НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім.Я.С.ПІДСТРИГАЧА

КУШНІР

Роман Михайлович

УДК 539.3

НАПРУЖЕНИЙ СТАН КУСКОВО–ОДНОРІДНИХ ТІЛ З ТЕПЛОВИМИ ТА ЗАЛИШКОВИМИ ДЕФОРМАЦІЯМИ І ДЕФЕКТАМИ СТРУКТУРИ

01.02.04 — механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико–математичних наук

Львів – 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України.

Науковий консультант _ доктор фізико–математичних наук, професор ОСАДЧУК Василь Антонович, Державний університет "Львівська політехніка", завідувач кафедри.

Офіційні опоненти: академік НАН України, доктор технічних наук, професор ГРИГОРЕНКО Ярослав Михайлович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу;

доктор фізико–математичних наук, професор САВРУК Михайло Петрович, Фізико–механічний інститут ім. Г.В.Карпенка НАН України, завідувач відділу;

доктор фізико–математичних наук, професор ХАЙ Мирослав Васильович, Державний університет "Львівська політехніка", завідувач кафедри.

Провідна установа: Донецький державний університет Міністерства освіти і науки України, кафедра теоретичної і прикладної механіки.

Захист відбудеться "14" серпня 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79053, м. Львів, вул. Наукова, 3"б".

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3"б").

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 79053, м. Львів, вул. Наукова, 3"б", ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, вченому секретарю спеціалізованої ради.

Автореферат розісланий "12"  липня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико–математичних наук Шевчук П.Р.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В сучасній техніці широке застосування знаходять прилади, вироби та елементи конструкцій кусково–однорідної структури, складові яких мають різні фізико–механічні властивості. Під час їх виготовлення та експлуатації на них діють різні зовнішні чинники; у всій структурі чи у її окремих частинах можуть відбуватися процеси різноманітної фізичної природи, виникати певні дефекти будови. Все це необхідно враховувати при оцінці міцності і надійності таких технічних систем _як на етапі їх розробки і проектування, так і для прогнозування їх довготривалої і безпечної експлуатації. Тому вивчення напружено–деформованого стану і граничної рівноваги кусково–однорідних тіл з урахуванням дефектів структури, зовнішніх навантажень і власних напружень, які становлять основу таких розрахунків, є актуальною і надзвичайно важливою науково–технічною проблемою. Це є причиною значної зацікавленості вітчизняних і закордонних вчених до таких досліджень, розробки ефективних методів їх проведення, а також використання при цьому сучасних засобів математичного моделювання і обчислювальної техніки.

Внаслідок комплексного характеру зазначена проблема охоплює широкий спектр напрямків механіки деформівного твердого тіла, серед яких слід виділити:

·  

·  визначення залишкових технологічних напружень та проведення оцінки їх впливу на міцність елементів конструкцій, зокрема, зварних з’єднань;

·  створення моделей механіки руйнування неоднорідниз тіл з тріщинами, методів визначення розподілу напружень біля включень, отворів і тріщиноподібних дефектів;

·  розробку методів вивчення і дослідження контактних явищ в тілах неоднорідної структури за неідеального контакту на поверхнях поділу та врахування породжених ними термомеханічних процесів.

Основні результати за такими напрямами, які отримані аналітичними, числовими та розрахунково–експериментальними методами, розв'язування відповідних прямих і обернених крайових задач, відображені в низці монографій та статей. Достатньо повно систематизовані основні результати досліджень напруженого стану тіл з власними напруженнями, здійснене термодинамічне обгрунтування основних рівнянь механіки взаємозв'язаних полів у суцільних середовищах та елементах конструкцій, які виникають внаслідок експлуатації сучасної техніки за статичних і динамічних механічних навантажень, різних температурних режимів і сильних електромагнітних полів. Такі результати, зокрема, викладені у монографіях В.М.Вігака; О.Р.Гачкевича; Е.І.Григолюка, Я.С.Підстригача і Я.Й.Бурака; В.Т.Грінченка і А.Ф.Улітка; О.І.Ільюшина і Б.Ю.Победрі; В.Г.Карнаухова; А.Д.Коваленка; І.О.Мотовиловця і В.І.Козлова; В.Новацького; Я.С.Підстригача; Я.С.Підстригача і Ю.М.Коляна; Ю.М.Поділь-чука; Ю.С.Постольника; І.О.Прусова; В.Л.Рвачова; В.С.Саркисяна; В.П.Шевченка; Ю.М.Шев-ченка і В.Т.Савченка; а також у статтях Ю.М.Няшина, Г.В.Пляцка, К.М.Русинка, Я.Г.Савули, І.К.Сенченкова, Л.П.Хорошуна, В.Ф.Чекуріна, Ю.А.Чернухи, О.М.Шаблія, П.Р.Шевчука, Z.Olesiak, Cz.Wozniak.

Методам визначення і дослідження пружної рівноваги тіл неоднорідної і кусково–однорідної структури за силового і температурного навантаження, розвитку основ механіки композиційних матеріалів і розрахунку елементів конструкцій з них, зокрема, багатошарових пластинчастих та оболонкових, присвячені монографії С.А.Амбарцумяна; В.В.Болотіна і Ю.М.Новичкова; Я.М.Григоренка, А.Т.Василенка та ін.; О.М.Гузя, Я.М.Григоренка, І.Ю.Бабича та ін.; О.М.Гузя, Л.П.Хорошуна, Г.А.Ваніна та ін.; Ю.М.Коляна; Г.Б.Колчина; В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелія, М.О.Башелейшвілі і Т.В.Бурчуладзе; В.О.Ломакіна; Б.К.Михайлова; М.І.Мусхелешвілі; Ю.М.Неміша; Б.Л.Пелеха; Я.С.Підстригача, В.О.Ломакіна і Ю.М.Коляна; І.А.Цурпала і М.Г.Тамурова; М.О.Шульги та інші.

