НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК України

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я. С. Підстригача

КУХАРСЬКИЙ Віталій Михайлович

УДК 517.958:519.6

ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСІВ АДВЕКЦІЇ-ДИФУЗІЇ

У СЕРЕДОВИЩАХ ІЗ ТОНКИМИ НЕОДНОРІДНОСТЯМИ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

А В Т О Р Е Ф Е Р А Тдисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Савула Ярема Григорович,

Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор Сопронюк Федір Олексійович, Чернівецький державний університет ім. Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичних проблем управління і кібернетики;

кандидат фізико-математичних наук Чернуха Ольга Юріївна, Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, в. о. старшого наукового співробітника.

Провідна установа

Київський національний університет ім. Т. Шевченка, кафедра обчислювальної математики, Міністерство освіти та науки України.

3ахист відбудеться " 27 " листопада 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: 79053, м. Львів, вул. Наукова, 3”б”.

3 дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3”б”).

Автореферат розісланий " 23 " жовтня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук Шевчук П. Р.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Серед сучасних проблем математичного моделювання важливе місце посідає дослідження процесів адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах. Це пов’язано із широким спектром застосувань математичних моделей, що описують такі явища, при розв’язуванні задач мікроелектроніки, гідродинаміки, фізіології, перенесення забруднень у ґрунтах та інших задачах екології, тощо. Для багатьох досліджуваних областей характерними особливостями є наявність у них тонких прошарків чи каналів із відмінними від основного середовища властивостями. Такі неоднорідності породжують значні труднощі при використанні відомих підходів до розв’язання згаданих задач. Крім цього, більшість задач такого класу передбачає ще й відмінності у типах перенесення субстанції у тонких прошарках чи каналах. Найпростішою з них є існування поряд із дифузійним перенесенням – адвективного. Це характерно, наприклад, для середовища ґрунту з колодязями, залишками кореневих систем у задачах екології, для кровоносної системи організму людини при дослідженні перерозподілу кисню у задачах фізіології і т.п. Незначне ускладнення формул на етапі побудови математичної моделі, пов’язане із врахуванням адвекції у тонких включеннях, може приводити до надскладних проблем при застосуванні чисельних методів.

В даний час у теорії чисельних методів розв’язування задач математичної фізики найбільш глибокі й довершені результати отримані при розгляді задач із самоспряженими операторами. Це відноситься як до методів, які базуються на скінченнорізницевих апроксимаціях, так і до методів на основі скінченно-елементних апроксимацій. Стосовно до задач із несамоспряженими операторами, до яких відноситься задача адвекції-дифузії, виникають проблеми, пов’язані зі стійкістю та збіжністю чисельних схем.

Дисертаційна робота присвячена побудові та дослідженню математичних моделей та чисельних алгоритмів розв’язування важливих у практиці задач адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах чи осесиметричних каналах та середовищах з ними, що описуються системами параболічних рівнянь з диференціальними операторами різної вимірності за просторовими змінними.

Моделі такого типу відносяться до, так званих, гетерогенних (multifields). У роботах A.Quarteroni вводиться і обгрунтовується підхід, який полягає у розробці таких моделей, що дає можливість зменшувати значні складнощі, які з’являються при чисельному розв’язуванні широкого класу практичних задач, що описуються диференціальними рівняннями у часткових похідних. Використання гетерогенного підходу породжується однією із трьох наступних причин:

§

§

§

В запропонованих у дисертаційній роботі гетерогенних моделях рівняння адвекції-дифузії пониженої вимірності у тонкому включенні й дифузії – в середовищі поєднуються умовами спряження. Таким чином, шляхом додавання до них початкових та граничних умов, отримується нова математична модель, що описується початково-крайовою задачею для системи диференціальних рівнянь у часткових похідних.

