Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.548

Кирнасовський Олег Юхимович

БІНАРНІ ТА n-АРНІ ІЗОТОПИ ГРУП:

Основні алгебричні поняття та кількісні характеристики

Спеціальність 01.01.06: “Алгебра та теорія чисел”

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ — 2000.

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано у Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського.

Науковий керівник:кандидат фізико-математичних наук

Сохацький Федір Миколайович,

кафедра алгебри і методики викладання математики

Вінницького державного педагогічного університету

імені Михайла Коцюбинського.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук

старший науковий співробітник

Новіков Борис Володимирович,

Харківський національний університет

імені В. Каразіна;

кандидат фізико-математичних наук

доцент Ганюшкін Олександр Григорович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка.

Провідна організація:

Інститут математики Академії наук України.

Захист відбудеться _15 січня_ 2001_ року о _15:00_ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: Київ—127, проспект академіка Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано _11 грудня_ 2000_ року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На квазігрупах, “близьких” до груп, найпродуктивніше узагальнюються результати теорії груп та прогнозуються результати для більш широких класів квазігруп. В класі луп такими “близькими” квазігрупами, що привертали увагу багатьох науковців, є лупи Муфанг, а в класі квазігруп — ізотопи груп, особливо — лінійні ізотопи груп. Проте враження щодо легкості вивчення ізотопів груп є досить оманливим. Скажімо, Ф.М. Сохацьким показано, що в багатьох випадках розв'язання задачі опису ізотопів груп з точністю до ізоморфізму вимагає розв'язання відомої задачі про пару матриць, а тому задача такого опису є “дикою”. А В.І. Ізбаш показав, що при ізотопії властивості квазігруп можуть змінюватись настільки сильно, що абсолютно втрачається, наприклад структура підквазігруп та конгруенцій.

З іншого боку, в численних працях В.Д. Білоусова, М. Тейлора, А. Крапежа та інших науковців показано, що розв'язування багатьох функційних рівнянь призводить до вивчення бінарних та n-арних ізотопів груп.

Також бінарні та n-арні ізотопи груп з'являлись у дослідженнях інших питань: Г.Б. Бєлявська довела, що в многовиді бінарних квазігруп абелевими алгебрами в значенні Маккензі є точно лінійні ізотопи абелевих груп; Л.М. Глускін та М. Хосу встановили, що n-групи є n-арними лінійними ізотопами груп; В.Д. Білоусов довів, що n-арні медіальні квазігрупи є n-арними лінійними ізотопами абелевих груп (в бінарному випадкові — це відома теорема Брака — Тойоди); Ф.М. Сохацький встановив, що роздільні n-арні квазігрупи з властивістю оборотності та поліагрупи теж є n-арними лінійними ізотопами груп. В. Дудек показав, що квадратичні квазігрупи є лінійними ізотопами абелевих груп.

Першими працями, в яких цілеспрямовано вивчались бінарні ізотопи групи, були стаття Я. Єжека та Т. Кепки, праці Т. Кепки та П. Нємця про лінійні ізотопи абелевих груп, праці В.Д. Білоусова, М. Тейлора, Я. Дуплака та Ф.М. Сохацького про тотожності, що гарантують ізотопність квазігрупи до групи. Частину робіт та дисертацій В.І. Ізбаша, В.А. Щербакова (керівник — В.Д. Білоусов) та А.Х. Табарова (керівник — Г.Б. Бєлявська) присвячено вивченню ізотопів груп. В статті Ф.М. Сохацького та П. Сиваківського розпочато цілеспрямоване дослідження n-арних лінійних ізотопів циклічних груп.

Вперше системне дослідження бінарних ізотопів груп розпочато Ф.М. Сохацьким, яким розроблено та удосконалено понятійний апарат, основні методи дослідження, введено поняття канонічного розкладу та зведено вивчення гомоморфізмів, конгруенцій, автоморфізмів, підквазігруп тощо до вивчення відповідних залежностей між компонентами канонічних розкладів, тобто залежностей в групі канонічного розкладу. Це дозволило описати зазначені алгебричні поняття для деяких класів квазігруп. Встановлено також метод знаходження формул, що описують ізотопне замикання класів груп за формулами, які описують такі класи груп, і навпаки. Описано квазігрупові тотожності, які гарантують ізотопність до групи, її лінійність тощо.

