Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Лавренюк Ярослав Васильович

УДК 512.54

ШАРОВО-ТРАНЗИТИВНІ ГРУПИ АВТОМОРФІЗМІВ КОРЕНЕВИХ ДЕРЕВ

01.01.06 — алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ — 2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович, доктор

фізико-математичних наук, професор, завідувач

кафедpою алгебpи і математичної логіки

Київського національного унівеpситету

імені Таpаса Шевченка, м.Київ

Офіційні опоненти:

СИСАК Ярослав Прокопович, доктор

фізико-математичних наук, пpовідний науковий

співpобітник Інституту математики HАH Укpаїни, м. Київ

Леонов Юрій Григорович, кандидат

фізико-математичних наук, викладач

Української державної академії зв’язку,

м. Одеса

Провідна установа:

Львівський державний університет

імені Івана Франка, м.Львів

Захист відбудеться “ 25 ” вересня 2000 року о год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при

Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ-127, пр. акад. Глушкова, 6,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці

Київського університету імені Тараса Шевченка

(вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “ 22 ” серпня 2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

В останні роки групи автоморфiзмiв (ізометрій) кореневих дерев iнтенсивно вивчаються у зв'язку з тим, що вони мiстять рiзнi цiкавi пiдгрупи з екстремальними властивостями. Зокрема, в групи автоморфiзмiв таких дерев природно занурються вiдомi перiодичнi групи В. I. Сущанського, Р. I. Григорчука, Н. Гупта – С. Сiдкi, а також вільні конструкції, різні конструкції груп проміжного росту і т. ін.

Кореневі дерева, які при цьому виникають є досить однорідними. А саме, кореневе дерево T (скінченне чи нескінченне) є шарово-однорідним, якщо вершини, що вiддаленi на однакову вiдстань вiд кореня, мають однакову валентнiсть. В випадку скінченного дерева найбільша з довжин шляхів, що з’єднують кореневу вершину з іншими, називається висотою цього дерева.

Зображення груп автоморфізмами шарово-однорідних дерев є дуже плідним. Використовуючи такі зображення отримано багато результатів про будову груп Р. I. Григорчука, груп Н. Гупта – С. Сiдкi, групи фінітарних автоморфізмів, а також побудовані нові групи з цікавими властивостями, наприклад, нерозв'язні без скруту групи, кожна власна підгрупа яких є розв'язною. Для найвідомішої з груп Григорчука пораховано централізатори елементів, описано нижній центральний ряд, для груп Н. Гупта – С. Сiдкi обчислено їх групи автоморфізмів, встановлено, що група автоморфізмів групи фінітарних автоморфізмів бінарного кореневого дерева збігається з її нормалізатором в групі всіх автоморфізмів цього дерева.

Р. I. Григорчук видiлив в групi всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева спецiальний клас пiдгруп — так званi гiллястi групи. На Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї (Слов'янськ, 1997), він поставив ряд питань щодо будови цих груп. Зокрема, було висловлено гiпотезу, що для "типової" гiллястої групи група автоморфізмів збігається з її нормалiзатором в групi всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева (група фінітарних автоморфізмів та групи Н. Гупта-С.Сiдкi, для яких це твердження справедливе, є гіллястими групами).

Вивчення гіллястих груп має багато спільного з дослідженням групи Кремони; одна з причин цього полягає у тому, що в обох випадках виникають ітеровані вінцеві добутки.

Група автоморфiзмiв афiнного простору вимiрностi n над фiксованим полем K, яка має назву "афiнна група Кремони", може бути описана як група оборотних наборiв многочленiв з вигляду

щодо операцiї суперпозицiї. Для нескiнченних полiв вона збiгається з групою автоморфiзмiв кiльця многочленiв . У випадку скiнченного поля K рiзнi набори з афiнної групи Кремони є рiзними автоморфiзмами кiльця , але вони можуть завдавати однаковi автоморфiзми афiнного простору . В цьому разi аффiнною групою Кремони прийнято називати групу автоморфiзмiв кiльця многочленiв .

В групi Кремони видiляються двi важливi пiдгрупи: — група лiнiйних перетворень та — група трикутних перетворень, або як її ще називають, група Жонк'єра.

