ДОНЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НОМБРЕ СВІТЛАНА БОРИСІВНА

УДК 539.3:534.1

Просторовi коливання i хвилi у анiзотропних

тiлах з гнучкими нерозтяжними

покриттями граней

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому державному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор Сторожев Валерій

Іванович, Донецький державний університет

Офіційні опоненти - доктор фiзико-математичних наук, Григоренко Олек-

сандр Ярославович, Iнститут механiки iм. С.П.Тимо-

шенка НАН України, провiдний науковий спiвробіт-

ник

кандидат фiзико-математичних наук, доцент Моiсеєнко Вiктор Олексiйович, Донбаська державна академiя будівництва та архiтектури, завiдувач секцiї прикладної математики та програмного забезпечення

Провідна установа - Iнститут проблем машинобудування НАН України,

вiддiл прикладної математики та обчислювальних ме-

тодiв

Захист відбудеться "__28_" _вересня_2000 р. о __14__ годині на засіданні вченої ради К 11.051.05 при Донецькому державному університеті за адресою: 83055, Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького державного університету (83055, м.Донецьк, вул. Університетська, 24).

Автореферат розісланий "__21__" _серпня_2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Дослідження закономiрностей у процесах коливань та розповсюдження пружних хвиль в анізотропних тілах з різноманітною геометрією та фізико-механічними властивостями є однією з важливіших фундаментальних та прикладних наукових проблем механіки деформівного твердого тіла. Ці дослідження утворюють наукову базу для багатьох технічних рішень при конструюванні сучасних акустоелектронних пристроїв передачі та трансформації сигнальної інформації, пристроїв ультраакустичного контролю, дiагностики.

Незважаючи на досить значну кiлькiсть робiт за даною проблемою, внутрiшня логiка розвитку фундаментальних дослiджень та сучаснi потреби iнженерної практики у багатьох науково-технiчних галузях стимулюють подальший поглиблений аналіз задач хвильової механіки, що частково розглядались раніше, iз застосуванням більш сучасних та ефективних фізико-механічних моделей і теоретичних методів, а також постановку нових задач за даною проблемою. Зокрема, актуальними у фундаментальному та прикладному відношеннях є просторові задачi дослідження процесів розповсюдження та збудження полів стаціонарних і нестаціонарних пружних хвиль, задачi визначення спектрів резонансних коливань у анізотропних тілах скінчених розмірів, нескінчених або напівнескінчених хвильоводах, що мають на всiх граничних поверхнях або на їх частині гнучкі нерозтяжнi у своїй площинi безiнерцiйнi покриття. Наявнiсть таких покриттів (покриттів типу гнучких нерозтяжних мембран, мікроскопічних панцирних ланцюгів) моделюється спеціальними крайовими умовами змішаного типу. Дослідження задач цього класу з точки зору внутрішнього фундаментального розвитку механіки деформівного тіла суттєво доповнюють і поширюють коло встановлених якісних уявлень та кiлькiсних закономірностей за проблемою динаміки анізотропних середовищ i є передумовою розв'язання актуальних прикладних задач, що виникають у приладобудуванні, акустоелектрониці, машинобудуванні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведенi в дисертацiйнiй роботi дослiдження пов'язанi з фiнансованими Мiнiстерством освiти i науки України фундаментальними науково-дослiдними роботами (номери держреєстрації 0193U041484, 0193U041487, 0196U007098, 0199U001502).

Мета і задачі дослідження полягають у: встановленні кількісних та якісних закономірностей у структурi дисперсійних спектрів нормальних бiгучих хвиль, а також крайових стоячих нормальних хвиль в нескінчених хвильоводах у вигляді ортотропного шару та призматичного тіла прямокутного поперечного перерізу з гнучкими нерозтяжними покриттями на усiх або на частинi граничних поверхонь; дослідженні впливу п'єзоелектричних властивостей анізотропних матеріалів на спектр нормальних хвиль у прямокутних призматичних хвильоводах з покриттями на бічних поверхнях; розробці та реалізації методики розв'язання задач про збудження, розсіювання та вiдбиття нормальних хвиль біля торцевих перерізів у однорідних або кусково-неоднорідних по довжині призматичних ортотропних хвильоводах прямокутного перерізу з гнучкими нерозтяжними покриттями граней; розробці методики розв'язання задач про коливання ортотропних тіл просторової геометрії у формі прямокутного паралелепіпеду з гнучкими нерозтяжними покриттями на чотирьох бічних поверхнях під дією динамічних навантажень на протилежних торцевих гранях без покриттів; узагальненні теорії динамічних однорідних розв'язків для п'єзоактивних та неп'єзоактивних однозв'язних прямолiнiйно-ортотропних пластин просторової геометрії з гнучкими нерозтяжними покриттями на плоских гранях; розробці методики використання рядів за базисними однорідними розв'язками в задачах про тривимірні коливання дисковидної прямолінійно-ортотропноi пластини довільної товщини.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у: побудові та чисельно-аналітичному дослідженні дисперсійних співвідношень, що описують повні спектри нормальних хвиль в ортотропних пластинах, п'єзоактивних та неп'єзоактивних довгих призматичних хвильоводах із анізотропних матеріалів орторомбічноi і гексогональноi систем з гнучкими нерозтяжними покриттями на двох протилежних або на усiх чотирьох гранях; дослідженні закономірностей якісної та кількісної трансформації дисперсійних спектрів симетричних нормальних хвиль в ортотропних пластинах із реальних монокристалих та модельних матеріалів зі змінними показниками анізотропії при переорієнтації напрямків розповсюдження в серединній площині пластин; з'ясуванні структури повних дисперсійних спектрів нормальних хвиль для анізотропних призматичних хвильоводів прямокутного перерізу із п'єзоактивних та неп'єзоактивних матеріалів і дослідженні особливостей, що пов'язані з врахуванням п'єзоелектричного ефекту; побудові методики дослідження процесів збудження, розсіяння та відбиття нормальних хвиль біля граничних торцевих поверхонь та поверхонь контакту складових кусково-неоднорідних хвильоводів прямокутного перерізу з гнучкими нерозтяжними покриттями граней; дослідженні особливостей крайових полів нормальних хвиль біля поверхонь збудження або поверхонь контакту рiзнорідних складових частин призматичних хвильоводів прямокутного перерізу з гнучкими нерозтяжними покриттями; побудові узагальнень теорії динамічних однорідних розв'язків стосовно до просторових задач про стаціонарні симетричні по товщині коливання однозв'язних прямолінійно-ортотропних пластин з тонкими гнучкими нерозтяжними покриттями плоских граней, визначенi систем базисних однорідних розв'язків експоненційного типу та базисних однорідних розв'язків, які містять некласичні комплексні вектор-функцii; одержані та чисельному дослідженні розв'язків задачi про коливання ортотропноi дисковидної пластини з покриттями на плоских гранях при заданих пружних зміщеннях на бiчнiй циліндричнiй поверхні та задачi про коливання ортотропного паралелепіпеду з покриттями на чотирьох бiчних гранях при динамічних навантаженнях на протилежних торцевих поверхнях без покриттів.