Проте ці дослідження ще не дали розв'язання багатьох питань про ізотопи груп, важливих для розвитку теорії квазігруп. Основними з них є такі:

1) залишено багато прогалин в проблемах опису груп автоморфізмів, моноїдів ендоморфізмів, решіток підквазігруп, конгруенцій та інших супутніх алгебричних понять для бінарних ізотопів груп, причому навіть для таких простих, здавалось би, для вивчення, як лінійні ізотопи циклічних груп;

2) для n-арних ізотопів груп системної теорії взагалі немає;

3) цілеспрямоване вивчення кількостей ізотопів скінченних груп не проводилось взагалі;

4) відкритим залишилось питання класифікації як n-арних так і бінарних ізотопів груп.

При цьому зрозумілим є той факт, що подальше дослідження ізотопів груп дає нові ідейні джерела для розвитку понятійного апарату теорії квазігруп та полігон для перевірки гіпотез.

Все це пояснює доцільність продовження заповнення тих прогалин у теорії квазігруп, що стосуються бінарних та n-арних ізотопів груп.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Вивчення бінарних та n-арних ізотопів груп є частинами наукових планів Вінницького державного педагогічного університету ім. М. Коцюбинського та державних наукових тем, які виконувались у цьому університеті під науковим керівництвом Ф.М. Сохацького: N 44/5 АН “Дослідження багатомісних функцій за допомогою суперпозицій” (1990 — 1994 роки); N 82 “Дослідження багатомісних функцій та операцій над ними” (1995 — 1996 роки); N 44/2 “Дослідження багатомісних функцій та відповідних алгебр” (1997 — 1999 роки); N 95 “Дослідження багатомісних функцій та відношень алгебричними методами” (2000 — 2001 роки).

Мета та завдання дослідження. Отже, метою даної роботи є встановлення нових результатів про основні алгебричні поняття та кількісні характеристики для бінарних та n-арних ізотопів груп в напрямку виконання таких конкретних завдань:

1) описати гомоморфізми, підквазігрупи та нормальні конгруенції для n-арних ізотопів груп;

2) вивести для лінійних квазігруп критерії належності до найуживаніших класів квазігруп;

3) одержати тотожності (особливо врівноважені), які характеризують многовид усіх n-арних (зокрема, бінарних) ізотопів груп та найважливіші його підмноговиди;

4) виділити класи n-арних ізотопів груп, для яких можна досить точно описати групи автоморфізмів, і зробити цей опис;

5) встановити критерії однорідності та кратної однорідності n-арних ізотопів груп;

6) класифікувати скінченні лінійні ізотопи циклічних груп за допомогою числових інваріантів, які б характеризували групи автоморфізмів, моноїди ендоморфізмів тощо з точністю до ізоморфізму;

7) одержати формули знаходження кількостей з точністю до ізоморфізму лінійних ізотопів груп (зокрема, циклічних) з різних відомих класів квазігруп, таких як IP-квазігрупи, моноквазігрупи, комутативні, ідемпотентні тощо.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати цієї дисертації є новими. Відмітимо деякі основні результати, одержані автором дисертації, зазначаючи при цьому ступінь новизни. Доведено існування врівноважених тотожностей, які характеризують в класі всіх n-арних квазігруп класи всіх n-арних ізотопів груп, всіх n-арних ізотопів абелевих груп та їхні підкласи всіх лінійних та i-лінійних ізотопів груп (удосконалено результати В.Д. Білоусова (1966), Дж. Ацеля, В.Д. Білоусова та М. Хосу (1960), Г.Б. Бєлявської та А.Х. Табарова (1991, 1992) й Ф.М. Сохацького (1995)). Знайдено критерії транзитивності та кратної транзитивності груп автоморфізмів n-арних ізотопів груп (результат є новим для n>2, А.П. Ільїних при n=2 описав усі скінченні бінарні групоїди, що мають двічі транзитивні групи автоморфізмів). Класифіковано скінченні n-арні лінійні ізотопи циклічних груп (уперше одержано). Знайдено з точністю до ізоморфізму кількість n-арних лінійних ізотопів циклічної групи порядку m (уперше одержано, цим самим дано відповідь на проблему, поставлену в статті Ф.М. Сохацького та П. Сиваківського).

Практичне значення отриманих результатів. Ця дисертація має теоретичне значення та може бути застосованою до подальшого вивчення n-арних ізотопів груп (наприклад, до опису груп автоморфізмів, моноїдів ендоморфізмів та верхніх напіврешіток підалгебр n-арних лінійних ізотопів циклічних груп за допомогою встановленого тут інваріанту) та до загального розвитку теорії квазігруп, зокрема, при вивченні тотожностей та функційних рівнянь на квазігрупах.

