Національна академія наук України

Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного

Денисова Тетяна Володимирівна

УДК 539.3

ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМ ДОДАВАННЯ ДО

РОЗВЯЗАННЯ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському державному економічному університеті. Міністерство освіти та науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,
доцент Бузько Ярослав Павлович,
Харківський державний економічний університет,
завідувач кафедри вищої математики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук,
старший науковий співробітник
Янютін Євген Григорович,
Інститут проблем машинобудування
ім. А.М. Підгорного НАН України,
головний науковий співробітник;

доктор технічних наук,
доцент Плевако Володимир Павлович,
Харківська державна академія
технології та організації харчування,
професор кафедри механіки.

Провідна установа: Одеський державний політехнічний університет,
кафедра "Динаміка, міцність машин та опір матеріалів",
Міністерство освіти та науки України, м. Одеса.

Захист дисертації відбудеться " 12 " жовтня 2000 року о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України в аудиторії № 1112 за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий " 10 " вересня 2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Зайцев Б.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Просторові задачі теорії пружності для областей, які обмежені декількома граничними поверхнями, утворюють, порівняно з іншими, мало вивчений клас задач механіки деформівного твердого тіла. Головним чином це відноситься до різних задач концентрації напружень навколо порожнин, включень, розрізів, контактних задач з багатозв’язною областю контакту та інших задач.

Питання дослідження таких задач набувають особливу важливість у зв’язку з побудовою більш точних моделей деформування пружного тіла, які б враховували механічні та геометричні неоднорідності. У першу чергу це відноситься до механіки композитних матеріалів, яка в наш час швидко розвивається.

З іншого боку, необхідність розв’язання задач цього класу диктується великою практичною важливістю дослідження концентрацій напружень навколо тріщин, порожнин, жорстких включень і підкріплень при розрахунках на міцність та проектуванні різних конструкцій і споруд в машинобудуванні та будівництві.

Особливий інтерес набувають задачі, що пов’язані з виявленням особливостей взаємного впливу декількох концентраторів напружень, зокрема, декількох штампів на пружному півпросторі.

В зв’язку з цим дослідження нових задач теорії пружності для багатозв’язних областей та розробка їх методів розв’язання є актуальними проблемами механіки деформівного твердого тіла. Ці проблеми становлять предмет досліджень даної дисертаційної роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота над дисертацією тісно пов’язана з науковими дослідженнями, що проводяться на кафедрі вищої математики Харківського державного економічного університету за темою комплексної науково-дослідницької програми "Математичне моделювання економічних процесів та фізичних полів" на 1995-2000 рр.

Мета і задачі дослідження. На основі відомих теорем додавання гармонічних функцій розробити методи розв’язання при відсутності тертя нових контактних задач: а) про вплив додаткового навантаження, що розташоване поза штампом, на контактні напруження під концентричним кільцевим штампом; б) про тиск на пружний півпростір ексцентричного кільцевого штампу; в) про тиск декількох кругових штампів.

Отримати метод розв’язання мішаної задачі кручення круговим штампом пружного півпростору з параболоідальним включенням з іншого пружного матеріалу.

Одержати нові теореми додавання для базисних розв’язків рівнянь Ламе в системах координат: а) еліптичного та кругового циліндрів на площині; б) в параболоідальній та сферичній - у просторі. Застосувати ці теореми додавання до розв’язання нових плоских і просторових задач теорії пружності. Розглянути задачі про концентрацію напружень у площині, що ослаблена круговим отвором та одним чи двома гіперболічними вирізами, зокрема, напівнескінченними прямолінійними розрізами, та задачі для пружного простору з сферичною та параболоідальною порожнинами або включеннями.

Метод дослідження. Основою методів дослідження є теореми додавання розв’язків рівняння Лапласа та системи рівнянь Ламе, узагальнений метод Фурє, нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь та інтегральні рівняння.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше запропоновано метод розв’язання задачі про дію навантаження поза концентричним кільцевим штампом, що дозволило дослідити вплив додаткового навантаження у вигляді зосередженої сили на розподіл контактних напружень під штампом та інтегральні параметри заглиблення штампу в залежності від відстані до точки прикладання цієї сили і відносної ширини штампу.

Створено ефективний, математично обгрунтований метод розв’язання задачі про тиск без тертя на пружний півпростір ексцентричного кільцевого штампу, заснований на зведенні задачі за допомогою перетворення Кельвіна до контактної задачі про концентричний кільцевий штамп.

Розроблено новий метод розв’язання задачі про тиск без тертя на пружний півпростір декількох, зокрема двох, кругових штампів та вперше проведено детальне чисельне дослідження взаємного впливу двох штампів з плоскими основами.

Вперше отримано розв’язання мішаної задачі про кручення круговим штампом пружного півпростору з параболоідальним пружним ядром. Визначено вплив геометричних та жорсткістних параметрів задачі на розподіл напружень під штампом та його кут закручування.