Існують альтернативні підходи до побудови математичних моделей задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідними включеннями. Відомими у цьому напрямку є роботи вітчизняних авторів І.В.Сергієнка, В.В.Скопецького, В.С.Дейнеки, І.І.Ляшка, І.М.Молчанова, Т.Ю.Благовіщенської, присвячені конструюванню математичних моделей впливу тонких включень на процеси дифузійного перенесення в областях складної структури. В.В.Скопецьким та В.С.Дейнекою були розроблені моделі, що враховують вплив довільно орієнтованих тонких включень на дифузійні процеси в оточуючих середовищах через спеціальний вигляд умов спряження, які одержали назву неоднорідних умов спряження неідеального контакту. При цьому постановка задач одержала вигляд змішаної крайової задачі з можливими розривами у розв’язку та потоці.

Відомими роботами у напрямку моделювання процесів поведінки розв’язку задач адвекції-дифузії у тонких покриттях та включеннях є праці Я.С.Підстригача, Г.С.Кіта, М.Г. Крівцуна, П.Р.Шевчука, Н.П.Флейшмана. У цих роботах процес перенесення субстанції у тонкому покритті моделювався шляхом запису спеціальних граничних умов. Я.Г.Савулою, І.І.Дияком була запропонована математична модель тепломасоперенесення у середовищах із тонкими неоднорідностями та покриттями, що описувалася некласичною початково-крайовою задачею, яка складається із системи рівнянь математичної фізики, що містять диференціальні оператори різної вимірності за просторовими змінними.

Ефективне розв’язування розглядуваних початково-крайових задач можливе при використанні таких потужних чисельних методів як варіаційно-різницевий метод (ВРМ) та метод скінченних елементів (МСЕ), які часто об’єднують під назвою ”проекційно-сіткових” методів. Значний вклад у розвиток цих методів внесли I.Babushka, O.Zienkievich, А.Г.Агошков, Г.І.Марчук, С.Г.Міхлін, J.T.Oden, К.Ректорис, А.А.Самарський.

На даний час немає серйозної альтернативи рекурентним схемам інтегрування варіаційних задач у часі. Тому в роботі використовуються відомі підходи, описані в працях К.Бате, Є.Вілсона, А.А.Самарського, Г.І.Марчука, T.J.R.Huges.

Різниця у способах перенесення у включеннях та середовищі породжує значні незручності при чисельному розв’язуванні задач пов’язані з відомим проявом нестійкості чисельних схем при розв’язуванні багатьох реальних задач. Причиною цієї нестійкості є перевага адвективного перенесення над дифузійним, що характеризується числом Пекле. У сучасній літературі роботи з дослідженням проблем удосконалення та покращення проекційно-сіткових методів для таких задач є достатньо популярними. У цьому напрямку відомими є праці наступних авторів: J.M.Bettencourt, J.C.Zienkiewicz, G.Cantin, F.Brezzi, L.P.Franka, A.Russo, M.Bristeau, M.Mallet, C.Canuto, I.Christie, D.F.Griffiths, A.R.Mitchell, I.Douglas, G.Duppont, A.Nesliturk, M.Stynes, Ch.Farhat, M.Lesoinne, S.L.Frey, T.J.R.Hughes, R.Stenberg, R.Ganesan, N.J.Salamon N.J.,B.Guo, I.Babyska, R.J.Hanks, S.R.Idelsohn, J.C.Heinrich, E.Onate, T.J.Oden, L.C.Wrobel, H.Power, E.Rank, J.S.Sandhu, F.G.C.Valentin, M.Zerroukat, Г.А.Шинкаренка.

Отже, побудова математичних моделей задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими включеннями, варіаційне їх формулювання, дослідження існування та єдиності розв’язків варіаційних задач, конструювання чисельних схем їх розв’язування є актуальною і важливою прикладною задачею.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Частина одержаних дисертантом наукових і практичних результатів розроблена в рамках планів наукових досліджень та держбюджетної тематики кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, а саме:

§

§

Метою даної роботи є побудова та дослідження математичних моделей нестаціонарних процесів адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідними включеннями.