Важливими як у теоретичному, так і в практичному плані є вивчення залишкових технологічних напружень та їх впливу на міцність елементів конструкцій, зокрема зварних з’єднань. Серед робіт у цьому напрямку слід відзначити монографії О.М.Гузя; О.М.Гузя, В.Т.Томашевського, М.О.Шульги та ін.; Л.М.Лобанова, В.І.Махненка і В.І.Труфякова; В.І.Махненка; А.Я.Недосеки; Я.С.Підстригача, В.А.Осадчука і А.М.Марголіна та низку інших.

Одним з важливих напрямів сучасної механіки деформівного твердого тіла є механіка руйнування тіл з дефектами, невід’ємним елементом якої є методи визначення розподілу напружень біля включень, отворів і тріщин. Розвиток таких методів, а також достатньо повний огляд результатів у цьому напрямку подано в монографіях В.М.Александрова, Б.І.Сметаніна і Б.В.Соболя; О.Є.Андрей-ківа; Л.Т.Бережницького, В.В.Панасюка і М.Г.Стащука; В.В.Божидарника і Г.Т.Сулима; Е.І.Григолюка і Л.А.Фільштинського; О.М.Гузя; О.М.Гузя, О.С.Космодаміанського, В.П.Шевченка та ін.; А.О.Камін-ського; Г.С.Кіта і М.Г.Кривцуна; Г.С.Кіта і М.В.Хая; О.С.Космодаміанського і С.О.Калоєрова; А.Я.Красовського; М.Я.Леонова; О.М.Лінькова; М.А.Махутова; М.Ф.Морозова; С.О.Назарова; В.А.Осадчука; В.В.Панасюка; В.В.Панасюка, М.П.Саврука і О.П.Дацишин; В.В.Панасюка, М.П.Саврука і З.Т.Назарчука; В.В.Панасюка, М.М.Стадника і В.П.Силованюка; В.З.Партона і Є.М.Морозова; В.З.Партона і П.І.Перліна; Г.С.Писаренка і О.А.Лебедєва; Я.С.Підстригача і О.П.Піддубняка; Я.С.Підстригача і Ю.З.Повстенка; Я.С.Підстригача і Р.М.Швеця; Г.Я.Попова; Н.Б.Ромаліса і В.П.Тамужа; Г.М.Савіна; М.П.Саврука; Г.Сі і Г.Лібовиця; Л.І.Слепяна; М.В.Хая; Г.П.Черепанова; J.Balas, J.Sladek, V.Sladek, а також у статтях Д.В.Гриліцького, В.Т.Грінченка, В.І.Кир’яна, В.В.Лободи, Т.Л.Мартиновича, М.М.Николишина, О.В.Оніщука, Г.Т.Сулима, В.Т.Тро-щенка, А.Ф.Улітка, М.Ю.Швайка, П.В.Яснія, C.Atkinson, F.Erdogan, J.D.Eshelby, T.Kondo, S.Matysiak, T.Mura, P.S.Theokaris та інших.

Розробці методів визначення і дослідження контактних явищ у кусково–однорідних тілах присвячені монографії В.М.Александрова і С.І.Мхітаряна; Й.І.Воровича, В.М.Александрова і В.О.Бабешка; Д.В.Гриліцького; С.Г.Міхліна, М.Ф.Морозова і М.В.Паукшто; В.І.Моссаковського та ін.; Б.Л.Пелеха, О.В.Максимука і І.М.Коровайчука; J.R.Barber and M.Comminou; F.F.Ling та деякі інші.

Більшість із використовуваних при цьому аналітичних підходів ґрунтується на методі спряження в класичній постановці, тобто на розгляді досліджуваного процесу в межах кожної із однорідних складових з наступним задоволенням умов контакту на поверхнях поділу, що при значній кількості складових є нелегким завданням з громіздкими викладками. У зв'язку з цим, як правило, в таких структурах не здійснюються одночасно, з єдиних позицій, комплексні дослідження власних напружень (температурних, залишкових тощо) та дефектів структури (дислокацій, дисклінацій, тріщин).