Одержано нові теореми додавання базисних розв’язків системи рівнянь Ламе у системах координат: а) еліптичного та кругового циліндрів на площині; б) сферичній та параболоідальній - у просторі. За допомогою цих теорем розв’язано задачі про концентрацію напружень у площині з круговим отвором та одним або двома прямолінійними напівнескінченними розрізами та перша основна задача теорії пружності про деформацію пружного простору з сферичною та параболоідальною порожнинами.

Практичне значення одержаних результатів полягає у можливості використання запропонованих методів розв’язання задач при дослідженні задач математичної фізики (теорії потенціалу, теплопровідності, механіці рідини та газу та інших). Отримані розв’язки можуть бути використані як модельні при розв’язанні других практично важливих задач теорії пружності для тіл, що містять розрізи, включення, отвори, порожнини. Також ці розв’язки можуть знайти застосування в теорії руйнування, механіці композитних матеріалів, у промисловому та громадянському будівництві. Результати дисертації, зокрема, були використані в лабораторії композитних матеріалів Державного аерокосмічного університету "ХАІ" при створенні нових видів композитів, а також Харківським науково-технологічним комплексом при виборі сітки скінченних елементів у зонах підвищеної концентрації напружень при проектуванні оснастки штампувального виробництва.

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертації опубліковано в роботах 1-10, список яких наведено наприкінці автореферату. Основні результати за темою дисертації отримані здобувачем самостійно. Роботи 4, 5, 8 опубліковані без співавторів.

В роботі 1 здобувачем запропоновано метод розв’язання мішаної задачі кручення круговим штампом з плоскою основою пружного півпростору з ядром у формі параболоїда обертання з іншого пружного матеріалу. Отримані чисельні результати для контактного напруження під штампом та кута закручування штампу в залежності від геометричних та жорсткістних параметрів півпростору та включення.

В роботі 2 Денисовою Т.В. розроблено метод розв’язання і отримані чисельні результати дослідження задачі про тиск на пружний півпростір двох кругових штампів. Визначено вплив на розподіл контактного напруження під кожним штампом параметрів їх взаємного розташування, відносних розмірів та відношень заглиблень штампів у пружний півпростір.

В роботах 3, 9, 10 здобувачем одержано метод розв’язання та чисельні результати дослідження нових контактних задач теорії пружності для концентричного кільцевого штампу з навантаженням поза штампом та ексцентричного кільцевого штампу з плоскою основою на основі теорем додавання спеціальних функцій та перетворення Кельвіна. Проведено дослідження нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зводяться вказані задачі, та обгрунтована можливість застосування до їх розв’язання методу редукції або методу малого параметру.

В публікаціях 6, 7 здобувачем вперше здійснено виведення нових теорем додавання базисних розв’язків системи рівнянь Ламе в полярній і еліптичній системах координат на площині та сферичній і параболоідальній системах координат у просторі. Ці теореми застосовані до розв’язання вісесиметричної задачі про деформацію простору з параболоідальною та сферичною порожнинами.

Апробація результатів дисертації. Основні наукові положення і результати досліджень по темі дисертації доповідались і обговорювалися:

- на науковому семінарі кафедри вищої математики Харківського державного економічного університету;

- на спільному семінарі кафедр вищої математики, гідроаеродинаміки та теоретичної механіки Харківського державного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського "ХАІ";

- на засіданні науково-технічної проблемної ради “Динаміка та міцність машин” Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України;

- на міжнародній науково-технічній конференції "Проблемы качества и долговечности зубчатых передач и редукторов" (Харків, 1997);

- на Шостій міжнародній конференції "Новые технологии в машиностроении" (Харків-Рибаче, 1997);

- на міжнародній науковій конференції "Современные проблемы концентрации напряжений" (Донецьк, 1998).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 10 наукових праць, серед яких 5 праць в наукових журналах, 2 депоновані статті і 3 праці в трудах міжнародних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та двох додатків. Робота викладена на 125 сторінках машинописного тексту і містить: 38 рисунків, 21 таблицю та список використаних джерел з 77 найменувань. Додатки містять 2 сторінки. Повний обсяг дисертації 158 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульовано мету і задачі досліджень дисертаційної роботи, обгрунтовано їх актуальність, вказані наукова новизна та практичне значення отриманих результатів і наведені основні досягнуті результати, що виносяться на захист.

Перший розділ містить огляд літератури з питань, близьких до тих, що розглядаються в роботі, аналіз аналітичних методів розв’язування контактних задач для півпростору з багатозв’язною областю контакту, а також для пружних тіл з декількома граничними поверхнями.

