Київський національний університет

будівництва і архітектури

Гераймович Юрій Дмитрович

УДК 539.3

Аналіз динамічних процесів в пружних

системах із застосуванням базису

редукції з векторів Ланцоша

05.23.17 - будівельна механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури (КНУБА) Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Дехтярюк Євген Семенович,

КНУБА, професор кафедри будівельної механіки.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Заруцький Володимир Олександрович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій;

кандидат технічних наук

Крицький Олександр Борисович,

Державний науково-технічний центр з ядерної та радіаційної безпеки, провідний науковий співробітник відділу міцності і надійності ядерних установок.

Провідна установа: Національний технічний університет України "КПІ", кафедра динаміки, міцності машин і опору матеріалів, Міністерство освіти і науки України, м.Київ.

Захист відбудеться 16.02.2000 р. о 13-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д_26.056.04 в Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03037, м.Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, м.Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий 15.01.2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

к.т.н., с.н.с. Кобієв В.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У зв'язку із зростаючими вимогами до міцності і несучої здатності сучасних інженерних споруд з одного боку та спрямованістю до зниження матеріалоємності з іншого боку зростає роль розрахунку конструкцій на динамічні навантаження. В той же час ефективні методи розв'язання задач про змушені коливання складних конструкцій розвинені ще недостатньо. Метод скінченних елементів дозволяє будувати дискретні розрахункові динамічні моделі з великим числом ступенів свободи. Проте пряме застосування таких моделей при розв'язанні задач про змушені коливання пов'язане із значними труднощами, головна з яких обумовлена вимогою стійкості процесу чисельного інтегрування рівнянь руху. Тому виникає необхідність редукування вихідних дискретних динамічних моделей з великим числом ступенів свободи.

Актуальність теми. Застосування методу редукції на сьогоднішній день, очевидно, є одним із найперспективніших підходів в задачах моделювання динамічної поведінки конструкцій. Найчастіше за базис редукування обираються власні форми коливань. Проте базис з власних форм коливань має певні недоліки. Зокрема, вектори базису не враховують характер зовнішніх динамічних впливів, оскільки представляють собою реакцію споруди чи конструкції на відповідне інерційне навантаження.

В роботах Артюхіна Г.О., Бурмана З.Й., Бурмана Я.З., Зархіна Б.Я., Нур-Оміда Б. пропонується застосовувати як базис редукування вектори Ланцоша, які складають підпростір Крилова. Базис з векторів Ланцоша має добрі апроксимаційні властивості, що дозволяє його застосовувати для цілого ряду методів лінійної алгебри. Істотною перевагою базису з векторів Ланцоша є те, що він враховує просторову конфігурацію зовнішнього навантаження. Це приводить до швидкої збіжності розв'язку. Але, на жаль, до теперішнього часу редуковані таким чином моделі використовувались лише при дослідженні коливань, збуджуваних вузьким класом динамічних навантажень. Актуальною є проблема дослідження ефективності застосування моделей конструкцій, редукованих на основі базису з векторів Ланцоша, для вивчення їхньої поведінки при динамічних навантаженнях різної природи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до загального плану наукових досліджень, що проводяться на кафедрі будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури та в Науково-дослідному інституті будівельної механіки КНУБА. Тематика роботи визначається дослідженнями, що проводяться в рамках тем 2ДБ-96 “Розробка теорії і методів аналізу міцності, надійності та довговічності споруд і обладнання в будівництві” (№ держ. реєстрації 0196U016051) та 2ДБ-99 “Створення нових методів оцінки несучої здатності і прогнозування поведінки будівельних конструкцій при складному навантаженні” (№ держ. реєстрації 0199U002035), які входять до тематичного плану Міністерства освіти і науки України та виконуються за напрямком 04 “Екологічно чиста енергетика та ресурсозберігаючі технології”. Автор безпосередньо брав участь у виконанні цих науково-дослідних робіт як співвиконавець.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає в розробці методики редукування динамічних моделей на базі векторів Ланцоша і застосуванні редукованих моделей для чисельного дослідження коливань пружних систем при динамічних навантаженнях різної природи. Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

·

· провести чисельні дослідження щодо ефективності застосування моделей, редукованих за базисом з векторів Ланцоша, для аналізу сталих коливань при гармонійному впливі, перехідних процесів при імпульсивному впливі, віброударних коливань при сейсмічному навантаженні та сталих коливань під дією стаціонарного випадкового навантаження.

Об'єкт дослідження - коливальні процеси систем при динамічних навантаженнях різної природи.

Предмет дослідження - ефективність моделей, редукованих за допомогою базису з векторів Ланцоша при аналізі змушених коливань.

Методи дослідження - для побудови динамічних моделей використовувались метод скінченних елементів та метод узагальнених координат, при дослідженні коливань - чисельні методи інтегрування рівнянь руху, при дослідженні сталих коливань під дією стаціонарного випадкового навантаження - спектральні методи аналізу. Достовірність результатів оцінювалась порівнянням з результатами, отриманими для вихідної скінченноелементної дискретної моделі та для редукованої моделі, побудованої за базисом з власних форм коливань.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

·

· встановлена ефективність застосування редукованих моделей для аналізу сталих коливань при гармонійному впливі;

· проведена порівняльна оцінка якості результатів, отриманих за допомогою базису з власних форм коливань та векторів Ланцоша при імпульсивному впливі;

· досліджені віброударні коливання комбінованої системи деаераторної етажерки Чорнобильської АЕС при сейсмічному навантаженні;

· виявлені особливості базису з векторів Ланцоша та базису з власних форм коливань при побудові редукованих моделей, використовуваних в розробленій методиці застосування функції когерентності складових реакції для розрізнення власних частот і частот зовнішнього впливу.

