Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Капустян Олексій Володимирович

УДК 517.9

Існування та апроксимації глобальних атракторів

нелінійних еволюційних рівнянь

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

член-кореспондент НАН України,

професор Перестюк Микола Олексійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

декан механіко-математичного факультету.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

член-кореспондент НАН України,

професор Горбачук Мирослав Львович,

Інститут математики НАН України,

завідуючий відділом;

кандидат фізико-математичних наук

Владіміров Всеволод Анатолійович,

Інститут геофізики НАН України,

провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

відділ нелінійного аналізу (м. Донецьк)

Захист відбудеться “ 25 “ вересня 2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03022, м. Киів-22, пр-т Глушкова, 6, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано “ 15 “ липня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

Загальна характеристика

Актуальність теми. Потужним апаратом якісного аналізу нескінченновимірних динамічних систем слугують методи теорії однопараметричних напівгруп нелінійних операторів. Використанням апарату напівгруп в останнє десятиріччя отримано глибокі результати по глобальних атракторах для еволюційних диференціальних рівнянь, що описують течію вязкої нестислої рідини (О. О. Ладиженська, А.В. Бабін, М.І. Вишик, Ю.С. Ільяшенко, C. Foias, G. Sell, R. Temam та інші), для рівнянь хімічної кінетики (системи реакція-дифузія) (А.В. Бабін і М. І. Вишик, Д.А. Камаєв, E. Feireise, P. Lavrencot, M. Marion, F. Simondon, H. Tovre та інші), для хвильових рівнянь (А.В. Бабін і М.І. Вишик, І.Д. Чуєшов, J. Chidaglia, J. Hale, A. Haraux, W. Strauss, R. Temam та інші), для задач нелінійної теорії оболонок (І.Д. Чуєшов), для системи фазово-польових рівнянь (В.К. Калантаров), для моделей релаксуючих середовищ (В.А. Владіміров) та для багатьох інших. Дослідженню поведінки на нескінченості розвязків диференціально-операторних рівнянь присвячено роботи М.Л. Горбачука та його учнів. Режими з загостренням для узагальнених параболічних рівнянь вивчалися А.Ю. Шишковим. Ці результати, в свою чергу, стимулювали подальший розвиток абстрактної теорії однопараметричних напівгруп. З'явились дослідження по напівнеперервній залежності атракторів напівгруп від параметрів, їх метричних апроксимаціях, оцінці хаусдорфової та фрактальної розмірностей, що дало змогу розглянути аналогічні питання для широкого кола еволюційних рівнянь математичної фізики (А.В. Бабін і М.І. Вишик, О.О. Ладиженська, Л.В. Капітанський, І.І. Костін, І.Д. Чуєшов, A. Douady, J. Hale, X. Mora, C. Foias, J.-M. Ghidaglia, J. Oesterle, R. Temam та інші).

Разом з тим існує велика кількість систем, для яких застосування цих результатів проблематичне. Це динамічні системи, початковий стан яких не визначає однозначно їх подальшої поведінки. До них відносяться еволюційні рівняння в частинних похідних без єдиності розв'язку, диференціально-операторні включення, системи, що містять операторні та диференціально-операторні рівняння, варіаційні нерівності еволюційного типу, нелінійні системи з імпульсним збуренням тощо.

В дисертаційній роботі розвивається апарат многозначних напівпотоків (многозначний аналог однопараметричних напівгруп), запропонований в роботах В.С. Мельника, який дозволяє вивчати многозначні динамічні системи в банахових та топологічних просторах. В дисертації, зокрема, вперше для многозначних напівпотоків досліджено питання залежності атракторів від параметрів та метричних апроксимацій. Використовуючи розроблені абстрактні методи, в роботі вивчаються умови існування, властивості та залежність від параметрів глобальних атракторів автономних еволюційних рівнянь та включень, коли не виконуються умови єдиності розв'язків. Цей підхід дозволяє суттєво послабити умови на нелінійні члени, що входять в рівняння.

