Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики

Ім. Я.С.Підстригача

УДК 539.3

Николишин

Тарас Миронович

Гранична рівновага ортотропних циліндричних оболонок з тріщинами з врахуванням пружнопластичного деформування

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор

Осадчук Василь Антонович, Державний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедри

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор Саврук

Михайло Петрович, Фізико- механічний інститут ім. Г.В.Карпенка НАН України, завідувач відділу;

- доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Михаськів Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, старший науковий співробітник

Провідна установа – Інститут електрозварювання ім. Е. О. Патона НАН України

Захист відбудеться “25” грудня 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79053, Львів, вул. Наукова, 3б.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України (Львів, вул. Наукова, 3б).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 79053, Львів, вул. Наукова, 3б, ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, вченому секретарю спеціалізованої ради.

Автореферат розіслано “ 23 “ листопада 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук П.Р.Шевчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В сучасній техніці та будівництві широко використовуються оболонкові елементи конструкцій. Для виготовлення таких елементів часто використовуються композитні матеріали, зокрема армовані надміцними волокнами пластики, для яких притаманні анізотропія деформаційних і міцнісних властивостей, а також порівняно низька зсувна жорсткість. Окремі композити схильні до руйнування через поширення тріщин. Наявність гострокінцевих дефектів, тріщин, пустот, включень та інших концентраторів напружень суттєво впливає на міцність конструкції. Щоб оцінити вплив таких концентраторів на напружений стан тіла доцільно провести дослідження для простіших концентраторів, які піддаються аналітичному аналізу, наприклад, для математичних розрізів – тріщин.

Основи теорії та методи розв”язування задач механіки руйнування тіл з тріщинами викладені в багатьох монографіях і наукових статтях. Досить повний огляд таких робіт наведено в семитомній монографії “Разрушение” під редакцією Г.Любовиця, чотирьохтомній монографії “Механика разрушения и прочность материалов” під редакцією В.В.Панасюка, двохтомній монографії “Справочник по коэфициентам интенсивности напряжений” під редакцією Ю.Муракамі та інших монографіях. Щодо оболонок з тріщинами, то досить повний огляд наведено в монографії В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дицишин “Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочка”, в монографії В.А.Осадчука “Напряженно-деформированое состояние и предельное равновесие оболочек с разрезами” та в монографії “Концентрация напряжений” під редакцією А.Н.Гузя, А.С.Космодаміанського, В.П.Шевченка, а також в оглядових статтях Я.С.Підстригача, В.А. Осадчука, В.В.Панасюка, М.П.Саврука та інших.

Дослідження впливу анізотропії матеріалу оболонки на розподіл напружень біля вершин тріщин проводились в роботах Н.Абе, Ф.Ердогана, М.Ратвані, У. Юсеоглу, В.П.Шевченка, К.М.Довбні, В.А.Цванга. Ці дослідження проведені в рамках теорії пологих оболонок. Пружну рівновагу анізотропної замкнутої циліндричної оболонки, послабленої тріщинами вздовж лінії головних кривих, методами технічної теорії оболонок вивчали Л.А.Фільштинський і В.А.Любчак. В рамках загальної моментної теорії оболонок Кірхгофа-Лява розподіл напружень біля повздовжної тріщини в циліндричній оболонці спеціальної ортотропії досліджували В.А.Осадчук і І.К.Костенко, а біля довільно орієнтованої тріщини в циліндричній анізотропній оболонці – І.Б.Прокопович.

На основі рівнянь уточнених теорій оболонок, яка враховує наявність низької зсувної жорсткості матеріалу, вивченню розподілу напружень біля вершин тріщин в анізотропних оболонках присвячено відносно мало робіт. Це роботи С. Кренка, Ф. Делала, Ф.Ердогана, О. Ясхі для пологих оболонок спеціальної ортотропії, де за вихідні брались рівняння теорії оболонок Рейснера, а також роботи В.А Осадчука, М.М. Николишина для замкнутої трансверсально- ізотропної циліндричної оболонки, де дослідження проведенні на основі рівнянь технічної теорії оболонок типу Тимошенка. Згадані дослідження на основі уточнених теорій проведені на випадок симетричного відносно лінії тріщини навантаження. Дослідження впливу довільного навантаження на граничну рівновагу ортотропної циліндричної оболонки на основі загальної моментної теорії оболонок типу Тимошнка проведено в роботах Л.М.Сеньків. Відзначимо, що всі згадані вище дослідження граничної рівноваги оболонок проведені на основі концепції Гріффітса-Ірвіна. Однак з практики відомо, що істотну роль у процесі руйнування відіграють пластичні деформації, що розвиваються біля вершин тріщин. Розміри зон пластичних деформацій можуть бути сумірними з розмірами тріщини. В таких випадках для точнішої оцінки опору матеріалу поширенню тріщини необхідно використовувати методи нелінійної механіки руйнування, тобто розв”язувати пружнопластичну задачу за невідомої зони пластичного деформування біля вершини тріщини. Це суттєво ускладнює побудову розв’язків.

