Національна академія наук України

Інститут математики

ЖАЛІЙ Олександр Юрійович

УДК 517.9

СИМЕТРІЯ ТА

ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ

В БАГАТОВИМІРНИХ РІВНЯННЯХ

МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ

01.01.03 - математична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фіз.-мат. наук

ЖДАНОВ Ренат Зуфарович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук Тимоха Олександр Миколайович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

канд. фіз.-мат. наук, доцент Лагно Віктор Іванович,

Полтавський державний педагогічний університет ім. В.Г. Короленка,

завідувач кафедри математичного аналізу та інформатики

Провідна установа:

Інститут прикладних проблем механіки та математики НАН України ім. Я.С. Підстригача, Львів.

Захист відбудеться                  р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий                     р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор фіз.-мат. наук РОМАНЮК А.C.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Однією із центральних проблем класичної та сучасної математичної фізики є побудова широких класів точних розв'язків, а там, де це можливо, і загальних розв'язків багатовимірних диференціальних рівнянь з частинними похідними (ДРЧП). Метод відокремлення змінних, створений Фур'є та Ейлером понад два сторіччя тому, і донині залишається одним із найбільш ефективних методів інтегрування лінійних рівнянь математичної фізики. Більше цього, останнім часом інтерес до нього значно зріс, оскільки він є одним із небагатьох конструктивних методів побудови точних розв'язків багатовимірних ДРЧП зі змінними коефіцієнтами.

Окрім цього, цей метод є потужним засобом для побудови широких класів точних розв'язків деяких нелінійних рівнянь математичної фізики, як то - нелінійні рівняння Лапласа, Даламбера, теплопровідності та дифузії.

Іншим важливим чинником, що стимулює подальші дослідження інтегровності багатовимірних рівнянь математичної фізики із використанням методу відокремлення змінни, є побудова так званих суперінтегровних гамільтоніанів. Це пояснюється тим, що суперінтегровність фізичної системи тісно пов'язана з можливістю відокремлення змінних у відповідному гамільтоніані.

Ще одним фактором, який сприяє зростанню інтересу до методу відокремлення змінних, є відкриття Скляніним квантового аналогу цього методу, що дозволило проінтегрувати ряд нелінійних моделей квантової теорії поля.

Метод відокремлення змінних, в його класичному розумінні, можна умовно розбити на дві основні частини. Перша полягає у відшуканні спеціальних сімей частинних розв'язків досліджуваного рівняння (розв'язків із відокремленими змінними). Друга частина методу - це розвинення розв'язку крайових задач в гільбертовому просторі за базисом, який складають отримані на попередньому етапі частинні розв'язки, та дослідження повноти цього базису. При цьому різним задачам відповідають різні оптимальні базиси. Тому знаходження як можна більш широких класів розв'язків з відокремленими змінними (отриманими в різних системах координат) є актуальним для аналізу багатьох крайових задач.

Предметом дослідження дисертаційної роботи є перша частина методу. В подальшому, коли використовується термін ``відокремлення змінних'', ми розуміємо саме побудову сімей розв'язків з відокремленими змінними досліджуваного рівняння.

Суть предмету дослідження складають такі дві основні класифікаційні задачі

-Для даного конкретного ДРЧП знайти всі системи координат, в яких це рівняння розв'язується методом відокремлення змінних - пряма задача відокремлення змінних.

-Для даного ДРЧП із коефіцієнтами, які є довільними функціями, описати всі випадки цих коефіцієнтів, для яких дане рівняння розв'язується методом відокремлення змінних хоча б в одній системі координат - обернена задача відокремлення змінних.

Пряму задачу відокремлення змінних для ряду конкретних рівнянь математичної фізики було розв'язано в роботах Штеккеля, Бьохера, Ейзенхарта, Калнінса, Бойєра, Міллера, Шаповалова та Сухомліна.

Більш складною є обернена задача відокремлення змінних (зокрема, повний розв'язок цієї задачі було одержано Ейзенхартом для стаціонарного тривимірного рівняння Шредінгера з потенціалом). Треба зазначити, що для конструктивного розв'язування оберненої задачі відокремлення змінних необхідним є точне алгоритмічне означення відокремлення змінних. Так, запропоноване в роботах Жданова, Ревенка та Фущича означення відокремлення змінних дозволило здійснити повне розв'язання проблеми класифікації (1+2)-вимірних нестаціонарних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, які допускають відокремлення змінних.

Треба підкреслити, що повне розв'язання як першої, так і другої задачі вимагає побудови загального розв'язку деякої перевизначеної багатовимірної системи нелінійних ДРЧП. При цьому коефіцієнти в цих рівняннях є, як правило, довільними функціями, які мають бути визначені в процесі інтегрування цієї системи. Отже, задача відокремлення змінних є істотно нелінійною навіть для лінійних рівнянь. Саме цим, перш за все, пояснюється той факт, що для таких класичних рівнянь, як (1+3)-вимірні нестаціонарні рівняння Шредінгера та Паулі для частинки, що рухається в електромагнітному полі, проблема відокремлення змінних вивчена далеко не повністю. В дисертації одержано повне і систематичне розв'язання цієї задачі.