Розроблений під керівництвом Я.С.Підстригача і Ю.М.Коляна підхід до розв'язування задач термопружності для кусково–однорідних тіл, який ґрунтується на використанні апарату узагальнених функцій для опису таких тіл як цілісних структур, значною мірою усунув вище зазначені труднощі. У межах цього підходу розроблена та апробована на низці задач термопружності методика, для якої вихідними вибираються рівняння термопружності неоднорідного тіла. При цьому шукані (температуру, компоненти вектора переміщень) і задані (фізико–механічні характеристики матеріалу тіла, питому потужність джерел тепла та інші) величини подаються за допомогою характеристичних функцій областей, які займають складові тіла, і підставляють у рівняння термопружності неоднорідного тіла. В результаті, замість системи диференціальних рівнянь термопружності для кожної складової кусково–однорідного тіла і умов контакту, отримуються частково–вироджені диференціальні рівняння термопружності з розривними коефіцієнтами, які, внаслідок збігу для цього випадку похідних в класичному та узагальненому сенсі, забезпечують виконання ідеального термомеханічного контакту на поверхнях поділу. Розв’язування отриманих рівнянь, як правило, здійснюється за допомогою методу інтегральних перетворень і способів побудови розв’язків звичайних диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами, запропонованих у роботах В.М.Вігака, Л.М.Зорія, Б.В.Процюка, І.Ф.Образцова і Г.Г.Онанова, М.Ф.Стасюк. Зокрема, автором розроблено спосіб побудови фундаментальної системи розв’язків (ФСР) звичайного лінійного однорідного диференціального рівняння довільного порядку з кусково–сталими коефіцієнтами Кушнір Р.М. Про побудову розв’язків звичайних лінійних диференціальних рівнянь з кусково–сталими коефіцієнтами // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1980. – № 9. – C. 54–57.. Найбільш повно результати таких досліджень систематизовані і подані в монографіях Я.С.Під-стригача, В.О.Ломакіна і Ю.М.Коляна; Я.С.Підстригача, Ю.М.Коляна і М.М.Семерака; Ю.М.Ко-ляна і О.М.Кулика; Ю.М.Коляна, а також приведені у статтях Є.Г.Грицька, Л.С.Гульчевського, Є.Г.Іваника, Р.М.Кушніра, І.М.Махоркіна, В.С.Поповича, Б.В.Процюка, Ф.В.Семерака та ін. Подібну методику, яка також базується на рівняннях термопружності неоднорідного тіла, але зводиться до побудови розв'язків інтегральних рівнянь, розроблено в працях В.І.Лавренюка, В.О.Ломакіна і М.М.Сідляра.

Для уникнення обмежень щодо типу умов контакту на поверхнях поділу кусково–однорідного тіла, а також використання рівнянь термопружності однорідного тіла в ролі вихідних рівнянь, Ю.М.Ко-ляном, О.М.Куликом та автором була запропонована інша методика для одержання частково–вироджених рівнянь термопружності тіл кусково–однорідної структури. У її основу покладена математична постановка узагальненої задачі спряження для відповідних диференціальних рівнянь однорідних тіл, яка полягає у продовженні шуканих та заданих функцій на всю область, яку займає кусково–однорідне тіло. При цьому враховуються зв'язки між узагальненими й класичними похідними, а також умови контакту на поверхнях поділу, які можуть бути не лише ідеальними, але й більш загальними (зокрема, враховувати тонкі різнорідні прошарки між складовими тіла, проковзування шарів, фрикційне теплоутворення тощо).

За допомогою вищезгаданого підходу, який базується на використанні узагальнених функцій, переважно досліджувалися задачі термопружності для кусково–однорідних тіл. Поряд з цим, для визначення напруженого стану однорідних оболонок з власними напруженнями і дефектами, Я.С.Підстригачем, В.А.Осадчуком та їх учнями було запропоновано метод дисторсій, який ґрунтується на використанні такого ж математичного апарату. За цим методом тензор повної деформації подається як сума тензорів пружної і вільної від напружень (теплової і залишкової) деформації. Отримані рівняння дають змогу здійснювати дослідження напружено–деформованого стану оболонки як з власними напруженнями, так і з дефектами структури (тріщинами, дислокаціями і дисклінаціями), оскільки її можна змоделювати суцільною оболонкою, у якій уздовж лінії розміщення дефектів зосереджені внутрішні джерела напружень. Компоненти вільної від напружень деформації є функціонали, які подаються за допомогою узагальнених функцій через комбінації стрибків переміщень і кутів повороту з невідомими густинами у випадку тріщин або заданими –у випадку дислокацій чи дисклінацій.

Тому визначення напруженого стану кусково–однорідних тіл шляхом постановки відповідних узагальнених задач спряження з використанням методу дисторсій формує основу для здійснення, за допомогою єдиного математичного апарату, вище зазначених комплексних досліджень власних напружень і дефектів структури, які для механіки деформівного твердого тіла є актуальними і у теоретичному, і у прикладному аспекті. Згадані міркування дали змогу сформулювати мету дисертаційної роботи, визначити її наукову новизну і практичну цінність.

Метою дисертації є розробка підходу до визначення і дослідження з єдиних позицій напружено–деформованого стану та граничної рівноваги тіл кусково–однорідної структури, що ґрунтується на використанні методу дисторсій і апарату узагальнених функцій. Цей підхід містить:

·

· формулювання широкого класу важливих для практики прямих та обернених задач механіки на основі отриманих ключових рівнянь і розвиток методів їх розв'язування, зокрема, зведенням до відповідних систем інтегральних рівнянь, а також з використанням експериментальних даних про частину компонент тензора напружень або їх інтегральні характеристики;

· вивчення механічної поведінки кусково–однорідних тіл, зумовленої температурними напруженнями за неідеального та ідеального термомеханічного контакту, залишковими і дислокаційними деформаціями, а також наявністю наскрізних та ненаскрізних тріщин, зокрема, з урахуванням пластичного деформування.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувалися за науковою тематикою Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України (у 1992–1996 рр. "Розробка математичних моделей, чисельно–аналітичних і експериментальних методів дослідження міцності та надійності кусково–однорідних циліндричних і тонкостінних тіл з власними напруженнями та дефектами", № держреєстрації 0193U009587; у 1997–2000 рр. "Розробка математичних моделей та дослідження міцності неоднорідних тіл з дефектами та залишковими напруженнями", № держреєстрації 0197U008955), а також за проектами 05.52.01/013–92 "Розробка методів оцінки довготривалої міцності і надійності та заходів для забезпечення ресурсозберігаючих технологій виготовлення скляних і склометалевих елементів приладів та конструкцій" (1992–1995 рр., № держреєстрації 0195U022143) з Державної науково–технічної програми 05.51.01 "Високоефективне генеруюче обладнання для парогазових та газотурбінних енергокомплексів" і 04.05/03830 "Розробити методи визначення і регулювання залишкових напружень в тонкостінних зварних конструкціях та оцінити їх вплив на опір квазікрихкому руйнуванню" (1997–1999 рр., № держреєстрації 0197U015143) з Державної науково–технічної програми 04.05 "Нові технології зварювання та суміжних процесів".