Практичне значення одержаних результатів полягає в реалізації розроблених методик у вигляді програмних засобів, які дозволяють проводити чисельні дослідження на базі вихідної дискретної моделі і редукованих моделей (як на основі власних форм коливань, так і на основі векторів Ланцоша) при різних типах зовнішнього навантаження та вирішувати задачу розрізнення власних частот і частот зовнішнього впливу за допомогою функції когерентності складових реакції. Запропоновані методи і створені на їх основі програмні засоби можуть бути використані для проведення досліджень динамічних процесів при проектуванні і розрахунках несучих елементів споруд та для створення систем моніторингу складних споруд.

Розроблені методи та програмне забезпечення використовувались в Науково-дослідному інституті будівельної механіки КНУБА при виконанні держбюджетних науково-дослідних робіт, пов'язаних з вивченням динамічних процесів в елементах конструкцій, а також госп.-договірних робіт з Науково-дослідним інститутом будівельних конструкцій, пов'язаних зі стабілізацією об'єкта "Укриття" Чорнобильської АЕС.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі викладені отримані особисто автором результати чисельних досліджень ефективності застосування редукованих на базі векторів Ланцоша скінченноелементних моделей для аналізу змушених коливань при дії динамічних навантажень різної природи та результати використання функції когерентності в задачі ідентифікації власних частот.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури: 59-й (1998р.), 60-й (1999р.) та 61-й (2000р.).

Публікації. Основні положення дисертації та основні результати досліджень відображені в 6 роботах, опублікованих у фахових виданнях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, переліку умовних позначень, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 91 найменування на 9 сторінках та додатків. Загальний обсяг дисертації складає 157 сторінок, у тому числі тексту основної частини 115 сторінок, 51 рисунок, 1 таблиця та 3 додатки на 8 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована важливість і актуальність питань, вирішенню яких присвячена дисертація. Подано загальну характеристику роботи.

У першому розділі розглядаються різні методи зменшення числа ступенів свободи при динамічному аналізі. Найперспективнішим уявляється проекційний метод, який грунтується на розкладанні вихідного розв'язку по деякому базису. Методика зменшення кількості ступенів свободи, що базується на проекційному методі, застосовна до будь-яких конструктивних вирішень і дозволяє досягти бажаного зменшення числа ступенів свободи.

У другому розділі викладаються основні положення методики побудови редукованих моделей на основі проекційного методу для базисів з власних форм коливань і з векторів Ланцоша.

Нехай система рівнянь методу скінченних елементів, що описує динамічну поведінку дискретних моделей, має вигляд:

Mu”(t)+Cu'(t)+Ku(t)=q(t), (1)

де M, C, K - матриці мас, демпфірування і жорсткості системи розмірності nxn, u(t) - вектор вузлових переміщень, q(t) - вектор, що описує просторову конфігурацію зовнішнього впливу.

При аналізі довільної системи з n ступенями свободи деформований стан у момент часу t визначається n компонентами вектора переміщень u(t). При вирішенні реальних задач n може досягати десятків тисяч і динамічний аналіз подібних моделей, навіть при теперішньому рівні розвитку обчислювальної техніки, не тільки представляє обчислювальні труднощі, але і вимагає значних затрат, пов'язаних з часом обчислення. Проекційний метод дозволяє істотно зменшити розмірність розв'язуваної задачі і також з певністю говорити про еквівалентність одержуваних результатів для редукованої та для вихідної дискретної моделей.

Проекційний метод грунтується на припущенні, що вектор переміщень u(t) можна виразити через систему лінійно-незалежних базисних векторів ji з амплітудами yi(t), (i=1,2,...,m; m<=n) у такий спосіб:

u(t)=Фy(t), (2)

де y(t)=(y1(t), y2(t),...,ym(t))T - вектор узагальнених координат, Ф=[j1,j2,...,jm] - матриця базисних векторів розмірності nxm. Тому етап формування базису проектування Ф є основним при розв'язанні задач з використанням проекційного методу.

При поданні розв'язку у вигляді (2) динамічна система (1) в узагальнених координатах набирає вигляду:

M*y”(t)+C*y'(t)+K*y(t)=p (t), (3)

де M*=ФTMФ, C*=ФTCФ, K*=ФTKФ, p(t)= ФTq(t).

При m=n перетворення (2) будуть тотожними. При m<n подання (2) вже не є точною заміною координат, а виконує проектування n-вимірного простору в m-вимірний. В цьому випадку відбувається редукція задачі. Проте якщо основна частина енергії зовнішнього впливу припадає на нижчі частоти, то можна вважати дуже імовірним, що вказана редукція дасть хороше наближення навіть при m<<n.