В літературі набув поширення і підтверджений експериментально метод розв"язування пружнопластичних задач для пластин з тріщинами, який грунтується на припущенні, що пластичні деформації локалізовані в тонких смугах на продовженні лінії тріщин. Це роботи М.Я.Леонова, В.В.Панасюка, С.Я. Яреми, П.В.Витвицького, Д.С.Дагдейла, А.А.Уельса. Запропоновану в цих роботах модель тріщини та пластичних зон в літературі називають моделлю Леонова-Панасюка-Дагдейла або просто -моделлю. Ф.Ердоган, М.Ратвані, Е.Фоліас побудували аналог -моделі для пологих оболонок, ослаблених однією тріщиною, а В.А.Осадчук, М.М.Николишин, А.Г.Шабо – для пологих і непологих оболонок з системами взаємодіючих тріщин. Дослідження граничної рівноваги оболонок на основі -моделі проведенні тільки для ізотропних оболонок. Аналіз літературних даних показує, що найбільш вагомі результати при розв”язуванні задач про напружений стан тіл з тріщинами одержані шляхом зведення їх до систем сингулярних інтегральних рівнянь. Методи числового розв”язування таких рівнянь наведені в роботах А.І.Каландія, В.В.Панасюка, М.П.Саврука, З.П.Назарчука, В.А.Осадчука, М.В.Хая, В.В. Михаськіва та інших.

Актуальність обраної для дисертаційної роботи теми - гранична рівновага ортотропних циліндричних оболонок з тріщинами з врахуванням пружнопластичного деформування – зумовлена як практичною необхідністю оцінки міцності оболонкових елементів конструкцій, виготовлених із ортотропних матеріалів, так і розвитком теорії та методів розв”язування задач механіки руйнування тіл з тріщинами.

Метою дисертації є розробка аналітико-числової методики розв”язування задач про напружений стан і граничну рівновагу ортотропних циліндричних оболонок з наскрізними та ненаскрізними тріщинами з використанням аналога -моделі та рівнянь теорії оболонок типу Тимошенка, побудова на цій основі розв’язків нових задач і вивчення впливу зовнішнього навантаження, залишкових напружень, пружного середовища, взаємодії тріщин, геометричних і механічних параметрів на граничну рівновагу оболонки.

Зв”язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках наукової теми Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України “Розробка математичних моделей та дослідження міцності неоднорідних тіл з дефектами та залишковими напруженнями” (1997-2000 рр., держреєстрація № 0197 U 008955) та проекту Державної науково-технічної програми 04.05/03830 “Розробити методи визначення і регулювання залишкових напружень в тонкостінних зварних конструкціях та оцінити їх вплив на опір квазікрихкому руйнуванню” (1997-1999 рр., держреєстрація № 0197 U 015143).

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

-

-

-

-

Вірогідність основних наукових положень та отриманих результатів забезпечується використаням при отриманні основних рівнянь відомих математичних методів; застосуванням до розв”язування систем інтегральних рівнянь апробованих для ізотропних оболонок числових методів; співставленням деяких результатів розв”язків задач у часткових випадках з відомими у літературі, отриманими іншими аналітичними або числовими методами.

Теоретичне значення роботи полягає в позширенні аналога -моделі в комплексі з методом дисторсій в теорії тонких оболонок і рівняннями загальної теорії оболонок типу Тимошенка на випадок ортотропних циліндричних оболонок з наскрізними та ненаскрізними тріщинами. Прикладне значення роботи полягає в можливості застосування запропонованої методики для дослідження граничної рівноваги тонкостінних анізотропних елементів конструкцій, які можна моделювати ортотропною циліндричною оболонкою, та використання отриманих в роботі результатів і висновків для раціонального вибору ортотропного матеріалу для виробів, що експлуатуються в заданих умовах.

Апробація результатів роботи. Основні результати, викладені в дисертації доповідались і обговорювались на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998); Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми математики” (Чернівці,1998); 2-й Міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів та міцність конструкцій” (Львів, 1999); 3-й Міжнародній конференції “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Мукачево, 1998); 1-му науковому симпозіумі “Сучасні проблеми інженерної механіки” (Луцьк, 2000).

Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на спеціалізованому кваліфікаційному семінарі “Механіка деформівного твердого тіла” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України (Львів, 2000), науковому семінарі відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл в цьому ж Інституті, на семінарі відділу міцності зварних конструкцій Інституту електрозварювання ім.Є.О.Патона.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень, які відображені у дисертації, опубліковані у 9-ох наукових працях [1-9], у тому числі у 5-ох статтях в наукових журналах і збірниках наукових праць, які входять до переліку фахових видань, затвердженого ВАК України; у 2-ох матеріалах міжнародних конференцій; у 2-ох тезах доповідей конференції та симпозіуму.

Основні результати роботи отриманні автором самостійно. В роботах [1, 3, 7, 9] разом зі співавтором здобувач брав участь у постановці задач і розробці методики їх дослідження. Здобувач отримав системи нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь відповідних задач, побудував алгоритм їх числового розв”язування та провів числовий аналіз залежності розкриття тріщин і розмірів пластичних зон від геометричних і механічних параметрів оболонок, що розглянуті в цих роботах. В роботах [2, 5, 8] здобувач зробив постановку задач, звів їх до систем нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь, використавши при цьому фундаментальний розв”язок ключових диференціальних рівнянь, отриманий співавтором, провів числовий аналіз та брав участь в інтерпритації результатів. В роботі [4] здобувач брав участь у постановці задачі, аналітичних викладках та числовому аналізі. В роботі [6] здобувач зробив постановку задачі, звів її до системи інтегральних рівнянь, провів числовий аналіз та брав участь у інтерпритації результатів.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з п”яти розділів, в тому числі вступ і висновки, та списку використаної літератури. Загальний обсяг роботи становить 131 сторінок, з них ілюстрації займають 24 сторінок (24 ілюстрацій). Бібліографія складається із 128 джерел і займає 16 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено короткий огляд праць за темою дисертації; обгрунтовано актуальність проблематики; розкрито сутність і стан вивчення вибраної теми; сформульовано мету роботи та визначено новизну отриманих результатів їх наукову та практичну значимість; наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи, та визначено особистий внесок здобувача в цих публікаціях; показано зв”язок роботи з науковими програмами та планами, що виконуються в установі, де працює здобувач; коротко викладені результати, що отримані в дисертації.

В другому розділі зроблено постановку задачі про напружено-деформований стан та граничну рівновагу ортотропної кругової безмежної пружнопластичної циліндричної оболонки з тріщинами та подано загальний метод зведення її до систем нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь.

Розглянуто тонку ортотропну циліндричну оболонку з системою k наскрізних тріщин, що розміщені вздовж ліній головних кривих. Тріщини не перетинаються та їх береги в процесі деформації не контактують між собою. Оболонка перебуває під дією зовнішнього навантаження, а до берегів тріщин можуть бути прикладені самозрівноважені зусилля та моменти. Розміри тріщин, величина зовнішнього навантаження, поведінка ортотропного матеріалу такі, що пластичні деформації розвиваються вузькою смугою на продовжені тріщин по всій товщині оболонки. Відомо, що така форма зон пластичних деформацій біля тріщин в тонкостінних елементах конструкцій підтверджена експериментально.

Для побудови математичної моделі ортотропної циліндричної оболонки з тріщинами використано аналог -моделі та рівняння загальної моментної теорії анізотропних оболонок типу Тимошенка. Вузькі смуги пластичності на продовженні тріщин моделюються поверхнями розриву пружних узагальнених переміщень, тобто фіктивною тріщиною, а реакція матеріалу пластичної зони на пружній об”єм моделюється невідомими нормальними, зсувними, перерізуючими зусиллями та згинним і крутним моментами (Рис.1), які задовольняють відповідні умови пластичності тонких оболонок

(1)

Отже пружнопластична задача про напружений стан ортотропної циліндричної оболонки, ослабленої системою k тріщин заданої довжини зведена до пружної задачі про граничну рівновагу ортотропної циліндричної оболонки з системою k тріщин невідомої довжини, до берегів яких прикладені невідомі зусилля та моменти, які і протидіють розкриттю тріщин і задовольняють умову пластичності (1).

Так як береги реальних тріщин навантажені самозрівноважними зусил-лями та моментами, то повинні задовольнятися умови на контурі кожної з поперечних фіктивних тріщин

(2)

де

(3) (4)

Знаками “+” і “-“ відмічено граничні значення функцій на берегах тріщин; верхнім індексом “0” при зусиллях й моментах відмічено компо-ненти основного напруженого стану, що викликані зовнішнім навантаженням в оболонці без тріщин; верхнім індексом “1” – зусилля та моменти, які прикладені до берегів реальних тріщин; верхніми індексами “2” та “3” – невідомі зусилля та моменти, що прикладені до берегів фіктивних тріщин та відповідно, і які задовольняють умови пластичності (1); R- радіус серединної поверхні оболонки. Аналогічні умови записані для поздовжніх тріщин.