Слід також зауважити, що в переважній більшості робіт, які присвячені проблемі відокремлення змінних, розглядаються диференціальні рівняння з двома та трьома незалежними змінними. В той же час, реалістичні моделі фізичних явищ є чотиривимірними. Цей факт також підкреслює актуальність теми даної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася згідно із загальним планом досліджень відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (науково-дослідна робота ``Аналітичні та симетрійні методи дослідження диференціальних моделей математичної фізики'', № держреєстрації 0198U001993).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є повне розв'язання як прямої, так і оберненої задачі відокремлення змінних для таких рівнянь математичної фізики параболічного типу, як нестаціонарні рівняння Шредінгера та Паулі з трьома просторовими змінними для частинки, що взаємодіє з електромагнітним полем, (1+3)-вимірне рівняння Фоккера-Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії та (1+2)-вимірне рівняння Крамерса, яке описує броунівський рух частинки.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

- Вперше одержано повний розв'язок задачі класифікації (1+3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, що допускають відокремлення змінних, в результаті якого отримуються звичайні диференціальні рівняння, одне першого та три другого порядку. Запропоновано конструктивний алгоритм побудови всіх систем координат, в яких (1+3)-вимірне рівняння Шредінгера з фіксованим вектор-потенціалом допускає таке відокремлення змінних, та відповідних розв'язків цього рівняння з відокремленими змінними.

- Вперше доведено, що всі вектор-потенціали і системи координат, які забезпечують відокремлення змінних для (1+3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом (в рамках сформульованого означення), також забезпечують відокремлення змінних і для (1+3)-вимірного рівняння Гамільтона-Якобі з вектор-потенціалом.

- Вперше повністю розв'язано задачу класифікації (1+3)-вимірних рівнянь Паулі для частинки зі спіном 1/2 в електромагнітному полі, що допускають відокремлення змінних, в результаті якого отримуються матричні звичайні диференціальні рівняння спеціального вигляду, одне першого та три другого порядку за додаткової умови комутативності.

- Вперше одержано необхідну умову того, щоб (1+3)-вимірне рівняння Фоккера-Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії допускало відокремлення змінних, в результаті якого отримуються звичайні диференціальні рівняння, одне першого та три другого порядку. Отримано нові конфігурації вектора зносів, для яких дане рівняння допускає таке відокремлення змінних. Для кожної із них знайдено всі нееквівалентні координатні системи, які дозволяють здійснити відокремлення змінних, та побудовано відповідні розв'язки з відокремленими змінними в явному вигляді.

- Вперше повністю розв'язано проблему відокремлення змінних в (1+2)-вимірному рівнянні Крамерса, яке допускає нетривіальну групу симетрій. Знайдено всі системи координат, в яких рівняння Крамерса розв'язується методом відокремлення змінних, та побудовано відповідні розв'язки рівняння Крамерса з відокремленими змінними в явному вигляді.

Практичне значення отриманих результатів.  Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використаними для розв'язування ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, а також в квантовій механіці, теорії дифузійних процесів та теорії броунівського руху.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задач належать науковому керівнику - Р.З. Жданову. Доведення всіх результатів дисертації проведене особисто автором.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України, на Київському семінарі з функціонального аналізу (керівник - академік Ю.М. Березанський), на III Міжнародній конференції ``Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics'' (Київ, 1999), на XXXII симпозіумі з математичної фізики (Торунь, Польща, 2000).

Публiкацiї. За темою дисертації у наукових фахових виданнях опубліковано 5 робіт, із них 2 роботи опубліковано без співавторів.

Структура та об'єм дисертації. Дисертацiйна робота складається зі вступу, двох роздiлiв, які розбито на 6 підрозділів, висновків та переліку цитованої лiтератури, який містить 92 наіменування, i викладена на 113 сторiнках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан досліджуваної проблеми, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати роботи.

У розділі 1 одержано повний розв'язок як прямої так і оберненої класифікаційних задач відокремлення змінних в (1+3)-вимірному рівнянні Шредінгера для частинки, що рухається в електромагнітному полі,

(p0-pa pa)y(t,x)=0, | (1)

де y(t,x) - комплексна функція дійсних змінних t,x1,x2,x3. Тут і надалі використано позначення

p0=i¶/¶t - e A0(t,x),  a=- i¶/¶xa - e Aa(t, x),   a=1,2,3, | (2)

де A(t,x) =(A0(t,x), A1(t,x), A2(t,x), A3(t,x)) - вектор-потенціал електромагнітного поля, e - електричний заряд частинки. Також тут і надалі, за індексами a,b,c, що повторюються, передбачено підсумовування від 1 до 3.

В підрозділі 1.1 сформульовано алгоритм методу відокремлення змінних.

Введемо нову систему координат t, wa=wa(t,x), a=1,2,3, де wa - дійсні функції, які є функціонально незалежними як функції змінних x1, x2, x3, тобто має місце умова

det||¶wa / ¶xb||a,b=13 № 0. | (3)

Традиційним є таке розуміння методу відокремлення змінних, згідно з яким рівняння Шредінгера () допускає відокремлення змінних в системі координат t, w1, w2, w3, якщо кожен розв'язок рівняння () є лінійною комбінацією частинних розв'язків вигляду F0(t)F1(w1)F2(w2)F3(w3). Але в рамках такого підходу до відокремлення змінних важко отримати якийсь класифікаційний результат. В дисертації за основу береться таке означення відокремлення змінних.