Для досягнення цієї мети в процесі досліджень вирішувались наступні задачі:

Ш формулювання нових математичних моделей нестаціонарних процесів адвекції дифузії у тонких включеннях та середовищах із ними;

Ш постановка відповідних варіаційних задач та обґрунтування їх коректності;

Ш розробка чисельних алгоритмів із залученням апроксимацій методу скінченних елементів за просторовими змінними та однокрокових рекурентних схем інтегрування за змінною часу;

Ш дослідження задач з великими числами Пекле;

Ш оцінка точності та збіжності наближених розв’язків основних класів задач;

Ш побудова програмного забезпечення для розв’язання поставлених задач.

Наукова новизна одержаних результатів:

Ш отримано гетерогенні математичні моделі нестаціонарної адвекції-дифузії у середовищах із включеним тонким криволінійним шаром чи осесиметричним каналом;

Ш в областях тонких включень (криволінійному шарі й осесиметричному каналі) та в середовищах із ними побудовано варіаційні задачі та досліджено їх коректність;

Ш здійснено розробку чисельних алгоритмів із використанням напівдискретизацій Гальоркіна та однокрокових рекурентних схем інтегрування за змінною часу;

Ш проведено аналіз можливостей використання запропонованих чисельних схем до реальних задач із великими числами Пекле та запропоновано методики їх удосконалення;

Ш розроблено комплекс прикладних програм, що дозволяють визначати концентрацію субстанції у середовищах описаного типу.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується математичною строгістю й коректністю постановок задач, фізичною інтерпретацією отриманих чисельних результатів та їх узгодженням із відомими у літературі теоретичними та експериментальними даними, а також аналізом поведінки наближених розв’язків на різних просторових сітках та в часі.

Практичне значення одержаних результатів полягає в побудові та обґрунтуванні математичних моделей процесів адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах чи осесиметричних каналах та середовищах із неоднорідними включеннями у вигляді таких шарів чи каналів, що можуть використовуватися при моделюванні багатьох фізичних явищ. Створений комплекс програм може застосовуватися до розрахунку полів концентрацій субстанції: у тонких криволінійних і осесиметричних областях із врахуванням адвекції та дифузії; у середовищах із включеними тонким криволінійним шаром чи осесиметричним каналом.

Особистий внесок здобувача у роботах, виконаних у співавторстві, полягає в участі у постановці математичних задач, розробці чисельних алгоритмів, програмній реалізації проблемних модулів, інтерпретації отриманих чисельних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на: Всеукраїнських наукових конференціях “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1994, 1995), Міжнародній науково-технічній конференції “Досвід розробки та застосування приладо-технологічних САПР мікроелектроніки” (Львів, 1995), Міжнародній конференції ”Теорія апроксимацій та чисельні методи” (Рівне, 1996), міжнародному симпозіумі “Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища” (Алушта, 1996), наукових семінарах кафедри прикладної математики і міжкафедральному семінарі факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка, розширеному засіданні наукового семінару відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України.

Публікації

За результатами роботи опубліковано 9 наукових праць, у тому числі 4 статті та 5 тез конференцій.

Структура та обсяг праці. Дисертаційна робота складається із вступу, п’ятьох розділів, висновків та списку використаної літератури. Загальний обсяг роботи складає 152 сторінки машинописного тексту. Бібліографія містить 208 найменувань літературних джерел. Текст дисертації включає 28 рисунків та 3 таблиці.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність теми, сформульована мета досліджень, наукова новизна отриманих результатів, дається короткий огляд основних робіт за темою дисертаційної роботи та анотація отриманих результатів.

У першому розділі проведено характеристичний аналіз сучасного стану проблем математичного моделювання у задачах адвекції-дифузії для середовищ із тонкими неоднорідними включеннями. Здійснено огляд різних підходів до розв’язання таких задач та запропоновано гетерогенний підхід, який дозволяє уникати багатьох складностей, що виникають при дослідженні явищ адвекції-дифузії у середовищах вказаного типу. У цьому розділі звернено увагу також на практичну важливість урахування адвекції в областях тонких включень. При цьому зазначено, що така особливість перенесення приводить до значних проблем на етапі використання чисельних методів. Обговорено відомі шляхи подолання цих проблем і виділено найбільш ефективні та нові.