Розглядається система фазово-польових рівнянь, параболічне рівняння четвертого порядку Хана-Хіларда, нелінійне гіперболічне рівняння, параболічні рівняння з многозначною правою частиною. Серед інших робіт, в яких вивчалися деякі питання теорії многозначних напiвдинамічних систем та їх застосування, відмітимо роботи А.В. Бабіна, Д.Н. Чебана і Д.С. Факіх, D.E. Norman, J. Valero.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках теми 97-043 "Дослідження коливних режимів та інтегральних множин у детермінованих і стохастичних динамічних системах" (номер держреєстрації 0197U003101).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка елементів теорії многозначних нескінченновимірних динамічних систем та її застосування в дослідженні існування, топологічних властивостей, залежності від параметрів і метричних апроксимацій глобальних атракторів класу еволюційних рівнянь та включень без єдиності розв'язку.

Методика дослідження. Використовуються теорія рівнянь в частинних похідних, теорія динамічних систем, нелінійний аналіз.

Наукова новизна результатів. Науковою новизною дисертаційної роботи є:

-побудова для нелінійних евлюційних рівнянь, права частина яких не забезпечує єдиність розв'язку, многозначного аналогу напівгрупи – м-напівпотоку і доведення для нього існування глобального атрактору в фазовому просторі;

-дослідження поведінки атрактору в залежності від правої частини рівняння;

-теорема про існування глобального атрактору для еволюційних включень, де многозначне відображення в правій частині не є неперервним в метриці Хаусдорфа; -доведення теореми про апроксимацію атрактору еволюційного включення в метриці Хаусдорфа більш регулярними множинами і дослідження його поведінки в залежності від правої частини.

Теоретична та практична цінність. Результати роботи мають теоретичний характер і їх можна застосувати для якісного дослідження нелінійних граничних задач математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільних працях співавторам належать постановки задач та аналіз здобутих результатів.

Апробація результатів. Результати розділу 1 були предметом доповіді на міжнародній конференції "Треті Боголюбовські читання" (Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань), Київ, 1997;–

результати розділу 2 доповідалися на науковому семінарі в ІПСА НАН України

та Міносвіти України "Нелінійний аналіз і його застосування" (керівник проф. В.С. Мельник) в 1998 р. і на науковій конференції "Метод функцій Ляпунова та його застосування" (Четверта Кримська міжнародна математична школа), Алушта, 1998;–

результати розділів 2,3 були предметом доповіді на науковому семінарі в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка "Диференціальні рівняння" (керівник проф. М.О. Перестюк) в 1998 р. і в 1999 р. та на науковій конференції "NPDE’99", Львів, 1999;–

результати розділу 4 доповідалися на науковому семінарі з нелінійного аналізу в Інституті математики НАН України (керівник проф. І.В. Скрипник) в 1999 р.;–

дисертаційна робота в повному обсязі доповідалася на науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь в частинних похідних в Інституті математики НАН України (керівник проф. М.Л. Горбачук) в 2000 р. і на науковому семінарі в Інституті прикладної математики і механіки НАН України (керівник проф. І.В. Скрипник) в 2000 р.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1 – 8].

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (83 найменування). Загальний обсяг дисертації становить 114 сторінок, основний текст викладено на 105 сторінках.

Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Миколі Олексійовичу Перестюку і професору Валерію Сергійовичу Мельнику за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач, допомогу в їх розв'язанні і постійну увагу до роботи.

Основний зміст

У вступі обгрунтована актуальність теми та доцільність роботи, наводиться огляд літератури по темі дисертації, вказано мету та задачі дослідження, формулюються основні результати роботи.

В першому розділі розробляються елементи теорії многозначних напівпотоків (м-напівпотоків) шляхом узагальнення на многозначний випадок результатів класичної теорії динамічних систем.