Означення 1. Будемо казати, що рівняння Шредінгера () допускає відокремлення змінних в системі координат t, wa=wa(t,x), a=1,2,3, якщо існують деяка ненульова функція Q(t,x) і чотири звичайні диференціальні рівняння

j0ў(t)=U0(t, j0(t); l1,l2,l3),

jaўў(wa)=Ua(wa, ja(wa), jaў(wa); l1,l2,l3),   a=1,2,3, | (4)

праві частини яких аналітично залежать від трьох незалежних комплексних параметрів l1,l2,l3 (сталих відокремлення), такі, що для кожної трійки l1,l2,l3 та для кожної множини розв'язків j0(t), j1(w1), j2(w2), j3(w3) системи () функція

y(t,x)=Q(t,x)j0(t)j1(w1)j2(w2)j3(w3) | (5)

є розв'язком рівняння ().

Тут Q(t,x), j0(t), j1(w1), j2(w2), j3(w3) - комплексні функції дійсних змінних.

Означення 2. Три комплексні параметри l1,l2,l3 в системі рівнянь () називаються незалежними, якщо 43 - матриця

||¶Um / ¶la||m = 0 3     | (6)

має ранг 3 скрізь, де  j0(t)j1(w1)j2(w2)j3(w3) № 0.

Умова () гарантує істотну залежність розв'язків з відокремленими змінними від сталих відокремлення l=(l1,l2,l3).

Зауважимо, що формули ()-() є вхідними даними методу. Тобто, кожну із цих умов можна модифікувати, узагальнюючи тим самим традиційне означення відокремлення змінних. Наприклад, якщо добуток функцій в () замінити на суму, то одержується анзац для адитивного відокремлення змінних у нелінійному рівнянні Гамільтона-Якобі. Окрім цього можна змінювати порядок редукованих рівнянь () і зменшувати кількість суттєвих параметрів la.

Отже, коли ми стверджуємо, що отримано повний опис вектор-потенціалів та систем координат, в яких рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних, то розуміємо це лише в рамках нашого означення. Якщо ж використати інше означення, то, в принципі, можна побудувати нові вектор-потенціали та системи координат, в яких рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних. Перевагою означення, що використовується в дисертації, полягає в тому, що воно дає можливість отримати як всі відомі так і принципово нові розв'язки рівняння Шредінгера з відокремленими змінними.

Далі ми вводимо відношення еквівалентності на множині вектор-потенціалів A0(t, x), A(t, x), для яких рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних, а також на множині розв'язків з відокремленими змінними та множині відповідних систем координат. Зокрема, два вектор-потенціали A(t, x) і Aў(t, x) є еквівалентними, якщо вони зв'язані між собою за допомогою калібровних перетворень, а дві системи координат t, w1, w2, w3 та tў, w1ў, w2ў, w3ў є еквівалентними, якщо вони зв'язані між собою за допомогою оборотних перетворень такого вигляду:

t® tў=f0(t),   wa®waў=fa(wa),   a=1,2,3, | (7)

Q® Qў=Ql0(t) l1(w1) l2(w2)l3(w3). | (8)

Дійсно, в результаті перетворень () та () структура анзацу () не змінюється. А тому, провівши відокремлення змінних в цих системах координат, отримаємо один і той же розв'язок з відокремленими змінними.

Далі у підрозділі 1.1 сформульовано алгоритм методу відокремлення змінних, який полягає у послідовному виконанні наступних кроків.

- Здійснюється підстановка анзацу () в рівняння Шредінгера () і визначаються похідні jў0, jўў1, jўў2, jўў3 в термінах функцій j0, j1, j2, j3, jў1, jў2, jў3 із використанням рівнянь ().

- Функції j0, j1, j2, j3, jў1, jў2, jў3, l1, l2, l3 розглядаються як нові незалежні змінні y1, ј, y10. Оскільки функції Q, w1, w2, w3, A0, A1, A2, A3 не залежать від змінних y1,ј, y10, то природною є вимога, щоб отримана рівність перетворювалася в тотожність для довільних y1, ј, y10. Інакше кажучи, виникає можливість її розщеплення за цими змінними. Таке розщеплення приводить до перевизначеної системи нелінійних ДРЧП для невідомих функцій Q, w1, w2, w3, A0, A1, A2, A3.

- Для вичерпного опису вектор-потенціалів A(t, x), для яких рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних, та відповідних систем координат проводиться розв'язування системи нелінійних ДРЧП, отриманої на попередньому кроці.

Окрім цього, у підрозділі 1.1 доведено теорему про зв'язок між можливістю відокремлення змінних та симетрійними властивостями даного рівняння.

Теорема 1. Нехай рівняння Шредінгера () допускає відокремлення змінних в сенсі означення 1. Тоді для відповідного розв'язку з відокремленими змінними завжди існують три взаємно комутуючі лінійні диференціальні оператори симетрії другого порядку рівняння Шредінгера, такі, що цей розв'язок з відокремленими змінними є спільною власною функцією цих операторів, а сталі відокремлення l1,l2,l3 є їх власними значеннями.

Для доведення цієї теореми здійснено побудову вищезгаданих операторів у явному вигляді.