Найчастіше розглядається базис, що будується виходячи з форм власних коливань:

Mu”(t)+Ku(t)=0. (4)

Для його побудови вирішується часткова проблема власних значень:

KФ=WMФ. (5)

Матриця W=diag{w2i}, де wi - власні частоти, що відповідають власним формам коливань ji, i=1,2,...,m. Вектори цього базису по побудові задовольняють граничні умови і мають властивість ортогональності, тобто jTiMjj =0 i jTiKjj =0 при i № j. Якщо припустити, що відповідні умови ортогональності застосовні до сил загасання, представлених матрицею демпфірування C, та власні форми ортонормовані по відношенню до матриці мас ФTMФ=E, то система рівнянь (3) відносно узагальнених координат розпадеться на окремі рівняння:

y”i+2xiwiy'i+w2iyi=pi(t), i=1,2,...,m., (6)

де xi - параметр загасання по i-тій формі коливань.

Розглядається питання про використання як базису редукування послідовності векторів, що складають підпростір Крилова. Для його побудови виходячи з будь-якого вектора r0=(r10,r20,...,rn0)T будується послідовність векторів

r0, r1=D r0, r2=D 2 r0,..., rm=D m r0, (7)

яка визначається динамічною матрицею системи (1) D=K-1M та вектором r0.

У разі збігу r0 з вектором статичного розв'язку системи, навантаженої по формі q, механічна інтерпретація векторів (7) полягає у наступному. Вектор r0 являє собою амплітуду пружних переміщень при навантажені формою q, вектор r1 є амплітудою переміщень від навантаження силами інерції, які виникають при деформуванні конструкції відповідно до вектора r0, і так далі.

Такий базис має ряд позитивних властивостей. Він адекватно описує характер навантаження та жорсткістно-масові характеристики конструкції, що приводить до швидкої збіжності розв'язку. Для обчислення одного вектора потрібно в 1,5-3 рази менше витрат, ніж для обчислення однієї власної форми. Тому цей базис виступає природною альтернативою базису з власних форм коливань для задач знаходження динамічної реакції.

Простий алгоритм методу Ланцоша має такий вигляд. Для будь-якого початкового вектора q розв'язується система рівнянь Kr0=q. Виходячи з вектора r0 будується послідовність векторів Ланцоша ji, (i=1,2,...,m):

(8)

де в пунктах 1 і 5 алгоритму за матрицю A може бути прийнято K чи M в залежності від вибраної ортогоналізації базисних векторів. Основне призначення методу Ланцоша - визначення власних значень та відповідних власних векторів, і процес (8) продовжують до тих пір, поки обчислені після пункту 5 алгоритму власні значення TS=lS, де S=[s1,s2,…,sm] - квадратна матриця власних векторів тридіагональної матриці

, (9)

не досягнуть заданої похибки (для порівняння використовуються власні значення попереднього кроку алгоритму). Безпосереднє застосування ітераційного алгоритму Ланцоша, представленого співвідношеннями (8), не дозволяє одержати задовільний базис редукування. Пропонується добавити після пункту 2 алгоритму процедуру ортогоналізації векторів Ланцоша модифікованим методом Грама-Шмідта.

Система рівнянь (3) відносно узагальнених координат на відміну від системи, отриманої в результаті редукування за допомогою базису з власних форм, не розпадеться навіть при відсутності демпфірування. Рівняння (1) у базисі з векторів Ланцоша (при нормуванні векторів за матрицею жорсткості, тобто A=K) набирають вигляду:

Ty”(t)+C*y'(t)+y(t)=ebf(t)., (10)

де eb=(b1,0,0,…,0)T. Якщо ж використовується нормування за матрицею мас (A=M), то

y”(t)+T-1C*y'(t)+T-1y(t)=T-1ebf(t). (11)

Якщо потрібні власні вектори вихідної моделі, то після закінчення процесу (8) їх отримують з обчислених векторів Ланцоша та власних векторів матриці T за формулою:

Ф=ФLS. (12)

Третій розділ присвячується чисельному аналізу ефективності застосування базису з векторів Ланцоша в задачах дослідження сталих коливань конструкцій при гармонійному впливі, перехідних процесів при імпульсивному впливі, віброударних коливань при сейсмічному навантаженні. Ефективність використання базису з векторів Ланцоша підтверджується за допомогою порівняння результатів, отриманих для вихідної дискретної моделі та моделі, редукованої на основі базису з власних форм коливань.

Розглядаються сталі коливання під дією гармонійного навантаження q(t)=qcosqt. Характеристики відповідних сталих коливань, що визначаються за допомогою вихідної дискретної моделі, знаходяться з системи рівнянь:

. (13)

Точність розв'язку редукованих задач оцінюється як відносна похибка e розв'язку редукованої задачі до розв'язку нередукованої задачі:

e=|(umax-u*max)/umax|, (14)

де umax - максимальний динамічний прогин нередукованої задачі; u*max - максимальний динамічний прогин редукованої задачі.

Дослідження проводяться для вільно опертої балки і прямокутної вільно опертої по контуру пластини при симетричному та несиметричному зовнішньому навантаженні для різної кількості m базисних векторів. При симетричному навантаженні у разі редукування за базисом з власних форм використовувалися тільки симетричні форми коливань.