Група Кремони в випадку нульової характеристики вивчалася в роботах, багатьох авторiв, зокрема в роботах Т. Камбаяші, Т. Петрі, І. Р. Шафаревича.

Ряд задач пов'язаних з групою Кремони поставлено в відомих роботах Х. Басса, Х. Крафта та В. Попова.

Якщо характеристика K дорiвнює 0, то група Жок'єра дiє точно на афiнному просторi над полем K. В противному разi ця дiя неточна. У випадку скiнченного поля , , позначимо символом нормальний дiльник iз , що є ядром цiєї дiї. Факторгрупа є напiвпрямим добутком груп i , де — група унiтрикутних автоморфiзмiв афiнного простору над полем . Якщо , то є силiвською -пiдгрупою симетричної групи степеня . Тому в цьому випадку будова групи значною мiрою визначається будовою .

Виявляється, що групи та природним чином зображуються як підгрупи і як факторгрупи груп автоморфізмів p-дерева висоти (кореневого дерева, в якого валентність всіх некореневих вершин крім висячих, дорівнює , а валентність кореня — p). Крім цього границя , природно визначеної проективної системи груп , є силівською p-підгрупою групи всіх атоморфізмів нескінченного p-дерева. Таким чином, будова групи , як і групи значною мiрою визначається будовою . Дослідження групи представляє інтерес ще й тому, що вона є універсальною щодо занурень в класі резидуально скінченних -груп.

Все зазначене вище говорить про актуальність теми дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тематика дисертації пов’язана з дослідженнями кафедри алгебри і математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка, а також по темі “Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування” (номер державної реєстрації 0197U003160).

Мета і задачі дослідження.–

дослідити будову класів спряженості максимальної потужностi силiвської p-пiдгрупи та її нормалізатора в групі всіх автоморфізмів скінченного p-дерева висоти n.–

описати нормальну та характеристичну будову нормалізатора силiвської p-пiдгрупи в групі всіх автоморфізмів довільного p-дерева.–

охарактеризувати групи автоморфізмів довільних вінцево-гіллястих підгруп в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева.

Наукова новизна одержаних результатів.

Усі одержані наукові результати є новими. В дисертаційній роботі:–

повністю описано класи спряженості максимальної потужностi силiвської p-пiдгрупи групи всіх автоморфізмів скінченного p-дерева висоти n та її нормалізатора в групі автоморфізмів.–

за допомогою поняття “паралелотопічної підгрупи” описано нормальні та характеристичні підгрупи нормалізатора силiвської p-пiдгрупи в групі всіх автоморфізмів скінченного p-дерева, а також замкнені нормальні та характеристичні підгрупи нормалізатора силiвської p-пiдгрупи в групі всіх автоморфізмів нескінченного p-дерева.–

доведено, що група автоморфізмів довільної вінцево-гіллястої підгрупи в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева збігається з її нормалізатором; зокрема група всіх автоморфізмів нескінченного шарово-однорідного дерева є досконалою. Встановлено вінцеву гіллястість і охарактеризовано групи автоморфізмів ряду природних підгруп в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева: підгруп фінітарних та скінченно станових автоморфізмів, силівської p-підгрупи, її нормалізатора.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертації є внеском в геометричну теорію груп. Запропоновані методи обчислень можуть бути використані для подальших досліджень різних типів ітерованих вінцевих добутків, групи Кремони та груп ізометрій кореневих і некореневих дерев.

Апробація результатів дисертації.

Результати, отpимані в дисеpтації, доповідалися: на семінаpі "Теоpія гpуп та напівгpуп" у Київському Унівеpситеті імені Таpаса Шевченка; на Київському алгебраїчному семінарі, на П'ятій Міжнаpодній конфеpенції імені академіка М. Кpавчука (Київ, 1996), на Третій міжнаpодній конфеpенції "Групи і групові кільця" (Великий Любінь, Львівська обл., 1996), а також на Першій Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті професора Л. М. Глускіна (Слов'янськ, 1997).

Публікації.

Основні pезультати дисеpтації опубліковано в pоботах [1-6], з яких 4 статті в фахових виданнях і 2 — тези конференцій.