Практичне значення одержаних результатiв дисертаційної роботи полягає у можливостях застосування розроблених методик, програмних засобів їх чисельної реалізації при розрахунках, пов'язаних з проектуванням та визначенням робочих параметрів конструктивних елементів акустоелектронноi техніки, приладів ультразвукового контролю та дiагностики (датчиків, ультраакустичних хвильоводів, резонаторів, ультраакустичних фільтрів), а також при розрахунках вібраційної динамічної міцності тривимірних за геометрією конструкційних елементів машин, приладів та споруд із ортогонально-армованих композиційних матеріалів.

Особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 11 наукових праць [1 - 11], у тому числі: 5 – у визнаних ВАК фахових виданнях, 5 – у збірниках тез та матеріалів наукових конференцій, 1 наукова стаття, депонована у ДНТБ України. Основні результати було отримано автором самостійно.

Особисто Номбре С.Б. належать такi науковi результати, що включенi до дисертаційної роботи та публiкацiй, надрукованих в співавторстві та без співавторів:

- побудова та дослiдження дисперсiйних спiввiдношень, розрахунки дисперсiйних спектрiв для неп'єзоактивних прямолiнiйно-анiзотропних хвильоводiв у виглядi шару або прямокутного призматичного тiла [2, 3, 9];

- побудова та чисельне дослiдження дисперсiйних спiввiдношень для п'єзоактивних призматичних хвильоводiв [6];

- розробка та застосування методики розв'язання задачi про збудження та вiдбиття-заломлення нормальних хвиль у призматичних хвильоводах [1, 5, 8-10];

- узагальнення методу динамiчних однорiдних розв'язкiв стосовно до проблеми просторових коливань анiзотропних однозв'язних пластин iз матерiалiв орторомбiчноi системи з гнучкими нерозтяжними покриттями на плоских гранях та побудова i чисельне дослiдження розв'язку задачi про вiльнi та вимушенi коливання кругової дисковидноi пластини при крайових умовах першого основного типу на бiчнiй поверхнi [4, 7];

- розв'язання та чисельне дослiдження задачi про власнi коливання тривимiрного прямолiнiйно-ортотропного прямокутного призматичного тiла скінченої довжини з покриттями на частинi поверхонь [11].

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень були представлені на Українській науковій конференції "Моделювання та дослідження стійкості систем" (Київ, 1996), на Міжнародній конференції "Modelling and investigation of systems stability" (Київ, 1997), на Міжнародній конференції "Математичні моделі фізичних процесів та їх властивості" (Таганрог, 1997), на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми концентрації напружень" (Донецьк, 1998), на Міжнародній конференції "Математика в індустрії - ICIM 98" (Таганрог, 1998), на об'єднаних наукових семінарах кафедри теорії пружності та обчислювальної математики, кафедри теоретичної та прикладної механіки Донецького державного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Iнституту прикладної математики і механіки НАН України (1995-2000).

Публікації. З основних результатів досліджень, які викладені в дисертації, опубліковано 11 наукових праць.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної лiтератури та двох додаткiв, мiстить 93 рисунка та двi таблиці. Її основний змiст викладено на 135 сторінках. Список використаної літератури складається з 148 джерел i обiймає 15 сторiнок. Додаток А містить 93 рисунка на 75 сторiнках; у додатку Б на 8 сторiнках наведенi математичнi докази основних властивостей вектор-функцiй класичних та узагальнених комплексних змiнних.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету досліджень та основні наукові результати, що виносяться на захист; дано характеристику наукової новизни, теоретичної та практичної цінності одержаних результатів, вірогідності одержаних результатів, зв'язку досліджень з планами наукових робіт; стисло наведено зміст роботи по розділах.

У першому розділi викладено аналітичний огляд основних результатів та методів досліджень за напрямами, пов'язаними з темою дисертації; вказано проблеми, що залишаються відкритими і на цій підставі детально обгрунтовано мету дисертаційної роботи.