У другому розділі побудовано математичні моделі адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах та осесиметричних каналах, а також у середовищах із ними на прикладі задачі теплопровідності.

У криволінійних координатах , пов’язаних з серединною кривою

(1)

розглядається шар (рис.1)

(2)

Вважатимемо заданим у системі координат вектор , що характеризує швидкість адвективного перенесення тепла . При цьому відмітимо, що у такому поданні вектор швидкості задовольняє рівняння нерозривності .

Запишемо рівняння теплопровідності в області

(3)

де

– функція розподілу температури,

– об’ємна теплоємність, ,

– питома теплоємність, ,

– густина, ,

– коефіцієнт теплопровідності, ,

– інтенсивність теплових джерел, .

Рис.1. Середовище із включеним тонким криволінійним шаром

Розподіл температури Т, враховуючи малу товщину шару, подамо у вигляді лінійного закону за змінною

(4)

де невідомі функції, h – півтовщина шару.

Нехай

, – теплові потоки на та відповідно,

тоді основні співвідношення початково-крайової задачі із крайовими умовами теплообміну за Ньютоном допускають векторне подання

(5)

крайові умови –

(6)

(7)

початкові умови –

(8)

де ,– коефіцієнт Ляме кривої (1),

кривизна кривої (1).

Математична модель адвекції-дифузії у плоскому та осесиметричному каналах. При побудові математичної моделі адвекції-дифузії у тонкому плоскому симетричному та осесиметричному каналі (рис.2)

,

зважаючи на малу товщину каналу, зроблено припущення ,

У таких припущеннях математична модель адвекції-дифузії у плоскому та осесиметричному каналах (див. рис.2) включає основне рівняння

(9)

де

, –

у випадку плоскої задачі, – у випадку осесиметричної задачі,

граничні умови

(10)

та початкову умову

(11)

Рис.2. Половина перетину середовища з осесиметричним каналом

Гетерогенна математична модель адвекції-дифузії у середовищі із включеним тонким криволінійним шаром (див. рис.1) включає співвідношення отримані для тонкого криволінійного каналу (1.5), рівняння теплопровідності в областях

(12)

(13)

умови спряження на спільних границях областей та

(14)

(15)

граничні умови (6), (7) та на границях області і області

(16)

(17)

а також початкові умови в (8) та

(18)

(19)

Тут – довжина проміжку часу, – шукані розподіли температур в відповідно, , – коефіцієнти тепло-провідності у середовищах , , – об'ємні теплоємності в , – інтенсивності теплових джерел в відповідно.

Гетерогенна математична модель адвекції-дифузії у середовищі з тонким осесиметричним каналом. Ключова система двовимірної задачі (плоска та осесиметрична задачі) теплопровідності в середовищі з каналом товщини вздовж осі (див. рис.2) включає рівняння (9), співвідношення

(20)

де – для плоскої задачі, ,– для осесиметричної задачі,

граничні умови (10) та

(21)

(22)

(23)

умови спряження

(24)

початкові умови (11) та

(25)

У третьому розділі побудовано варіаційні постановки задач.

Варіаційна постановка задачі адвекції-дифузії у тонкому криволінійному шарі.

Знайти вектор-функцію де , таку що

(26)

(27)

де

Розглядається також частковий випадок стаціонарної задачі.

Знайти вектор-функцію де таку, що

де

(28)

Теорема 1

Нехай – неперервна функція, така що , тоді розв’язок задачі (28) існує і єдиний .

Варіаційна постановка задачі адвекції-дифузії у тонкому осесиметричному каналі.