Особистий внесок здобувача. В допоміжних результатах дисертації (а саме: описах гомотопій, канонічних розкладів, гомоморфізмів, ізотопних замикань та конгруенцій) використано ідеї Сохацького, з яким автор цієї дисертації підготував до друку статтю у співавторстві (основні з цих ідей попередньо опубліковано цими співавторами на науковій конференції). Решту результатів, в тому числі всі основні, одержано автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включених до цієї дисертації висвітлено на п'ятій та шостій міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука у Києві, на міжнародній конференції з універсальної алгебри та теорії решіток у Сегеді, на міжнародній алгебричній конференції, присвяченій пам'яті Л.М. Глускіна, у Слов'янську, на другій міжнародній алгебричній конференції, присвяченій пам’яті Л. Калужніна, у Вінниці, на міжнародній конференції “Loops'99” у Празі, на міжнародній конференції з математики та інформатики, присвяченій 50-річчю державного університету Молдови та АН Молдови, на звітних наукових конференціях Вінницького державного педагогічного університету 1996 — 2000 років та на декількох алгебричних семінарах при Інституті математики АН Молдови у Кишиневі, при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка й при Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського.

Публікації. Результати цих досліджень опубліковано в 5 статтях та 17 тезах.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційну роботу викладено на 147 сторінках. Вона містить вступ, 4 розділи, висновки та список з 78 джерел, обсяг якого становить 9 сторінок. Перший розділ складається з 2 підрозділів, другий – з 8 підрозділів та висновків, третій — з 5 підрозділів та висновків, четвертий – з чотирьох підрозділів та висновків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі зроблено огляд літератури, виділено напрямки дослідження, дано означення основних понять та подано допоміжні результати.

Алгебру з однією операцією довільної арності n>1 названо групоїдом, а групоїд, для якого кожне ділення визначено однозначно,— квазігрупою. При цьому i-те ділення для операції f позначають за, а при n=2 ліве та праве ділення позначають відповідно за / та \.

Квазігрупу (Q;f) названо ізотопом групи (Q;+), якщо існують підстановки, ..., та, для яких операція f визначається рівністю. Цей ізотоп групи названо лінійним, якщо всі ці підстановки є композиціями автоморфізмів та трансляцій групи (Q;+).

Відомими є зв'язок між квазігрупами та латинськими квадратами та зв'язок між квазігрупами та сітками (В.Д. Білоусов та А.С. Бектенов (1979), О. Чейн, Г.О. Пфлюгфельдер та Дж. Сміт (1990) тощо). При цій відповідності ізоморфізму сіток та еквівалентності латинських квадратів відповідає ізотопія квазігруп. Тому проблема опису інваріантних при ізотопії формул ставилась багатьма дослідниками в теоріях квазігруп, латинських квадратів, сіток та інших (наприклад, Б. Брайан та Г. Шнайдер (1966), Е. Фалконер (1970), Е. Гудейр та Д. Робінсон (1982), Г. Моносова (1988), П.Н. Сирбу (1994, 1996) та інші). Проблема опису інваріантних при ізотопії формул існує давно, але її не розв'язано до цих пір. З цією проблемою є щільно пов’язаним питання про опис ізотопно замкнених класів квазігруп і луп. Відомо лише деякі приклади таких класів. Наприклад, в класі луп такими класами є клас луп Муфанг (якщо лупа є ізотопною до лупи Муфанг, то вона також є лупою Муфанг (В.Д. Білоусов, 1967), клас G-луп тощо. В класі всіх квазігруп — це ізотопне замикання класу луп Муфанг (А.Х. Табаров, 1999) та інші. Проте найбільше досліджень було присвячено вивченню ізотопних замикань класів груп та знаходженню відповідних формул (наприклад, Г.Б. Бєлявська та А.Х. Табаров (1991, 1992), Я. Єжек та Т. Кепка (1975) та інші).

Вперше цілеспрямоване вивчення бінарних ізотопних замикань класів груп було дано в статтях Я. Єжека, Т. Кепки та П. Нємца (1971, 1975), наступний системний крок в цьому напрямку було зроблено Ф.М. Сохацьким (1995), причому розроблено новий підхід до розв'язання цієї проблеми. Ізотопія взагалі та канонічний розклад зокрема встановлюють зв'язок між груповими ізотопами та параметричними групами. Можна вважати, що клас всіх груп міститься в класі всіх параметричних груп, адже кожну групу можна вважати параметричною, якщо за параметри взяти тотожні перетворення множини. Ф.М. Сохацьким (1995) досліджувались лише ізотопні замикання класів груп, причому бінарні замикання, тобто результуючий клас алгебр є класом бінарних квазігруп, які є ізотопами груп даного класу.