Зокрема відмічається, що значний внесок в розробку методів розв’язання задач теорії пружності, які розглянуті в роботі, зробили М.І. Мусхелішвілі, А.І. Лурє, Г.М. Савін, І.Я. Штаєрман, Л.О. Галін, В.Д. Купрадзе, А.Я. Александров, В.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян, Я.С. Уфлянд, О.М. Гузь, В.Т. Головчан, В.В. Панасюк, В.І. Мосаковський, Г.Я. Попов, В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Й.І. Ворович, В.Л. Рвачов, Ю.М. Подільчук, В.С. Проценко, Д.В. Гриліцький, О.Е. Андрейків, С.М. Мхітарян, Е.В. Коваленко, О.Г. Ніколаєв, Г.С. Кіт, М.В. Хай, С.О. Космодаміанський, С.О. Калоєров та інші.

Розглянуто дослідження, які присвячені контактним задачам для концентричного кільцевого штампу та задачам для двох кругових штампів. Вказується, що контактна задача для ексцентричного кільцевого штампу, як і задача про вплив навантаження, розподіленого поза концентричним кільцевим штампом, раніше в точній постановці не розглядалися. Наближеним методом збурення форми границі ця задача була розглянута Зайцевою Т.А.*

*Зайцева Т.А. Некоторые пространственные контактній задачи для двусвязных областей: Автореф. дис. канд. техн. наук. Запорожье, 1993. 20 с.

Коротко аналізуються задачі теорії пружності, методи розв’язання яких базуються на теоремах додавання. Відмічається, що це є новий напрямок в розвитку узагальненого методу Фурє розв’язання задач для тіл з декількома граничними поверхнями. Значного розвитку цей метод набуває за останні роки у роботах В.Т. Грінченка, В.Т. Єрофеєнка, О.Г. Ніколаєва, В.С. Проценка, О.І. Соловйова та інш.

Під теоремами додавання розуміють лінійні співвідношення, які дозволяють базисні розв’язки деякого диференціального рівняння в одній криволінійній системі координат записати через базисні розв’язки цього ж рівняння в іншій криволінійній системі координат.

Вказується, що в дисертації одержані деякі нові теореми додавання і на їх основі побудовано методи розв’язання нових задач про деформацію простору з сферичною та параболоідальною порожнинами, а також задач про концентрацію напружень в площині з круговим отвором та одним чи двома гіперболічними вирізами, зокрема, напівнескінченними прямолінійними розрізами.

Другий розділ присвячено задачі про дію кільцевого ексцентричного штампу з плоскою підошвою на пружний півпростір z < 0 при відсутності тертя між тілами, що контактують.

У першій частині цього розділу (підрозділи 2.1 2.4) спочатку розглядається ніким раніше не вивчена невісесиметрична задача про вплив навантаження, яке розподілене поза областю контакту концентричного кільцевого штампу, на контактне напруження під ним.

В математичному плані ці задачі являють собою мішані задачі теорії потенціалу про знаходження у півпросторі z < 0 гармонічної функції, коли на границі півпростору в кільці задана функція, а поза кільцем її нормальна похідна.

Задача про концентричний штамп з навантаженням розв’язується за допомогою теореми додавання функцій Бесселя, інтегрального перетворення Ханкеля, потрійних інтегральних рівнянь і, в кінцевому результаті, вона зводиться до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь (НСЛАР) окремо для кожного члена розкладу шуканої функції в ряд Фурє по кутовій координаті. Ця система досліджена на регулярність, що дає можливість застосувати до її розв’язання метод редукції або метод послідовних наближень.

Для випадку дії зосередженої сили одержано наближений розв’язок у вигляді розкладу за малим параметром = a1 / a, де a1 та a внутрішній та зовнішній радіуси кільця. Точний розв’язок Л.О. Галіна цієї задачі для кругового штампу дістається з наближеного при = 0.

У тому випадку, коли параметр не можна вважати малим, НСЛАР розв’язується чисельно методом редукції. Кількість рівнянь при цьому змінювали від 10 до 25 в залежності від величини . Спостерігалась швидка збіжність методу для < 0.9. В результаті порівняння обчислень за наближеним аналітичним розв’язком і чисельним встановлено, що першим можна користуватися при 0.25.

Головна увага у цій задачі націлена на дослідження впливу дії зосередженої сили на розподіл контактного напруження під штампом. Зокрема, в роботі наведені залежності сили та моменту, які діють на закріплений штамп, від параметру та відстані до точки прикладання зосередженої сили. У випадку, коли штамп під дією навантаження набуває зміщення (рис. 1), вивчено питання про вплив на параметри зміщення (вертикальне зміщення W1 і нахил = tg) відстані до точки прикладання сили P і відносної ширини кільця (рис. 2, 3). З одержаних результатів витікає, що вплив параметра на сумарні характеристики (сила, момент, параметри зміщення) незначний для не дуже вузького кільцевого штампу (0 < 0.9) і в багатьох випадках кільцевий штамп може бути замінений круговим.