Розв”язок пружної задачі для ортотропної циліндричної оболонки з системою тріщин, на берегах яких виконуються умови (2), (3), будується на основі методу дисторсій в теорії тонких оболонок з тріщинами, запропонованого Я.С.Підстригачем і В.С.Осадчуком. Його суть: оболонці з тріщинами ставиться у відповідність суцільна оболонка із зосередженими на лініях тріщин джерелами власних напружень із невідомими густинами, що зумовлюють в суцільній оболонці напружено-деформований стан аналогічний, як в оболонці з тріщинами. Для того, щоб записати ключові рівняння загальної моментної теорії анізотропних оболонок типу Тимошенка, що враховують наявність в циліндричній оболонці власних напружень, компоненти повної деформації подано у вигляді

(5)

де - пружні деформації, які зв”язані з власними напруженнями законом Гука; - функціонали, які виражаються через стрибки узагальнених переміщень (переміщень серединної поверхні та кутів повороту нормалі до неї) і узагальнену – функцію Дірака.

Після підстановки подання (5) в рівняння теорії анізотропних оболонок типу Тимошенка отримано систему п”яти ключових рівнянь ортотропної циліндричної оболонки в переміщеннях, яка враховує наявність власних напружень

(6)

де - диференціальні оператори не вище другого порядку; - диференціальні оператори, які діють на усереднені по товщині оболонки деформації з використанням далі операторного методу розв”язок системи (6) побудовано у вигляді

(7)

Тут - мінори визначника системи (8); а ключові функції визначаються з рівнянь десятого порядку

(8)

з врахуванням неперервності зусиль та моментів при переході через лінії тріщин записано вирази для функціоналів через стрибки переміщень і кутів повороту. Так для поперечної тріщини, розміщеної вздовж лінії , ці вирази мають вигляд

(9)

Підставивши співвідношення (9) та аналогічні для поздовжньої тріщини в рівняння (8) і розв”язавши їх, отримали за відповідними формулами зусилля та моменти в довільній точці оболонки. Вимагаючи, щоб виконувались умови на лініях фіктивних тріщин типу (2), отримано систему 5k нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь виду

(10)

Тут – похідні від стрибків узагальнених переміщень по нормалі до контору m-ї тріщини – неперервні функції, явні вирази яких визначаються при розв”зуванні конкретних задач; - параметри, що характеризують матеріал і геометрію оболонки; -як видно з (3), розривні функції, що містять невідомі зусилля та моменти , які характеризують реакцію пластичної зони на пружний об”єм оболонки. Границі інтегрування в системі (10) невідомі, так як невідомі розміри пластичних зон, а отже довжини фіктивних тріщин. Для розв”язування конкретних задач отримані інтегральні рівняння доповнюються умовами однозначності узагальнених переміщень, відповідними умовами пластичності тонких оболонок і умовами обмеженості зусиль і моментів біля вершин фіктивних тріщин.

Третій розділ присвячено дослідженню граничної рівноваги пружнопластичних ортотропних циліндричних оболонок з наскрізними тріщинами. Спочатку розглянуто задачу про граничну рівновагу замкнутої ортотропної циліндричної оболонки із ідеально пружнопласичного матеріалу, ослабленої поперечною тріщиною. Напружено-деформований стан оболонки вважається симетричним відносно лінії , так що кінці тріщини знаходяться в однакових умовах, а отже довжини пластичних зон та зусилля й моменти, що характеризують їх реакцію, біля обох кінців тріщини однакові. Функціонали мають вигляд (9) і тому з десяти ключових функцій тільки п”ять відмінні від нуля, а .

На основі методики, наведеної в другому розділі, задача зведена до системи п”яти сингулярних інтегральних рівнянь

(11)

Розв”язок системи сингулярних інтегральних рівнянь (11) повинен задовольняти умови

. (12) Для ортотропної циліндричної оболонки система (11) розпадається на дві: систему двох рівнянь, що відповідають симетричному відносно лінії тріщини навантаженню та систему 3-ох рівнянь антисиметричного навантаження.

На випадок симетричного навантаження система інтегральних рівнянь доповнена умовами обмеженості зусиль і моментів біля вершин тріщин, з яких випливає, що

(13)

тобто коефіцієнти інтенсивності нормального зусилля та згинального моменту рівні нулю, а також умовами пластичності Треска у вигляді умови пластичності поверхневого шару

(14)

або умови пластичного шарніру

. (15)

В роботі показано, що розподіли напружень в пластичній зоні по товщині оболонки, які відповідають умовам (14) та (15) є мажорантними для довільного розподілу напружень по товщині в пластичній зоні оболонки з ідеально пружнопластичного матеріалу.