У другому розділі закладено декілька базових понять для побудови загальної теорії n-арних ізотопів груп. Доведено, що кожний груповий ізотоп має канонічний розклад (теорема 2.1.7), і в термінах компонент канонічних розкладів описано гомоморфізми між груповими ізотопами (теорема 2.2.4), підквазігрупи та нормальні конгруенції групових ізотопів (теореми 2.6.3 та 2.8.2). Також розроблено метод побудови формул, які описують многовиди групових ізотопів з даними властивостями групи та коефіцієнтів канонічного розкладу (теорема 2.3.6), причому для основних многовидів групових ізотопів побудовано врівноважені тотожності (теорема 2.5.9 із зауваженням після неї), тобто тотожності без предметних констант, в яких кожна їхня предметна змінна зустрічається в лівій та правій частинах точно по одному разу. Доведено (теорема 2.5.9) існування врівноваженої тотожності, що характеризує многовид усіх тих групових ізотопів фіксованої арності, які мають фіксовані властивості i-лінійності ізотопу групи чи комутативності відповідної групи. Наприклад, в наслідку 2.5.7 наведено врівноважені тотожності, які характеризують класи ліволінійних та праволінійних квазігруп. Встановлено також низку інших результатів.

Розкладом групового ізотопу (Q;f) називають праву частину рівності, де — відповідна ізотопія (див. означення ізотопу групи). Цей розклад позначатимемо за. При цьому групу (Q;+) називають групою цього розкладу, а також говорять, що цей груповий ізотоп відповідає цьому розкладу. Один і той же ізотоп групи може мати декілька розкладів.

Виділимо тепер канонічний розклад. Розклад групового ізотопу арності n назвемо канонічним розкладом індексу i відносно елементу u або також i-тим u-канонічним розкладом, якщо u є нейтральним елементом групи (Q;+), кожна з підстановок при є унітарною відносно цієї групи (тобто), а також (тут і скрізь позначає тотожне перетворення зрозумілої з контексту множини). При i=1 та при i=n називатимемо i-тий u-канонічний розклад відповідно лівим u-канонічним розкладом та правим u-канонічним розкладом.

Теорема 2.1.7. Кожний елемент u групового ізотопу арності n при кожному натуральному значенні визначає єдиний його i-тий канонічний розклад.

Теорема 2.2.4. Перетворення є гомоморфізмом ізотопу (Q;f) групи (Q;+) в ізотоп (Q;g) цієї ж групи, які визначаються тотожностями, , де a та b – елементи, а, , ..., та — унітарні підстановки цієї групи, тоді й тільки тоді, коли є лінійним перетворенням групи (Q;+), де — її ендоморфізм, і виконуються умови, для всіх i=1, ..., n.

Індексовану алгебру назвемо n-параметричною групою, якщо (Q;+) — група, e — її одиниця, I — операція взяття симетричного елементу в (Q;+), а, — підстановки множини Q, де n>1, й мають місце рівності,.

Формули та назвемо n-арним універсальним термальним замиканням формули та n-арним екзистенційним термальним замиканням формули відповідно, якщо — формула сигнатури n-параметричної групи, u — предметна змінна, яка не входить в запис формули, а — формула, яку одержано з формули заміною всіх входжень операцій даної сигнатури символами f

квазігрупових операцій, користуючись із співвідношень, при i>1, , e=u, при i>1. Введемо також поняття термального замикання, як узагалюнюючого для універсального та екзистенційного термальних замикань.

Клас n-параметричних груп назвемо абстрактним, якщо клас відповідних ізотопів груп є абстрактним.

Теорема 2.3.6. Майже абстрактний клас n-параметричних груп описується в класі всіх n-параметричних груп системою майже абстрактних формул сигнатури n-параметричної групи тоді й тільки тоді, коли клас всіх групових ізотопів, що відповідають n-параметричним групам з даного майже абстрактного класу, описується в класі всіх n-арних групових ізотопів системою формул, яка складається з n-арних термальних замикань всіх формул із системи.

Той факт, що довільна частина термальних замикань можуть бути універсальними, а решта – екзистенційними, означає рівносильність універсальних та екзистенційних замикань для таких формул.