Особистий внесок здобувача.

Основні pезультати викладені в дисеpтації отpимані автоpом самостійно. Результати спільної статті [1] викладено в підрозділі 3.1. Леми 3.1 і 3.2 з цього підрозділу належать автору, лему 3.3 встановлено співавтором, доцентом Ю. В. Боднарчуком, а доведення теореми 3.4 отримане при рівному вкладі співавторів.

Структура і об'єм роботи.

Дисеpтаційна pобота складається зі вступу, тpьох pозділів, висновків і списку літеpатуpи, викладених на 114 стоpінках машинописного тексту. Список літеpатуpи містить 46 найменувань.-

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Сущанському Віталію Івановичу за постійну увагу і підтримку в роботі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В першому розділі вводяться необхідні поняття та доводяться допоміжні твердження.

В підрозділі 1.1 наводяться необхідні теоретичні відомості про вінцеві добутки груп підстановок та про будову силівських p-підгруп симетричних груп скінченного степеня.

Означення 1. Вінцевим добутком груп підстановок називається напівпрямий добуток групи G на групу F всіх функцій з множини X в H, що задаєmься вкладенням , при якому кожному ставимо у відповідність автоморфізм: групи F. Група F називається базисною групою або базою вінцевого добутку W.

Наводяться потрібні для подальшого властивості вінцевого добутку двох груп підстановок. Описується конструкція вінцевого добутку за послідовністю (скінченною або нескінченною) груп підстановок.

Як відомо М. Холл. Теория групп. – Москва: Изд. иностр. лит., 1962. – 468 с. , будь-яка силівська p-підгрупа симетричної групи скінченного степеня розкладається в прямий добуток силівських p-підгруп симетричних груп степенів для деяких n.

Для зображення силівської p-підгрупи симетричної групи степеня використовується запропоноване Л. А. Калужніним Калужнин Л. А. Избранные главы теории групп. – Киев, 1979. – 52 с. табличне зображення, при якому кожен елемент зображується таблицею

В підрозділі 1.2 визначаються група Кремони та група Жонк'єра над скінченним полем. Вводиться до розгляду факторгрупа групи Жонк'єра за ядром дії на афінному просторі вимірності .

Факторгрупу над можна ототожнити з групою наборiв вигляду

Група розкладається у напівпрямий добуток підгруп, одна з яких ізоморфна друга — групі унiтрикутних автоморфiзмiв афiнного простору над полем . Остання складається з найможливiших наборiв редукованих многочленiв вигляду

В випадку маємо і група є нормалізатором в симетричній групі степеня .

На групі визначається передпорядок: для — висота i-ої координати елемента у сенсі Л. А. Калужніна.

Означення 9. Пiдгрупа K групи називається паралелотопiчною, якщо для будь-яких з i випливає, що .

Так введене поняття паралелотопічності є узагальненням поняття паралелотопічної підгрупи у випадку , яке відіграє центральну роль при вивченні характеристичних підгруп цієї групи.

В підрозділі 1.3 наводяться необхідні відомості про шарово-однорідні дерева та групи ізометрій цих дерев.

Рівнем (або шаром) номер n називається множина вершин кореневого дерева визначена рівністю

де — відстань між вершинами та v, що дорівнює довжині з'єднуючого їх шляху.

Рівень номер 0 містить лише корінь дерева.

Будемо говорити, що група автоморфізмів є шарово-транзитивною, якщо вона діє транзитивно на всіх рівнях. Кореневе дерево T називається шарово-однорідним, якщо група всіх автоморфізмів (ізометрій) цього дерева є шарово-транзитивною. Воно називається однорідним, якщо існує таке число k, що для всіх .

Далі в цьому підрозділі наводиться визначення класу гіллястих груп автоморфізмів, введеного до розгляду Р. І. Григорчуком, і розглядаються певні модифікації поняття гіллястості. А саме, вводяться визначення слабо гіллястих та та вінцево-гіллястих груп автоморфізмів невиродженого нескінченного шарово-однорідного кореневого дерева (тобто такого дерева T, що — нескінченна). Наводяться основні приклади таких груп. Зокрема встановлюється, що вінцево-гіллястими будуть:

однорідного дерева T .

