КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Кушніревич Віталій Аркадійович
УДК 512
СУПЕРАЛГЕБРИ ЛЯЙБНИЦЯ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
01.01.06 - алгебра і теорія чисел
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ - 2000
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут" Міністерства освіти і науки України
Науковий керівник:
- доктор фіз.-мат наук, академік НАН України, професор Далецький Юрій Львович, Національний технічний університет України "КПІ", професор
Офіційні опоненти:
- доктор фіз.-мат наук, професор Дрозд Юрій Анатолійович
Київський університет імені Тараса Шевченка, професор
- кандидат фіз.-мат. наук Любашенко Володимир Васильович
Інститут математики НАН України, с.н.с.
Провідна установа: Львівський університет імені Івана Франка, механіко-математичний факультет, Міністерства освіти і науки України.
Захист відбудеться "2" жовтня 2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованної Вченої Ради Д26.001.18 при Київському університеті имені Тараса Шевченка за адресою:
03127, м.Київ - 127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58)
Автореферат розісланий "1" вересня 2000 р.
Вчений секретар
спеціалізованої Вченої Ради ___________ Петравчук А.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена розвитку формальної конструкції -системи, що була запропонована І.М.Гельфандом та Ю.Л.Далецьким як основа апарату некомутативної диференціальної геометрії. Можна розглядати -систему як алгебраїчну конструкцію, одним з представлень якої є апарат диференціальної геометрії гладкого многовиду: векторні поля, диференціальні форми та операції над ними. В цій конструкції є супералгеброю Лі, - множиною елементів, які називаються диференціалами.
Ідея такого узагальнення походить з серії робіт І.М.Гельфанда та Л.А.Дикого і І.М.Гельфанда, Ю.І.Маніна та М.О.Шубіна, в яких описана конструкція формального варіаційного числення, пристосована до дослідження нелінійних рівнянь математичної фізики, зокрема, рівняння Кортевега - де Фріза. Пізніше в роботах І.М.Гельфанда та І.Я.Дорфман цю конструкцію було використано для визначення дужки Пуассона на диференціальних 0- та 1-формах за допомогою дужки в алгебрі Лі та гамільтонових операторів. При цьому стало зрозумілим, що дужки Схоутена пов'язані з гамільтоновими операторами, які природно виникають в цій теорії.
Роботи І.М.Гельфанда, Ю.Л.Далецького та Б.Л.Цигана, розвивають теорію -систем у "супервипадку". Теорія супермноговидів є відносно новим напрямком в математиці, що синтезує математичний аналіз, диференціальну та алгебраїчну геометрію. Розвиток цієї теорії, і особливо тієї її частини, що пов'язана з теорією представлень супергруп і супералгебр Лі, викликаний важливими застосуваннями в фізиці. Цікаві конструкції та приклади містяться в роботах І.С.Красильщика, М.Дюбуа-Віолєтта, Р.Кернера та Дж.Мадора, І.Косманн-Шварцбах.
Наступним етапом розвитку теорії -систем є робота А.Кабрас та О.М.Виноградова, де запропоновано варіант визначення дужки Пуассона на всіх диференціальних формах та мультивекторних полях одночасно і роботи Ю.Л.Далецького та В.А.Кушніревича, де теорія розвивається на основі ідеї гамільтонового елемента, що є елементом супералгебри Лі, на відміну від гамільтонового оператора, який є "зовнішнім" об'єктом відносно неї. На цьому шляху автором дисертаційної роботи доведено, що аналогічна конструкція дозволяє побудувати дужки Пуассона на диференціальних формах і мультивекторних полях також у випадку, коли не є супералгеброю Лі, а лише супералгеброю Ляйбниця, яка відрізняється від супералгебри Лі відсутністю властивості косої симетрії дужки. Це узагальнення викликано з одного боку фізичними застосуваннями (цікава конструкція механіки була запропонована Й.Намбу і узагальнена Л.Тахтаджяном), а з іншого боку - спробою відповісти на питання, поставлене Ю.Л.Далецьким, чи можна побудувати аналогічну конструкцію у випадку супералгебри Намбу-Тахтаджяна, в якій дужка має аргументів. Виявилося, що відповідь на це питання позитивна. Автору дисертаційної роботи вдалося також побудувати нові серії прикладів супералгебр Намбу, які можливі лише в "супер"-теорії.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні результати даної дисертаційної роботи були отримані в рамках досліджень за науковими держбюджетними темами, що виконувались в Фізико-технічному інституті Національного технічного університету України "КПІ":
- №2329 (№ держреєстрації 0198U001076) "Формальні та стохастичні узагальнення диференціальної геометрії, що пов'язані з нелінійними рівняннями та нескінченновимірними функціями", 1998-1999;
- №2914 (№ держреєстрації 0196U004116) "Деякі алгебраїчні структури, що пов'язані з нелінійними рівняннями математичної фізики", 1996-1997.