Друга частина цього розділу присвячена дослідженню задачі про ексцентричний кільцевий штамп, який вдавлюється без нахилу в пружний півпростір. Показано, що за допомогою перетворення Кельвіна ця задача зводиться до задачі про концентричний кільцевий штамп з осадкою, яка виникає від дії зосередженої сили, розташованої у внутрішньому крузі концентричного кільця у точці (l, 0).

Метод розв’язання цієї задачі детально було вивчено в попередніх підрозділах, тому вся увага приділяється знаходженню наближеного асимптотичного або чисельного розв’язку і дослідженню впливу параметрів ексцентричного кільця на розподіл контактного тиску під штампом та його сумарні характеристики (сила, момент, точка прикладання сили).

Нехай ексцентричне кільце (S) (рис. 4) має параметри (h, R1, R) і визначається нерівностями , , .

На рис. 5 приведено розподіл контактного тиску

для h/R = 1/3, h/R1 = 2 ( = 0.188) по різним напрямкам ( 1= 0, 1= /4, 1= /2, 1= 3/4, 1= ),
W0 зміщення штампу.

В цій задачі було задано вертикальне зміщення W0, тому можна знайти силу P, яку треба прикласти до штампу, щоб його змістити на цю величину.

Формула для цієї сили у першому наближенні має вигляд

, (1)

де 0 = a1/a <1, 2 = l / a < 1, a1 та a внутрішній і зовнішній радіуси концентричного кільця.

Так як розподіл тиску під штампом не є симетричним, то на штамп діє момент. В першому наближенні для нього маємо вираз

, (2)

де k2 додатна константа, вираз для якої приведено в дисертації.

Плече l1 прикладання сили P до штампу знайдемо за формулою l1 =M / P.

З формули (1) випливає, що сила P менше відповідної сили для кругового штампу, а з формули (2) маємо, що координата точки прикладання цієї сили буде додатною величиною, тобто l1 > 0. Наведені формули (1), (2) мають місце тільки при малих (R1/R 0). Для довільних < 1 НСЛАР розв’язували чисельно за методом редукції. Розрахунки проводились для різних значень параметрів h/R і R1/R, при цьому порядок НСЛАР дорівнював 10-30, а кількість членів ряду Фурє по кутовій координаті брали .

На рис. 6, 7 наведені графіки для зведеної сили P* і плеча l1/R в залежності від параметрів ексцентричного кільця (h/R, R1/R). Розрахунки показали, що наближені формули, які приведені в дисертації, дають добре збігання результатів обчислень з розв’язком, одержаним методом редукції НСЛАР, тільки в діапазоні a1/a 0.25. Запропонований метод стає малоефективним, коли кола С і С1 наближаються до дотику (a1/a 1), тому що в цих випадках доводиться розв’язувати системи рівнянь високих порядків (більш 200 при a1/a = 0.95). На рис. 6, 7 вказано 1 h/R = 0.1,
2 h/R =0.2, 3 h/R = 0.3, 4 h/R = 0.4, 5 h/R = 0.5, 6 h/R = 0.6, 7 h/R = 0.7.

Третій розділ присвячено дослідженню задачі про вдавлювання без тертя в пружний півпростір декількох кругових штампів.

Запропоновано новий підхід до задоволення граничних умов на границі півпростору, в основі якого лежать теореми додавання гармонічних функцій в сфероїдальних системах координат*.

Ця проблема при відсутності навантаження поза штампами зводиться до такої задачі: знайти в півпросторі z < 0 з декількома круговими дисками Dj (j = 1, 2,..., R), що розташовані в площині z = 0, гармонічну функцію u за умовами

, , (3)

, (4)

* Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения. Мн.: Наука и техника, 1989. 225 с.

і умовою u 0 на нескінченності.

Задача розв’язується узагальненим методом Фурє. Розв’язок шукаємо у вигляді

,

де гармонічна функція в системі координат стиснутого сфероїда , зв’язаної з диском Dj. Функції uj обираємо так, щоб задовольнялась умова (4) поза диском Dj і умова на нескінченності.

Задоволення граничним умовам (3) здійснюється за допомогою знайдених у дисертації теорем додавання розв’язків рівняння Лапласа у координатах стиснутого сфероїда. Вони дають можливість записати функцію через функції (j s).

В результаті реалізації граничних умов (3) для невідомих коефіцієнтів дістанемо сукупність НСЛАР

, (5)

(j = 1, 2,, R; m = 0, 1,, k = 0, 1,).

Детально розглядається випадок R = 2 (два штампи). Доведено, що система (5) може бути розв’язана методом редукції.