Крім цього, в групі природним чином виділяються паралелотопічні підгрупи.

Другий розділ присвячено вивченню будови силівської p-пiдгрупи групи ізометрій p-дерева та її нормалізатора в цій групі для .

В підрозділі 2.1 описуються класи спряженостi максимальної потужностi силiвської p-пiдгрупи групи ізометрій скінченного p-дерева висоти n (тобто дерева, в якого рівно n рівнів).

Теорема 2.4. 1. Множина таблиць вигляду

мiстять одночлена , утворює клас спряженостi групи найбiльшої потужностi.

2. Всi класи спряженостi найбiльшої потужностi мають вигляд (1).

Ця теорема дає змогу охарактеризувати класи спряженості максимальної потужності для силівських p-підгруп довільних скінченних симетричних груп. А саме, нехай m — довільне натуральне число, — його розклад за основою p. Тоді силівська p-підгрупа симетричної групи має вигляд

Наслідок 2.5. Кожен клас спряженостi найбiльшої потужностi в силiвськiй p-пiдгрупi симетричної групи має вигляд

В підрозділі 2.2 описуються класи спряженостi максимальної потужностi нормалізатора силiвської p-пiдгрупи групи автоморфізмів для скінченного p-дерева висоти n (в ). Для цього вводиться поняття рангу кортежа над =.

Означення 20. Рангом кортежа називатимемо найбiльше число , для якого iснує множина iндексiв

така що для довiльного виконується спiввiдношення

Ранг кортежа вважатимемо рiвним 0. Рангом групи називатимемо число

Ранг легко обчислюється за розкладом числа на простi множники.

Лема 2.6. Нехай розклад числа на простi множники. Тодi

Далі доводиться

Теорема 2.10. 1. Потужність довільного класу спряженостi в задовольняє нерівність

2. В групі існують класи спряженостi потужностi.

Основним результатом цього підрозділу є така теорема

Теорема 2.11. Множина елементiв вигляду

де , для — довiльнi многочлени найбiльшої висотиутворює клас спряженостi найбiльшої потужностi.

При всi класи спряженостi найбiльшої потужностi мають вигляд (2).

В підрозділі 2.3 описуються нормальні дільники нормалізатора силiвської p-пiдгрупи групи ізометрій скінченного p-дерева висоти n.

Теорема 2.18. Будь-яка нормальна пiдгрупа групи — паралелотопiчна.

Як наслідок з цієї теореми отримуємо

Теорема 2.19. Будь-яка нормальна пiдгрупа групи розкладається в напівпрямий добуток деякої підгрупи групи та паралелотопічної підгрупи групи .

Нехай . Побудуємо пiдгрупу , таку що тодi i тiльки тодi, коли . Нехай також

Глибиною підгрупи K називатимемо найбільше число r таке, що всі елементи з K мають на перших r координатах тотожні перетворення.

Теорема 2.20. Пiдгрупа K групи глибини r нормальна тодi i тiльки тодi, коли K — паралелотопiчна, причому якщо

Нормальна будова групи Жонк'єра в випадку нульової характеристики поля описана Іваненком Н. Л. Iваненко Н.Л. Нормальна будова групи Жонк'єра над полем нульової характеристики// Укр. мат. журнал. – 1994. №6 (46). – с.304-312.

В підрозділі 2.4 узагальнюються результати підрозділу 2.3 на випадок нескінченного p-дерева. Отримане тут твердження є наслідком з попередніх результатів, оскільки легко доводиться, що будь-яка замкнена нормальна пiдгрупа групи є паралелотопiчною і розкладається в напівпрямий добуток деякої підгрупи групи та паралелотопічної підгрупи групи .

Теорема 2.27. Пiдгрупа K групи глибини r є замкненою нормальною тодi i тiльки тодi, коли K — паралелотопiчна, причому якщо

Третій розділ присвячено вивченню автоморфізмів вінцево-гіллястих груп.

В підрозділі 3.1 знайдено групу автоморфізмів нормалізатора силiвської p-пiдгрупи групи ізометрій скінченного p-дерева висоти n для .