Наукова новизна роботи полягає в тому, що:

·

На його основі:

-

- зведено термопружну задачу про взаємодію різнорідних включень у матриці до системи граничних інтегральних рівнянь та запропоновано схему їх числового розв'язання;

- сформульовано умовно–коректну обернену задачу визначення розподілу залишкових напружень у кусково–однорідних оболонках обертання та розвинуто теоретико–експериментальний метод їх дослідження з використанням аналітичних розв'язків і числових методів розв'язування ключових рівнянь;

- для циліндричної кусково–однорідної оболонки з поздовжньою тріщиною отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь щодо стрибків узагальнених переміщень та їх похідних на лінії розташування тріщини і на поверхнях поділу складових.

·

-

- визначення коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів при навантаженні берегів наскрізної тріщини сталими нормальними зусиллями;

- аналіз перерозподілу температурних і залишкових напружень, зумовленого наскрізною тріщиною;

- використання аналога –

- оцінку надійності функціонування склооболонкового елемента електровакуумного приладу (ЕВП), який під час виготовлення та експлуатації перебуває під впливом технологічних і експлуатаційних напружень.

Вірогідність основних наукових положень та отриманих результатів забезпечується строгістю постановок задач і використаних при отриманні основних рівнянь математичних методів; застосуванням до розв'язування систем інтегральних рівнянь апробованих для однорідних тіл числових методів; співставленням деяких часткових розв'язків з відомими у літературі, отриманими іншими аналітичними чи експериментальними методами; збігом результатів розв'язування оберненої задачі визначення залишкових напружень у кусково–однорідній циліндричній оболонці як числовим методом, так і з використанням аналітичного розв'язку ключового рівняння.

Практична цінність отриманих результатів полягає у можливості, у межах розробленого єдиного підходу, здійснити оцінку впливу різних чинників на міцність і деформативність кусково–однорідних елементів конструкцій з дефектами структури. Розроблені в роботі дві методики передані для використання зацікавленим організаціям: Інституту електрозварювання ім. Є.О.Патона НАН України – з визначення перерозподілу залишкових напружень у кусково–однорідній циліндричній оболонці з поздовжньою тріщиною; НДІ "Еротрон" – з проведення оцінки надійності функціонування склооболонкового елемента ЕВП.

Апробація результатів роботи. Основні результати досліджень доповідалися й обговорювалися на 1, 2 та 3–й Всесоюзних конференціях з механіки неоднорідних структур (Львів, 1983; 1987; 1991); 2–у Всесоюзному науково–технічному семінарі “Некласичні проблеми механіки композиційних матеріалів і конструкцій із них“ (Івано–Франківськ, 1984); 3–й Всесоюзній конференції “Міцність, жорсткість і технологічність композиційних матеріалів” (Запоріжжя, 1989); 7–й Всесоюзній конференції з механіки полімерних і композиційних матеріалів (Рига, 1990); 3–у Всесоюзному симпозіумі з механіки руйнування (Житомир, 1990); Всесоюзному науковому семінарі “Актуальні проблеми неоднорідної механіки” (Єреван, 1991); 7–у Всесоюзному з’їзді з теоретичної і прикладної механіки (Москва, 1991); 1, 2, 3 та 4–у Міжнародних симпозіумах Українських інженерів–механіків (Львів, 1993, 1995, 1997, 1999); 1–й Міжнародній конференції “Теорія наближення та задачі обчислювальної математики” (Дніпропетровськ, 1993); 8 і 9–й Міжнародних конференціях з механіки руйнування (Київ, 1993; Сідней, 1997); Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам'яті Ганса Гана (Чернівці, 1994); 3–у Міжнародному конгресі з промислової і прикладної математики (Гамбург, 1995); 4–й Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995); Міжнародній конференції “Крайові задачі термомеханіки” (Львів, 1996); 5–й Європейській конференції з функціональних матеріалів, процесів та застосувань (Маастрікт, 1997); 2–у Міжнародному симпозіумі з температурних напружень і споріднених напрямків (Рочестер, 1997); 5–й Міжнародній конференції із залишкових напружень (Лінкопінг, 1997); 3–й Європейській конференції з механіки деформівного твердого тіла (Стокгольм, 1997); Міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998); 12–й Європейській конференції з механіки руйнування (Шефілд, 1998); Міжнародній конференції “Зварювання і споріднені технології — в XXI століття” (Київ, 1998); 3–у Міжнародному конгресі з температурних напружень (Краків, 1999); 3–у Українсько–польському науковому симпозіумі “Змішані задачі механіки неоднорідних структур” (Львів, 1999); 2–й Міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 1999).