В підрозділі 1.2 з використанням описаного вище алгоритму одержано повний розв'язок задачі відокремлення змінних в (1+3)-вимірному рівнянні Шредінгера із вектор-потенціалом електромагнітного поля.

Використовуючи перетворення еквівалентності (), завжди можна звести редуковані рівняння () до вигляду

ijў0=(T0(t)-Tb(t)lb)j0,

jўўa=(Fa0(wa) + Fab(wa)lb)ja,   a=1,2,3, | (9)

де T0, Tb, Fa0, Fab - деякі гладкі функції відповідних аргументів.

На другому кроці алгоритму отримано систему десяти нелінійних ДРЧП для восьми функцій A0, A1, A2, A3, Q, w1, w2, w3, які залежать від чотирьох змінних t,x1,x2,x3

(¶wb / ¶xa)(¶wc / ¶xa)=0,   b № c,   b,c=1,2,3; | (10)

ab(wa) (¶wa / ¶ xc)(¶wa / ¶xc) = Tb(t),   b=1,2,3; | (11)

2((¶Q / ¶xb)- i e Q Ab)(¶wa / ¶xb) + Q(i(¶wa / ¶t) + Dwa) = 0,   a=1,2,3; | (12)

Qa0(wa) (¶wa / ¶ xb)(¶wa / ¶xb) + i¶Q / ¶t + DQ - 2 i e Ab ¶Q / ¶xb+                                                                + Q(T0(t) - i e ¶Ab / ¶xb - e A0 - e2 AbAb)=0. | (13)

Зауважимо, що коефіцієнти T0, Ta, Fa0, Fab є довільними функціями, які мають бути визначеними в процесі інтегрування рівнянь ()-(). В підрозділі 1.2 побудувано загальний розв'язок цієї системи, що, зокрема, дає усі можливі форми вектор-потенціалу електромагнітного поля A(t, x)=(A0(t, x),ј, A3(t, x)), для яких рівняння () розв'язується методом відокремлення змінних, а також відповідні системи координат.

Інтегрування рівнянь ()-() дає найбільш загальний вигляд систем координат t,wa=wa(t,x),,2,3, в яких рівняння Шредінгера () допускає відокремлення змінних в сенсі означення 1. З точністю до відношення еквівалентності () ці системи координат визначаються такою формулою:

x = O(t)L(t)(z(w) + w(t)) | (14)

(тобто w1, w2, w3 є функціями t, x, задані неявно). Тут O(t) - ортогональна 33-матриця, яка визначається кутами Ейлера ; w(t) - вектор-стовпчик, елементи якого w1(t), w2(t), w3(t) є довільними гладкими функціями t; функції z = z(w) визначаються однією із таких 11 формул,

1. z1=w1,   z2=w2,   z3=w3,    

w1,w2,w3 О R.

2. z1=ew1 cosw2,  2=ew1 sinw2,   z3=w3,   

0 Ј w2 < 2p,   w1,w3 О R.

3. z1=(w12 - w22)/2,  2=w1 w2,   z3=w3,    w1 > 0,   

w2,w3 О R.

4. z1=a coshw1 cosw2,  2=a sinhw1 sinw2,   z3=w3,    w1 > 0,   

-p < w2 Ј p,   w3 О R,   a > 0.

5. z1=w1-1 w2 cosw3,

z2=w1-1 w2 sinw3,

z3=w1-1 tanhw2,    w1 > 0,   

w2 О R,   0 Ј w3 < 2p.

6. z1=a w1 w2 cosw3,   a > 0,

z2=a w1 w2 sinw3,

z3=a cothw1 tanhw2,    

w1 > 0,   w2 О R,   0 Ј w3 < 2p.

7. z1=a cscw1 w2 cosw3,   a > 0,

z2=a cscw1 w2 sinw3,

z3=a cotw1 tanhw2,   

0 < w1 < p/2,   w2 О R,   0 Ј w3 < 2p.

8. z1=ew1 + w2 cosw3,  2=ew1 + w2 sinw3,

z3=(e2 w1 - e2 w2)/2,   

w1,w2 О R,   0 Ј w3 Ј 2p.

9. z1=2 a coshw1 cosw2 sinhw3,   a > 0,

z2 = 2 a sinhw1 sinw2 coshw3,

z3=a (cosh2w1 + cos2w2 - cosh2w3)/2,   

w1,w3 О R,   0 Ј w2 < p.

10. z1=a/ sn (w1,(w2,ў)(w3,   a > 0,

z2=a(w1,(w1,(w2,ў)(w3,

z3=a(w1,(w1,(w2,ў)(w3,   

0 < w1 < K,   -Kў Ј w2 Ј Kў,   0 Ј w3 Ј 4K.

11. z1=w1-1 dn (w2,ў)(w3,

z2=w1-1 cn (w2,ў)(w3,

z3=w1-1 sn (w2,ў)(w3,   

w1 > 0,   -Kў Ј w2 Ј Kў,   0 Ј w3 Ј 4K.

і, нарешті, L(t) - діагональна залежна від часової змінної t 33 матриця

L(t) = diag1(t), l2(t), l3(t)), | (15)

де l1(t), l2(t), l3(t) - довільні гладкі функції, тотожно не рівні нулеві, що задовольняють такі умови:

l1(t) = l2(t) - для випадків частково розщеплюваних систем координат,

l1(t) = l2(t) = l3(t) - для випадків нерозщеплюваних систем координат.