Теорема 3.4. Група автоморфiзмiв є напiвпрямим добутком групи внутрiшнiх автоморфiзмiв i декартового степеня циклічної групи порядку p

Зовнiшнi автоморфiзми з діють на елементах i ,де — базисна група вінцевого добутку таким чином:

причому дiя на многочленах з визначається рівністю

Зауважимо, що Боднарчуком Ю. В. Yu. Bodnarchuk On automorphisms of block-triangular polynomial translation groups// Journal of Pure and Applied Algebra. – 1999. – 137. – p.103-123. встановлено, що всі регулярні автоморфізми групи Жонк'єра, в випадку нульової характеристики поля, є внутрiшнiми.

В підрозділі 3.2 досліджуються вінцево-гіллясті підгрупи групи ізометрій невиродженого нескінченного шарово-однорідного дерева. Сформульована нижче теорема є основним результатом підрозділу.

Теорема 3.7. Нехай R — вiнцево-гiлляста пiдгрупа групи всіх автоморфізмів нескінченного шарово-однорідного дерева T. Тодi

В підрозділі 3.3 наведено деякі застосування отриманих вище результатів.

З теорем 2.20 та 3.4 як наслідок отримуємо опис характеристичних підгруп групи .

Теорема 3.8. В групі клас характеристичних підгруп збігається з класом нормальних підгруп. Тобто пiдгрупа K групи глибини r характеристична тодi i тiльки тодi, коли K — паралелотопiчна, причому якщо

Подальші результати є прикладами застосування теореми 3.7.

Теорема 3.9. Група всіх автоморфiзмiв довільного невиродженого нескінченного шарово-однорідного дерева T є досконалою.

Зазначимо, що досконалість групи всіх автоморфізмів однорідного (не кореневого) дерева була встановлена Знойком Д. В. Знойко Д.В. Группы автоморфизмов регулярных деревьев// Мат. СССР Сб. – 1977. – 32. – с.109-115.

Теорема 3.10. Група автоморфізмів групи фінітарних автоморфізмів FA збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх автоморфізмів невиродженого нескінченого шарово-однорідного дерева.

Ця теорема є узагальненням результату Браннера та Сідкі A.M. Brunner, S. Sidki On the Automorphism Group of the One-Rooted Binary Tree. – Journal of Algebra. – 1997. – 195. – p.465-486., які розглянули лише випадок бінарного дерева.

Теорема 3.11. Група автоморфізмів групи скінченно станових автоморфізмів FGA збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх автоморфізмів нескінченного однорідного дерева.

З теореми 3.7 отримується і такий наслідок.

Теорема 3.12. Група збігається з групою автоморфізмів , і є досконалою.

ВИСНОВКИ

В даній роботі вивчається будова груп автоморфізмів скінченних і нескінченних шарово-однорідних дерев, зокрема нормалізатора силiвської p-пiдгрупи групи автоморфізмів скінченного p-дерева.

Описано класи спряженості максимальної потужностi, нормальні підгрупи та групу автоморфізмів нормалізатора силiвської p-пiдгрупи групи ізометрій скінченного p-дерева.

Розвинено технічний апарат для дослідження груп ізометрій шарово-однорідних дерев, завдяки чому вдалося довести, що для довільної вінцево-гіллястої групи її група автоморфізмів збігається з нормалізатором цієї групи в групі всіх ізометрій шарово-однорідного дерева, і як наслідок, отримати, що група всіх ізометрій шарово-однорідного дерева є досконалою.

Застосовані в дисертаційній роботі методи обчислень можуть бути використані для подальших досліджень різних типів ітерованих вінцевих добутків, групи Кремони та груп автоморфізмів кореневих і некореневих дерев.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Боднарчук Ю.В., Лавренюк Я.В. Група автоморфiзмiв нормалiзатора силiвської p-пiдгрупи симетричної групи // Доповіді НАН України. – 1999. – №7. – с.7-11.

2. Лавренюк Я.В. Автоморфiзми вiнцево-гiллястих груп// Вiсник Київського унiверситету. – 1999. – №1. – с.50-57.

3. Лавренюк Я.В. Класи спряженостi групи трикутних автоморфiзмiв афiнного простору над простим скiнченним полем// Вiсник Київського унiверситету. – 1997. №3. – с.28-36.