Досліджувалися залежності відносної похибки e від частоти зовнішнього впливу q. Діапазон частот зовнішнього впливу обмежується частотою wm, яка відповідає останньому з утримуваних базисних векторів при редукуванні за власними формами коливань. Аналіз отриманих результатів для балки показує, що базис з векторів Ланцоша ефективніший при симетричному навантаженні в діапазоні частот зовнішнього впливу [0, ”0.65wm] і при несиметричному навантаженні - [0, ”0.75wm]. Аналіз результатів, отриманих для пластини, визначає відповідно діапазони частот [0, ”0.70wm] та [0, wm].

Перехідні процеси досліджуються під дією прямокутного зосередженого імпульсу . Як відомо, реакція системи при імпульсивному впливі має дві фази: перша - для інтервалу часу прикладання навантаження (змушені коливання), та друга - фаза вільних коливань. В першій фазі тривалості t1 конструкція, що знаходиться у стані спокою (нульові початкові параметри), зазнає прямокутного зосередженого імпульсу. Вільні коливання, які відбуваються у другій фазі, залежать від переміщень u(t) та швидкостей u'(t) конструкції в кінці першої фази коливань. При імпульсивному впливі найбільший інтерес становить максимальна динамічна реакція конструкції, яка в залежності від тривалості імпульсу може припадати, як на першу, так і на другу фази коливань. Задача розв'язується за допомогою чисельного інтегрування рівнянь руху методом Ньюмарка.

Дослідження проводяться для різних місць прикладання сили на балці і смугового навантаження на пластині. В кожному з цих випадків за динамічні реакції, що контролюються, приймаються максимальні переміщення у вузлі прикладання сили (смугового навантаження) та в характерних точках балки (пластини).

Результати досліджень представлені у вигляді залежностей відносної похибки e від місця прикладання імпульсивної сили (смугового навантаження). Аналіз отриманих результатів показує, що при короткочасному імпульсивному впливі (коли максимальна динамічна реакція припадає на фазу вільних коливань) перевагу слід надавати базису з власних форм коливань, при тривалому імпульсивному впливі - базису з векторів Ланцоша. Пояснюється це тим, що вектори Ланцоша будуються виходячи з просторової конфігурації зовнішнього впливу.

Одним з видів динамічних навантажень є сили взаємодії, що виникають при співударі конструкцій, які коливаються, чи при зіткненні конструкції, що коливається, з перешкодою. При дослідженні коливань реальних конструкцій внаслідок складності процесів, що відбуваються, в більшості випадків в розрахунках взаємодії такого роду не враховуються, а замінюються короткочасним імпульсивним навантаженням, яке не залежить від руху конструкції, і тому правдоподібність параметрів імпульсивного навантаження, так само як і отриманих результатів, визначити дуже складно.

При вивченні сил ударної взаємодії перспективним уявляється підхід, який базується на припущенні, що врахування сил взаємодії конструкції з перешкодою відбувається не на рівні матриці жорсткості, а на рівні вектора додаткового зовнішнього навантаження q(t)=qf(t)+r(t), де r(t)={r1(t),r2(t),…,rn(t)}T - вектор реактивних сил взаємодії конструкцій між собою чи з перешкодою в момент часу t. Складові вектора r(t) у випадку взаємодії з перешкодою, визначаються таким чином:

±(|ui(t)|-di)Gi, коли є взаємодія з перешкодою,

ri(t) = (15)

0, коли взаємодія з перешкодою відсутня,

де di - задана відстань від конструкції до перешкоди та Gi - жорсткість перешкоди по i-тому ступеню свободи, знак “+” обирається, коли напрямок складової вектора реактивних сил взаємодії збігається з додатнім напрямком загальної системи координат.

Запропонований підхід реалізується на основі прямого чисельного інтегрування методом Ньюмарка. В кроковій реалізації підходу реактивні сили взаємодії конструкції з перешкодою r(t) відстають на крок інтегрування Dt від переміщень u(t+Dt), тому доцільно ввести обмеження на приріст переміщення [u(t+Dt)-u(t)] на одному кроці інтегрування при взаємодії з перешкодою:

max[ui(t+Dt)-ui(t)] < min[Dr/Gi], (i=1,2,…,n), (16)

де Dr - допустима похибка у визначенні складових вектора реактивних сил r(t). Необхідність цього обмеження зумовлена тим, що при дуже великій жорсткості перешкоди малий приріст переміщення на одному кроці інтегрування спричиняє великі реактивні сили взаємодії (15), що адекватно підкачці енергії ззовні. Цьому можна завадити вибором достатньо малого кроку інтегрування, але при цьому збільшуються витрати машинного часу, тому раціональний крок інтегрування визначається автоматично виходячи з виразу (16), чим забезпечується відповідна відносна точність розв'язку.

Розглядаються віброударні процеси в деаераторних етажерках (ДЕ), які є ключовою спорудою південної зони об'єкта “Укриття” Чорнобильської АЕС в комплексі з існуючими конструкціями каркасу реакторного відділення та блоком покриття машинного залу. Каркас ДЕ складається із багатоповерхових рам, розташованих з кроком шість метрів і виконаних зі збірних залізобетонних елементів (рис.1,а). Горизонтальні підпори запроектовані у вигляді контактних елементів, розрахованих на передачу тиску з боку похилих колон верхнього ярусу ДЕ на горизонтальну в'язеву ферму крайнього блока покриття машинного залу.