Мета і задачі досліджень.
- Побудова аналогу теорії -систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця, зокрема побудова єдиним чином дужок Пуассона на всіх диференціальних формах і мультивекторних полях.
- Дослідження супералгебр Намбу у зв'язку з теорією --систем, пошук нових прикладів супералгебр Намбу.
- Опис одного класу гамільтонових елементів у формальному варіаційному численні.
Методи досліджень. Методи досліджень, використані в роботі, є універсальними загальноматематичними методами з використанням низки специфічних підходів, характерних для "суперматематики".
Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, отримані в дисертаційній роботі є новими:
- побудовано аналог теорії -систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця;
- введено нові поняття мультимодуля і мультикомплекса; використано їх для дослідження супералгебр Намбу у зв'язку з теорією -систем;
- за допомогою гамільтонових елементів введено нові серії дужок Пуассона;
- знайдено нові приклади супералгебр Намбу - узагальнені якобіани;
- на прикладі формального варіаційного числення описано важливий клас гамільтонових елементів.
Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, мають теоретичне значення. Розроблений аналог теорії -систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця, може бути використаний для дослідження певних проблем фізики та некомутативної геометрії. За допомогою нових серій дужок Пуассона широкий клас динамічних систем може бути представлений у гамільтоновій формі. Результати дослідження супералгебр Намбу можуть бути використані для опису динаміки складних фізичних об'єктів, фазовий простір яких має непарну вимірність. Нові приклади супералгебр Намбу цікаві з точки зору розширення класу об'єктів, що описуються згаданою конструкцією.
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані дисертантом самостійно при постійній увазі та підтримці з боку наукового керівника.
Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на алгебраїчному семінарі Київського Національного Університету ім. Тараса Шевченка, керівніки семінару професори Ю.Дрозд, В.Кириченко та В.Сущанський (Київ, 2000); науковому семінарі "Проблеми алгебри та функціонального аналізу" інституту математики Національної академії наук України, керівник семінару професор Ю.Самойленко (Київ, 1999); науковому семінарі кафедри геометрії університету м.Тарту, керівники семінару - професори М.Рахула, В.Абрамов (Тарту, Естонія, 1999); міжнародній науковій конференції "Вторинне диференціальне числення та когомологічна фізика" (Москва, Росія, 1998); Літній школі-конференції з некомутативної геометрії (Лісабон, Португалія, 1997); семінарі "Квантові групи" Політехнічної Школи, керівники семінару професори П.Карт'є, Г.Мальтсініотіс, І.Косманн-Шварцбах (Париж, Франція, 1996); 5-й Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 1996); Мінісеместрі "Квантові групи та квантові простори" Міжнарожного математичного Центру ім. С.Банаха (Варшава, Польща, 1995); Міжнародній конференції з топології та її застосувань (Київ, 1995); науковому семінарі "Алгебраїчні методи математичної фізики" кафедри математичних методів системного аналізу Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут", керівник семінару - академік Ю.Л.Далецький (періодично протягом 1994 - 1997 років).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 5-и статтях [1-4,6], препринті [5] та тезах міжнародних конференцій [7,8].
Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел із 48 найменувань. Загальний обсяг роботи 115 сторінок.