Знайти функцію , таку що

(29)

(30)

У випадку стаціонарної задачі варіаційна постановка задачі матиме наступний вигляд:

знайти функцію , таку що

(31)

Теорема 2

Розв’язок задачі (31) існує і єдиний .

Варіаційна постановка задачі адвекції-дифузії у середовищі з тонким включеним криволінійним шаром.

(32)

(33)

на на ,

на на ,

.

Теорема 3

Нехай , – неперервна функція,така що , тоді при кожному існує єдиний розв’язок задачі (32)-(33), неперервно диференційовний за змінною для довільних .

Варіаційна постановка задачі адвекції-дифузії у середовищі з тонким осесиметричним каналом.

Знайти , такі що

(34)

(35)

на

(36)

де

Теорема 4

Нехай , тоді при кожному існує єдиний розв’язок задачі (34)-(36), неперервно диференційовний за змінною для довільних .

У четвертому розділі приводяться особливості використання методу скінченних елементів та скінченних різниць при дослідженні сформульованих задач, записується дискретизована задача для тонкого криволінійного шару.

Знайти , такі що

(37)

(38)

де невідомою залишається лише поведінка розв’язку в часі, тобто вектори з невідомими функціями часу.

На прикладі цієї задачі досліджуються питання збіжності та стійкості запропонованих схем.

Теорема 5

Нехай де – єдиний неперервний за змінною розв’язок задачі (26)-(27) і нехай де – напівдискретне наближення методу Гальоркіна. Тоді, якщо для кожного ,

,

де .

Використання напівдискретизаційної процедури Гальоркіна приводить до розв’язання матричної задачі Коші

(39)

(40)

Цю задачу пропонується розв’язувати використовуючи різницеву схему Кранка-Ніколсона.

У п’ятому розділі розглядаються h-p-адаптивні схеми чисельного розв’язування задач із домінуючою адвекцією, наводяться результати, що демонструють їх ефективність. У цьому ж розділі пропонується модифікація одного з найсучасніших стабілізаційних методів чисельного розв’язування задач із значною перевагою адвективного перенесення над дифузійним, а саме модифікований метод залишково вільних бульбашок. Також приводиться порівняння результатів отриманих із застосуванням цього методу з результатами отриманими шляхом використання апроксимацій вищих порядків.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Стан питання. Проблема дослідження процесів адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах, які описують різні фізичні явища в науці й техніці являє собою складну математичну задачу. Її розв’язанню присвячена велика кількість наукових праць, розвинуто ряд підходів, зокрема, таких, які базуються на застосуванні потужних чисельних методів, якими є метод скінчених елементів та метод скінчених різниць. Один із важливих підходів до дослідження задач адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах базується на використанні гетерогенних математичних моделей. У рамках цього підходу в дисертаційній роботі розв’язується наукове завдання побудови та дослідження математичних моделей адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями.

При цьому в роботі отримані такі основні результати.

I. Запропоновані математичні моделі пониженої вимірності задач адвекції-дифузії в областях тонких включень у вигляді криволінійних шарів чи осесиметричних каналів. Вони забезпечують врахування малої товщини включень, дають можливість отримати ефективні алгоритми розв’язування задач у тонких областях та отримати чисельні розв’язки на їх основі. Важливо також, що їх використання дає можливість у достатньо простий спосіб побудувати математичні моделі у середовищах із включеними тонкими неоднорідностями шляхом введення спеціальних умов спряження на границях з основним середовищем.

II. Побудовані гетерогенні математичні моделі задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями у вигляді тонких криволінійних шарів та осесиметричних каналів. Гетерогенний характер цих моделей обумовлений різною вимірністю ключових рівнянь в основному середовищі та включенні, а також різною фізичною природою перенесення в основному середовищі (дифузія) та включенні (адвекція-дифузія). На етапі побудови алгоритмів чисельних методів їх гетерогенність обумовлена також використанням скінченно-елементних апроксимацій різної вимірності.