Співвідношення (11), (12), (13), та (14) або (15) складають повну систему рівнянь для визначення похідних від стрибків переміщень і кутів повороту, довжини пластичних зон та зусиль-моментів, що характеризують реакцію пластичної зони на пружну. Але, як відмічалось раніше, праві частини системи інтегральних рівнянь є розривні функції. Числовий експеримент показав, що прямі методи числового розв”язування таких систем дають значні похибки в точках розриву. Тому розв”язок системи (11) побудовано у вигляді

(16)

де - розв”язок відповідних канонічних сингулярних інтегральних рівнянь з розривною правою частиною

(17)

який знайдено з допомогою формули обернення інтегралів типу Коші.

Після підстановки (16) в систему інтегральних рівнянь (11), отримано систему інтегральних рівнянь типу (11) для визначення функцій . Праві частини рівнянь цієї системи - неперервні функції, які містять невідомі величини зусилля N та моменту M – реакції пластичної зони на пружну, тому їх записано таким чином

Відповідно розв’язок отриманої системи інтегральних рівнянь побудовано у вигляді

(18)

Вираз кожної із пар функцій знайдено за допомо-гою методу механічних квадратур. Для цього функції подано у вигляді

(19)

а для кожної неперервної функції побудовано інтерполяційний поліном Лагранжа за чебишевськими вузлами. Тобто розв’язок системи інтегральних рівнянь зведено до розв'язування системи алгебраїчних рівнянь, в яку невідома довжина фіктивної тріщини входить нелінійно. Тому системи алгебраїчних рівнянь розв’язуються методом перебору. Вибирається початкове значення , знаходяться праві частини системи інтегральних рівнянь для визначення функцій , будуються та розв’язуються відповідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, з умов (13) знаходяться N та M і перевіряється одна з умов пластичності (14) або (15). Якщо умова пластичності виконується з наперед заданою точністю, то розв’язок знайдено, якщо ні – то певним чином змінюється і процедура повторюється.

Після інтегрування отриманого розв’язоку, розкриття тріщини в довільній її точці визначається за формулою

(20)

Якщо прирівняти праву частину даного виразу до величини критичного розкриття вершини тріщини , яка для заданих умов навколишнього середовища та швидкості деформації є константою матеріалу, отримаэмо критеріальне співвідношення, яке встановлює зв’язок між зовнішнім навантаженням, довжиною тріщини, геометричними та фізико-механічними параметрами оболонки в умовах гранично рівноважного стану.

Числовий аналіз проведено для орторопної циліндричної оболонки, виготовленої з однонаправлених склопластиків. Розглядались два випадки розміщення армуючих волокон: армуючі волокна розміщені перпендикулярно до серединної поверхні, яка і буде площиною ізотропії, а оболонка – трансверсально-ізотропною; армуючі волокна розміщені паралельно до твірної або напрямної лінії циліндричної оболонки, яка в даному випадку є власне ортотропною. Аналіз проводився для ортотропних оболонок, виготовлених із склопластиків, які розтягуються на нескінченності постійними зусиллями . Показано, що з ростом зусиль та довжини реальної тріщини розкриття вершини тріщини та довжина пластичних зон монотонно зростають. Із зменшенням відношення збільшується розкриття тріщини та довжина пластичної зони. Різниця результатів, отриманих на основі різних умов пластичності, не перевищує 10%. Із збільшенням довжини реальної тріщини вплив ортотропії на розкриття тріщини збільшується, а трансверсальної ізотропії – зменшується.

Аналогічні дослідження проведено для ортотропної циліндричної оболонки з поздовжньою тріщиною. На відміну від попередньої задачі вважалось, що ортотропному матерілу оболонки притаманне зміцнення, а зусилля та момент, що характеризують реакцію пластичної зони на пружну, змінюються вздовж пластичної зони за лінійним законом. Числовий аналіз проведено для анізотропної оболонки, що знаходиться під внутрішнім тиском. Показано, що при всіх інших рівних умовах розкриття вершини поздовжньої тріщини більше ніж поперечної, але вплив ортотропії для конкретних матеріалів більший, ніж вплив кривини. Врахування зміцнення матеріалу приводить до зменшення розкриття вершини тріщини та довжини пластичної зони на продовженні тріщини.

У цьому ж розділі досліджено взаємодію двох тріщин, що розміщені вздовж однієї з координатних ліній ( ліній головних кривин ) в ортотропній циліндричній оболонці. Зовнішнє навантаження симетричне відносно лінії, на якій розміщені тріщини. Тріщини однакової довжини і знаходяться в однакових умовах. Пластичні зони зліва та справа від кожної з тріщин мають різну довжину, і відповідно зусилля та моменти, що характеризують реакцію цих зон, також різні.

За методикою, приведеною в другому розділі задача зведена до системи двох нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь типу (11), праві частини якої містять чотири невідомі величини зусиль та моментів – реакції пластичної зони на пружну. Невідомими є обидві границі інтегрування. Ядра цієї системи, на відміну від попередніх задач, не є різницевими.