ЗМІСТ РОБОТИ
В дисертаційній роботі під супералгеброю Лі ми розуміємо -градуйовану супералгебру Лі над полем , характеристика якого не дорівнює 2, дужкою і функцією парності , причому дужка задовольняє співідношенню косої симетрії:
і тотожність Якобі
Значення функції парності () у загальному випадку - це цілочисельні вектори, - скалярний добуток. Елемент ми називаємо парним або непарним, якщо таким є число .
У вступі проаналізовано стан проблеми, зазначена актуальність дослідження супералгебр Ляйбниця, підкреслено їх важливість у застосуваннях, подана загальна характеристика новизни та теоретичної цінності одержаних результатів.
Перший розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню супералгебр Ляйбниця та Лі, зокрема тих операцій в них, що генеруються спеціальним елементом - диференціалом.
В підрозділі 1 розділу 1 вивчаються зв'язки між супералгебрами Ляйбниця та Лі. Лівою супералгеброю Ляйбниця називається градуйована супералгебра з бінарною операцією - дужкою, та функцією парності , які задовольняють тотожність Ляйбниця:
.
Зауважимо, що супералгебра Лі є супералгеброю Ляйбниця. Зворотнє твердження, взагалі кажучи, несправедливе. З'ясовується, що, незважаючи на відсутність косої симетрії дужки, слабка коса симетрія все ж має місце, тобто, якщо
,
то
,
.
Доводиться, що якщо є одночасно лівою та правою супералгеброю Ляйбниця, то в ній можна ввести структуру супералгебри Лі: нова дужка вводиться за формулою:
.
Підрозділ 2 розділу 1 присвячено дослідженню тих структур супералгебри Ляйбниця, які виникають відносно нової операції, що визначається за допомогою диференціала. А саме, нехай - непарний елемент (позначимо , ), що задовольняє рівність (він і називається диференціалом). Вводячи в білінійну операцію
, (1)
де , маємо важливе Твердження 1.1.
Твердження 1.1. Для будь-яких елементів парності , виконуються співвідношення:
Теорема 1.1. Нехай - супералгебра Ляйбниця і - диференціал. Тоді - супералгебра Ляйбниця; до того ж є гомоморфізм супералгебр Ляйбниця.
У випадку, коли вихідний об'єкт є супералгеброю Лі, з'ясовується питання про наявність структури супералгебри Лі відносно операції (1). В силу рівності
ми маємо дві конструкції структури супералгебри Лі. А саме:
Теорема 1.2. Якщо комутативна підалгебра Лі є інвариантна відносно операції , то - супералгебра Лі і - гомоморфізм супералгебр Лі.
Теорема 1.3. Нехай - ядро, а - образ приєднаної дії (). Тоді
(1) - ідеал відносно операції ;
(2) - супералгебра Лі; вона ізоморфна супералгебрі Лі , причому - цей ізоморфізм.
Підрозділ 3 розділу 1 містить означення модуля над супералгеброю Ляйбниця. є (лівим) модулем над супералгеброю Ляйбниця, якщо визначена ліва дія:
така що
, ,
Парі , де - супералгебра Ляйбниця, а - модуль над нею, канонічним чином співставляється комплекс , де за означенням ,
.
Диференціал визначається формулою:
Символ ^ означає відсутність відповідного елемента. Має місце
Твердження 1.2. .
Вводяться операції "вставки"
та "диференціювання вздовж векторного поля"
.
(Тут і надалі символом позначений звичайний суперкомутатор лінійних операторів ).
Властивості цих відображень дає Твердження 1.3.
Твердження 1.3. Справедливі наступні співвідношення:
(1)
(2) ,тобто;
(3) ;
(4) .
На основі введених об'єктів, будується нова супералгебра Ляйбниця, яка містить елементи вихідної супералгебри Ляйбниця, полілінійні відображення з неї в модуль (форми), елементи з образу оператора диференціювання вздовж векторного поля та оператор . Розглядається тензорна алгебра, що породжена цими елементами. Ця супералгебра Ляйбниця і є основним об'єктом теорії, що будується.