Габарити конструкції істотно менші від довжини сейсмічної хвилі і тому можна не враховувати зсув по фазі при русі грунту. Тобто справедливо припущення про одночасність коливань усіх частин основи споруди. У розрахунку прийнято, що вектор руху грунту є горизонтальним. Виходячи з прийнятого припущення про одночасність руху точок основи при сейсмічному впливі, вектор навантаження визначається виразом:

q(t)=-Mef(t), (17)

де e - вектор коефіцієнтів впливу, який характеризує переміщення від одиничних зміщень опор, f(t) – прискорення основи при сейсмічному впливі, яке задається у вигляді акселерограми.

Рис.1 Деаераторна етажерка

Для площадки ЧАЕС інститутом геофізики (ІГФ) НАНУ з урахуванням обводненості грунтів та резонансного ефекту при землетрусі визначена інтенсивність максимального розрахункового землетрусу в розмірі 7 балів за шкалою Ріхтера. Одержана в ІГФ синтезована акселерограма (рис.1,б) характеризує прискорення під підошвою фундаменту.

Спочатку виконується порівняння результатів методики, що базується на застосуванні нелінійних контактних елементів (використовується пакет програм “AnSys”) та запропонованого підходу для вихідної дискретної моделі. На рис.1,в и 1,г зображені відповідно горизонтальні переміщення та сили співудару у вузлі 15, визначені при застосуванні методики нелінійних контактних елементів (суцільна лінія) та за запропонованим підходом для вихідної дискретної моделі (крапкова лінія). Як видно з графіків, результати, отримані названими способами, добре узгоджуються, тобто правомірність припущення про врахування сил ударної взаємодії конструкції з перешкодою на рівні вектора додаткового зовнішнього навантаження підтверджується.

Потім дослідження проводяться за запропонованим підходом для вихідної дискретної моделі та для редукованих моделей за базисом з власних форм коливань і базисом з векторів Ланцоша. Результати для редукованих моделей практично еквівалентні. Пояснюється це тим, що початковий вектор (просторова конфігурація сталої частини при динамічному навантаженні (17)) в алгоритмі Ланцоша співпадає з матрицею мас в горизонтальному напрямку. При утриманні 7 базисних векторів відносна похибка для редукованих моделей не перевищує e<0,273%.

В четвертому розділі вивчаються особливості поведінки базису з векторів Ланцоша та базису з власних форм коливань при побудові редукованих моделей, використовуваних в розробленій методиці застосування функції когерентності складових реакції для розрізнення власних частот і частот зовнішнього впливу. Ця проблема виникає в задачах оцінювання функціонального стану складних споруд за аналізом частотної структури реакції динамічних систем на зовнішнє навантаження.

У першій частині четвертого розділу наводяться спектральні співвідношення для лінійних систем, теоретичне обгрунтування розробленого методу застосування функції когерентності для розрізнення власних частот і частот зовнішнього впливу у випадку, коли зовнішній вплив має шумову та вузькополосну складові. Виводяться формули для обчислення функції когерентності за заданими параметрами зовнішнього впливу як для вихідної дискретної моделі, так і для редукованих моделей.

Основним способом дослідження частотної структури реакцій динамічних систем на випадковий вплив є вивчення спектральної щільності реакції. При цьому проявляються піки спектра реакції на власних частотах системи, а також на частотах, що відповідають пікам спектрів зовнішнього впливу. Проте за спектром реакції, не маючи апріорної інформації, не завжди можна визначити, які піки спектральної щільності відповідають резонансним частотам системи, а які - частотам, де зосереджена енергія зовнішнього впливу. Для такої селекції можна використати функцію когерентності. На графіку функції когерентності власні частоти виділяються тим, що в їх околі спостерігаються ширші піки порівняно з елементами графіку, що відповідають частотам зовнішнього впливу. Досліджується можливість використання функції когерентності для оцінки власних частот у випадку, коли зовнішній вплив є вузькополосним стаціонарним процесом.

Обчислення функції когерентності є неформальною задачею, при вирішенні якої велике значення має інтерпретація одержуваних оцінок. Необхідно вміти розрізняти, якою мірою ті або інші особливості поведінки функції когерентності зумовлені характером досліджуваних реалізацій, і якою мірою вони визначаються способом побудови оцінки, значеннями параметрів обробки, при яких ці оцінки отримані: довжиною реалізації, дискретизацією по частоті і т. і. Такого досвіду можна набути шляхом чисельного моделювання на ПЕОМ реакції пружних систем на вузькополосні впливи.

Дискретна модель, що описує коливання динамічної системи, задається рівняннями (1). Розглядається випадок, коли вектор зовнішнього впливу має вигляд:

q(t)=qvv(t)+qrr(t), (18)

де v(t) i r(t) - скалярні функції, що характеризують інтенсивність відповідно вузькополосної і шумової складових впливу в момент часу t, qv=(qv1,qv2,…,qvn)T і qr=(qr1,qr2,…,qrn)T - вектори, що описують просторову конфігурацію цих складових, та не залежать від часу. Вважається, що функції v(t) i r(t) у виразі (18) являють собою некорельовані випадкові процеси: v(t) - стаціонарний вузькополосний випадковий процес зі спектральною щільністю Gvv(w), а r(t) - обмежений по частоті білий шум з інтенсивністю Dr.