Необхідні позначення: – повний метричний простір, – сукупність всіх непорожніх ( непорожніх, обмежених; непорожніх, замкнених) підмножин, , – метрика Хаусдорфа.

Нехай метричний простір. Відображення називається w-напівнеперервним зверху в точці, якщо для довільного існує таке, що, де окіл в відповідному просторі.

Обєктом дослідження є многозначне відображення.

Означення. Відображення називається м-напівпотоком, якщо

для довільних;

для довільних.

Означення. Множина називається глобальним атрактором м-напівпотоку, якщо

- притягуюча множина, тобто для довільної множини;

- напівінваріантна, тобто для довільних;

і для довільної притягуючої множини маємо.

Атрактор називається інваріантним, якщо для довільних.

Означення. М-напівпотік називається асимптотично напівкомпактним зверху ( ас.нк.зв. ), якщо для довільної множини такої, що при деякому, послідовність є предкомпактною в.

Означення. М-напівпотік називається точково дисипативним, якщо існує така множина, що притягує кожну точку.

Теорема 1.1. Нехай – повний метричний простір, в якому кожен компакт є ніде не щільною множиною, м-напівпотік є ас.нк.зв. і для довільної множини існує таке, що. Якщо при цьому для довільного відображення є напівнеперервним зверху, то існує глобальний атрактор, який є ліндельофовим локально компактним простором в топології суми. також є компактом в, якщо м-напівпотік є точково дисипативним.

Розглядається також більш загальна ситуація, коли – хаусдорфовий топологічний простір. Для довільної множини позначимо замикання в топології простору.

Означення. Множина називається – атрактором , якщо:

для довільних множини і відкритого в околу існує таке, що для довільних (є притягуючою множиною в);

для довільних (напівінваріантна);

і для довільної притягуючої в множини.

Теорема 1.5. Нехай є м-напівпотоком і для довільної множини існує і компактна в множина такі, що для довільного виконується. Нехай також для довільної множини справджується вкладення для довільних, а множина є замкненою в для довільних і.

Тоді для м-напівпотоку існує атрактор, який є паракомпактом в і якщо – регулярний топологічний простір, то має всі властивості атрактору з теореми 1.1.

Показано також, що многозначну напівдинамічну систему за певних умов можна розглядати як однозначну в деякому фазовому просторі.

Нехай - сукупність м-напівпотоків, - метричний простір, - неізольована точка. Наступні дві теореми характеризують “близькість” атракторів для “близьких” м-напівпотоків.

Теорема 1.6. Нехай виконані умови:

1)

2)

Тоді при.

Теорема 1.7. Нехай виконуються умови теореми 1.6 і для довільних справджується вкладення.

Тоді при.

Досліджене також питання про можливість знаходження оцінки фрактальної і хаусдорфової розмірності глобального атрактору м-напівпотоку у випадку, коли банахів простір і.

Теорема 1.10. Нехай – глобальний атрактор м-напівпотоку, і існує послідовність відображень таких, що для деякого, для довільних виконується. Крім того, нехай існують скінченновимірний підпростір, неперервний проектор і сталі такі, що для довільних існує таке, що для довільних виконуються умови:

1)

2)

Тоді, де – число, що залежить лише від .

В другому розділі розглядається застосування результатів розділу 1 до системи фазово-польових рівнянь. Розглядається задача

(1)

де – обмежена область з досить гладкою границею, – додатні константи і виконані умови:

1)

2)

3)

.

Теорема 2.1. При виконанні умов 1)-3) задача (1) для довільного має на принаймні один узагальнений розвязок, причому для довільних має місце оцінка

, (2)

де – числа, що залежать лише від констант задачі (1).

На розвязках, що гарантуються теоремою 2.1, утворимо многозначне відображення

розвязок (1),

для якого справджується (2), (3)

Теорема 2.2. Многозначне відображення, побудоване в (3), є м-напівпотоком і для нього існує глобальний компактний атрактор.