В заключній частині цього підрозділу міститься узагальнення понять модуля і комплекса над супералгеброю Ляйбниця. Нехай в визначена структура супералгебри Ляйбниця та дії , які лінійно залежать від параметра , що пробігає деякий лінійний простір , так що рівність виконується для кожного . Будемо говорити тоді, що задано мультимодуль над . Дужки, які породжені двома елементами , пов'язані між собою співвідношенням узгодженості
Ці узагальнення понять модуля та комплекса над супералгеброю Ляйбниця використовуються в підрозділі 2 розділу 3 у зв'язку з супералгебрами Намбу. Зокрема, для побудови нових прикладів супералгебр Намбу виявляється важливим побудова класів диференціалів, що комутують. Один з таких класів будується за допомогою Твердження 1.4.
Твердження 1.4. Нехай - мультимодуль над супералгеброю Ляйбниця () і - сім'я відповідних комплексів де Рама. Тоді виконуються співвідношення
(1) ;
(2) .
Підрозділ 4 розділу 1 присвячено вивченню абелевих розширень супералгебр Ляйбниця. Нехай - супералгебра Ляйбниця над полем , - -модуль. Абелеве розширення супералгебри Ляйбниця за допомогою - це коротка точна послідовність супералгебр Ляйбниця
де як -модулі. Дужка на визначається формулою
,
а парність наступним чином
і тоді
.
Твердження 1.5. є супералгеброю Ляйбниця тоді і тільки тоді, коли
(2)
Твердження 1.6. Якщо
(3)
де - довільна -лінійна функція, то умова (2) виконується.
Нехай позначає множину всіх -лінійних відображень таких, що виконується (2), а - множина таких , що задовольняють (3) для деякого -лінійного відображення .
Теорема 1.4. .
В підрозділі 5 розділу 1 вивчаються дужки, що генеруються на мультивекторних полях та векторнозначних формах за допомогою диференціала у тому випадку, коли вихідна супералгебра Ляйбниця є супералгеброю Лі. Досліджується також нова дужка, яка не співпадає із звуженням дужки на відповідний підпростір. Доводяться
Твердження 1.7. Простір мультивекторних полів має структуру супералгебри Лі . Її звуження на супералгебру Лі співпадає з . Дужка на визначається правилом Ляйбниця:
для , . Також має місце співвідношення
()
Твердження 1.8. Справедлива рівність
де
, .
Теорема 1.5. Дужка індукує структуру супералгебри Лі в :
.
Розділ 2 присвячено дослідженню гамільтонових елементів та гамільтонових відображень, їх взаємозв'язків, а також дужок Пуассона, що генеруються гамільтоновими елементами.
Підрозділ 1 розділу 2 містить означення гамільтонового елемента та властивості дужок, які ним породжуються. Ці властивості є наслідками результатів розділу 1 в силу того, що гамільтонові елементи - це диференціали спеціального типу.
Нехай - парний елемент супералгебри Ляйбниця . Розглянемо елементи вигляду .
Маємо . Щоб був диференціалом, досить поставити вимогу
.
(Більш загальною умовою є ). Елемент називається гамільтоновим, якщо він парний і є диференціалом.
Твердження 2.1.
(1) - диференціювання відносно операції ;
(2) - диференціювання відносно операції .
Твердження 2.2. - гомоморфізм супералгебр Ляйбниця.
В підрозділі 2 розділу 2 вивчаються умови, за яких бівекторне поле є
гамільтоновим елементом. Нехай задано бівекторне поле у вигляді
() (4)
Одну з достатніх умов гамільтоновісті такого елемента дає
Твердження 2.3. Нехай виконуються наступні співвідношення комутативності:
.
Тоді елемент вигляду (4) є гамільтоновим, причому
.
Дужки та , задані на , називаються дужками Пуассона.
Теорема 2.1. Нехай - гамільтонів елемент вигляду (4). Тоді і є супералгебрами Лі. Справедливі гомоморфізми і :
і
.
Далі вивчаються взаємозв'язки гамільтонових елементів і гамільтонових операторів. Відображення називається гамільтоновим, якщо воно здійснює наступний гомоморфізм:
.
При деяких умовах властивості і бути гамільтоновими взаємопов'язані.
Твердження 2.4. Справедливе наступне співвідношення
де і .