У повному обсязі робота доповідалася на семінарах відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України; на проблемному семінарі з механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України під керівництвом члена–кореспондента НАН України Г.С.Кіта; на семінарі із сучасних проблем механіки при Київському національному університеті ім. Т.Г.Шевченка під керівництвом академіка НАН України В.Т.Грінченка і члена–кореспондента НАН України А.Ф.Улітка; на об’єднаному семінарі Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за напрямком "Будівельна механіка оболонкових систем" під керівництвом академіка НАН України Я.М.Григоренка; на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. І.Я.Франка під керівництвом професора Д.В.Гриліцького та професора Г.Т.Сулима; на об’єднаному семінарі кафедр теоретичної та прикладної механіки, теорії пружності та обчислювальної математики Донецького державного університету під керівництвом академіка НАН України О.С.Космодаміанського і академіка НАН України В.П.Шевченка.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень, які відображені у дисертації, опубліковані у 32–ох наукових роботах [1–32], у тому числі у 21–й статті в наукових журналах і збірниках наукових праць, які входять до Переліку фахових видань ВАК України; у 6–ти матеріалах міжнародних семінарів, конференцій, конгресів і симпозіумів; у 5–х тезах доповідей вітчизняних і міжнародних з’їздів і конференцій. Всього за темою роботи опубліковано 47 наукових праць.

Основні результати роботи отримані автором самостійно. В усіх колективних публікаціях автору належить розробка і реалізація підходу, що ґрунтується на застосуванні методу узагальнених задач спряження для визначення напруженого стану тіл кусково–однорідної структури з власними напруженнями і дефектами структури. Зокрема, у статтях [1,2] —отримані рівняння термопружності складених пластинок і шаруватих тіл, розроблена методика їх розв'язування та реалізація її в аналітичному вигляді; у роботах [3,6] —участь у математичному моделюванні температурних залишкових напружень в оптичних волокнах і в одержанні системи ключових рівнянь, їх розв’язуванні та інтерпретації отриманих результатів; у статті [4] — з’ясування структури та єдиності розв’язку задачі теплопровідності для кусково–однорідного тіла; у роботі [5] — участь у математичному моделюванні механічних процесів у просторових тілах з власними напруженнями, отримані відповідні ключові рівняння в переміщеннях; у статтях [7,24,28] — розвиток методики розрахунку надійності на кусково–однорідні склооболонки, визначення в аналітичному вигляді температурних напружень і розробка алгоритму числового розрахунку надійності; у статті [9] — поширення методу узагальнених задач спряження на тіла дво– і тривимірної кусково–однорідної структури, зведення отриманих частково–вироджених диференціальних рівнянь термопружності для тіла з включеннями до граничних інтегральних рівнянь та участь у розробці схеми побудови їх розв’язку; у роботах [12,13,18,30] — участь у постановці задач, їх аналітичній і числовій реалізації; у статтях [17,27,31] — використання аналога –моделі Леонова–Панасюка–Дагдейла для дослідження граничної рівноваги пружнопластичних кусково–однорідних тіл з тріщинами, участь у моделюванні ненаскрізної тріщини у циліндричній оболонці і зведенні на цій основі тривимірної пружнопластичної задачі до двовимірної пружної, а також аналітичній і числовій реалізації задач; у публікаціях [23,26] — поширення методу узагальнених задач спряження на кусково–однорідні оболонки з тріщинами, участь у постановці задач і розробці методу розв'язування отриманих рівнянь зведенням їх до систем інтегральних рівнянь, у здійсненні частини аналітичних перетворень та інтерпретації отриманих результатів; у роботі [32] — участь у розробці та реалізації числово–експериментальної методики розв’язування обернених задач визначення залишкових напружень у кусково–однорідних оболонках обертання.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, восьми розділів, висновків, списку літератури із 334 назв і додатку. Загальний обсяг дисертації становить 285 сторінок, обсяг основної частини, включаючи 53 рисунки — 251 сторінку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми, обгрунтовано доцільність проведення досліджень та актуальність теми дисертації, сформульовано її мету, відзначено новизну отриманих результатів та їх практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи, і визначено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених за участю співавторів.

У першому розділі за літературними джерелами проаналізовано методи визначення і дослідження напружено–деформованого стану тіл кусково–однорідної структури, зумовленого як несумісними деформаціями (температурними, залишковими, дислокаційними тощо), так і внаслідок виникнення у них дефектів типу тріщин. Для досягнення цієї мети обгрунтовується вибір методу узагальнених задач спряження як певного універсального підходу, який дозволяє змоделювати, з використанням узагальнених функцій (зокрема, асиметричних одиничних), такі структури в цілому і розташування в них джерел цих деформацій та дефектів і проводити на основі отриманих за його допомогою рівнянь відповідні дослідження. Основна ідея методу полягає у виконанні математичної постановки узагальненої задачі спряження продовженням системи диференціальних рівнянь пружної рівноваги для однорідного тіла (шуканих та заданих функцій, коефіцієнтів цих рівнянь) на всю область, яку займає кусково–однорідне тіло, з урахуванням при цьому зв’язків між узагальненими та класичними похідними, а також умов контакту (зокрема, неідеального) на поверхнях спряження його однорідних складових.

Таким чином, для формулювання прямих та обернених задач визначення напруженого стану кусково–однорідних тіл з власними напруженнями та дефектами використовуються отримані за допомогою методу узагальнених задач спряження відповідні частково–вироджені диференціальні рівняння з розривними коефіцієнтами.