Позначимо через GLL(w) спектральну матрицю інтенсивності зовнішнього впливу розмірності 2x2, її вигляд:

, (19)

де Grr(w)=Dr/p=const - спектральна щільність обмеженого по частоті білого шуму. Тоді матриця взаємно спектральних щільностей вихідної дискретної системи набере вигляду:

Guu(w)=H*(w)QGLL(w)QTHT(w), (20)

де H(w)=[-w2M+iwC+K]-1 - матриця частотних характеристик системи (1), Q=[qv,qr] - матриця просторової конфігурації зовнішнього впливу.

Аналізуючи реакції системи, необхідно також враховувати наявність шумових доданків. Припустимо, що вимірювана реакція системи uS(t) представляється у вигляді суми:

uS(t)=u(t)+s(t), (21)

де u(t) - вектор вузлових переміщень, s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T - вектор випадкових шумових складових реакції (їхня наявність обумовлена, насамперед, недосконалістю та помилками датчиків, відхиленням системи від лінійної і т.і.).

Рис.2 Функціональна схема

Наочно таку модель представляє схема, зображена на рис.2. Якщо компоненти вектора s(t) некорельовані із зовнішнім впливом і некорельовані між собою, то функція когерентності для двох складових вектора реакцій uSi і uSJ визначається за формулою:

, (22)

де автоспектральна щільність k-тої компоненти вектора s(t).

Використовуючи проекційний метод, представимо реакцію системи u(t) у вигляді (2), тоді система рівнянь в узагальнених координатах набере вигляду:

M*y”(t)+C*y'(t)+K*y(t)=pvv(t)+ prr(t), (23)

де pv=ФTqv та pr=ФTqr. Матриця взаємно спектральних щільностей редукованої системи Gyy(w) матиме вигляд:

Gyy(w)=H** (w)PGLL(w)PTH*T(w), (24)

де H*(w)=[-w2M*+iwC*+K*]-1 - матриця частотних характеристик редукованої системи, P=[pv,pr] - матриця просторової конфігурації зовнішнього впливу в узагальнених координатах. Матриця взаємно спектральних щільностей вихідної дискретної системи може бути визначена через матрицю взаємно спектральних щільностей редукованої системи у такий спосіб

Guu(w)=ФGyy(w)ФT, (25)

тобто

Guu(w)=ФH** (w)PGLL(w)PTH*T(w)ФT. (26)

При використанні (26) істотно, що матриця частотних характеристик H*(w), яка визначається через обернення, має невелику розмірність.

Наявність аналітичних формул дозволяє більш адекватно інтерпретувати оцінки функції когерентності, одержані шляхом статистичної обробки результатів чисельного моделювання.

В другій частині четвертого розділу розглядається застосування функції когерентності змодельованої реакції для розрізнення власних частот і частот зовнішнього впливу на основі вихідної дискретної моделі та редукованих моделей, побудованих як за базисом з власних форм коливань, так і за базисом з векторів Ланцоша для триповерхової рами, деаераторної етажерки Чорнобильської АЕС, прямокутної пластини з квадратним отвором, вільно опертої по коротких сторонах під дією навантаження, що є сумою широкополосної і вузькополосної складових з однаковою просторовою конфігурацією та однопрогонової кран-балки двотаврового перерізу під дією навантаження, що є сумою широкополосної і вузькополосної складових із різною просторовою конфігурацією. Аналізуються параметри, що обмежують можливість використання функції когерентності в задачах моніторингу складних систем. Наведемо результати для задачі розрізнення власних частот конструкції, яка являє собою каркас деаераторної етажерки (рис.1,а). Припускається, що горизонтальний підпір в процесі коливань зачинений. Вектор просторової конфігурації навантаження для вузькополосної та широкополосної складових однаковий: вертикальна складова приймається 60% від маси конструкції, горизонтальна складова - 100%.

Моделювання вузькополосного процесу v(t) проводиться шляхом інтегрування методом Рунге-Кутта рівняння:

, (27)

де q - несуча частота вузькополосного процесу, s - стандарт вузькополосного процесу, a=xvq - стала загасання, xv - параметр загасання, h(t) - нормальний білий шум з інтенсивністю Dh=1м2/c4. Параметри вузькополосного процесу мають значення: q=200Рад/c, s=0,01м/c2, a=0,0001Рад/c. Інтенсивності шумових складових вхідного та вихідних сигналів дорівнюють відповідно 10-8м2/c4 та 10-16м2/c4.

Рис.3 Оцінка функцій когерентності

Вважається, що перехідний процес минув і система перебуває в режимі стаціонарних коливань. На рис.3 зображені функції когерентності для вихідної дискретної моделі, обчислені для реакцій у вузлах Б і В (рис.1,а). За реакції приймаються лінійні перемі-щення у вертикальному напрямку. Суцільною лінією зображено графік функції когерентності, одержаний як результат статистичної обробки змодельованих сигналів, пунктирною лінією - одержаний за аналітичними формулами. З рисунка видно, що оцінки функції когерентності, одержані названими двома способами, добре узгоджуються. Досить чітко виділяється несуча частота q=200Рад/c вузькополосної складової, в околі якої спостерігається пік, істотно вужчий за піки, що відповідають резонансним частотам системи.