Наслідок 2.5.7. Бінарна квазігрупа є ліволінійним (праволінійним) груповим ізотопом тоді й тільки тоді, коли задовольняє врівноважену тотожність (x/y)z.(t\u)=x(((t/z)y)\u) (відповідно (x/y).z(t\u)=(x/(t(z\y)))u).

Теорема 2.6.3. Множина G є підквазігрупою n-арного групового ізотопу (Q;f) з правим u-канонічним розкладом тоді й тільки тоді, коли існують підгрупа H групи (Q;+) та елемент e, такі що, G=H+e,

Теорема 2.8.2. Відношення є нормальною конгруенцією на n-арному груповому ізотопі (Q;f) з правим u-канонічним розкладом, де — унітарна підстановка групи (Q;+), тоді й тільки тоді, коли є конгруенцією на групі (Q;+), а також виконуються рівності для всіх i=1, ..., n, де H – нормальна підгрупа групи (Q;+).

За результатами другого розділу автором опубліковано праці [1], [6], [7] та [8].

У третьому розділі описано у вигляді критерію ті лінійні ізотопи довільної групи, чиї групи автоморфізмів є голоморфами цієї групи (теорема 3.1.4) та досліджено деякі інші “екстремальні” випадки на зразок цього, описано групові ізотопи, які мають транзитивні групи автоморфізмів (теорема 3.3.4), двічі транзитивні групи автоморфізмів (теорема 3.3.11), тричі транзитивні групи автоморфізмів (теорема 3.3.12). Класифіковано циклічні ізотопи, а саме: виділено інваріанти, які з точністю до ізоморфізму характеризують групу автоморфізмів, моноїд ендоморфізмів та верхню напіврешітку підквазігруп (теорема 3.5.2), причому наслідок 3.4.9 зводить вивчення цих понять до випадку n-груп, а наслідок 3.4.14 — до випадку, коли даний циклічний ізотоп є або бінарним, або тернарним. Встановлено низку інших результатів.

Якщо ізотоп групи з теореми 2.8.2 є лінійним, то позначатимемо його за.

Теорема 3.1.4. Група автоморфізмів лінійного ізотопу групи (Q;+) є голоморфом групи (Q;+) тоді й тільки тоді, коли група (Q;+) є абелевою, кожний автоморфізм лежить в центрі групи Aut(Q;+), а також виконуються умови

Для випадку парної арності останні умови є рівносильними до ідемпотентності цього групового ізотопу.

Для зручності формулювання наступних трьох теорем домовимось про єдині позначення: зафіксуємо довільну групу, яку позначимо за (Q;+), її довільний елемент, який позначимо за a, довільне більше за одиницю ціле число, яке позначимо за n, довільні n унітарних підстановок, які позначимо за, …,; при цьому зафіксуємо також позначення (Q;f) для ізотопу групи (Q;+), операція f якого визначається, як у теоремі 2.2.4, позначення — для суми, позначення H – для групи всіх тих автоморфізмів групи (Q;+), які комутують з усіма підстановками, а також позначення для перетворення.

Теорема 3.3.4. Група автоморфізмів групового ізотопу (Q;f) є транзитивною тоді й тільки тоді, коли для кожного елементу існує такий автоморфізм групи (Q;+), що мають місце рівності для всіх i=1, ..., n, а елемент є образом елементу a при дії деякого перетворення, взятого з групи H.

Теорема 3.3.11. Транзитивна група автоморфізмів групового ізотопу (Q;f) при |Q|>2 є двічі транзитивною тоді й тільки тоді, коли він є ідемпотентним, а група H є транзитивною на множині всіх ненейтральних елементів групи (Q;+).

Теорема 3.3.12. Група автоморфізмів групового ізотопу (Q;f), де |Q|>3, є тричі транзитивною тоді й тільки тоді, коли він має непарну арність та є похідним від абелевої групи (Q;+) періоду 2, група автоморфізмів якої є двічі транзитивною на множині всіх ненейтральних елементів групи (Q;+).

Циклічним ізотопом називатимемо лінійний ізотоп циклічної групи.

Трійку чисел a, та m назвемо родом скінченного циклічного ізотопу, якщо m — його порядок, a — найбільша для нього кількість підалгебр однакового порядку, а — кількість розв’язків рівняння відносно змінної x.