Відзначено, що проблеми, якi розглядаються в дисертацiйнiй роботi, є актуальними i за бiльшiстю аспектiв вiдкритими складовими широкого багатопланового наукового напряму, що стосується дослiдження структури i властивостей спектрiв нормальних пружних хвиль у хвильоводах тривимірної геометрії та спектрiв власних коливань пружних тiл скiнчених розмiрiв. Провiдний вклад у дослiдження за цим напрямом та у формування сучасного рiвня наукових знань у данiй галузi внесено роботами В.А.Бабешка, В.М.Бабiча, О.М.Багна, О.В.Бiлокiня, А.О.Ватульяна, I.I.Воровича, I.П.Гетмана, Е.В.Глушкова, В.Т.Головчана, О.Я.Григоренка, В.Т.Гринченка, О.М.Гузя, В.I.Гуляєва, О.Ю.Жарія, В.Г.Карнаухова, Г.Л.Комiсаровоi, О.С.Космодамiанського, В.Д.Кубенка, Л.В.Курпи, П.З.Лугового, П.Г.Махорта, В.В.Мелешка, В.О.Моiсеєнка, Л.А.Молоткова, О.М.Подлiпенця, В.I.Пожуєва, В.Л.Рвачова, В.С.Саркiсяна, I.Т.Селезова, В.I.Сторожева, А.Ф.Улiтка, Ю.А.Устинова, М.О.Шульги, Ю.К.Енгельбрехта, J.D.Achenbach, B.A.Auld, C.Chree, D.S.Datta, J.R.Hutchinson, P.C.Y.Lee, H.D.McNiven, R.D.Mindlin, I.Mirsky, Y.H.Pao, L.Pochhammer, N.Sugimoto, R.J.Talbot, T.Taya, R.N.Thurston, J.Zemanek та інших вчених.

Водночас коло проведених дослiджень суттєво звужується, якщо мова йде про низькосиметричнi за фізико-механiчними властивостями хвильоводи, у тому числi п'єзоактивнi анiзотропнi хвильоводи. Безпосередньо проблеми вивчення дiйсних, уявних та комплексних гiлок повних спектрiв бiгучих та крайових стоячих хвиль для прямолiнiйно-ортотропних п'єзоактивних та неп'єзоактивних хвильоводiв у виглядi товстих пластин та довгих призматичних тiл прямокутного перерiзу за багатьма аспектами сьогоднi залишаються вiдкритими.

Далі у першому розділі викладено фізико-механічну і математичну постановку проблем, що досліджуються. Сформульовано основнi типи однорiдних та неоднорiдних крайових задач вiдносно комплексних амплiтудних компонентiв вектор-функцiй пружних змiщень та комплексної амплiтуди потенцiалу квазистатичного електричного поля, що описують процеси розповсюдження, збудження, вiдбиття та заломлення нормальних хвиль у анiзотропному пружному шарi, у призматичних п'єзоактивних та неп'єзоактивних прямолiнiйно-анiзотропних хвильоводах прямокутного перерiзу при наявностi гнучких нерозтяжних покриттiв на всiх або на двох протилежних плоских бiчних поверхнях необмеженої або напiвобмеженоi довжини, а також процеси сталих вiльних або вимушених коливань пружного прямолiнiйно-ортотропного диску та паралелепiпеду. У найбiльш загальному випадку зазначенi крайовi задачi складаються з системи рiвнянь сталих рухiв п'єзоактивного середовища класу орторомбiчноi системи

, (1)

з матричним оператором , де

, ,

а також однорiдних та неоднорiдних граничних умов на зовнiшнiх поверхнях хвильоводiв та тiл скiнчених розмiрiв. Однорiднi крайовi умови на плоскій поверхнi , яка має гнучке нерозтяжне покриття, формулюються, зокрема, як крайовi умови змiшаного типу, що вiдображають вiдсутнiсть на граничнiй поверхнi пружних змiщень у її площинi та вiдсутнiсть нормальної компоненти вектору напружень

. (2)

Наведено також усі типи основних співвідношень граничних задач, що далi розглядаються у роботi. Окремий параграф присвячено характеристицi крайових умов змiшаного типу, що мають інтерпретацію як умови на поверхнях з iдеально гнучкими нерозтяжними тонкими (безiнерцiйними) покриттями. Наведено iнформацiю про дослiдження інших авторiв, зокрема, В.Т.Гринченка та В.В.Мелешка, Б.М.Нуллера, М.О.Шульги та О.М.Болкисева, R.D.Mindlin, в яких використовувались змiшанi граничнi умови такого типу, а також обговорено найбiльш природну за фiзичною реалiзацiєю модель утворення гнучких нерозтяжних покриттiв як мiкроскопiчних двовимiрних панцирних ланцюгiв (жорстких мiкроскопiчних шарнiрно-з'єднаних пластинкових сегментiв).

Другiй роздiл роботи мiстить результати дослiджень, пов'язаних з побудовою та аналiзом дисперсiйних рiвнянь для нормальних хвиль у пружних хвильоводах у виглядi шару, призматичного необмеженого по довжинi тiла прямокутного перерiзу iз п'єзоактивних або неп'єзоактивних прямолiнiйно-анiзотропних матерiалiв при умовах наявностi гнучких нерозтяжних покриттiв на всiх або на двох протилежних граничних поверхнях. Методологiя побудови дисперсiйних рiвнянь базується на введенi амплітудних функцiй пружних хвильових перемiщень з певною симетрiєю за координатами, що змiнюються у перерiзi, в спецiальній формi, що апрiорi задовольняє крайовим умовам на гранях з покриттями.