Теорема 2.2. Відображення є гамільтоновим при виконанні одніє з наступних умов:
a) комутативності: ;
b) якщо і , то ;
c) якщо і , то .
Розділ 3 присвячено дослідженню супералгебр Намбу у зв'язку з теорією, розвиненою у розділах 1 та 2. Зокрема, вивчаються структури супералгебр Лі, що природньо виникають при дослідженні супералгебр Намбу.
В підрозділі 1 розділу 3 показано, що вихідний об'єкт формальної диференціальної геометрії - супералгебра Ляйбниця (Лі) та модуль над нею - природно виникають в теорії супералгебр Намбу.
Нехай - -градуйований суперпростір. Фіксуємо в парність . Супералгеброю Намбу порядка 3 назвемо трійку , де - 3-лінійна операція (що називається дужкою Намбу), яка
1) є кососиметричною, тобто
2) задовольняє рівність
Тут .
Нехай - однорідний елемент парності . Тоді має структуру супералгебри Лі відносно дужки
.
Більш того, справедливе
Твердження 3.2. Структури супералгебр Лі та для різних та однакової парності , узгоджені в наступному сенсі:
Інша інтерпретація супералгебр Намбу подана в Теоремі 3.1.
Теорема 3.1. Розглянемо лінійний простір . Кожна з наступних формул
вводить в одну й ту ж структуру супералгебри Лі. При цьому стає -модулем.
Далі в цьому підрозділі описується комплекс , що природним чином виникає з цієї теореми.
В підрозділі 2 розділу 3 досліджуються структури мультимодулів та мультикомплексів у введених об'єктах. Зафіксуємо деякий елемент парності . Йому відповідає супералгебра Лі , яка є модулем над собою з приєднаною дією . Розглянемо -градуйовані суперпростори () -лінійних кососиметричних відображень. За означенням покладемо .
Представлення в просторі операторів над позначимо
.
При цьому
.
Позначимо з -градуюванням, тобто для та визначимо гомоморфізм суперпросторів
так що , , формулою
Парність цієї операції . Приписуючи -градуювання, де , ми маємо .
Визначимо в оператор парності , формулою
Оператор є диференціалом в і . є канонічним комплексом (де Рама) над супералгеброю Лі .
Нехай - два елементи однакової парності , . Їм відповідають супералгебри Лі . Над кожною з них можна побудувати комплекс де Рама та . Простори цих комплексів співпадають, комплекси відрізняються лише диференціалами. Справедливе
Твердження 3.4. .
Підрозділ 3 розділу 3 містить нові реалізації супералгебр Намбу - узагальнені якобіани. Ця конструкція релізується лише за умови переходу до супералгебр.
Нехай - комутативна супералгебра і - її диференціали, що комутують:
(для простоти ми тут взяли для всіх ). Наступний вираз
(5)
ми будемо називати узагальненим якобіаном порядку 3.
Твердження 3.5. Операція (5) задовольняє наступні співвідношення:
(1) кососиметричність:
(2) диференціювання відносно множення в супералгебрі
Теорема 3.2. Вираз (5) визначає структуру супералгебри Намбу в з дужкою .
Серію нетривіальних прикладів можна отримати на основі цієї теореми. А саме, нехай - комплекс, - зовнішня алгебра диференціалних форм. Для побудови узагальненого якобіана потрібно лише вибрати систему диференціалів, що комутують. З результатів попередніх параграфів випливає, що таких конструкцій є щонайменше дві:
1) (, );
2) (, ) для мультикомплекса (тобто простір диференціалів діє на ).
В розділі 4 розглядається нетривіальний приклад конструкції формальної диференціальної геометрії - формальне варіаційне числення. Нетривіальність полягає в тому, що модуль над супералгеброю Лі є лише модулем, але не є супералгеброю. Всі об'єкти, введені в розділах 1 та 2, розглядаються на цьому прикладі. Зокрема, досліджується вигляд гамільтонових елементів в такій теорії.
Нехай - множина символів, , , і не залежать від . Нехай - комутативна супералгебра поліномів від символів . Розглянемо диференціювання , . Лінійні комбінації ( ) утворюють супералгебру Лі диференціювань супералгебри з дужкою
.