Теорема 3.5.2. З точністю до ізоморфізму верхня напіврешітка підалгебр, моноїд ендоморфізмів та група автоморфізмів циклічного ізотопу залежать лише від роду цього циклічного ізотопу. Більше того, деякий ізоморфізм між верхніми напіврешітками підалгебр двох довільних фіксованих ізотопів одного роду переводить кожну підалгебру в підалгебру того ж порядку.

За результатами третього розділу автором опубліковано праці [2], [3], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16] та [17].

У четвертому розділі одержано критерії належності бінарних ізотопів груп до найвживаніших класів квазігруп та знайдено формули обчислення кількостей деяких групових ізотопів з точністю до ізоморфізму. Зокрема, знайдено кількість всіх неізоморфних циклічних ізотопів даних арності та порядку (теорема 4.4.2), з цієї кількості виділено кількість ідемпотентних квазігруп (наслідок 4.3.5), моноквазігруп (теорема 4.4.1) тощо. Одержано також інші результати такого характеру.

Наслідок 4.3.5. З точністю до ізоморфізму кількість всіх ідемпотентних n-арних лінійних ізотопів циклічних груп порядку m, де m та n — довільні фіксовані числа, а

є канонічним розкладом числа m на прості множники, причому, ..., — попарно різні прості числа, а, ..., — натуральні числа, дорівнює.

Теорема 4.4.1. З точністю до ізоморфізму кількість всіх n-арних моноквазігруп серед n-арних лінійних ізотопів циклічних груп порядку m, де m та n – довільні фіксовані числа, а (4.13) є канонічним розкладом числа m на прості множники, причому, ..., — попарно різні прості числа, а, ..., — натуральні числа, дорівнює.

Теорема 4.4.2. З точністю до ізоморфізму кількість всіх n-арних лінійних ізотопів циклічних груп порядку m, де m та n – довільні фіксовані числа, а (4.13) є канонічним розкладом числа m на прості множники, причому, ..., — попарно різні прості числа, а, ..., — натуральні числа, дорівнює.

За результатами четвертого розділу автором опубліковано праці [3], [4], [5], [18], [19], [20], [21] та [22].

ВИСНОВКИ

Отже, в цій дисертації описано гомоморфізми, підквазігрупи та нормальні конгруенції n-арних ізотопів груп, одержано врівноважені тотожності, що описують многовид усіх n-арних ізотопів груп та найважливіші його підмноговиди, описано групи автоморфізмів деяких n-арних групових ізотопів, одержано критерії однорідності та кратної однорідності n-арних ізотопів груп, введено поняття роду для n-арного лінійного ізотопу скінченної циклічної групи, яке однозначно з точністю до ізоморфізму характеризує групу автоморфізмів, моноїд ендоморфізмів та верхню напіврешітку підквазігруп цього ізотопу групи, одержано цілу низку кількісних характеристик класів групових ізотопів.

Основними результатами дисертації є критерії транзитивності та двічі транзитивності групи автоморфізмів n-арного ізотопу групи (теореми 3.3.4 та 3.3.11), теорема 3.5.2 про інваріанти циклічних ізотопів та теорема 4.4.2 про кількість всіх неізоморфних циклічних ізотопів.

Здобуті в дисертації результати можна застосувати до подальшого вивчення циклічних ізотопів, бінарних та n-арних ізотопів груп, а також бінарних та n-арних квазігруп. Побудовано значний фундамент для детального опису супутніх алгебричних понять для n-арних лінійних ізотопів скінченних циклічних груп, одержано полігон для перевірки великого класу гіпотез теорії квазігруп, удосконалено методику дослідження цих об'єктів.

Всі результати дисертації є строго логічно обгрунтованими та якісно відрізняються від одержаних попередниками.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Кирнасовський О.Ю. Врівноважена тотожність, яка описує n-арні ізотопи груп в класі всіх n-арних квазігруп// Український математичний журнал.— 1998.— N 6.— С.862 — 864.

[2] Kirnasovsky O.U. The transitive and multitransitive automorphism groups of the multiplace quasigroups// Quasigroups and related systems.— 1997.— vol. 4.— P.23 — 38.

[3] Кирнасовський О.Ю. Класифікація циклічних квазігруп// Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка.— 2000.— N 2.— С. 12 — 14.

[4] Kirnasovsky O.U. Linear isotopes of small order groups// Quasigroups and related systems.— 1995.— vol. 2, N 1.— P.51 — 82.

[5] Кирнасовський О.Ю. Деякі кількісні характеристики класів бінарних та n-арних лінійних ізотопів груп// Вісник Вінницького політехнічного інституту.— 1997.— N 1.— С76 — 80.

