пределов интегральных сумм Римана-Лебега скалярной функции по векторной мере. Показано, что в случае чисто атомарной меры любая ограниченная функция будет интегрируемой. Для безатомных мер доказаны результаты, аналогичные случаю интегральных сумм Римана. А именно, доказано, что для безатомной меры ? множество пределов I(f) выпукло для любой ограниченной функции f:[0;1]? тогда и только тогда, когда мера ?, а также ее ограничение на любое измеримое подмножество отрезка [0; I], – ляпуновские.

Также доказано, что множество пределов в данном случае всегда непусто.