При дослiдженi спектру симетричних нормальних хвиль вздовж довiльного напряму в площинi прямолiнiйно-ортотропного шару з гнучкими нерозтяжними покриттями на обох гранях, завдання амплiтудних функцiй пружних змiщень у виглядi

(3)

дозволяє одержати повне дисперсiйне спiввiдношення у виглядi сукупностi незалежних окремих рiвнянь вигляду

, (4)

.

Побудовано дисперсiйнi функції, які становлять основу для подальшого аналiзу особливостей у структурi i складi спектрiв нормальних хвиль для ортотропного пружного шару з гнучкими нерозтяжними покриттями на гранях - насамперед, аналізу вiдмiнностей цих спектрiв вiд спектрiв для ортотропного шару з вiльними поверхнями. Чисельні дослiдження проведено для хвильоводу iз монокристалу сегнетовоi солi. По-перше, досліджено відмінності у розподілі критичних частот нормальних хвиль, що визначаються з рiвнянь . Дослiджено особливостi трансформації у структурi дисперсiйних спектрiв, пов'язанi iз змiною напряму розповсюдження нормальних хвиль у серединнiй площинi шару. Визначено, що для шару з гнучкими нерозтяжними покриттями граней, аналогічно до випадку вiльного шару, у структурi множин неоднорiдних (крайових стоячих) хвиль у рiзних пружно-еквiвалентних хвильоводних напрямах простежуються якiснi вiдмiнностi, якi полягають у вiдсутностi комплексних гілок спектру для напряму і трансформації уявних гiлок спектру неоднорiдних хвиль у комплекснi при поворотi хвильової нормалi до осi . Шляхом аналiзу дисперсiйних спектрiв для декiлькох напрямiв у площинi шару iз модельного матерiалу, що являє собою монокристал сегнетовоi солi iз змiнюваною пружною сталою , дослiджено вплив окремих параметрiв ступеню анізотропії ортотропних матерiалiв на властивостi повних спектрiв нормальних хвиль у шарi з покриттями на гранях.

По-друге, дослiджено окремi асимптотичнi властивостi нормальних хвиль для хвильоводу, що розглядається, у високочастотному короткохвильовому дiапазонi та в околi критичних частот бiгучих хвиль. Встановлено, що у короткохвильовому діапазоні моди P-SV нормальних хвиль у шарi з покриттями вiдповiдно трансформуються у моди об'ємних повздовжніх хвиль i моди поперечних вертикально поляризованих хвиль для вiдповiдних напрямiв розповсюдження у нескiнченому пружному середовищi орторомбiчноi системи. Одержано i досліджено асимптотичнi спiввiдношення для групових швидкостей нормальних хвиль при малих значеннях хвильового числа та значеннях частот, близьких до критичних частот бiгучих хвиль, що дозволило зробити висновки вiдносно iснування мод зворотних нормальних хвиль у монокристалому шарi орторомбiчноi системи з гнучкими нерозтяжними покриттями на гранях.

У трьох наступних пiдроздiлах цього роздiлу вiдповiдно дослiджено дисперсiйнi спектри симетричних за обома координатами у перерiзi нормальних хвиль для необмеженого по довжинi неп'єзоактивного прямокутного призматичного хвильоводу орторомбiчноi системи з гнучкими нерозтяжними покриттями на чотирьох бiчних гранях, для хвильоводу аналогічної геометрії iз електропружного п'єзокерамiчного матерiалу та для неп'єзоактивного прямокутного призматичного хвильоводу, двi протилежнi бiчнi гранi якого мають покриття, а iншi є вiльними. Дисперсiйнi спiввiдношення одержанi шляхом попереднього введення амплiтудних функцiй пружних змiщень та квазистатичного потенцiалу, якi задовольняють крайовим умовам на поверхнях з покриттями. Зокрема, для хвильоводу з покриттями на усiх гранях при введеннi комплексних амплiтудних функцiй хвильових змiщень

,

, (5)

,

дисперсiйнi спiввiдношення одержанi у виглядi

(6)

.

За побудованою методикою розраховано розподiли гiлок повних дисперсiйних спектрiв для неп'єзоактивного хвильоводу iз монокристалу сегнетовоi солi.

Ретельно дослiджено ефекти впливу сумiжних електропружних властивостей на якiснi та кiлькiснi характеристики дисперсiйних спектрiв для анiзотропних прямокутних призматичних хвильоводiв. Розрахунки проведено для хвильоводiв iз п'єзокерамiки ЦТС-19 з поляризацією вздовж їх осi або вздовж одного з поперечних координатних напрямів у перерiзi. Паралельно розраховано хвильовi спектри даних призматичних тiл без врахування п'єзоелектричних властивостей. Головними встановленими вiдмiнностями є суттєва змiна значень певної множини критичних частот та поява у спектрах п'єзоактивних хвильоводiв "майже вертикальних" уявних гiлок.

Для монокристалого хвильоводу iз сегнетовоi солi з частковим покриттям граней розраховано картину розподiлу критичних частот нормальних хвиль у залежностi вiд спiввiдношення довжин покритих та непокритих граней. Розраховано також фрагмент розподiлу уявних та дiйсних гiлок дисперсiйного спектру, який, зокрема, при наявностi двох вiльних протилежних граничних поверхонь хвильоводу не мiстить моди хвиль з нульовою критичною частотою.