Формула для обчислення напруження під j-тим штампом має вигляд

. (6)

Задача знайшла детальне чисельне дослідження при довільній відстані між штампами у тому випадку, коли штампи мають плоску основу (Wj = const) і вдавлюються у півпростір без нахилу.

Сталі Wj виключаються з (6) за допомогою умови рівноваги штампів

.

Про характер розподілу контактних напружень під штампами в залежності від їх геометричних параметрів, параметрів взаємного розташування і відношень заглиблень можна судити по графікам, наведеним на рисунках 8-10 (, c = c1 + c2, h = h1 + h2).

За цими графіками можна простежити вплив одного штампу на другий. Крім того, з них випливає, що мають місце такі випадки, коли вплив одного штампу на другий настільки великий, що призводить до зміни знаку в напруженнях.

У четвертому розділі подаються методи розв’язання першої основної задачі теорії пружності для тіл, які обмежені координатними поверхнями (лініями) двох систем координат: а) еліптичного та кругового циліндрів на площині; б) сферичної та параболоідальної у просторі. Розглядається також мішана задача про кручення круговим штампом пружного півпростору з пружним параболоідальним включенням. Методи розв’язання цих задач базуються на теоремах додавання розв’язків рівнянь Лапласа та Ламе у вказаних парах систем координат. Ці теореми одержано у роботі.

Нехай декартові, полярні та еліптичні координати пов’язані рівностями

, , ,

(a > 0, 0 , - < < ).

Вводимо базисні розв’язки рівняння Лапласа у полярній системі координат

,

і розв’язки в еліптичній системі координат

.

Мають місце теореми додавання цих розв’язків

, (9)

, (10)

(n = 1, 2,),

, .

Для векторного рівняння Ламе (системи рівнянь теорії пружності)

,

де – вектор переміщення, коефіцієнт Пуассона, виділяємо базисні розв’язки в еліптичній системі координат

(11)

і в полярній системі координат

,

, (12)

,

.

У цих формулах орти відповідно у полярній та декартовій системах координат; =3-4.

Мають місце теореми додавання розв’язків (11), (12):

,

(13)

.

,

(14)

.

Вони одержані за допомогою формул (9), (10).

Ці розв’язки та формули (13), (14) придатні для розв’язування задач теорії пружності, симетричних відносно осі Ox при завданні граничних умов на круговому отворі та гіперболічному вирізі 0 < /2. У дисертації наведено аналогічні формули додавання для розв’язків, що придатні для розв’язання крайових задач теорії пружності з симетрією відносно двох осей Ox та Oy.

На базі цих теорем запропоновано метод розв’язання першої основної задачі теорії пружності про рівновагу площини з круговим отвором, яка має один або два напівнескінченні прямолінійні розрізи (рис. 11).

Задачі зведені до НСЛАР, для яких обгрунтовано застосування методу редукції при умові, що розрізи не торкаються кругового отвору. Знайдено наближений розв’язок цих задач у вигляді рядів за малим параметром = 0 / a. Для коефіцієнта інтенсивності напруження першої задачі маємо

, (15)

де .

При = 0 (0 = 0) з цієї формули витікає точний розв’язок задачі без кругового отвору.

Наближена формула (15) дає практично точне значення коефіцієнта для 0 0.5. Цей висновок зроблено при порівнянні значень , порахованих за формулою (15) і значень, одержаних методом чисельного розв’язування нескінченної системи.

Для другої задачі маємо

, (16)

.

Як і формула (15) вона придатна для 0 0.5. При = 0 маємо точний розв’язок задачі для розрізаної площини без отвору. У роботі наведено графіки і для 0 0.9.

У п’ятому підрозділі цього розділу для базисних розв’язків рівнянь Ламе в параболоідальній системі координат

, ,

, ,

с=const, =const

та сферичній системі координат

,

,

одержані нові теореми додавання. Ці теореми придатні для випадків, коли сферична порожнина розташована зовні або всередині параболоїда, і застосовуються в роботі до розв’язання першої основної задачі про деформацію пружного простору з сферичною та параболоідальною порожнинами (рис. 12).

Приймається, що у сферичній порожнині діє гідростатичний тиск, а границя параболоідальної порожнини вільна від зусиль.

Граничні умови задачі такі:

,,.

Як і в попередніх задачах, за допомогою теорем додавання цю задачу зведено до НСЛАР, які досліджені на регулярність. В результаті розв’язування цих систем методом редукції отримані значення переміщень , та нормальних напружень , на поверхні кулі для різних порядків усічених систем.

Досліджено вплив на розподіл напружень та параметру , що визначає відстань між сферичною та параболоідальною порожнинами. Виявлено, що при віддаленні параболоїда від кулі, переміщення та нормальні напруження швидко наближаються до значень для самотньої сферичної порожнини у просторі.