Розглядається послідовність задач (1) з функціями, що в деякому сенсі збігаються до функції. Тоді в деякому сенсі будуть збігатися і відповідні атрактори.

Теорема 2.3. Нехай для функцій виконуються умови 1) – 3) теореми 2.1 рівномірно по ( константа і функція не залежать від ) і для м.в. функції рівномірно збігаються до деякої функції на кожному скінченому відрізку. Тоді задачі (1) для функцій і задовольняють теорему 2.1, відповідні розвязки породжують многозначні напівпотоки і, які задовольняють теорему 2.2 і для атракторів маємо.

В третьому розділі теорія м-напівпотоків застосовується до модифікованого рівняння Хана-Хіларда і нелінійного гіперболічного рівняння.

Розглядається задача

(4)

де обмежена область з досить гладкою границею, оператор Лапласа в просторі і виконані умови:

1)

2)

, , , , де;

,.

Теорема 3.1. При виконанні умов 1),2) задача (4) для довільного має принаймні один узагальнений розвязок на, причому і для довільних виконується оцінка

(5)

де невідємні числа залежать лише від констант задачі (4).

Утворимо многозначне відображення таким чином

розвязок задачі (4), що задовольняє оцінку (5). (6)

Теорема 3.2. При виконанні умов 1), 2) відображення (6) є м-напівпотоком і для нього існує компактний глобальний атрактор.

Теорема 3.3. Нехай для функцій виконуються умови 1), 2) теореми 3.1 рівномірно по ( константа не залежить від ) і існує функція, така, що для м.в.. Тоді задачі (4) для функцій і задовольняють теорему 3.1, відповідні розвязки породжують м-напівпотоки і, які задовольняють теорему 3.2 і для атракторів маємо.

Друга частина розділу 3 присвячена такій задачі

(7)

де, – обмежена область з досить гладкою границею і виконані умови:

1)

2)

де – перше власне значення в.

Для задачі (7) природнім є фазовий простір, де

.

Теорема 3.6. За умов 1), 2) задача (7) для довільного має принаймні один узагальнений розвязок на, причому і для довільних виконується оцінка

, (8)

де числа залежать лише від констант задачі (7).

Побудуємо відображення таким чином

розвязок задачі (7), що задовольняє оцінку (8). (9)

Відмінність задачі (7) від задач (1) і (4) полягає в тому, що останні породжують компактний многозначний напівпотік (тобто відображення переводить обмежені множини в предкомпактні) і асимптотична напівкомпактність зверху є наслідком цієї компактності. Натомість многозначне відображення (9) є ас.нк.зв., але не є компактним.

Теорема 3.9. Многозначне відображення (9) є м-напівпотоком і для нього в фазовому просторі існує глобальний атрактор.

В четвертому розділі результати роділу 1 застосовуються до еволюційного включення в гільбертовому просторі. Нехай сепарабельний гільбертів простір, сукупність всіх непорожніх, обмежених, замкнених, опуклих підмножин, і скалярний добуток і норма в, власна, опукла напівнеперервна знизу функція і її субдиференціал. Розглядається задача

(10)

де і задовольняє властивості:

1)

2)

3)

4)

5)

Означення. Неперервна функція називається сильним розвязком задачі (10), якщо, є абсолютно неперервною на кожній компактній підмножині і задовольняє включення з (10) для м.в..

Відомо, що за умов 1) – 5) для довільних і задача (10) має принаймні один сильний розвязок. Також відомо, що і множина з введеною на ній метрикою утворює повний метричний простір. Тоді можемо коректно означити многозначне відображення,

сильний розвязок задачі (10),. (11)

Теорема 4.5. При виконанні умов 1) – 5) відображення (11) є м-напівпотоком і для нього існує глобальний компактний в інваріантний атрактор.

Розглянуто задачу (10) з. Тоді і маємо задачу

(12)

де обмежена область з досить гладкою границею, , а на відображення накладено умови

1)

2)

3)

4)

Тоді і відображення

для м.в. задовольняє умови 1) – 4) теореми 4.5.