Третiй роздiл роботи мiстить дослiдження задач про збудження та вiдбиття-заломлення нормальних хвиль у однорiдних напiвнескiнчених призматичних хвильоводах прямокутного перерiзу або кусково-неоднорiдних призматичних хвильоводах, складених з двох вiдмiнних напiвнескiнчених частин. Запропонована методика чисельно-аналітичного розв'язання базується на концепції однорiдних розв'язкiв. Розв'язки задач побудовано у формi рядiв за множинами бiгучих та крайових стоячих нормальних хвиль з довiльними коефiцiєнтами, що визначаються з крайових умов на торцевiй поверхнi збудження або на поверхні контакту складових частин хвильовода. Зокрема, ряди введенi у першому пiдроздiлi даного роздiлу при розгляді задачi про збудження симетричних за обома координатами у перерiзi стацiонарних хвиль, мають вигляд

,

, (7)

а проблема визначення довiльних коефiцiєнтiв з використанням методу ортогональних рядiв зводиться до розв'язання серії лiнiйних алгебраїчних рiвнянь скiнченого порядку. За даною методикою у першому пiдроздiлi проведено аналiз проблеми збудження стацiонарних хвиль у керамiчному прямокутному хвильоводi пiд дiєю розподiлених по торцевої поверхнi нормальних динамiчних зусиль. Частота зовнiшнього навантаження змiнюється у iнтервалi, який мiстить найменшу критичну частоту бiгучих нормальних хвиль. На пiдставi розрахункiв визначенi ефекти змiщення зони з максимальною інтенсивністю локалiзованого крайового поля стоячих хвиль вiд торцевої поверхнi збудження вглиб хвильоводу для частот близьких до знизу та ефекти суттєвого зменшення iнтенсивностi крайових полiв при виникненні моди бiгучих хвиль для частот збудження бiльших за .

Зазначена методика у поєднаннi з методикою спектрального розкладу перiодично подовжених функцiй iмпульсного навантаження використана у другому пiдроздiлi для аналiзу нестаціонарної проблеми збудження нормальних хвиль у напiвнескiнченому призматичному керамiчному хвильоводi трикутними iмпульсами нормального тиску на торцеву поверхню.

У рядах за повними множинами нормальних хвиль побудовано також розв'язок задачi про структуру хвильового поля бiля площини контакту напiвнескiнчених складових кусково-неоднорiдного прямокутного хвильоводу iз монокристалих матерiалiв орторомбiчноi системи. Дослiджено частотнi залежностi коефiцiєнтiв вiдбиття та заломлення у діапазоні частот, в якому для однієї з складових хвильоводу iснує одна бiгуча нормальна хвиля, а в другiй складовiй бiгучi хвилi вiдсутнi, а також у діапазоні частот, при яких у обидвох складових iснує одна бiгуча хвиля. Дослiджено частотнi залежностi характеристик крайових хвильових полiв у складових хвильоводу.

У четвертому роздiлi реалiзовано узагальнення теорії однорiдних розв'язкiв на задачi про симетричнi по товщинi коливання тривимiрних однозв'язних п'єзоактивних та неп'єзоактивних пластин довільної форми у планi iз анiзотропних матерiалiв орторомбiчноi системи, якi мають гнучкi нерозтяжнi покриття на плоских гранях. У загальному випадку для п'єзоактивних пластин при побудовi базисної множини однорiдних розв'язкiв запропоновано методику iнтегрування систем диференцiйних рiвнянь у частинних похiдних з постiйними коефiцiєнтами у векторних спецiальних функцiях класичних та узагальнених комплексних змiнних. Шляхом введення вектор-функцii , яка пов'язана спiввiдношеннями

, (8)

з комплексними амплiтудними функцiями перемiщень i апрiорi задовольняє крайовим умовам на плоских гранях з покриттями, динамiчнi рiвняння сталих рухiв пластини записуються у операторно-векторнiй формi

, (9)

де

,

,

Побудованi за описаним алгоритмом частиннi розв'язки мають вигляд

. (13)

Дослiджено окремi властивостi введених функцiй, зокрема доказана абсолютна збiжнiсть за нормою рядiв (13) та обгрунтовано повноту множини цих функцiй у просторi регулярних розв'язкiв рiвняння (9).

У другому пiдроздiлi викладено методику побудови множини експоненцiйних однорiдних розв'язкiв для неп'єзоактивних однозв'язних пластин iз матерiалiв орторомбiчноi системи.

У наступному пiдроздiлi побудоване узагальнення методики однорiдних розв'язкiв експоненцiйного типу використовується для дослiдження задачi про сталi симетричнi по товщинi коливання неп'єзоактивноi прямолiнiйно-ортотропноi кругової дисковидноi пластини iз монокристалу сегнетовоi солi при заданих динамiчних перемiщеннях точок на цилiндричнiй бiчнiй поверхнi. Методом ортогональних рядiв з використанням розкладiв типу

, (15)

,,

задачу зведено до нескінченої системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь вiдносно коефiцiєнтiв рядiв за однорiдними розв'язками. За даною методикою визначено нижчу власну частоту коливань диску при однорiдних крайових умовах першого основного типу на бiчнiй цилiндричнiй поверхнi. Розглянуто також задачу про вимушенi коливання диску, обумовленi рiвномiрними за окружною координатою зовнiшнiми динамiчними перемiщеннями на бiчнiй поверхнi i для певних моментiв часу розраховано графiки залежностей окружних та радiальних перемiщень вiд кутової координати при окремих значеннях радіальної координати у серединнiй площинi пластини.

Нарештi, у четвертому підроздiлi представлено розв'язок задачi про визначення спектру вiльних коливань прямокутного призматичного тiла з монокристалу сегнетовоi солi. Тiло має вiльнi протилежнi торцевi гранi та чотири бiчнi поверхнi з покриттями. Розв'язок побудовано методом рядiв за базисними множинами нормальних хвиль. Досліджено залежностi чотирьох нижчих власних частот вiд параметру відносної довжини тiла.