Розв’язок отриманої системи подається у вигляді (16), але функція в даному випадку має складніший вигляд. Система алгебраїчних рівнянь доповнюється шістьма умовами: умовами пластичності в обох зонах та обмеженості нормального зусилля та згинального моменту біля обох кінців фіктивної тріщини. Числовий аналіз проведено для ортотропної циліндричної оболонки з двома поперечними тріщинами, яка розтягується прикладеними на нескінченності осьовими зусиллями . Показано, що взаємодія тріщин залежить від відстані між тріщинами, їх довжини, навантаження та параметрів ортотропії. На початку взаємодії тріщин розкриття в їх ближніх вершинах дещо менше, ніж у вершині однієї ізольованої тріщини. Дві поперечні тріщини для випадку суттєво взаємодіють швидше при меншій відстані між ними, ніж в ізотропній оболонці.

Тут же досліджено граничну рівновагу ослабленої регулярною системою k паралельних поздовжніх тріщин трансверсально-ізотропної циліндричної оболонки, що контактує з пружним середовищем, для якого справедлива гіпотеза Вінклера. Тобто на оболонку, крім зовнішнього навантаження, діє додаткове навантаження пропорційне нормальному переміщенню серединної поверхні оболонки w.

На основі запропонованої методики, з використанням – періодичного розв’язку ключових рівнянь, задача зведена до системи двох нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь. Для трансверсально-ізотропної оболонки, що знаходиться під дією внутрішнього тиску, проведено числовий аналіз. Для малих значень коефіцієнта постелі ( коефіцієнта опору пружного середовища нормальним переміщенням оболонки ) залежність між розкриттям вершин тріщин та їх кількістю не монотонна, так для k=5 розкриття вершини тріщини менше ніж для k=1, а для k=9 – більше, ніж для k=1. Для більших значень ця залежність монотонна: розкриття вершин тріщин зменшується із збільшенням їх кількості.

У четвертому розділі досліджується гранична рівновага ортотропних циліндричних оболонок з ненаскрізними тріщинами. Спочатку дослідження проводяться на основі аналога – моделі, запропонованого в роботах Ердогана та Ратвані для пологих ізотропних оболонок. (Рис. 2) Тобто в пластичних зонах над і під тріщиною діють постійні напруження, а в пластичних зонах на продовженні тріщини – постійне зусилля N та момент M, що задовольняють умову пластичності тонких оболонок. Для ортотропної оболонки, ослабленої поперечною або поздовжньою ненаскрізною тріщиною, у випадку симетричного відносно лінії тріщини навантаження, отримано систему двох інтегральних рівнянь, яка розв’язана за аналогією з попереднім, сумісно з умовами пластичності Треска та умовами обмеженості зусиль – моментів біля вершин фіктивної тріщини. Проведено дослідження розкриття тріщини в ортотропній оболонці з поверхневою тріщиною (). Розкриття тріщини обчислено в різних точках її контура. На основі числового аналізу зроблено висновок про можливість поширення тріщини тільки по глибині (утворення наскрізної тріщини) або повного руйнування оболонки.

У роботі побудовано узагальнений аналог –моделі для ортотропної циліндричної оболонки з ненаскрізною тріщиною, згідно з яким координата нейтрального волокна вздовж пластичної зони змінюється за лінійним законом, а невідомі зусилля та моменти ( реакція пластичної зони на пружний об’єм ) – відповідно за квадратичним та кубічним законами. На основі цього аналога –моделі проведено числовий аналіз залежності розкриття фронту внутрішніх і поверхневих тріщин в ортотропній оболонці від навантаження, геометричних і фізико-механічних параметрів. Показано, що для низки випадків із достатньою точністю можна використовувати аналог –моделі із постійною координатою нейтрального волокна та сталими зусиллями – моментами вздовж пластичної зони.

У цьому ж розділі досліджено вплив залишкових зварних напружень на розкриття поверхневої поздовжньої тріщини в ортотропній циліндричній оболонці. Розглядається оболонка, зварена встик з двох півбезмежних частин. Вважається, що основний матеріал оболонки та метал термічного впливу зварювання мають однакові пружні характеристики, але різні границі текучості та границі міцності ( Рис.3 )

Як і в попередніх випадках із застосуванням аналога –моделі тривимірна пружнопластична задача зведена до пружної задачі для оболонки з наскрізною тріщиною невідомої довжини, що знаходиться в полі залишкових зварних напружень і до берегів якої прикладені задані та невідомі зусилля та моменти.

Пружна задача зведена до системи нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь, яка відрізняється від попередніх тим, що праві частини, через наявність залишкових напружень, мають вигляд, який затрудняє знаходження функцій .