Зазначимо, що якщо в формулі () покласти сталими функції a, b, g, l1, l2, l3, w1, w2, w3, то ми отримаємо добре відомі системи координат, що забезпечюють відокремлення змінних для стаціонарного рівняння Шредінгера з трьома просторовими змінними.

Тепер неважко проінтегрувати рівняння () та (), оскільки їх можна розглядати як алгебраїчні рівняння відносно функцій Ab(t,x), b=1,2,3 та A0(t,x) відповідно.

Доведено, що рівняння () допускає відокремлення змінних в сенсі означення 1 лише тоді, коли магнітне поле H=rot A є однорідним, тобто незалежним від x. Більше того, просторові компоненти вектор-потенціалу електромагнітного поля з точністю до калібровних перетворень завжди можна звести до вигляду

A=1/2 [H(t) x]. | (16)

При цьому одержано 11 класів потенціалів A0, для яких рівняння () розв'язується методом відокремлення змінних принаймні в одній із 11 перерахованих вище систем координат.

eA0=-e2AbAb+T0(t)+l1-2w14F10(w1)+l1-2w12cosh2w2(F20(w2)+F30(w3))-

-1/4(lўў1l1(za+wa)2 +2l1(l1wўўa+2 lў1wўa)(za+wa)+l12 wўa2 ). | (17)

Тут F10(w1),F20(w2),F30(w3),T0(t) - довільні функції, функції z1,z2,z3 - сферичні координати, а l1(t),w1(t),w2(t),w3(t) - функції, що визначають вигляд нових систем координат (). Окрім цього, явний вигляд ортогональної матриці O(t) з кутами Ейлера a(t), b(t), g(t) визначається із системи звичайних диференціальних рівнянь

eH1(t)=-gўcosa- bўsinasing,

eH2(t)=-gўsina+ bўcosasing,

EH3(t)=-aў- bўcosg

Далі, для кожного із 11 класів отриманих потенціалів вказано явний вигляд редукованих рівнянь та розв'язків з відокремленими змінними. Наприклад, для рівняння Шредінгера з вектор-потенціалом ()-() розв'язки з відокремленими змінними мають вигляд

y = j0(t)j1(w1)j2(w2)j3(w3) l1-3/ 2exp | i/4(lў1l1(za+wa)2 + 2l12 wўa(za+wa)),

де звичайні диференціальні рівняння для визначення функцій j0(t), j1(w1), j2(w2), j3(w3) такі:

ijў0=(T0(t)-l1-2l1)j0,       jўў1=(l1w1-4-l2w1-2+F10(w1))j1,

jўў2=(l22w2-l3+F20(w1))j2,       jўў3=(l3+F20(w1))j3.

Далі, в підрозділі 1.2, запропоновано конструктивний алгоритм побудови всіх систем координат, в яких (1+3)-вимірне рівняння Шредінгера з фіксованим вектор-потенціалом допускає відокремлення змінних. Ефективність цього алгоритму продемонстровано на прикладі вектор-потенціалу

A=1/2 [H(t)x],   H=(0,0,1)   0=q/|x| - c2/12(x12+x22-2x32), | (18)

де q, c - довільні ненульові сталі. Оскільки цей вектор-потенціал задовольняє рівняння Максвелла без струмів для вакууму, він є природним узагальненням стандартного потенціалу Кулона, який одержується з (), коли c® 0. Доведено, що рівняння Шредінгера () з потенціалом () допускає відокремлення змінних в сенсі означення 1 лише в сферичній, конічній системах координат, та в координатах витягнутого сфероїда. При цьому кожна із цих систем координат неперервно обертається за допомогою залежної від часової змінної ортогональної матриці поворотів 33 з кутами Ейлера a = a(t)=-ct, b = const, g = const. Для кожної із перерахованих систем координат процедуру відокремлення змінних було здійснено в повному обсязі, а саме вказано явний вигляд редукованих рівнянь та розв'язків з відокремленими змінними. Також для кожної із цих систем координат побудовано відповідні трійки взаємно комутуючих лінійних диференціальних операторів симетрії другого порядку.

У кінці підрозділу 1.2 отримано узагальнення відомого результату Ейзенхарта про класифікацію потенціалів V(x1,x2,x3), для яких тривимірне стаціонарне рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних.

Одержані результати застосовано в підрозділі 1.3 для розв'язування задачі відокремлення змінних у рівнянні Гамільтона-Якобі із вектор-потенціалом

¶u / ¶t + e A0 + (¶u / ¶xa-e Aa)(¶u / ¶xa-e Aa) = 0. | (19)

Для цього зафіксовано форму анзацу для відокремлення змінних у такому вигляді:

u(t,x) = S(t,x) + j0(t) + j1(w1(t,x)) + j2(w2(t,x)) + | j3(w3(t,x)), | (20)

та форму звичайних диференціальних рівнянь для функцій j0, j1, j2, j3

jў0=-T0(t)-Tb(t)lb,   jўa=(-Fa0(wa) + Fab(wa)lb)1/2. | (21)

Доведено, що рівняння () роз'язується методом відокремлення змінних в описаному вище сенсі для тих самих вектор-потенціалів і в тих самих системах координат, в яких допускає відокремлення змінних рівняння Шредінгера).