У висновках, що сформульовані окремо по кожному з роздiлiв дисертації та по роботi у цiлому, наведено основнi науковi результати дослiджень. Їх загальним пiдсумком є розробка i апробацiя чисельно-аналiтичних методик теоретичного аналiзу процесiв пружних коливань, процесiв розповсюдження, збудження, вiдбиття та заломлення нормальних пружних хвиль у прямолiнiйно-анiзотропних п'єзоактивних та неп'єзоактивних тiлах просторової геометрії, якi мають на граничних поверхнях або на їх частинi гнучкi нерозтяжнi безiнерцiйнi покриття.

Провiдними результатами дисертацiйноi роботи є:

1. Побудова розв'язкiв задач визначення спектру нормальних пружних хвиль у прямолiнiйно-ортотропному шарi для довiльного напрямку розповсюдження; дослiдження розподiлу критичних частот нормальних хвиль та залежностей групових швидкостей бiгучих хвиль в околi критичних частот вiд напрямку розповсюдження; дослiдження трансформації повних дисперсiйних спектрiв при змiнi напрямку розповсюдження мiж сумiжними пружно-еквiвалентними напрямками у серединнiй площинi шару.

2. Побудова розв'язку задачi про розповсюдження нормальних хвиль у прямолiнiйно-ортотропному п'єзоактивному та неп'єзоактивному хвильоводi прямокутного перерiзу; розрахунки дiаграм дисперсiйних кривих для хвиль з рiзними поперечними хвильовими числами та аналiз особливостей у будовi та кiлькiсних характеристиках повних дисперсiйних спектрiв, що обумовленi впливом п'єзоефекту.

3. Розробка i застосування методики розв'язку просторових граничних задач про збудження стацiонарних або нестацiонарних хвиль у напiвнескiнченому прямокутному призматичному ортотропному хвильоводi динамiчними зусиллями, що прикладенi до торцевої поверхнi перетину без покриттiв та задач про вiдбиття-заломлення нормальних хвиль бiля поверхнi контакту рiзнорiдних складових кусково-неоднорiдного прямокутного хвильоводу; аналiз динамiчних крайових ефектiв у поверхнi збудження та поверхнi розподiлу пружних властивостей, ефектiв трансформації форм хвильових рухiв у перетинах, що вiддаленi вiд поверхні збудження або поверхні контакту складових хвильоводу.

4. Побудова узагальнення методу динамiчних однорiдних розв'язкiв стосовно до просторових задач про симетричнi планарнi коливання однозв'язних прямолiнiйно-ортотропних п'єзоактивних та неп'єзоактивних пластин довільної геометрії; визначення базисної системи однорiдних розв'язкiв для п'єзоактивних пластин у спеціальнiй формi, що мiстить вектор-функцii класичних та узагальнених комплексних змiнних; побудова базисної системи експоненцiйних однорiдних розв'язкiв для неп'єзоактивних пластин.

5. Побудова, дослiдження та обгрунтування ряду властивостей спецiальних вектор-функцiй класичних та узагальнених комплексних змiнних, що утворюють повнi множини регулярних розв'язкiв систем чотирьох рiвнянь у частинних похiдних вiдносно амплiтудних характеристик хвильових полiв у товстих п'єзоактивних пластинах.

6. Розробка i апробацiя методик розв'язання просторових граничних задач про коливання прямолiнiйно-ортотропних дисковидних пластин та ортотропних тiл у формi прямокутного паралелепiпеду у рядах за базисними системами однорiдних розв'язкiв (базисними системами нормальних хвиль).

7. Визначення декiлькох фiзико-механiчних закономiрностей, що вiдображають вплив таких факторiв, як тип граничних умов, ступiнь фiзико-механiчноi анізотропії, наявнiсть п'єзоелектричних властивостей матерiалу на якiсну та кiлькiсну структуру дисперсiйних спектрiв для анiзотропних хвильоводiв просторової геометрії у формi пластин та призматичних тiл прямокутного перетину, на спектри критичних частот нормальних хвиль, на якiснi та кiлькiснi характеристики полiв бiгучих та крайових стоячих хвиль, на трансформацiю форм хвильових рухiв, на характеристики власних резонансних коливань анiзотропних тiл скiнчених розмiрiв у формi кругового цилiндричного диску та паралелепiпеду.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.Номбре С.Б. Возбуждение упругих волн у края призматического ортотропного тела с тонкими нерастяжимыми покрытиями граней // Теорет. и прикл. механика. - 1998. - Вып. 28. - С. 131 - 137. (Статья переведена на английский язык и издана в США: Nombre S.B. Excitation of elastic waves at the boundary of a prismatic orthotropic body with thin face coatings // J. Math. Sciences. - Vol. 92, № 5. - 1998. - P. 4204 - 4207.)

2.Бутко (Номбре) С.Б. Дисперсионные соотношения для прямоугольного ортотропного волновода с тонкими нерастяжимыми покрытиями на двух гранях // Вiсник Донецького унiверситету. Сер. А. Природничi науки. - 1998. - № 1. - С. 57 - 61.

3.Бутко (Номбре) С.Б., Волобуева Т.В., Сторожев В.И. Нормальные волны в ортотропных пластинах и призматических телах с тонкими нерастяжимыми покрытиями граней // Теорет. и прикл. механика. - Вып. 25. - 1995. - С. 90-97. (Статья переведена на английский язык и издана в США: Butko S.B., Volobueva T.V., Storozhev V.I. Normal waves in orthotropic plates and prismatic bodes with thin face coatings // J. Math. Sciences. - Vol. 84, № 6. - 1997. - P. 1528 - 1532.)