Числовий аналіз проведено для ізотропної циліндричної оболонки. Вирази для залишкових зусиль і моментів взято з робіт В.А.Осадчука. У випадку, коли довжина тріщини менша довжини ділянки додатніх залишкових напружень, розподіл залишкових напружень апроксимовано кусково сталою функцією, для цього випадку знайдено та проведено числовий аналіз. В інших випадках розв’язок задачі побудовано прямим числовим методом (без розбиття на два доданки (30)). Різниця між результатами, отриманими цими способами, досягає 25%. Якщо тріщина знаходиться на ділянці додатніх залишкових напружень, то розкриття її більше, ніж в оболонці без залишкових напружень. Якщо пластичні зони знаходяться частково в ділянці термічного впливу, а частково в ділянці основного матеріалу, то для розкриття вершини тріщини на 15% менше, ніж для .

У висновках сформульовано основні результати роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

При вирішенні наукового завдання – розробити методику дослідження напружено-деформованого стану та граничної рівноваги ортотропних циліндричних оболонок з наскрізними та ненаскрізними тріщинами з використанням аналога -моделі та рівнянь теорії оболонок типу Тимошенка; побудувати на цій основі розв”язки нових задач і вивчити вплив зовнішнього навантаження, пружного середовища, взаємодії тріщин та залишкових напружень на граничну рівновагу оболонок – в дисертації отримано такі результати.

1. Аналог -моделі та метод дисторсій в теорії тонких оболонок з тріщинами поширено на ортотропні пружнопластичні замкнуті циліндричні оболонки, що дало можливість побудувати на основі рівнянь загальної моментної теорії оболонок типу Тимошенка єдину методику зведення задач про напружений стан і граничну рівновагу таких оболонок з наскрізними та ненаскрізними тріщинами до систем нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь, яка враховує наявність зон розвинутих пластичних деформацій на продовженні тріщин.

2. Для низки нових задач про граничну рівновагу замкнутих ортотропних циліндричних оболонок з тріщинами побудовані системи інтегральних рівнянь з невідомими границями інтегрування та розривними функціями в правих частинах, які містять невідомі величини зусиль і моментів, що задовольняють умови пластичності тонких оболонок.

3. З використанням методу механічних квадратур, умов пластичності Треска, умов єдиності переміщень і умов обмеженості зусиль та моментів біля тріщини побудовано алгоритм числового розв’язування отриманих систем інтегральних рівнянь.

4. Проведено числовий аналіз впливу навантаження, анізотропії та зміцнення матеріалу, геометричних параметрів, взаємодії тріщин, розподілу залишкових напружень, пружного середовища на граничну рівновагу ортотропних і трансверсально-ізотропних циліндричних оболонок з наскрізними та поверхневими тріщинами.

5. На основі числового аналізу розв’язаних в роботі задач зроблені висновки, які можуть бути використані під час проектування, виготовлення та надійної експлуатації елементів конструкцій сучасної техніки, серед яких:

- для ортотропної циліндричної оболонки з поздовжньою наскрізною тріщиною розкриття її вершини, віднесене до границі текучості, більше, коли напрям осі ортотропії з більшим модулем пружності співпадає з напрямом тріщини, і менше, коли ці напрями взаємно перпендикулярні; у випадку поперечної тріщини залежність розкриття її вершини від напрямків ортотропії якісно така ж, але числово менша, тобто зміна параметра сильніше впливає на поздовжну тріщину, ніж на поперечну;

- із збільшенням довжини поздовжньої чи поперечної тріщини вплив параметрів ортотропії на розкриття вершини тріщини збільшується, а трансверсальної ізотропії – зменшується;

- врахування зміцнення матеріалу ортотропної оболонки приводить до зменшення розкриття вершини тріщини;

- взаємодія тріщин при їх зближенні починається швидше у випадку, коли лінія їх розміщення співпадає з напрямком більшого модуля пружності;

- збільшення коефіцеєнта опору пружного середовища нормальному переміщенню трансверсально-ізотропної оболонки приводить до зменшення розкриття вершини тріщини; для малих значень залежність розкриття від віддалі між паралельними поздовжніми тріщинами немонотонна, починючи з деякого значення розкриття вершини тріщин зменшується з їх зближенням;

- вплив ортотропії на розкриття фронту ненаскрізних тріщин якісно такий же, як і на розкриття наскрізних тріщин;

- в залежності від розподілу, залишкові напруження можуть ініціювати розповсюдження поверхневої тріщини або бути бар’єром на шляху їх поширення; врахування зміни границі текучості в зоні термічного впливу біля зварного шва мало впливає на розкриття фронту поверхневої тріщини;

- для заданих параметрів ортотропії можна знайти таке навантаження та розміри ненаскрізної тріщини, при яких вона перетвориться на наскрізну без поширення вздовж тріщини;

-дослідження розкриття тріщин в ортотропних циліндричних оболонках для симетричного навантаження з похибкою, що не перевищує 10%, можна проводити на основі рівнянь технічної теорії оболонок типу Тимошенка; похибка більша для випадку взаємодії тріщин, для яких .