Другий розділ присвячений виведенню з використанням методу узагальнених задач спряження основних співвідношень і ключових рівнянь пружної рівноваги кусково–однорідних тіл із власними напруженнями та дефектами типу тріщин. Розроблена для цього методика базується на згаданій процедурі математичної постановки узагальненої задачі спряження, вихідними для якої вибираються відомі рівняння пружної рівноваги однорідних тіл із власними напруженнями, отримані з використанням методу дисторсій на основі подання компонент тензора повної деформації у вигляді

, . (1)

Тут  — компоненти тензора вільної від напружень деформації;  — компоненти тензора пружної деформації, які пов’язані з власними напруженнями законом Гука, тобто , де  — модуль пружності,  — коефіцієнт Пуассона,  — символ Кронекера.

Спочатку розглянуто шарувате тіло з власними напруженнями за неідеального механічного контакту на поверхнях поділу, яке моделюється як

, (2)

де ; і  — шукані і задані функції, а також фізико–механічні характеристики всього тіла та його k–ї складової (, , ) відповідно;  — асиметрична одинична функція.

З використанням методу узагальнених задач спряження на основі системи рівнянь пружної рівноваги в переміщеннях для однорідного тіла отримана система відповідних частково–вироджених диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами для цієї структури у вигляді:

, (3)

де і ,  — такі ж, як і для однорідного тіла, диференціальні оператори і праві частини рівнянь, але з розривними коефіцієнтами;  — функції, які містять стрибки компонент вектора переміщення та їх похідних на поверхнях поділу, а також –функцію і її похідні.

Для випадку, коли деформації зумовлені нерівномірним нагрівом маємо

, (4)

де  — температура тіла;  — температурний коефіцієнт лінійного розширення (ТКЛР).

Підставляючи (4) у систему рівнянь (3) для шаруватого тіла, отримано відповідні частково–вироджені диференціальні рівняння термопружності у переміщеннях як для статичної, так і для квазістатичної задач, оскільки час тут є параметром. Для випадку плоскої деформації вони є такими:

. (5)

При цьому, для знаходження функції температури , яка входить у праві частини цих рівнянь, за допомогою методу узагальнених задач спряження також отримане частково–вироджене диференціальне рівняння нестаціонарної задачі теплопровідності за неідеального теплового контакту на поверхнях поділу однорідних складових у вигляді

. (6)

Тут , і  — коефіцієнти теплопровідності, температуропровідності і коефіцієнт Пуассона відповідно, які, як і та , мають вигляд (2) при , ;  — густина внутрішніх джерел тепла;

, , ,

,

.

Для визначення стрибків функції температури і компонент вектора переміщень та їх похідних за координатою використовуємо умови неідеального термомеханічного контакту на поверхнях поділу, зокрема при з’єднанні складових шаруватого простору за допомогою тонких прошарків отримуємо такі вирази для стрибків функції температури та її похідної:

, (7)

де  — термічний опір поверхні ; .

Далі розглянуто тонку замкнуту циліндричну оболонку завтовшки , що складається зі з’єднаних різнорідних оболонок. Серединну поверхню оболонки радіуса віднесено до ортогональної криволінійної системи координат і прийнято, що на поверхнях спряження (де , ) складових оболонки виконуються умови ідеального механічного контакту. Така кусково–однорідна оболонка моделюється поданням (2) у координатах . Виконавши процедуру постановки узагальненої задачі спряження для системи диференціальних рівнянь пружної рівноваги однорідної циліндричної оболонки в переміщеннях, отримано відповідну систему частково–вироджених диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами для розглядуваної оболонки

. (8)

Тут і  — такі ж, як і для однорідної оболонки, диференціальні оператори і праві частини рівнянь, але з розривними коефіцієнтами;

;

;

;

; ; ;

.

У системі рівнянь (8) враховано лише неперервність компонент вектора переміщень і кута повороту на поверхнях поділу , а функції стрибків похідних від переміщень на цих поверхнях визначаються з решти умов ідеального механічного контакту

при . (9)

Подаючи у системі рівнянь (8) поле вільних деформацій у вигляді (4), отримано на її основі відповідну систему рівнянь термопружності для складеної циліндричної оболонки, у праві частини яких входять інтегральні характеристики температурного поля оболонки . Для їх знаходження також отримана за допомогою методу узагальнених задач спряження система частково–вироджених диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами.

Для кусково–однорідної циліндричної оболонки, що складається з двох з’єднаних півбезмежних оболонок з різних матеріалів і послаблена поздовжньою тріщиною завдовжки в одній із її складових з центром у початку системи координат, (, ), ставиться у відповідність, згідно з методом дисторсій, ідентична суцільна оболонка з розподіленими на лінії розміщення тріщини джерелами власних напружень () з невідомими густинами. Подаючи їх за допомогою узагальнених функцій через стрибки переміщень і кута повороту при переході через лінію тріщини як

, ,

, , (10)

для визначення зумовленого наявністю тріщини збуреного напруженого стану такої оболонки використовуємо систему рівнянь (8) при =2 з інтегральними характеристиками поля вільних деформацій у вигляді (10). Тут  — характеристична функція відрізка, на якому розміщена тріщина; ; .

Ця ж система частково–вироджених диференціальних рівнянь буде використана для знаходження напружень, які спричинені зосередженими на лінії розташування тріщини дислокаціями і дисклінаціями із заданими густинами , , і .