4.Бутко (Номбре) С.Б., Сторожев В.И. Колебания толстого ортотропного диска с тонкими нерастяжимыми покрытиями граней // Теорет. и прикл. механика. - 1997. - Вып. 27. - С. 108-114. (Статья переведена на английский язык и издана в США: Butko S.B., Storozhev V.I. Vibrations of a thick orthotropic disk with inextensible faсe coating // J. Math. Sciences. - Vol. 90, № 1. - 1998. - P. 1871 - 1874.)

5.Номбре С.Б., Сторожев В.И. Отражение и преломление нормальних волн в составном прямоугольном ортотропном волноводе // Теорет. и прикл. механика. - 2000. - Вып. 31. - С. 115-123.

6.Чернавская Н.П., Бутко (Номбре) С.Б., Сторожев В.И. Спектр связанных электроупругих волн в прямоугольном пьезоактивном волноводе с тонкими нерастяжимыми покрытиями граней // Деп. в ГНТБ Украины 9.10.1996, № 1864-Ук96. - 46 с.

7.Бутко (Номбре) С.Б., Сторожев В.И. Анализ спектра резонансных колебаний прямолинейно-ортотропных дисковидных пластин с тонкими нерастяжимыми покрытиями граней на основе пространственной модели // Тез. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1996). - Тез. докл. - Киев: КГУ, 1996. - С. 34.

8.Бутко (Номбре) С.Б., Сторожев В.И., Царевский С.Л. Возбуждение и преломление нормальных волн в ортотропном волноводе прямоугольного сечения с тонкими нерастяжимыми покрытиями граней // International Conference "Modelling and Investigation of Systems Stability" (Kiev, 1997). -Thesis of Conference Reports. - Киев, 1997. - С. 26.

9.Бутко (Номбре) С.Б., Волобуева Т.В., Копычко О.Н., Сторожев В.И., Шпак В.А. Исследование теоретических моделей возбуждения и распространения упругих волн в пластинчатых, призматических и цилиндрических кристаллических волноводах орторомбического класса // Международная конференция "Математические модели физических процессов и их свойства" (Таганрог, 1997). - Тез. докладов. – Таганрог: ТГПИ, 1997. - С. 19.

10.Волобуева Т.В., Номбре С.Б., Сторожев В.И. Концентрация энергии при возбуждении упругих волн в анизотропных цилиндрических и призматических телах // Труды Международной научной конференции "Современные проблемы концентрации напряжений" (21-25 июня 1998 г., г. Донецк). – Донецк: ДонГУ, 1998. - С. 51-55.

11.Номбре С.Б., Сторожев В.И. Спектр свободных пространственных колебаний ортотропного прямоугольного призматического тела с тонкими нерастяжимыми покрытиями плоских граней // Труды Международной конференции "Математики в индустрии" (Таганрог, 29 июня - 3 июля 1998 г.). – Таганрог: ТГПИ, 1998. - С. 246 - 248.

АНОТАЦІЇ

Номбре С.Б. Просторовi коливання i хвилi у анiзотропних тiлах з гнучкими нерозтяжними покриттями граней. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття вченого ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.02.04 - механіка деформiвного твердого тiла, Донецький державний унiверситет, Донецьк, 2000.

Дисертацiйну роботу присвячено теоретичному чисельно-аналiтичному дослiдженню процесiв збудження, розповсюдження, вiдбиття та заломлення нормальних хвиль у тривимiрних тiлах у виглядi шару та прямокутної призми необмеженої довжини iз прямолiнiйно-анiзотропних п'єзоактивних та неп'єзоактивних матерiалiв при наявностi на граничних поверхнях тiл або на їх частинi безiнерцiйних гнучких нерозтяжних покриттiв. Основнi результати полягають у: побудовi та дослiдженнi дисперсiйних рiвнянь; вивченні структури та особливостей повних дисперсiйних спектрiв нормальних хвиль; розробцi методик дослiдження процесiв збудження, вiдбиття, заломлення хвиль у призматичних тілах з використанням рядiв за множинами нормальних хвиль; дослiдженнi особливостей динамiчних крайових ефектiв; розвитку теорії динамiчних однорiдних розв'язкiв стосовно до просторових задач про коливання однозв'язних прямолiнiйно-ортотропних пластин з покриттями граней; визначеннi систем однорiдних розв'язкiв для п'єзоактивних пластин, що мiстять некласичнi комплекснi вектор-функцii; побудовi та дослiдженнi розв'язкiв задач про коливання ортотропних дисковидних тiл та ортотропних тiл у формi паралелепiпеду.

Ключовi слова: прямолiнiйно-анiзотропнi товстi пластини та прямокутнi призматичнi тiла, безiнерцiйнi гнучкi нерозтяжнi покриття, п'єзоактивні та неп'єзоактивнi матерiали, спектри нормальних хвиль, збудження, вiдбиття та заломлення хвиль, однорiднi розв'язки, коливання тiл скiнчених розмiрiв, динамiчнi крайовi ефекти.

Nombre S.B. Space vibrations and waves in a anisotropic bodies with flexible non-tensility covers of faces. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.02.04 - mechanics of the deformable solid body. - Donetsk State University, Donetsk, 2000.