III. На основі сформульованих математичних моделей адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах чи осесиметричних каналах побудовані варіаційні постановки та досліджено питання їх коректності у вигляді сформульованих теорем існування та єдиності слабкого розв’язку.

IV. Побудовані та досліджені відповідні гетерогенні варіаційні постановки задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими включеннями. Сформульовані та доведені теореми існування та єдності слабкого розв’язку, а також теореми про збіжність і стійкість чисельних схем.

V. На основі варіаційного підходу розроблені алгоритми розв’язування всіх сформульованих задач. Реалізація цих алгоритмів здійснена на мові С++ у вигляді пакетів прикладних програм. Використовуючи створене програмне забезпечення, розглянуто ряд тестових задач, на яких досліджено питання чисельної реалізації методів скінчених елементів та скінчених різниць, отримано та проаналізовано чисельні розв’язки.

VI. Запропоновано варіанти стабілізації чисельних схем для задач адвекції-дифузії з домінуючою адвекцією (задач із великими числами Пекле). Розроблено метод стабілізації чисельних схем із застосуванням апроксимацій високих порядків, що будуються на основі використання поліномів Лежандра та модифікований стабілізаційний метод залишково вільних бульбашок (МСМЗВБ) на основі відомого стабілізаційного методу residual free bubble (RFB, CМЗВБ) із більш широким спектром застосування. Порівняльний аналіз алгоритмів стабілізації для задач із великими числами Пекле показав, що найбільш ефективним підходом до чисельної реалізації гетерогенної математичної моделі для задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями є підхід, що базується на використанні апроксимацій високих порядків.

З точки зору практичного значення та розширення сфери подальшого використання запропонованих гетерогенних моделей можна розглядати також задачі адвекції-дифузії у середовищах, складовими частинами яких вважаються області побудованих моделей, тобто у середовищах із багатьма включеними шарами чи каналами достатньо віддаленими один від одного. Реальні потреби у моделюванні процесів у таких середовищах диктуються, наприклад, задачами перенесення забруднень у ґрунтах, задачами теплоперенесення у технічних пристроях, таких як теплообмінники, і т.п.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Кухарський В.М. Чисельне дослідження задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2000.

У дисертації розроблено методику чисельного дослідження нестаціонарних процесів адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями у вигляді криволінійних шарів чи осесиметричних каналів. При цьому запропоновано гетерогенні математичні моделі, які передбачають пониження вимірності ключових співвідношень в областях тонких включень. Чисельне розв’язання задач передбачає використання варіаційного підходу, згідно якого побудовано відповідні постановки та досліджено питання їх коректності. У розробленій схемі розв’язання сформульованих задач використовується метод скінченних елементів. Розглянуто питання стабілізації чисельних схем при дослідженні процесів із домінуючою адвекцією. Побудовані алгоритми реалізовано у вигляді відповідного програмного забезпечення, на основі якого отримано ряд тестових і практично важливих результатів.

Ключові слова: адвекція-дифузія, неоднорідне середовище, тонке включення, метод скінчених елементів, домінуюча адвекція.

Kukharskiy V.M. Numerical research of advection-diffusion problem in environments with thin heterogeneity. – Manuscript.

An application thesis for obtaining the candidate of physical and mathematical sciences fellowship by speciality 01.05.02 – mathematical modeling and computational methods. – The Institute of applied problems of mechanics and mathematics name after Ya.S. Pidstrigatch of National Academy of Science of Ukraine, Lviv, 2000.

In the thesis a technique of numerical research of non-stationary processes of advection-diffusion in the environments with fine heterogeneities in the form of curvilinear layers or axisymmetric channels is designed. With this purpose heterogeneous mathematical models are proposed which provide decrease in dimensions of key relations in the regions of fine inclusions. Numerical problem solving implies using the variational approach, according to which the appropriate settings of the problems are constructed and the questions of their correctness is researched. The designed scheme of solving the considered problems implies using a finite element method. The questions of stabilization of numerical schemes for the problems with dominating advection are researched. The constructed algorithms are implemented as the appropriate software, on the basis of which a number of test and practically important results is obtained.