Маючи супералгебру Лі і -модуль будується канонічний комплекс цієї пари.
В супералгебрі виділяється спеціальне диференціювання . Через позначається підсупералгебра Лі супералгебри Лі , що складається з диференціювань, що комутують з .
Лема 4.1. Супералгебра складається з диференціювань вигляду , де .
Таким чином, супералгебра Лі ототожнюється з наборами . Дужка Лі на обчислюється за формулою . Елементи називаються векторними полями.
Головний комплекс формального варіаційного числення вводиться наступним чином. Будемо вважати еквівалентною нулю, якщо є похідною Лі вздовж деякого елемента . Сукупність елементів, еквівалентних нулю, будемо позначати . Нехай .
Далі детально описуються для . З'ясовується, що елементи головного комплексу формального варіаційного числення можуть бути записані у деякому канонічному вигляді.
В заключній частині розділу описується важливий клас гамільтонових елементів . А саме, нехай . Тоді гамільтонів елемент задається матрицею , , , де .
ВИСНОВКИ
- побудовано аналог теорії -систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця;
- введено нові поняття мультимодуля і мультикомплекса; використано їх для дослідження супералгебр Намбу у зв'язку з теорією -систем;
- за допомогою гамільтонових елементів єдиним чином введено нові серії дужок Пуассона на диференціальних формах, диференціальних формах з векторними значеннями, мультивекторних полях тощо;
- знайдено нові приклади супералгебр Намбу - узагальнені якобіани;
- у формальному варіаційному численні описано важливий клас гамільтонових елементів.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В РОБОТАХ:
1. Далецкий Ю.Л., Кушниревич В.А. Дифференциальные структуры в супералгебре Ли // Укр. Матем. Журн. - 1996. - 48, вып. 4. - C. 435-442.
2. Далецкий Ю.Л., Кушниревич В.А. Включение алгебры Намбу-Тахтаджяна в структуру формальной дифференциальной геометрии. - Доповіді НАН України. - 1996. - № 4. - C 12-17.
3. Кушніревич В.А. Про гамільтонові елементи в формальному варіаційному численні. - Науковий вісник НТУУ "КПІ". - 1999. - № 3. - C. 134-136.
4. Daletskii Yu.L., Kushnirevitch V.A. Formal Differential Geometry and Nambu-Takhtajan Algebra. - Banach Center Publ. - 1997. - vol. 40. P. 293-302.
5. Daletskii Yu.L., Kushnirevitch V.A. Poisson and Nijenhuis Brackets for Differential Forms on Non-Commutative Manifold. - SFB 237. - Preprint Nr 274, Institut fьr Matematik, Ruhr-Universitдt-Bochum, September, 1995, 29 p.
6. Кушниревич В.А. Дифференциальные структуры в супералгебре Лейбница. Деп. в ГНТБ Украины 24.09.96, N 1836-Ук96.
7. Daletskii Yu.L., Kushnirevitch V.A. On Differential Structures in Lie Superalgebra. - Тезисы Международной конференции по топологии и ее приложениям (28 мая - 4 июня 1995 г.). - Институт математики НАН Украины, Киевский университет им. Т.Шевченко. - Киев, 1995. - С.14-15.
8. Кушніревич В.А. Алгебра Намбу-Тахтаджяна та формальна диференціальна геометрія. - П'ята Міжнародна Наукова Конференція ім. акад. М.Кравчука (16-18 травня 1996 р.). - Київ, 1996. С. 229.
Користуючись нагодою, автор дисертаційної роботи хотів би відзначити постійну увагу та підтримку з боку наукового керівника академіка Далецького Юрія Львовича. Його передчасна смерть є тяжкою втратою для української та світової науки.
Кушніревич В.А. Супералгебри Ляйбниця та їх застосування. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.