У підрозділі 1.4 повністю розв'язано задачу класифікації (1+3)-вимірних рівнянь Паулі для частинки зі спіном 1/2 в електромагнітному полі

(p0-pa pa+esH)y(t,x)=0, | (22)

які допускають відокремлення змінних за допомогою анзацу

y(t,x)=Q(t,x)j0(t) j1(w1(t, x), l) | j2(w2(t, x), l) | j3(w3(t, x), l)c, | (23)

в результаті чого отримуються такі матричні звичайні диференціальні рівняння:

ijў0=-(P00(t)+P0b(t)lb)j0, | (24)

jўўa=(Pa0(wa) + Pab(wa)lb)ja,  ,2,3.

Тут y(t,x) - двокомпонентний спінор, H=rot A - магнітне поле, s = (s1, s2, s3) - відомі матриці Паулі, Q, jm,mn, m,n = 0,1,2,3 - 22-матричні функції вказаних аргументів, c - двокомпонентний сталий стовпчик. Окрім цього, матриці jm задовольняють таку додаткову умову:

[jm, jn]=jmjn-jnjm=0,   m,n = 0,1,2,3. | (25)

Зауважимо, що це обмеження звужує клас рівнянь Паулі, які допускають відокремлення змінних за допомогою анзацу (). Однак, без цієї умови ефективне застосування анзацу () для розв'язування рівняння Паулі методом відокремлення змінних здається нам малоімовірним. Принаймні, в усіх відомих нам роботах, присвячених проблемі відокремлення змінних в рівнянні Паулі, ця умова накладається (явно чи неявно).

Доведено, що рівняння Паулі () розв'язується методом відокремлення змінних в описаному вище сенсі тоді і тільки тоді, коли воно зводиться до системи двох рівнянь Шредінгера () за допомогою перетворення вигляду

y = U(t)y1,

де U(t) - унітарна 22 матриця, яка є розв'язком матричного звичайного диференціального рівняння

iUў=(-esH(t))U. | (26)

Отже, рівняння Паулі () роз'язуються методом відокремлення змінних в описаному вище сенсі лише для тих вектор-потенціалів і лише в тих системах координат, в яких допускає відокремлення змінних рівняння Шредінгера ().

Другий розділ дисертації присвячений проблемі відокремлення змінних в багатовимірних рівняннях Фоккера-Планка, які є основними рівняннями в теорії дифузійних процесів. В підрозділі 2.1 досліджено проблему відокремлення змінних в (1+3)-вимірних рівняннях Фоккера-Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії, які з точністю до лінійних перетворень за просторовими змінними мають вигляд

¶u / ¶t+Du + ¶/ ¶xa (Ba(x) u)=0, | (27)

де B(x)=(B1(x),B2(x),B3(x)) - вектор зносів.

Означення та алгоритм методу відокремлення змінних для рівняння () є аналогічними означенню та алгоритму відокремлення змінних для рівняння Шредінгера ().

Анзац для відокремлення змінних має такий вигляд:

u(t,x)=eR(t,x)j0(t)j1(w1)j2(w2)j3(w3),

де R(t,x) - деяка гладка функція, а система чотирьох звичайних диференціальних рівнянь для функцій jm,m = 0,1,2,3) має вигляд ().

Доведено таке твердження.

Теорема 2. Для того, щоб рівняння Фоккера-Планка () допускало відокремлення змінних в описаному вище сенсі, необхідно щоб ротор вектора зносів B(x) був сталим.

Задачу відокремлення змінних розв'язано повністю для випадку, коли вектор зносів є лінійним

B (x) = Mx + v,

Тут v - довільний сталий вектор, M - стала матриця певного вигляду.

Для кожного із знайдених випадків матриці M знайдено всі нееквівалентні координатні системи, які дозволяють здійснити відокремлення змінних, та побудовано розв'язки з відокремленими змінними в явному вигляді.

У підрозділі 2.2 повністю розв'язано задачу відокремлення змінних в (1+2)-вимірному рівнянні Крамерса, що допускає нетривіальну групу симетрій

ut=nuyy - y ux + (ny + kx)uy + nu, | (28)

де n,k - довільні сталі.

Зафіксуємо форму анзацу для відокремлення змінних у такому вигляді:

u(t,x,y)=Q(t,x,y)j0(t)j1(w1)j2(w2) | (29)

і, окрім того, зафіксуємо форму звичайних диференціальних рівнянь для функцій j0, j1, j2, j3,

U0(t, j0, jў0; l1, l2)=0,

Ui(wi, ji, jўi, jўўi; l1,l2)=0,  ,2.

Доведено, що для відокремлення змінних в рівнянні Крамерса () існують лише дві можливості: або рівняння Крамерса зводиться до двох звичайних диференціальних рівнянь першого та одного звичайного диференціального рівняння другого порядку, або ж усі три редуковані рівняння матимуть перший порядок. Випадки, коли рівняння Крамерса зводиться до двох або трьох звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, неможливі, оскільки воно містить похідну другого порядку лише за однією змінною.

Доведено таке твердження.