Keywords: advection - diffusion, nonuniform medium, fine inclusion, finite element method, dominating advection.

Кухарский В.М. Численное исследование задач адвекции-диффузии в средах из тонкими неоднородностьями. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт прикладных проблем механики и математики имени Я.С.Пидстрыгача НАН Украины, Львов, 2000.

В диссертации разработана методика численного исследования нестационарных процессов адвекции-диффузии в средах из тонкими неодно-родностьями в виде криволинейных слоев или оссесиметрических каналов.

Она предусматривает построение гетерогенных математических моделей, в которых используется понижение размерности разрешающих уравнений в областях тонких включений. В результате процессы адвекции-диффузии в средах с тонкими неоднородными включениями описываются системами параболических уравнений с дифференциальными операторами разной мерности по пространственным переменным.

В предложенных математических моделях уравнения адвекции-диффузии пониженной размерности в тонком включении и диффузии – в среде объединяются условиями сопряжения. Путем прибавления к ним начальных и граничных условий, получена новая математическую модель, которая описывается начально-краевой задачей для системы дифференциальных уравнений. Для построенных гетерогенных моделей записаны и исследованы вариационные постановки задач. В рамках этих моделей удается избежать значительных трудностей, которые возникают на этапе использования численных методов.

Для численного решения поставленных задач применяется вариационный подход, согласно которому построены соответствующие вариационные постановки задач и исследованы вопросы их корректности. При этом полученные вариационные постановки задач адвекции-диффузии в тонких криволинейных слоях, оссесиметрических каналах и средах которые их содержат. Для них сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решений, априорно исследованы вопросы устойчивости и сходимости численных схем.

Разработанная схема решения сформулированных задач предусматривает использование метода конечных элементов. При построении приближенного решения в соответствии с этим методом в одномерных областях были использованы квадратичные, а в двумерных областях – биквадратичные аппроксимации. Для увеличения точности расчетов были введены базовые функции высших порядков, построенные на основе полиномов Лежандра. Для каждого конечного элемента они были получены путем добавления дополнительных внутренних функций (bubble functioins) к линейным в одномерном случае, краевых и внутренних к билинейным в двумерном случае. При интегрировании использовались квадратурные формулы Гаусса. Дискретизация вариационных задач во времени осуществлялась на основе безусловно устойчивой разностной схемы Кранка-Николсона.

Рассмотрен вопрос стабилизации численных схем при анализе процессов с доминирующей адвекцией. При этом исследована эффективность использования высоких порядков аппроксимаций, построенных на основе полиномов Лежандра и сгущения пространственной сетки (h-p-аппроксимаций) для погашения осцилляций решений, которые возникают при решении таких задач. На основе анализа известных современных алгоритмов стабилизации численных схем метода конечных элементов решение задач адвекции-диффузии при преимуществе адвективного переноса над диффузным разработана модификация одного из таких методов, а собственно, метода residual free bubbles. Эта модификация получила название модифицированного метода residual free bubbles, а ее использование дало возможность значительно расширить область применения базового метода. В работе приведены сравнения разработанного метода с результатами полученными с использованием h-p-аппроксимаций, на основе чего сделан ряд важных выводов о возможности дальнейшего его использования. При этом отмечена бесспорная эффективность модифицированного метода residual free bubbles для решения одномерных задач адвекции-диффузии и возможности его внедрения в двумерные схемы метода конечных элементов

Построенные алгоритмы реализованы в виде соответствующего программного обеспечения, на основе которого получен ряд тестовых и практически важных результатов. Созданный комплекс программ может применяться к расчету полей концентраций субстанции: в тонких криволинейных и оссесиметрических областях с учетом адвекции и диффузии; в средах с включенным тонким криволинейным пластом или оссесиметрическим каналом.

Ключевые слова: адвекция-диффузия, неоднородная среда, тонкое включение, метод конечных элементов, доминирующая адвекция.