Для випадку, коли розглядувана оболонка нагрівається джерелами тепла або зовнішнім середовищем, досліджується перерозподіл температурних напружень, зумовлений поздовжньою тріщиною. Визначення збуреного термонапруженого стану здійснюється на основі системи рівнянь (8), в якій компоненти деформації серединної поверхні оболонки мають структуру

. (11)

Інтегральні характеристики збуреного температурного поля , які згідно з поданням (4) входять у формули (11), визначаємо із системи частково–вироджених диференціальних рівнянь. Вона отримується за допомогою методу дисторсій (оболонці з тріщиною ставиться у відповідність така ж суцільна оболонка з зосередженими на місті тріщини джерелами (термоізольована тріщина) або диполями (тріщина, на берегах якої підтримується задана температура) тепла) і методу узагальнених задач спряження. Вимагаючи такого розподілу густини джерел (диполів) тепла вздовж лінії тріщини, щоб зумовлене ними температурне полу тотожно співпадало зі збуреним, одержано:

, (12)

де ; , , , , ; , ,  — для термоізольованої тріщини; , ,  — у випадку, якщо на берегах тріщини підтримується задана температура.

З використанням цієї методики отримано також частково–вироджені диференціальні рівняння статичної задачі термопружності для тіла з різнорідними включеннями, які не перетинаються між собою, за умов неідеального термомеханічного контакту на поверхнях поділу складових.

У третьому розділі розроблено методи побудови розв’язків ключових рівнянь пружної рівноваги кусково–однорідних тіл, які є частково–виродженими диференціальними рівняннями з розривними коефіцієнтами. Їх знаходження здійснено безпосередньо на основі запропонованого способу побудови фундаментальної системи розв'язків звичайного однорідного диференціального рівняння з розривними коефіцієнтами (при використанні інтегральних перетворень до ключових рівнянь термопружності (5) і (6), а також при побудові –періодичної фундаментальної матриці переміщень для системи ключових рівнянь (8)) або зведенням до інтегральних рівнянь.

Зокрема, елементи такої матриці визначено як часткові розв'язки системи диференціальних рівнянь із розривними коефіцієнтами

, (13)

де  — диференціальні оператори системи рівнянь (8). Подаючи функцію і розв'язки системи рівнянь (13) у вигляді тригонометричних рядів за аргументом , отримано систему звичайних диференціальних рівнянь з кусково–сталими коефіцієнтами для відшукання невідомих елементів фундаментальної матриці переміщень. Знаходження розв'язків цієї системи здійснено з використанням вищезгаданої фундаментальної системи розв'язків. На основі побудованої таким чином –періодичної фундаментальної матриці переміщень записане, за допомогою операції згортки, інтегральне подання шуканих компонент вектора переміщень.

Для знаходження розв'язків відповідних рівнянь пружної рівноваги для тіла, яке містить різнорідні включення або послаблене тріщиною, необхідно попередньо звести їх до інтегральних рівнянь, а далі використовувати числові методи розв'язування. Зокрема, для кусково–однорідної циліндричної оболонки, послабленої в одній із складових поздовжньою тріщиною, підстановкою отриманих виразів переміщень при у співвідношення для визначення зусиль і моментів, а потім задоволенням відповідних умов на берегах тріщини і не використаних раніше умов контакту (9) на поверхнях поділу, отримано систему інтегральних рівнянь для відшукання невідомих функцій стрибків переміщень і їх похідних на лінії тріщини, а також на поверхні поділу різнорідних складових оболонки. Ця система інтегральних рівнянь для випадку симетричного відносно лінії тріщини зовнішнього навантаження має такий вигляд:

(14)

де ,

;

,

.

Тут і  — нормальне зусилля і згинальний момент від зовнішнього навантаження на лінії тріщини; та інші ядра є неперервними функціями. Перші два рівняння з системи рівнянь (14) є сингулярними, причому ця система розв’язується за таких додаткових умов:

. (15)

У випадку статичної задачі термопружності для тіла з різнорідними включеннями отримані системи граничних інтегральних рівнянь для визначення контактних теплових потоків і зусиль, які входять в інтегральні подання шуканих функцій температури і переміщень.

Четвертий розділ присвячений формулюванню (з використанням отриманих ключових частково–вироджених диференціальних рівнянь пружної рівноваги з розривними коефіцієнтами) умовно–коректної багатопараметричної оберненої задачі визначення залишкових технологічних напружень у кусково–однорідних оболонках обертання, які зумовлюються несумісністю поля вільних від напружень деформацій . Такий підхід до розрахунку залишкових напружень з використанням експериментальної інформації про їх конкретні значення або інтегральні характеристики частини їх компонент, яка отримується деякими неруйнівними фізичними методами, запропонований для однорідних оболонок Я.С.Підстригачем, В.А.Осадчуком та їх співробітниками як основа ефективного розрахунково–експериментального методу. Обернена задача сформульована відносно поля , оскільки врахування додаткової (апріорної) інформації про його вигляд дає, з використанням регуляризуючого алгоритму, спосіб побудови стійкого розв'язку цієї задачі на деякій компактній множині функцій відшуканням скінченної кількості невідомих параметрів. Їх визначення здійснюється мінімізацією функціоналу середньоквадратичних відхилень розрахункових і експериментальних значень. Розглянуто дві методики реалізації такого методу: з використанням аналітичних розв'язків ключових рівнянь або розв'язуванням їх числовими методами.