Теорема 3. Для довільного k рівняння () допускає відокремлення змінних, в результаті якого отримуються три звичайних диференціальних рівняння першого порядку. Рівняння () допускає відокремлення змінних, в результаті якого отримуються звичайні диференціальні рівняння, два першого та одне другого порядку, тоді і тільки тоді, коли параметр k набуває одного з таких трьох значень: 0, n2/16, -3n2/4.

Знайдено всі системи координат, в яких рівняння Крамерса розв'язується методом відокремлення змінних в описаному вище сенсі та побудовано відповідні розв'язки цього рівняння з відокремленими змінними в явному вигляді.

Наприклад, множина нееквівалентних систем координат, в яких рівняння () при k=3n2/16 або k=-3n2/4 допускає відокремлення змінних, в результаті якого отримуються два звичайних диференціальних рівняння першого та одне звичайне диференціальне рівняння другого порядку, вичерпується такими системами координат

w1=R3x,   w2=Ry+3Rўx,

де R(t) збігається з однією із функцій sech cschexp{±at}, при цьому a=n/4, якщо k=3n2/16, та a=n/2, якщо k=-3n2/4. Більше цього, відповідні розв'язки з відокремленими змінними матимуть вигляд (), де множник Q визначається формулою

Q=exp{(Rў/ (nR)-1/4)y2+1/(2n)(3Rўў/R-k)xy+(-3Rўўў/(4nR)+15 Rўўў/(4nR2)-k/4)x2+n/ 2t+2lnR},

а редуковані рівняння для функцій j0,j1,j2 мають вигляд

jў0=nl1R2j0,   jў1=nl2j1,   jўў2=(l2w2+l1)j2.

ВИСНОВКИ

1. Одержано повний розв'язок задачі класифікації (1+3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, що допускають відокремлення змінних, в результаті якого отримуються звичайні диференціальні рівняння, одне першого та три другого порядку. Запропоновано конструктивний алгоритм побудови всіх систем координат, в яких (1+3)-вимірне рівняння Шредінгера з фіксованим вектор-потенціалом допускає таке відокремлення змінних та відповідних розв'язків цього рівняння з відокремленими змінними.

2. Доведено, що всі вектор-потенціали і системи координат, які забезпечують відокремлення змінних (в рамках сформульованого означення) для (1+3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом, також забезпечують відокремлення змінних і для (1+3)-вимірного рівняння Гамільтона-Якобі з вектор-потенціалом.

3. Повністю розв'язано задачу класифікації (1+3)-вимірних рівнянь Паулі для частинки зі спіном 1/2 в електромагнітному полі, що допускають відокремлення змінних, в результаті якого отримуються матричні звичайні диференціальні рівняння спеціального вигляду, одне першого та три другого порядку, за додаткової умови комутативності.

4. Одержано необхідну умову того, щоб (1+3)-вимірне рівняння Фоккера-Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії допускало відокремлення змінних, в результаті якого отримуються звичайні диференціальні рівняння, одне першого та три другого порядку. Отримано нові конфігурації вектора зносів, для яких дане рівняння допускає таке відокремлення змінних. Для кожної із них знайдено всі нееквівалентні координатні системи, які дозволяють здійснити відокремлення змінних, та побудовано відповідні розв'язки з відокремленими змінними в явному вигляді.

5. Повністю розв'язано проблему відокремлення змінних в (1+2)-вимірному рівнянні Крамерса, що допускає нетривіальну групу симетрій. Знайдено всі системи координат, в яких рівняння Крамерса розв'язується методом відокремлення змінних, та побудовано відповідні розв'язки рівняння Крамерса з відокремленими змінними в явному вигляді.

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах:

1. Zhdanov R., Zhalij A. Separation of variables in the Kramers equation // J.A: Math. Gen. - 1999. - 32, № . - P. .

2. Zhalij A. On separable Fokker-Planck equations with a constant diagonal diffusion matrix // J. Phys. A: Math. Gen. - 1999. - 32, № . - P. .

3. Zhdanov R., Zhalij A. On separable Schroedinger equations // J. Math. Phys. - 1999. - 40, № . - P. .

4. Zhalij A. On some new classes of separable Fokker-Planck equations /Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics// Proceedings of the Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, - 2000. - 30. - P. .

5. Жданов Р.З., Жалій О.Ю. Відокремлення змінних в рівнянні Шредінгера //Доп. НАН України. - 2000. - № . - C. .

ЖАЛІЙ О.Ю. Симетрія та відокремлення змінних в багатовимірних рівняннях математичної фізики параболічного типу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 - математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2001.

Одержано повну класифікацію (1+3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, що допускають відокремлення змінних (ВЗ), в результаті якого отримуються одне звичайне диференціальне рівняння першого та три рівняня другого порядку. Доведено, що всі отримані вектор-потенціали та системи координат забезпечують ВЗ для (1+3)-вимірних рівнянь Гамільтона-Якобі з вектор-потенціалом та рівнянь Паулі для частинки зі спіном 1/2 в електромагнітному полі. Отримано нові конфігурації вектора зносів, для яких (1+3)-вимірне рівняння Фоккера-Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії допускає ВЗ. Повністю розв'язано проблему ВЗ в (1+2)-вимірному рівнянні Крамерса, яке допускає нетривіальну групу симетрій.