В останньому шостому підрозділі теореми додавання розв’язків рівняння Лапласа застосовуються до розв’язання мішаної задачі кручення круговим штампом пружного півпростору з параболоідальним пружним ядром. Застосовуючи техніку теорем додавання та парних інтегральних рівнянь, задача зведена до системи інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Остання система замінюється еквівалентною НСЛАР, розв’язок якої одержано методом редукції. Знайдено залежності відносного кута закручування та напружень під штампом від геометричних та жорсткістних параметрів задачі.

ВИСНОВКИ

1. В дисертації на основі єдиної ідеї (застосування відомих та нових теорем додавання рівняння Лапласа і векторного рівняння Ламе) запропоновані методи розв’язання ряду плоских та просторових задач теорії пружності. Вони мають науковий інтерес як з точки зору розвинення методів розв’язування задач математичної фізики, так і з точки зору їх застосування при дослідженні нових мішаних та основних задач теорії пружності, теорії потенціалу, теорії теплопровідності та інших областей природознавства.

1)

2). Запропоновано метод і одержано розв’язок мішаної задачі про тиск ексцентричного кільцевого штампу на пружний півпростір без тертя. Знайдена наближена формула для тиску під штампом на основі методу малого параметру. В загальному випадку задача розв’язується методом редукції НСЛАР. Знайдений розв’язок дозволив дослідити характер розподілу напружень під штампом та визначити величину і точку прикладання сили, яку треба прикласти до штампу, щоб він змістився без нахилу. Наближений розв’язок у вигляді розкладу за малим параметром вироджується у точний розв’язок для кругового штампу, коли внутрішній радіус кільця прямує до нуля.

3). Знайдено новий ефективний метод розв’язування мішаної задачі про вдавлювання без тертя у пружний півпростір декількох кругових штампів. Проведено детальний чисельний аналіз взаємного впливу одного штампу на другий в задачі про два штампи, коли їх основи плоскі і штампи входять у півпростір без нахилу. Зокрема, встановлені ті значення параметрів задачі, коли взаємний вплив зовсім малий, а також ті значення параметрів, для яких вплив настільки великий, що призводить до зміни знаку контактного напруження.

4). Запропоновано метод розв’язання задачі про кручення круговим штампом з плоскою основою пружного півпростору з ядром із іншого пружного матеріалу в формі параболоїда обертання. Знайдено залежності відносного кута закручування та напружень під штампом від геометричних та жорсткістних параметрів задачі. Точний розв’язок Уфлянда Я.С. в цій задачі випливає з наближеного в трьох випадках: або G1 = G2, або h = , або 0 = 0.

5). На основі теорем додавання базисних розв’язків рівняння Лапласа знайдено нові теореми додавання базисних розв’язків системи рівнянь Ламе в таких парах систем координат: а) полярна і еліптична на площині; б) сферична і параболоідальна у просторі.

6). Знайдені формули лягли в основу методу розв’язання нових задач теорії пружності: а) про рівновагу площини з круговим отвором і одним або двома гіперболічними вирізами; б) про деформацію простору, який має сферичну та параболоідальну порожнини. Зокрема, асимптотичним методом розкладу за малим параметром одержано розв’язки двох конкретних задач для площини з круговим отвором та одним чи двома напівнескінченними прямолінійними розрізами. Знайдено формули для коефіцієнтів інтенсивності нормального напруження у вершині розрізу. Досліджено вплив параболоідальної порожнини, вільної від навантаження, на переміщення та нормальні напруження на сферичній поверхні, в якій діє гідростатичний тиск. У плоских задачах точні розв’язки для площини з розрізами набуваються, якщо у наближених розв’язках по малому параметру покласти = 0. В задачі про деформацію пружного простору, що містить параболоідальну та сферичну порожнини, наближений розв’язок вироджується у точний, якщо покласти або h = , або 0 = 0.

2. Методи розв’язання задач, що розглянуті в роботі, базуються на теоремах додавання (відомих та отриманих автором) розв’язків рівнянь Лапласа та Ламе з наступним зведенням цих задач до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Останні в широкому діапазоні зміни параметрів задач розв’язуються методом редукції, а у тих випадках, де це можливо, також і методом малого параметру.

Практичний аналіз збіжності запропонованих методів проведено порівнянням результатів, що отримані чисельним розв’язуванням усічених систем різних порядків.