[6] Sokhatsky F., Kirnasovsky O.U. Subquasigroups and Normal Congruences for Multiplace Group isotopes// International algebraic conference dedicated to the memory of professor L.M. Gluskin: Abstracts.— Slovyans'k, August 25 — 29, 1997.— P.40 — 41.

[7] Кирнасовський О.Ю. Про многовид всіх n-арних ізотопів груп// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1998.— С.19 — 21.

[8] Кирнасовський О.Ю. Приклади класів алгебр, замкнених відносно взаємного переходу до прямих добутків// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1999.— С.18 — 20.

[9] Кирнасовський О.Ю. Деякі твердження, які описують групи автоморфізмів багатомісних лінійних ізотопів груп// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1996.— С.20.

[10] Кирнасовський О. Достатні умови для існування ізоморфізму між групами автоморфізмів групи та її багатомісного лінійного ізотопу// П'ята Міжнар. Наук. Конф. ім. академіка М. Кравчука: Тези допов.— Київ, 16 — 18 травня 1996 р.— С.180.

[11] Кирнасовський О.Ю. Про ненульової парної арності лінійні ізотопи циклічних груп порядків, що є степенями двійки// Шоста Міжнар. Наук. Конф. ім. академіка М. Кравчука: Тези допов.— Київ, 15 — 17 травня 1997 р.— С.195.

[12] Kirnasovsky O.U. Subalgebras of the Finite Multiplace Linear Cyclic Group Isotopes// International algebraic conference dedicated to the memory of professor L.M. Gluskin: Abstracts.— Slovyans'k, August 25 — 29, 1997.— P.33.

[13] Кирнасовський О.Ю. Про деякі групи, кожна з яких є ізоморфною до групи автоморфізмів свого багатомісного лінійного ізотопу// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1998.— С.18 — 19.

[14] Кирнасовський О.Ю. Про ідемпотентні однорідні багатомісні ізотопи груп// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1999.— С.17 — 18.

[15] Кирнасовський О.Ю. Обчислення сорту багатомісного лінійного ізотопу групи лишків// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1999.— С.20 — 21.

[16] Kirnasovsky O.U. The Double and Triple Homogeneous Multiplace Group Isotopes// The second international algebraic conference in Ukraine: Abstracts.— P. 25 – 26.

[17] Kirnasovsky O.U. The Homogeneous Multiplace Group Isotopes// Loops '99: Abstracts.— Praha, July 27 — August 1, 1999.— P.16 —17.

[18] Kirnasovsky O.U. The up to Isomorphism Number of the Multiplace Linear Isotopes of a Cyclic Group// Conference on Universal Algebra and Lattice Theory: Abstracts.— Szeged, July 15 — 19, 1996.— P.27.

[19] Кирнасовський О.Ю. Кількості багатомісних лінійних групових ізотопів, що належать деяким класам// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1997.— С.63 — 64.

[20] Kirnasovsky O.U. The Numbers of some Special Finite Linear Cyclic Group Isotopes// International algebraic conference dedicated to the memory of professor L.M. Gluskin: Abstracts.— Slovyans'k, August 25 — 29, 1997.— P.32.

[21] Кирнасовський О.Ю. Кількості лінійних ізотопів групи з “лівими” та “правими” властивостями// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1997.— С.64 — 65.

[22] Кирнасовський О.Ю. Критерії належності лінійного ізотопу групи до двох класів групоїдів, що є комутуваннями один одного// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.— Вінниця, 1998.— С.22 — 23.

АНОТАЦІЇ

Кирнасовський О.Ю. Бінарні та n-арні ізотопи груп: Основні алгебричні поняття та кількісні характеристики.— Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06: “Алгебра та теорія чисел”.— Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2000.

У дисертації описано гомоморфізми, підквазігрупи та нормальні конгруенції n-арних ізотопів груп, одержано врівноважені тотожності, що описують многовид усіх n-арних ізотопів груп та найважливіші його підмноговиди, описано групи автоморфізмів деяких n-арних групових ізотопів, одержано критерії однорідності та кратної однорідності n-арних ізотопів груп, введено поняття роду для n-арного лінійного ізотопу скінченної циклічної групи, яке однозначно з точністю до ізоморфізму характеризує групу автоморфізмів, моноїд ендоморфізмів та верхню напіврешітку підквазігруп цього ізотопу групи, одержано цілу низку кількісних характеристик класів групових ізотопів.