4. Lavreniuk Ya. On normal subgroups of Jonkier group// Математичнi Студiї. – 1997. – Т.8, №2. – с.143-146.

5. Лавренюк Я.В. Класи спряженостi в силiвських пiдгрупах симетричних груп//П'ята Міжнаpодна конфеpенція імені академіка М.Кpавчука. – Київ. – 1996. – Тези доповідей. – с.231.

6. Lavreniuk Ya. On conjugacy classes of group of automorphisms of the Affine space over prime finite field ()// Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам'яті професора Л.М.Глускіна (1922-1985). – Слов'янськ. – 1997. – Тези доповідей. – с.72.

Лавренюк Я. В. Шарово-транзитивні групи автоморфізмів кореневих дерев. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 — алгебра і теорія чисел. — Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

Дисертацію присвячено дослідженню груп автоморфізмів шарово-однорідних дерев. Охарактеризовано класи спряженості максимальної потужностi силiвської p-пiдгрупи та її нормалізатора в групі всіх автоморфізмів скінченного p-дерева висоти n.

Описано нормальну та характеристичну будову нормалізатора силiвської p-пiд-групи в групі всіх автоморфізмів довільного (скінченного чи нескінченного) p-дерева. Описано групи автоморфізмів довільних вінцево-гіллястих підгруп групи автоморфізмів шарово-однорідного дере-ва. Встановлено вінцеву гіллястість і охарактеризовано групи автоморфізмів ряду природних підгруп в групі всіх автоморфізмів шарово-однорідного дерева: підгруп фінітарних та скінченно станових автоморфізмів, силівської p-підгрупи, її нормалізатора.

Ключові слова: силівська p-підгрупа, клас спряженості, нормальна будова, шарово-однорідне дерево, група автоморфізмів.

Lavreniuk Ya. V. Level transitive automorphism groups of rooted trees. — Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of a candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 — algebra and number theory. — Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to investigation of automorphism groups of level gomogeneous trees. The conjugacy classes of maximal size of the Sylow p-subgroup of the full automorphism group of finite p-tree of height n and its normalizer in the automorphism group are characterized. Normal and characteristical subgroups in normalizer of subgroup are described. The automorphism group of any wreath branch subgroup of automorphism group of level homogeneous tree are also described. In particular the automorphisms of the full automorphism group, its subgroup of finite state automorphisms and normalizer of the are investigated.

Key words: Sylow p-subgroup, conjugacy class, normal subgroup, level homogeneous tree, automorphism group.

Лавренюк Я. В. Слойно-транзитивные группы автоморфизмов корневых деревьев. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 — алгебра и теория чисел. — Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Диссертация посвящена изучению групп автоморфизмов слойно-однородных деревьев.

Характеризированы классы сопряженности наибольшей мощности силовской p-подгруппы и её нормализатора в группе всех автоморфизмов конечного p-дерева высоты n.

С помощью понятия “параллелотопической подгруппы” описаны нормальные и характеристические подгруппы нор-мализатора силовской p-подгруппы в группе всех автоморфизмов конечного p-дерева, а также замкнутые нормальные и характеристические подгруппы нор-мализатора силовской p-подгруппы в группе всех автоморфизмов бесконечного p-дерева. Установлено, что в конечном случае классы нормальных и характеристических подгрупп совпадают, хотя группа и имеет внешние автоморфизмы. В случае бесконечного p-дерева установлено, что эта группа — совершенна.

Также описаны группы автоморфизмов произвольных веночно-ветвящихся подгрупп группы автоморфизмов слойно-однородного дерева. Установлено, что все автоморфизмы любой веночно-ветвящейся под--группы индуцируются элементами её нормализатора в группе всех автоморфизмов слойно-однородного дерева.

Также установлено веночную ветвистость и описано группы автоморфизмов ряда естественных подгрупп в группе всех автоморфизмов слойно-однородного дерева: подгрупп финитарных автоморфизмов и автоморфизмов с конечным числом состояний, силовской p-подгруппы, её нормализатора.

Ключевые слова: силовская p-подгруппа, класс сопряженности, нормальная подгруппа, слойно-однородное дерево, группа автоморфизмов.