Ключові слова: відокремлення змінних, симетрія, система координат, рівняння Шредінгера, рівняння Гамільтона-Якобі, рівняння Паулі, рівняння Фоккера-Планка, рівняння Крамерса, вектор-потенціал.

ЖАЛИЙ А.Ю. Симметрия и разделение перменных в многомерных уравнениях математической физики параболического типа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.

Получена полная классификация (1+3)-мерных уравнений Шредингера с вектор-потенциалом електромагнитного поля, допускающих разделение перменных (РП), в результате которого они сводятся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению первого и трём уравнениям второго порядка. Доказано, что все полученные вектор-потенциалы и системы координат позволяют провести РП для (1+3)-мерных уравнений Гамильтона-Якоби с вектор-потенциалом и уравнений Паули для частицы со спином 1/2 в електромагнитном поле. Получен ряд новых конфигураций вектора сносов, при которых (1+3)-мерное уравнение Фоккера-Планка с постоянной диагональной матрицей диффузии допускает РП. Полностью решена проблема РП в (1+2)-мерном уравнении Крамерса, которое допускает нетривиальную группу симетрий.

Ключевые слова: разделение переменных, симметрия, система координат, уравнение Шредингера, уравнение Гамильтона-Якоби, уравнение Паули, уравнение Фоккера-Планка, уравнение Крамерса, вектор-потенциал.

Zhalij A.Yu. Symmetry and separation of variables in multi-dimensional parabolic type equations of mathematical physics. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.03 - Mathematical Physics. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2001.

The thesis is mainly devoted to the problems of classification of some parabolic type linear equations of mathematical physics having variable coefficients, that are solvable by the method of separation of variables, and to the problems of classification of all coordinate systems providing separability of these equations. It is established that both these problem reduce to integrating the system of nonlinear partial differential equations.

In Chapter 1 the full solution of the problem of classification of (1+3)-dimensional Schroedinger equations for a particle interacting with the electro-magnetic field, that are solvable by the method of separation of variables into one first-order and three second-order ordinary differential equations, is obtained. As a result, we get eleven classes of the vector-potentials of the electro-magnetic field A(t, x)=(A0(t, x), A(t, x)) providing separability of the corresponding Schroedinger equations. It is established, in particular, that the necessary condition for the Schroedinger equation to be separable in above mentioned sense is that the magnetic field must be independent of the spatial variables. Next, we prove that any Schroedinger equation admitting variable separation into one first-order and three second-order ordinary differential equations can be reduced to one of the eleven separable Schroedinger equations mentioned above and carry out variable separation in the latter.

Furthermore, the efficient algorithm for constructing all coordinate systems providing separability of (1+3)-dimensional Schroedinger equation with a fixed vector-potential of the electro-magnetic field is developed.

Next we prove that obtained solutions with separated variables are common eigenfunctions of three mutually commuting symmetry operators of equation under consideration, and, moreover, we construct these operators in explicit form.

We apply the results obtained for separation of variables in the stationary Schroedinger equation for a particle interacting with the electro-magnetic field and in the Hamilton-Jacobi equation with vector-potential.

Classification of the (1+3)-dimensional Pauli equations for a spin-1/2 particle interacting with the electro-magnetic field that are solvable by the method of separation of variables into one first-order and three second-order matrix ordinary differential equations of special form is obtained. It is established, in particular, that the necessary condition for the Pauli equation to be separable is that it is equivalent to the system of two Schroedinger equations. It was found that the coordinate systems and the vector-potentials of the electro-magnetic field A(t, x)=(A0(t, x), A(t, x)) providing separability of the corresponding Pauli equations in above mentioned sense coincide with those ones for the Schroedinger equations.

It is established in Chapter 2, that the necessary condition for the (1+3)-dimensional Fokker-Planck equation with a constant diagonal diffusion matrix to be separable into one first-order and three second-order ordinary differential equations is that the rotor of the drift velocity vector B(x) is a constant vector. Moreover, some classes of separable (1+3)-dimensional Fokker-Planck equations with a constant diagonal diffusion matrix and linear drift coefficients B1(x),B2(x),B3(x) are derived. All the coordinate systems, providing separability of the equations obtained are found. Furthermore, all the corresponding exact solutions with separated variables are constructed.

Complete solution of the problem of separation of variables in the Kramers equation admitting a non-trivial symmetry group is obtained. It is established, in particular, that there are only two different possibilities to separate variables in Kramers equation, either to reduce it to two first-order and one second-order ordinary differential equations or to three first-order ones. All the coordinate systems, providing separability of the Kramers equations are found. Furthermore, solutions of the Kramers equation with separated variables in explicit form are constructed.

Key words: separation of variables, symmetry, coordinate systems, Schroedinger equation, Hamilton-Jacobi equation, Fokker-Planck equation, Pauli equation, Kramers equation, vector-potential.

---------------------------

Підп. до друку 12.01.2001. Формат 6090/16. Папір друк. Офс. друк.Ум. друк. арк. 1,39. Ум. фарб.-відб. 1,39. Обл.-вид. арк. 0,9. Тираж 100 пр. Зам.              Безкоштовно. --------------------------- Віддруковано в Інституті математики НАН України01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3