3. Вірогідність отриманих результатів забезпечується:

- коректністю та строгістю постановок усіх розглянутих задач;

- математичним обгрунтуванням запропонованих методів дослідження (доведення збіжності методу редукції розв’язання нескінченних систем);

- практичною збіжністю методу редукції нескінченних систем;

- високим рівнем задоволення граничних умов;

- збігом окремих випадків з відомими точними та наближеними розв’язками, що отримані раніше іншими авторами;

- збігом асимптотичних розв’язків та розв’язків, що одержані методом редукції нескінченних систем;

- узгодженням одержаних результатів між собою, їх відповідністю механічним міркуванням;

4. Результати дисертаційної роботи можна рекомендувати до використання в інженерній практиці розрахунково-конструкторських робіт при врахуванні взаємного впливу порожнин та тонких концентраторів напружень у пружних тілах. Розвинуті в дисертації методи можна використовувати на підприємствах, які займаються проектуванням підземних споруд, а також у наукових дослідженнях в інших областях механіки суцільних середовищ. Зокрема, розв’язки задач про кільцевий штамп та задач про деформацію площини з концентраторами напружень, використані в лабораторії композитних матеріалів Державного аерокосмічного університету “ХАІ” та Харківським науково-технологічним комплексом, що підтверджується відповідними документами.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Проценко В.С., Бузько Я.П., Денисова Т.В. Кручение круговым штампом упругого полупространства с упругим ядром в форме параболоида вращения // Доклады АН Украины. 1995. №4. С. 15-18.

2. Денисова Т.В., Николаев А.Г. Задачи о действии гладких штампов на упругое полупространство // Прикладная механика. 1998. т. 34, №2. С. 26-31.

3. Денисова Т.В., Проценко В.С. Электростатическая задача для плоского эксцентрического кольца // Журнал технической физики. 1998. т. 68, №12. С. 104-106.

4. Денисова Т.В. Задача о деформации упругой плоскости с круговым отверстием и двумя полубесконечными разрезами // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии: Сб. научн. трудов. Харьков: Государственный аэрокосмический университет "ХАИ". 1999. С. 237-240.

5. Денисова Т.В. Влияние пригрузки на интегральные параметры концентрического кольцевого штампа // Теоретическая и прикладная механика. 1999. Вып. 30. С. 111-117.

6. Бузько Я.П., Денисова Т.В., Соловьев А.И. О некоторых формулах разложения гармонических функций в эллиптических и полярных координатах и их применении к решению краевых задач теории упругости // Харьковский авиац. ин-т. Харьков, 1995. 10с. Деп. в ГНТБ Украины, №681 Ук95.

7. Бузько Я.П., Денисова Т.В., Соловьев А.И. О совместном применении параболоидальных и сферических координат к решению осесимметричных задач теории упругости // Харьковский авиац. ин-т. Харьков, 1995. 13 с. Деп. в ГНТБ Украины, № 682 Ук95.

8. Денисова Т.В. Равновесие упругой плоскости с круговым отверстием и полубесконечным разрезом // Труды Междунар. научн.-техн. конф. "Проблемы качества и долговечности зубчатых передач и редукторов". Харьков. 1997. С. 95-101.

9. Бузько Я.П., Денисова Т.В. Влияние пригрузки, действующей вне кольцевого штампа, на контактное давление под ним // Труды Шестой Междунар. конф. "Новые технологии в машиностроении". Харьков-Рыбачье. 1997, С. 240-243.

10. Проценко В.С., Денисова Т.В. Об одном обобщении теоремы Кельвина и ее применении к смешанным задачам теории упругости для неоднородного полупространства // Труды Междунар. науч. конф. Современные проблемы концентрации напряжений. Донецк. 1998. С. 204-208.

АНОТАЦІЯ

Денисова Т.В. Застосування теорем додавання до розв’язання задач теорії пружності. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2000.

Дисертація присвячена розвиненню методів розв’язання та побудові самих розв’язків нових контактних задач для пружного півпростору, просторових та плоских задач для пружних тіл, що містять порожнини, отвори, включення та розрізи.

В роботі запропоновано методи розв’язання та одержано розв’язки наступних задач: а) контактної задачі про вплив навантаження на контактне напруження під концентричним кільцевим штампом; б) контактної задачі про тиск без тертя на пружний півпростір ексцентричного кільцевого штампу; в) контактної задачі для декількох, зокрема двох, кругових штампів, які без тертя вдавлюються в пружний півпростір; г) задачі про рівновагу площини з круговим отвором та одним чи двома гіперболічними вирізами, зокрема, прямолінійними напівнескінченними розрізами; д) контактної задачі кручення круговим штампом пружного півпростору з параболоідальним пружним ядром; є) першої основної задачі про деформацію пружного простору з сферичною та параболоідальною порожнинами.

В основі методу розв’язання усіх задач лежать теореми додавання розв’язків рівняння Лапласа та системи рівнянь Ламе. Більшість з цих теорем вперше одержані автором.

Ключові слова: теорія пружності, контактні задачі, система кругових штампів, концентричний та ексцентричний кільцеві штампи, теореми додавання, рівняння Лапласа, система рівнянь Ламе, задачі концентрації напружень, параболоідальна та сферична порожнини у пружному просторі, площина з круговим отвором та розрізами.

АННОТАЦИЯ

Денисова Т.В. Применение теорем сложения к решению задач теории
упругости. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформированного твердого тела. – Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2000.