Досліджується, як використання редукованих моделей позначається на оцінках функції когерентності. Аналіз проводиться на основі формули (22). На рис.4 зображені функції когерентності для реакцій у вузлах Б і В, обчислені на основі нередукованої моделі та редукованих моделей з різними базисами редукування. У випадках а і б за реакції приймалися лінійні переміщення у вертикальному напрямку, у випадках в і г - лінійні переміщення у горизонтальному напрямку. На графіках суцільними лініями зображені функції когерентності для вихідної дискретної моделі, пунктирними лініями - для редукованих моделей, побудованих на основі перших 11-ти базисних векторів.

З результатів, наведених на рис.4,а і 4,б, видно, що в діапазоні частот, який охоплює перші 7 власних частот конструкції, при обох способах редукування функція когерентності, обчислена для вихідної дискретної моделі, добре збігається з функцією когерентності, одержаною на основі редукованої моделі. Збіг результатів для редукованої та вихідної дискретної моделі дещо кращий у разі використання векторів Ланцоша. Далі, поза діапазоном частот, що охоплює значення, відповідні утримуваним при редукуванні власним формам, на графіку функції когерентності для редукованої моделі, побудованої на основі базису власних форм, як і слід було очікувати, зовсім не позначаються власні частоти wi для i>11. На графіку функції когерентності, що відповідає редукованій моделі, побудованій за векторами Ланцоша, поза діапазоном частот, який охоплює перші 11 власних частот, досить чітко виділяється частота, яка не є власною частотою. Появу таких хибних частот можна контролювати збільшуючи розмірність базису.

Рис.4 Оцінки функцій когерентності

На рис.4,в і 4,г, де зображені функції когерентності для лінійних переміщень у горизонтальному напрямку, спостерігаються в цілому такі самі закономірності, але для перших семи частот набагато краще збігаються з функцією когерентності для вихідної дискретної моделі результати, отримані при редукуванні за векторами Ланцоша, порівняно з редукуванням за базисом власних форм коливань.

На рис.4 видно, що пік в околі несучої частоти вузькополосної складової q=200Рад/c у разі використання редукованих моделей значно вужчий порівняно з випадком використанням вихідної дискретної моделі. Це можна пояснити тим, що поблизу частоти q розміщуються декілька власних частот системи, присутність яких позначається на графіку функції когерентності, який відповідає вихідній дискретній моделі, і не позначається на графіках, побудованих з використанням редукованих моделей.

Виконані дослідження показують, що в розвинених системах моніторингу складних об`єктів доцільно передбачити наявність програмних засобів для побудови чисельних моделей пружних систем. Для більш адекватної інтерпретації статистичних оцінок функції когерентності корисно проводити порівняльний аналіз результатів, отриманих при редукуванні за різними системами базисних векторів.

Проведені дослідження свідчать про ефективність та перспективність застосування редукованих за базисом з векторів Ланцоша моделей в задачах змушених коливань конструкцій. Вектори Ланцоша на відміну від форм власних коливань дають можливість адекватно моделювати основну складову динамічного процесу - вантажну.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджені можливості і особливості застосування редукованих на базі векторів Ланцоша динамічних моделей для аналізу змушених коливань пружних систем при зовнішньому навантаженні різного типу. Основні результати, отримані в дисертаційній роботі, такі.

1. Удосконалена методика та алгоритм редукування скінченноелементних моделей на базі векторів Ланцоша.

2. Досліджена ефективність застосування редукованих моделей для аналізу сталих коливань при гармонійному впливі. Проведена порівняльна оцінка якості результатів, отриманих за допомогою базису з власних форм коливань та векторів Ланцоша при імпульсивному впливі. Досліджені віброударні коливання комбінованої системи деаераторної етажерки Чорнобильської АЕС при сейсмічному навантаженні.

3. Виявлені особливості базису з векторів Ланцоша та базису з власних форм коливань при побудові редукованих моделей, використовуваних в розробленій методиці застосування функції когерентності складових реакції для розрізнення власних частот і частот зовнішнього впливу.

4. Встановлено, що поряд з базисом з власних форм коливань базис з векторів Ланцоша може ефективно використовуватися при побудові редукованих моделей для аналізу динамічних процесів в складних спорудах. Доцільність застосування того чи іншого базису визначається типом задачі. При аналізі змушених коливань слід надавати перевагу базису з векторів Ланцоша.

5. Практичне значення отриманих результатів полягає в реалізації розроблених методик у вигляді програмних засобів, які дозволяють: проводити чисельні дослідження на базі вихідної дискретної моделі, редукованих моделей (як на основі власних форм коливань, так і на основі векторів Ланцоша) при різних типах зовнішнього навантаження; розрізняти власні частоти і частоти зовнішнього впливу за допомогою функції когерентності складових реакції.