Дисертацію присвячено дослідженню супералгебр Ляйбниця. В рамках досліджень побудовано аналог теорії -систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця. Досліджено абелеві розширення супералгебр Ляйбниця. За допомогою вперше введених понять мультимодуля і мультикомплекса досліджено супералгебри Намбу у зв'язку з теорією -систем. За допомогою гамільтонових елементів єдиним чином введено нові серії дужок Пуассона на диференціальних формах, диференціальних формах з векторними значеннями, мультивекторних полях тощо. Знайдено нові приклади супералгебр Намбу - узагальнені якобіани. У формальному варіаційному численні як -системі описано важливий клас гамільтонових елементів.
Ключові слова: супералгебри Ляйбниця, супералгебри Лі, супералгебри Намбу, формальна диференціальна геометрія, дужки Пуассона, формальне варіаційне числення.
Кушниревич В.А. Супералгебры Лейбница и их применение. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.
Диссертационная работа включает введение, четыре раздела, выводы и список литературы из 48 наименований. Общий объем работы составляет 108 страниц машинописного текста.
Во введении проанализировано состояние проблемы, обоснована актуальность исследования супералгебр Лейбница, подчеркивается их важность в приложениях, дана общая характеристика новизны и теоретической ценности полученных результатов.
Первый раздел диссертационной работы посвящен исследованию супералгебр Лейбница и Ли, в частности тех операций в них, которые порождаются специальным элементом - дифференциалом. Доказываются теоремы о наличии структур супералгебр Лейбница и Ли относительно этих операций. Определяется модуль над супералгеброй Лейбница. Паре - супералгебра Лейбница и модуль над ней - каноническим образом сопоставляется комплекс. Впервые вводятся понятия мультимодуля и мультикомплекса. Изучаются абелевы расширения супералгебр Лейбница. Строится тензорная алгебра, однородными элементами которой являются элементы исходной супералгебры Лейбница, элементы канонического комплекса, построенного выше, дифференциал этого комплекса и элементы модуля, рассматриваемые как операторы представления. В ней вводится структура супералгебы Лейбница. Изучаются сужения операции в тензорной алгебре на подалгебры, в ней содержащиеся. В частности, на дифференциальные формы, мультивекторные поля, векторнозначные дифференциальные формы.
Во втором разделе определяются и исследуются гамильтоновы элементы и гамильтоновы отображения, их взаимосвязи. Гамильтонов элемент - это дифференциал специального типа. При помощи гамильтонового элемента определяются единым образом скобки Пуассона на дифференциальных формах, дифференциальных формах с векторными значениями, мультивекторных полях и т.д.
Третий раздел посвящен изучению супералгебр Намбу в связи с теорией, развитой в предыдущих разделах. В частности, изучаются структуры супералгебр Лейбница и Ли, естественно возникиющие при исследовании супералгебр Намбу. На этом пути строятся новые примеры супералгебр Намбу - обобщенные якобианы.
В заключительном, четвертом разделе, на примере формального вариационного исчисления изучаются введенные ранее объекты. В частности, исследуется один важный класс гамильтоновых элементов. Доказывается, что гамильтонов элемент может быть задан бесконечной матрицей. Выводятся формулы, выражающие остальные его компоненты.
Ключевые слова: супералгебры Лейбница, супералгебры Ли, супералгебры Намбу, формальная дифференциальная геометрия, скобки Пуассона, формальное вариационное исчисление.
Kushnirevitch V.A. Leibniz Superalgebras and their Applications. - Manuscript.
Thesis for a Philosophy Doctor Degree by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kiev Taras Shevchenko University, Kiev, 2000.
The dissertation is devoted to investigation of Leibniz superalgebra. The analog of -system for the case Leibniz superalgebra is built and Abelian extension of Leibniz suprealgebra is studied. Using new notion of multimodule and multicomplex Nambu superalgebra is investigated concerning to -system theory. New series of Poisson brackets are introduced. Universal method to construct Poisson bracket for differential forms, vector-valued differential forms, multivector fields, etc. On the base of Hamiltonian elements is proposed. New examples of Nambu superalgebras are found (generalized Jacobians). Certain class of Hamiltonian elements in formal calculus of variations theory is described.
Keywords: Leibniz superalgebra, Lie superalgebra, Nambu superalgebra, formal differential geometry, Poisson bracket, formal calculus of variations.