Диссертация посвящена развитию методов решения и построению самих решений контактных задач для упругого полупространства, пространственных и плоских задач для упругих тел с полостями, включениями, отверстиями и разрезами. Все задачи, рассмотренные в работе, решены на основе единого подхода (применение теорем сложения решений уравнения Лапласа и системы уравнений Ламе).

Диссертация состоит из введения, четырех разделов основной части, выводов, списка использованных источников и двух приложений.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, сформулированы цель и задачи исследований, указано практическое значение полученных результатов и их связь с научными программами.

Целью литературного обзора, которому посвящен первый раздел, было показать неполноту исследований в рассматриваемой области и те важные для практики задачи, которые остались не решенными, а также недостаточность математических средств для их решения.

Во втором разделе работы предложен метод и получено решение задачи о действии нормальной нагрузки, распределенной по границе упругого полупространства вне концентрического кольцевого штампа и решение задачи о давлении на упругое полупространство эксцентрического кольцевого штампа с плоским основанием. Задачи решены в предположении, что трение между контактирующими телами отсутствует. Детальный численный анализ первой задачи проведен для случая действия пригрузки в виде сосредоточенной силы. Во второй задаче изучено влияние геометрических параметров эксцентрического кольца на распределение контактных давлений под штампом и на интегральные силовые характеристики (силу, момент).

Третий раздел посвящен решению задачи о вдавливании без трения в упругое полупространство нескольких круговых штампов. Метод решения этой задачи, основанный на теоремах сложения базисных решений равнения Лапласа в системах координат сжатых сфероидов, приводит сразу к совокупности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомой функции в обобщенный ряд Фурье. Полученное решение позволило детально изучить взаимное влияние двух штампов с плоскими основаниями.

В четвертом разделе рассмотрены задачи теории упругости для тел, ограниченных координатными поверхностями (линиями) двух криволинейных систем координат. Вначале выводятся векторные формулы разложения (теоремы сложения) базисных решений системы уравнений Ламе в координатах кругового и эллиптического цилиндров на плоскости, сферической и параболоидальной системах координат в пространстве. На основе этих теорем сложения предложен метод решения задач о равновесии плоскости с круговым отверстием и одним или двумя гиперболическими вырезами, в частности, прямолинейными полубесконечными разрезами, а также осесимметричной задачи теории упругости для пространства с двумя полостями: сферической и параболоидальной. Приведены приближенные формулы для коэффициента интенсивности напряжения в вершине полубесконечного разреза в виде разложения по малому параметру. В общем случае плоские задачи решаются методом усечения бесконечных систем. Осесимметричная задача также решена методом бесконечных систем для случая отсутствия нагрузки на параболоиде и действии гидростатического давления на сферической полости. Изучено влияние близости параболоида на распределение нормальных напряжений , и перемещений , на поверхности шара. Показано, что при удалении параболоида от шара, перемещения и нормальные напряжения быстро приближаются к значениям для уединенной сферической полости в пространстве.

Последний параграф этого раздела содержит решение задачи о кручении круговым штампом с плоским основанием упругого полупространства с включением в форме параболоида вращения из другого упругого материала. С помощью теорем сложения гармонических функций в параболоидальных и цилиндрических координатах задачи сведены к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, которые решены методом редукции. Получены зависимости относительного угла закручивания штампа и напряжений под ним от геометрических и жесткостных параметров задачи.

Все рассмотренные в диссертации задачи, в конечном итоге, сводятся к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, для которых обосновано применение метода усечения и сходимость приближенных решений к точному. Ряд теорем сложения, используемых в диссертации, впервые получены автором.

Ключевые слова: теория упругости, контактные задачи, система круговых штампов, концентрический кольцевой штамп с пригрузкой, эксцентрический кольцевой штамп, теоремы сложения решений уравнения Лапласа и системы уравнений Ламе, задачи концентрации напряжений, параболоидальная и сферическая полости в упругом пространстве, плоскость с круговым отверстием и разрезами, коэффициенты интенсивности.

ABSTRACT

Denisova T.V. Application of addition theorems to the solution of the problems of Elasticity Theory. – Manuscript.

Dissertation for academic degree of kandidat of technical sciences (speciality 01.02.04 – mechanics of deformed solid). – The A.N. Podgorny Institute of Mechanical Engineering Problems of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2000.

The dissertation is devoted to the development of solution methods and to constructions of solutions themselves to new contact tasks for elastic halfspace, space and flat tasks for elastic bodies with cavities, insertions, holes and cuts.

Methods of solution and received solutions to the following tasks are presented in the given thesis: a) contact problem on influence of load on the contact tensions under concentric ring stamp; b) contact problem on pressure of eccentric ring stamp on elasticity halfspace without friction; c) contact problem for some, two in particular, circular stamps,