6. Методи і програмні засоби можуть бути використані для проведення досліджень динамічних процесів при проектуванні і розрахунках несучих елементів споруд та для організації спостережень за аварійними конструкціями.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Баженов В.А., Гераймович Ю.Д., Дехтярюк Е.С., Ковалев А.П. Применение базиса из векторов Ланцоша при построении редуцированных моделей для исследования установившихся колебаний упругих систем с учетом демпфирования // Опiр матерiалiв і теорiя споруд. К.: КДТУБА, вип. 63 -1997. - С. 288-296.

2. Баженов В.А., Гераймович Ю.Д., Дехтярюк Є.С., Отрашевська В.В. Оцінка спектральних характеристик пружних динамічних систем за їх реакцією на зовнішні випадкові впливи // Опір матеріалів і теорія споруд. К.: КДТУБА, вип. 64 -1998. - С. 60-75.

3. Гераймович Ю.Д. Аналіз перехідних процесів у пружних системах за допомогою редукованих моделей, побудованих на основі базису з векторів Ланцоша // Опiр матерiалiв і теорiя споруд. К.: КДТУБА, вип. 65 -1999. - С. 55-60.

4. Дехтярюк Є.С., Гераймович Ю.Д., Отрашевська В.В. Застосування функції когерентності для оцінки спектральних характеристик пружних динамічних систем // Опір матеріалів і теорія споруд. К.: КНУБА, вип. 66 -1999. - С. 3-10.

5. Гераймович Ю.Д. Чисельні методи аналізу напружено-деформованого стану конструкцій при ударному впливі // Опiр матерiалiв і теорiя споруд. К.: КНУБА, вип. 66 -1999. - С. 13-14.

6. Баженов В.А., Дехтярюк Є.С., Гераймович Ю.Д., Отрашевська В.В. Оцінка функції когерентності реакції пружних систем на основі редукованих моделей // Опір матеріалів і теорія споруд. К.: КНУБА, вип. 66 -1999. - С. 86-94.

В роботі [1] автором модифіковані алгоритм і програмне забезпечення методики побудови векторів Ланцоша, розв'язані чисельні приклади. Для роботи [2] автором виконано розробку програмного забезпечення методики застосування функції когерентності складових реакції для розрізнення власних частот і частот зовнішнього впливу. У працях [4,6] автором були розв'язані чисельні приклади.

Гераймович Ю.Д. Аналіз динамічних процесів в пружних системах із застосуванням базису редукції з векторів Ланцоша. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - будівельна механіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України, Київ, 2000.

Дисертація присвячена вивченню ефективності застосування базису редукції з векторів Ланцоша в задачах дослідження сталих коливань конструкцій при гармонійному впливі, перехідних процесів при імпульсивному впливі, віброударних коливань при сейсмічному навантаженні та сталих коливань під дією стаціонарного випадкового навантаження. Дослідження в кожному випадку проводяться трьома способами: за допомогою нередукованої скiнченноелементної моделі; за допомогою моделі, редукованої на основі базису з власних форм коливань; та за допомогою моделі, побудованої з використанням базису з векторів Ланцоша.

При дослідженні сталих коливань під дією стаціонарного випадкового навантаження запропонована методика розрізнення власних частот конструкції та частот зовнішнього впливу із застосуванням функції когерентності у випадку вузькополосних та шумових складових навантаження. Дослідження проводилися з використанням методів чисельного моделювання. Оцінки, одержані шляхом статистичної обробки змодельованих сигналів, порівнювалися з оцінками, отриманими за аналітичними виразами (на основі спектрів вузькополосних та шумових складових зовнішнього впливу, а також характеристик системи). Таке порівняння дає можливість оцінити якість та адекватність отримуваних результатів, правильність вибору параметрів статистичної обробки.

Ключові слова: вектори Ланцоша, базис редукції, редукована модель, функція когерентності, чисельне моделювання.

Geraimovitch Y.D. Analysis of dynamic processes in spring systems with the use of a Lanczos vectors' base reduction. - Manuscript.

Dissertation for Candidate of Technical Sciences degree by speciality 05.23.17 - Structural Mechanics. - Kyiv National University of Construction and Architecture, Department of Education and Science of Ukraine, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to the study of efficiency of the Lanczos vectors' base reduction using. The problems under consideration are steady state harmonic vibrations, transient processes, vibroimpact vibrations under seismic loadings and steady state vibrations under stationary random loadings. Every problem is solved using three methods of investigation. The first method uses not reduced full finite elements model, the second one uses the reduction of the initial finite elements model with the help of eigenvectors base and the third one uses the model constructed with the help of Lanczos vectors base.

An approach for identification of natural frequencies and loading's frequencies in the process of stationary random vibrations is offered. This approach uses coherence function when the loading can be presented as a sum of narrow-band and noise components. The investigations were carried out using computational modelling. The evaluations received with the help of statistical treatment of simulated signals, were compared with the results received analytically (on the base of narrow-band and noise components' spectrums as well as dynamic properties of the system). Such a comparison enables to evaluate the quality and adequacy of results, correctness of statistical treatment parameters' choice.

Keywords: Lanczos vectors, base of a reduction, reduced model, coherence function, computational modelling.

Гераймович Ю.Д. Анализ динамических процессов в упругих системах