Основний зміст дисертації відображено у публікаціях

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

АНОТАЦІЯ

Николишин Т.М. Гранична рівновага ортотропних циліндричних оболонок з тріщинами з врахуванням пружнопластичного деформування. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла.- Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2000.

Дисертація присвячена розробці методики зведення пружнопластичних задач про напружно-деформований стан та граничну рівновагу ортотропних циліндричних оболонок з тріщинами до систем нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь, яка грунтується на рівняннях теорії оболонок типу Тимошенка, аналозі моделі Леонова-Панасюка-Дагдейла та методі дисторсій в теорії тонких оболонок з тріщинами. Для низки нових задач отримано системи сингулярних інтегральних рівнянь з невідомими границями інтегрування та розривними правими частинами, що містять невідомі зусиля та моменти, які задовольняють умови пластичності тонких оболонок. Побудовано алгоритм числового розв’язування отриманх рівнянь. Проведено аналіз впливу навантаження, параметрів ортотропії, взаємодії тріщин, пружного середовища, розподілу залишкових деформацій на граничну рівновагу ортотропних і трансверсально-ізотропних оболонок з наскрізними та поверхневими тріщинами.

Ключові слова: ортотропна циліндрична оболонка, наскрізна та поверхнева тріщина, аналог –моделі, теорія оболонок типу Тимошенка, система нелінійних інтегральних рівнянь, гранична рівновага.

АННОТАЦИЯ

Николишин Т.М. Предельное равновесие ортотропных цилиндрических оболочек с трещинами с учетом упругопластического деформирования. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача НАН Украины, Львов, 2000.

Диссертация посвящена разработке методики определения и ис-следования напряженно-деформированного состояния и предельного равновесия ортотропных цилиндрических оболочек со сквозными и поверхностными трещинами с учетом упругопластического деформирования. При этом за выходные взяты уравнения общей теории оболонок типа Тимошенко.

Уровень внешней нагрузки, размеры трещин и поведение материала предполагаются такими, что пластические деформации развиваются на продолжении трещин узкими полосами по всей толщине оболонки. С помощью аналога -модели Леонова-Панасюка-Дагдейла упругопластическая задача о напряженном состоянии ортотропной оболочки с трещинами заданой длины сведена к задаче об упругом состоянии такой же оболочки с трещинами неизвестной длины, к берегам которых приложены неизвестные усилия и моменты, удовлетворяющие условия пластичности тонких оболочек. Упругая задача с помощью метода дисторсий сведена к системе сингулярных интегральных уравнений. Для ряда новых задач получены системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Среди них задачи о предельном равновесии: ортотропной цилиндрической оболочки с двумя продольными или поперечными сквозными трещинами, находящейся в упругой среде трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки с регулярной системой продольных паралельных сквозных трещин, ортотропной оболочки с несквозной продольной или поперечной трещиной, цилиндрической оболочки с несквозной трещиной, находящейся в поле остаточных сварных напряжений. При этом предложена новая математическая модель несквозной трещины в ортотропной цилиндрической оболочке. В полученых в дисертации системах интегральных уравнений неизвестны пределы интегрирования, а правые части уравнений – разрывные функции, содержащие неизвестные величины усилий и моментов, действующих в пластических зонах.

С помощью метода механических квадратур решение полученых систем интегральных уравнений сведено к решению систем алгебраических уравнений. Построен алгоритм совместного числисленного решения систем алгебраических уравнений, условий однозначности перемещений, условий ограниченности усилий и моментов в околе вершин трещин и условий пластичности Треска, записаных для тонкой оболочки в виде условий пластичности поверхностного слоя или условия пластичного шарнира.

Проведен численный анализ влияния нагрузки, взаимного расположения трещин и осей ортотропии, геометрических и физико-механических параметров, взаимодействия трещин, упругой среды, остаточных напряжений на предельное равновесие ортотропных и трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек со сквозными и несквозными трещинами.

Ключевые слова: ортотропная цилиндрическая оболочка, сквозная и поверхностная трещина, аналог - модели, теория оболочек типа Тимошенко, система нелинейных интегральных уравнений, метод механических квадратур, предельное равновесие.

ABSTRACT

Nykolyshyn T.M. Limit equilibrium of orthotropic cylindrical shells with cracks providing for elasto-plastic strains. Manuscript.

The thesis presented for a Master’s Degree