Ключові слова: ізотоп групи, n-арний ізотоп групи, тотожність, врівноважена тотожність, група автоморфізмів, однорідність, кратна однорідність, кількісні характеристики.

Kirnasovsky O.U. The binary and n-ary group isotopes: Basic algebraic concepts and number characteristics.— Manuscript.

The dissertation for the candidate degree by the speciality 01.01.06: “Algebra and number theory”.— Kyiv: Kyiv national Taras Shevchenko university, 2000.

The homomorphisms, subquasigroups and normal congruences of n-ary group isotopes are described, balanced identities which describe the variety of all n-ary group isotopes and its the most important subvarieties are obtained, the automorphism groups of some n-ary group isotopes are described, criteria of homogenity and multihomogenity of n-ary group isotopes are obtained. A concept of a kind for an n-ary linear isotope of a finite cyclic group is given. The kind characterizes the automorphism group, endomorphism monoid and upper semilattice of subquasigroups of the group isotope up to isomorphism. Some number characteristics of group isotope classes are obtained.

Key words: group isotope, n-ary group isotope, identity, balanced identity, automorphism group, homogenity, multihomogenity, number characteristics.

Кирнасовский О.Е. Бинарные и n-арные изотопы групп: Основные алгебраические понятия и количественные характеристики.— Рукопись.

Диссертация на соискание учeной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06: “Алгебра и теория чисел”.— Кыйив: Кыйивский национальный университет имени Тараса Шевченка, 2000.

В работе исследованы основные алгебраические понятия и количественные характеристики бинарных и n-арных изотопов групп.

Описаны гомоморфизмы, подквазигруппы и нормальные конгруенции для n-арных изотопов групп; выведены для линейных квазигрупп критерии принадлежности к наиболее употребительным классам квазигрупп; получены тождества (в том числе уравновешенные), которые характеризуют многообразие всех n-арных (в частности, бинарных) изотопов групп и наиважнейшие его подмногообразия; выделены классы n-арных изотопов групп, для которых можно достаточно точно описать группы автоморфизмов, и сделано это описание; установлены критерии однородности и кратной однородности n-арных изотопов групп; классифицированы конечные линейные изотопы циклических групп при помощи числовых инвариантов, которые характеризуют группы автоморфизмов, моноиды эндоморфизмов и тому подобное с точностью до изоморфизма; получены формулы нахождения количеств с точностью до изоморфизма линейных изотопов групп (в частности, циклических) из разных известных классов квазигрупп, таких как IP-квазигруппы, моноквазигруппы, коммутативные, идемпотентные и тому подобное.

Основными результатами диссертации являются критерии транзитивности и дважды транзитивности группы автоморфизмов n-арного изотопа группы (теоремы 3.3.4 и 3.3.11), теорема 3.5.2 про инварианты циклических изотопов и теорема 4.4.2 про количество всех неизоморфных циклических изотопов.

Доказано, что n-арный изотоп (Q;f) группы (Q;+), определeнный тождеством, где, …, — унитарные подстановки этой группы, имеет транзитивную группу автоморфизмов в точности тогда, когда для каждого элемента существует такой автоморфизм группы (Q;+), который удовлетворяет равенству, где обозначает сумму, а также элемент является образом элемента a при действии некоторого автоморфизма группы (Q;+), который коммутирует со всеми подстановками. Доказано, что при этом для |Q|>2 такая транзитивная группа автоморфизмов їявляется дважды транзитивной в точности тогда, когда такой изотоп группы является идемпотентным, а группа всех тех еe автоморфизмов, которые коммутируют со всеми подстановками является транзитивной на Q\{0}.

Доказано, что изотопы и группы, определeнные тождествами, , где и — элементы кольца вычетов по модулю m, удовлетворяющие определeнным равенствам, имеют изоморфные группы автоморфизмов, моноиды эндоморфизмов и верхние полурешeтки подалгебр.

Полученные в диссертации результаты можно применить к дальнейшему изучению циклических изотопов, бинарных и n-арных изотопов групп, а также бинарных и n-арных квазигрупп. Построен значительный фундамент для детального описания сопутствующих алгебраических понятий для n-арных линейных изотопов конечных циклических групп, получен полигон для проверки большого класса гипотез теории квазигрупп, усовершенствована методика исследования этих объектов.

Ключевые слова: изотоп группы, n-арный изотоп группы, тождество, уравновешенное тождество, группа автоморфизмов, однородность, кратная однородность, количественные характеристики.