The dissertation is devoted to the theoretical numerical-analytical investigation process of propagation and scattering of normal elastic waves in a tree-dimensional rectilinear-anisotropical piezoelectric or non-piezoelectric bodies in form of layer and right-angle prism with flexible non-tensility covers of faces. The basis results is construction of general dispersion solutions, investigation of full dispersions spectrum of normal waves, construction of methodics investigation of excitation, indirection and refraction normal waves in prismatic bodies on the basis of series in the set of normal waves. Dynamic edges effects in this bodies are investigated. The theory of dynamic homogeneous solutions for problems of stationary thick-symmetrical vibrations one-connected rectilinear-orthotropic plates with flexible non-tensility covers of faces are constructed. On the basis of methods dynamic homogeneous solutions investigated free vibrations rectilinear-orthotropic disk-type plates and prismatic finite bodies.

Key words: rectilinear-orthotropic thick plates, right-angle prismatic bodies, flexible non-tensility covers, piezoelectric or non-piezoelectric materials, spectrum of normal waves, excitation, indirection and refraction waves, homogeneous solutions, vibrations of finite bodies.

Номбре С.Б. Пространственные колебания и волны в анизотропных телах с гибкими нерастяжимыми покрытиями граней. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий государственный университет, Донецк, 2000.

Рассматриваемая в диссертации проблема теоретического изучения закономерностей формирования полей распространяющихся и стоячих упругих волн в существенно анизотропных деформируемых телах пространственной геометрии относится к числу важнейших актуальных фундаментальных и прикладных задач механики сплошных сред, которые на сегодняшний день по многим аспектам остаются открытыми.

Диссертационная работа посвящена теоретическому численно-аналитическому исследованию процессов возбуждения, распространения, отражения и преломления нормальных волн в трехмерных телах в виде слоя и однородной либо составной прямоугольной призмы неограниченной длины из прямолинейно-анизотропного пьезоактивного или непьезоактивного материала при наличии на граничных поверхностях тел или на части этих поверхностей безинерционных гибких нерастяжимых покрытий. В работе также дано развитие теории динамических однородных решений для прямолинейно-ортотропных пластин с покрытиями на лицевых поверхностях и ее применение к численно-аналитическому решению задач о колебаниях анизотропных тел конечных размеров в форме кругового диска и параллелепипеда с покрытиями на боковых плоских гранях.

Основные полученные в работе результаты состоят в следующем.

Дано построение и исследование дисперсионных уравнений для расчета полных спектров нормальных волн исследуемого типа в прямолинейно-ортотропном слое. Получены и исследованы уравнения относительно критических частот распространяющихся нормальных волн. Изучены структура и особенности полных дисперсионных спектров нормальных волн. Для реальных и модельных материалов проведен анализ основных особенностей перестройки структуры полных дисперсионных спектров при изменении направления распространения в плоскости ортотропного слоя и при варьировании количественной меры анизотропии. Исследованы асимптотические свойства нормальных волн в высокочастотном коротковолновом диапазоне, а также их групповые скорости для частот, близких к критическим; дана оценка возможности существования мод обратных волн в волноводах исследуемого типа.

Дана разработка и апробация методик исследования процессов возбуждения, отражения, преломления волн в однородных и составных по длине протяженных прямолинейно-ортотропных призматических телах с использованием рядов по множествам нормальных волн. Разработана методика исследования процесса возбуждения нестационарных импульсных нормальных волн треугольной формы в полубесконечных ортотропных однородных призматических волноводах нормальными динамическими усилиями, приложенными к прямоугольной торцевой поверхности. Проведены исследования особенностей динамических краевых эффектов вблизи торцевых поверхностей возбуждения и поверхностей контакта в составных волноводах.

Построено обобщение теории динамических однородных решений применительно к пространственным задачам о стационарных симметричных по толщине колебаниях односвязных прямолинейно-ортотропных пьезоактивных и непьезоактивных пластин сложного очертания с гибкими нерастяжимыми покрытиями граней. Базисные системы однородных частных решений для пьезоактивных пластин построены с использованием введенной в работе новой модификации неклассических специальных вектор-функций обыкновенных и обобщенных комплексных переменных, для которых исследован и обоснован ряд основных свойств - абсолютная и равномерная сходимость представлений векторными степенными рядами, полнота, существование формул дифференцирования. Применительно к односвязным непьезоактивным пластинам реализовано также обобщение теории динамических однородных решений экспоненциального типа. С использованием построенного множества экспоненциальных однородных решений получено решение пространственной задачи о стационарных колебаниях круговой дисковидной пластины из прямолинейно-ортотропного монокристалла сегнетовой соли при заданных на цилиндрической боковой поверхности амплитудных перемещениях. В рядах по множеству распространяющихся и краевых стоячих нормальных волн для прямолинейно-ортотропного непьезоактивного призматического волновода построено решение пространственной задачи о собственных колебаниях тела в форме параллелепипеда конечной длины, имеющего гибкие нерастяжимые покрытия на четырех боковых гранях и свободные торцевые поверхности.

Результаты диссертационной работы имеют фундаментальное значение для развития научных представлений об особенностях и закономерностях распространения, возбуждения, отражения и преломления волн в существенно анизотропных телах пространственной геометрии и прикладное значение для научно-конструкторских разработок в области акустоэлектроники, ультразвуковой дефектоскопии, приборостроения и машиностроения.

Ключевые слова: прямолинейно-анизотропные толстые пластины и прямоугольные призматические тела, безинерционные гибкие нерастяжимые покрытия, пьезоактивные и непьезоактивные материалы, возбуждение, отражение и преломление волн, однородные решения, колебания тел конечных размеров, спектры нормальных волн, собственные колебания, динамические краевые эффекты.