Теорема 4.7. При виконанні умов 1) – 4) м-напівпотік, що породжується задачею (12), має глобальний інваріантний атрактор, що є обмеженою множиною в.

Розглядається можливість апроксимації глобального атрактору з теореми 4.5.

Теорема 4.8. Нехай виконуються умови 1), 3), 5) теореми 4.5 і, крім того,

існує константа така, що для довільних:;

однозначне відображення та існує константа така, що для довільних виконується нерівність.

Тоді для м-напівпотоку, означеному в (11):

1)

2)

Розглядається неперервна залежність атрактору, отриманого в теоремі 4.5, від параметру. Нехай є послідовність многозначних функцій.

Теорема 4.9. Нехай, для довільного, виконуються умови 1) – 5) теореми 4.5 рівномірно по і є w-напівнеперервною зверху. Тоді задачі (10) з правими частинами і породжують м-напівпотоки і, для яких існують глобальні компактні інваріантні атрактори і, причому.

Останньою в розділі 4 розглядається задача дослідження поведінки атрактору задачі (10) в залежності від малого параметру в правій частині. Маємо задачу

(13)

Теорема 4.11. Нехай відображення задовольняють умови 1) – 3), 5) теореми 4.5 і, крім того, існують сталі такі, що для довільних виконується нерівність.Тоді для кожного задача (13) породжує м-напівпотік, для якого існує глобальний компактний інваріантний атрактор, причому.

Висновки

В дисертаційній роботі розроблено теорію многозначних напівдинамічних систем та їх атракторів, доведено теореми про існування глобальних атракторів м-напівпотоків та неперервну і напівнеперервну зверху залежність цих атракторів від параметру. Також розглянута ситуація, коли м-напівпотік діє з метричного простору в хаусдорфовий топологічний простір . Для таких м-напівпотоків доведено існування атракторів і досліджені їх властивості.

Для деяких нелінійних еволюційних рівнянь, праві частини яких не забезпечують єдиності розвязку, доведено існування узагальненого розвязку, що задовольняє деяку глобальну по часу оцінку в фазовому просторі. Доведено, що такі розвязки породжують м-напівпотік, для якого існує глобальний компактний атрактор в фазовому просторі. З такої точки зору розглянуто систему фазово-польових рівнянь, рівняння Хана-Хіларда і нелінійне гіперболічне рівняння. Доведено, що при умові неперервної залежності від параметру правих частин рівняння відповідні глобальні атрактори будуть напівнеперервно зверх залежати від параметру в метриці Хаусдорфа.

Для еволюційного включення в банаховому просторі за умови напівнеперервності зверху многозначної правої частини доведено, що сильні розвязки цього включення породжують м-напівпотік, для якого існує глобальний компактний інваріантний атрактор. Досліджена можливість апроксимації цього атрактору більш регулярними множинами в метриці Хаусдорфа і зясовано умови, за яких має місце неперервна в метриці Хаусдорфа залежність атрактору від параметру. Також розглянуті збурені еволюційні включення і доведена напівнеперервна зверху залежність глобального атрактору від збурюючого параметру.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Капустян О.В. Існування та апроксимації глобальних атракторів нелінійних еволюційних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02. – диференціальні рівняння. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

В дисертації розробляється теорія многозначних напівпотоків (многозначних аналогів однопараметричних напівгруп), доводяться теореми про існування у цих напівпотоків глобальних атракторів. Досліджується їх залежність від параметру. Ця теорія застосовується до нелінійних еволюційних рівнянь у випадку, коли для останніх не вдається довести єдиність розвязку. Многозначний напівпотік породжується розвязками, що задовольняють певну глобальну по часу оцінку. Отримано існування глобального компактного атрактору в фазовому просторі для многозначних напівпотоків, що породжуються системою фазово-польових рівнянь, рівнянням Хана-Хіларда і нелінійним гіперболічним рівнянням. Доведено, що цей атрактор є напівнеперервною зверху функцією параметру.