Для апробації цих методик розглянуто безмежну кусково–однорідну циліндричну склооболонку, яка утворена зварюванням встик її різнорідних складових, внаслідок чого у ній виникають певні залишкові напруження. Виходячи з особливостей зварювання і післязварювальної теплової обробки, прийняті припущення щодо можливості описання поля кульовим тензором і про виникнення осесиметричного напружено–деформованого стану. Для цього випадку система ключових диференціальних рівнянь (8) зведена до двох співвідношень і такого частково–виродженого диференціального рівняння для визначення функції прогину:

(16)

Тут невідомі функції і фізико–механічні характеристики і подаються у вигляді (2) при l=2, ; ; ; ; ; .

Для побудови регуляризуючого алгоритму розв’язку сформульованої на основі рівняння (16) умовно–коректної осесиметричної оберненої задачі взято до відома додаткову апріорну інформацію про якісний вигляд поля вільних залишкових деформацій від зварювання, а саме його обмеженість, локалізованість поблизу шва та можливість опису гладкою кусково–неперервною функцією. Це дає підстави вважати, що функція належить деякому компакту і може бути записана у вигляді

,

де  — поліноми з невідомими заздалегідь коефіцієнтами і  — границі області впливу . Отже, невідомою у рівнянні (16) є лише скінченна кількість параметрів, тому обернену задачу визначення поля вільних залишкових деформацій можна формулювати як задачу їх пошуку. Підставляючи такий вираз поля у рівняння (16), отримуємо остаточне ключове рівняння осесиметричної оберненої задачі для кусково–однорідної циліндричної оболонки із залишковими зварними напруженнями. Використовуючи побудовану фундаментальну систему розв’язків відповідного до (16) однорідного диференціального рівняння із кусково–сталими коефіцієнтами, знаходимо спершу загальний його розв’язок і вже на цій основі _залишкові напруження у довільній точці оболонки.

Для визначення невідомих параметрів , , використовуємо такий функціонал:

, (17)

де , , , ;

і  – експериментальні значення осьових напружень у низці нормальних до осі обертання оболонки перерізів на зовнішній і внутрішній поверхнях оболонки, а також середньоінтегральна по товщині оболонки різниця головних напружень;  — деякі вагові коефіцієнти. Мінімізуючи функціонал (17), одержуємо систему лінійних алгебричних рівнянь стосовно невідомих параметрів при заданих значеннях і , які є можливими із певних фізичних міркувань та забезпечення мінімальної величини цього функціоналу.

Для реалізації числово–експериментальної методики використано відому систему ключових рівнянь осесиметричної задачі для однорідної оболонки обертання з власними напруженнями, в якій ключові функції є кутами повороту нормалі до серединної поверхні оболонки, а введено на основі співвідношень для нормальних зусиль. Представивши у ключових рівняннях функції і як кубічні інтерполяційні сплайни та поле зварних залишкових деформацій заданими на проміжках і у формі зрізаних степеневих рядів кубічними сплайнами з невідомими коефіцієнтами, побудовано систему колокації. При цьому до ключових рівнянь приєднані рівняння, які отримані прирівнюванням розрахункових та експериментальних значень напружень, а також відповідні умови спряження і граничні умови. Невідомі коефіцієнти знаходимо мінімізацією функціоналу (17).

У п’ятому розділі досліджується термопружний стан тіл одновимірної і двовимірної кусково–однорідної структури. Розглянуто шаруватий півпростір зі з'єднаними через тонкі прошарки складовими, який нагрівається внутрішніми джерелами тепла так, що виконуються умови плоскої деформації. Визначення температурного поля в такій кусково–однорідній структурі при конвективному теплообміні через границю півпростору та зумовлених ним статичних температурних напружень проведено за допомогою інтегрального перетворення Фур’є на основі рівняння (6) для стаціонарного випадку і системи рівнянь в переміщеннях (5) з використанням умов неідеального теплового контакту, які приводять до виразів для стрибків функції температури та її похідної у вигляді (7), і отриманих Я.С.Підстригачем і Ю.М.Коляном умов термомеханічного контакту на поверхнях поділу. При цьому, побудувавши розв’язки одержаних звичайних диференціальних рівнянь з розривними та імпульсними коефіцієнтами на основі їх нормальних фундаментальних систем розв’язків, відшукання невідомих значень шуканих функцій та їх похідних зведено до розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь із трикутною матрицею. Проведені на цій основі числові дослідження розподілів температурних напружень для двошарового півпростору (бронза–вуглецева сталь) показали можливість підбору допустимих значень фізико–механічних характеристик прошарку відносно вимог щодо напружень на поверхні поділу.

Визначено, з використанням інтегрального перетворення Лапласа за часом, нестаціонарне температурне поле і зумовлені ним термопружні переміщення у двох стиснутих на безмежності зусиллями різнорідних півпросторах, між якими рухається зі сталою швидкістю та тертям паралельно до їх поверхонь кусково–однорідний прошарок. Зокрема, температурне поле, яке виникає у такій структурі внаслідок нестаціонарного фрекційного теплоутворення, знайдено шляхом розв’язування отриманого на основі (6) частково-виродженого диференціального рівняння

,

де  — коефіцієнти тертя між k–ю і ()–ю складовими та термічної провідності поверхні контакту відповідно; .

Проведено числовий аналіз розв’язку такої квазістатичної задачі термопружності шляхом відновлення оригіналів за зображеннями температури і термопружного переміщення з використанням спектрального методу обернення в базисі ортогональних многочленів Якобі. Дослідження, результати яких представлені на рис. і 2, проведені для тришарового (сталь–алюміній–сталь) простору при ; ;