Іншим обєктом дослідження є диференціальне включення в банаховому просторі з напівнеперервною зверху правою частиною. Всі сильні розвязки такого включення породжують многозначний напівпотік, для якого існує глобальний, компактний, інваріантний атрактор. Досліджена можливість апроксимації цього атрактору в метриці Хаусдорфа і доведена теорема про неперервну залежність атрактору від параметру.

Ключові слова: многозначна динамічна система, атрактор, еволюційне рівняння, диференціальне включення.

Kapustyan A.V. Existence and approximations of global attractors of nonlinear evolution equations. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.02. – differential equations. – Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2000.

In the thesis the theory of multivalued semiflows (multivalued analogous of one-parameter semigroups) is worked out, the theorems of existence of global attractors for these semiflows are proved. Their dependence on parameter are investigated. That theory is applied to nonlinear evolution equations in the case of not managing to prove the uniqueness of solution. The multivalued semiflow is generated by solutions which are satisfied the time-global estimation. The existence of global compact attractors in the fase space for multivalued semiflow generated by the system of fase-field equations, Cahn-Hillard equation and nonlinear hyperbolic equation is obtained. It is proved that the attractor is upper semicontinuous function on parameter.

Other object of investigation is differential inclusion in Banach space with upper semicontinuous right-hand side. All strong solutions of the inclusion generate multivalued semiflow for which there exists global compact invariant attractor. Possibility of approximation of the attractor in Hausdorff metric are investigated. The theorem of continuous dependence of the attractor on parameter is proved.

Key words: multivalued dynamical system, attractor, evolution equation, differential inclusion.

Капустян А.В. Существование и аппроксимации глобальных аттракторов нелинейных эволюционных уравнений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02. – дифференциальные уравнения. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

В диссертации разрабатывается теория многозначных полупотоков (многозначный аналог однопараметрических полугрупп), с помощью которой изучаются многозначные динамические системы в банаховых и топологических пространствах. Основным объектом исследований есть глобальный аттрактор многозначной динамической системы. Получены теоремы существования глобального аттрактора для полунепрерывных сверху многозначных полупотоков, исследованы его топологические свойства. Для случая полупотока, действующего из метрического пространства в топологическое пространство доказано существование аттрактора и исследованы его свойства. Для глобальных аттракторов доказана полунепрерывная сверху и непрерывная зависимость от параметра в метрике Хаусдорфа. Аппарат многозначных полупотоков применяется к нелинейным эволюционным уравнениям, правые части которых не позволяют доказать единственность решения. Отказываясь от гладкости правой части, для системы фазово-полевых уравнений, уравнения Хана-Хилларда и нелинейного гиперболического уравнения доказывается существование (вообще говоря, неединсвенного) обобщенного решения, которое удовлетворяет некоторую глобальную по времени оценку в фазовом пространстве. Все такие решения порождают многозначный полупоток, для которого существует глобальный компактный аттрактор. Доказывается, что если правая часть уравнения непрерывно зависит от параметра, то глобальный аттрактор есть полунепрерывная сверху функция параметра. Другим объектом, динамику решений которого описывают многозначные полупотоки, есть эволюционные включения в банаховых пространствах. При условии полунепрерывности сверху многозначной правой части все сильные решения включения порождают многозначный полупоток, для которого существует глобальный компактный инвариантный аттрактор. Исследована возможность аппроксимации этого аттрактора более регулярными множествами. Доказана непрерывная зависимость аттрактора от параметра в метрике Хаусдорфа при отсутствии непрерывной зависимости от параметра правой части эволюционного включения. Рассмотрены возмущенные эволюционные включения и доказана полунепрерывная сверху зависимость аттрактора такого включения от возмущающего параметра.

Ключевые слова: многозначная динамическая система, аттрактор, эволюционное уравнение, дифференциальное включение.