МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМ. Ю.ФЕДЬКОВИЧА

НЕДОКІС Володимир Адамович

УДК 517.927; 517.946

ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ

ЗЛІЧЕННОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

У ПРОСТОРІ ОБМЕЖЕНИХ ЧИСЛОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці - 2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі геометрії і методики викладання математики Кам"янець-Подільського державного педагогічного університету.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович,

завідувач кафедри геометрії і методики

викладання математики Кам"янець-Подільського

державного педагогічного університету.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕРЕСТЮК Микола Олексійович, декан механіко-математичного

факультету Київського Національного університету ім. Тараса Шевченка,

кандидат фізико-математичних наук, доцент

БІГУН Ярослав Йосипович, доцент кафедри прикладної математики

і механіки Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ звичайних диференціальних рівнянь.

Захист дисертації відбудеться 27 жовтня 2000 року о 14 год. 00 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 при Чернівецькому державному університеті ім. Ю.Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича (вул. Лесі Українки, 23)

Автореферат розіслано 21 вересня 2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Садов"як А.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь в останні десятиліття набула інтенсивного розвитку. Це зумовлено, з одного боку, необхідністю розв’язання низки теоретичних проблем, а з іншого - запитами прикладних галузей знання та практики. Розвиток цієї теорії почався ще в кінці XIX століття з праць Флоке та О.М.Ляпунова. На початку нашого століття проблемами теорії крайових задач займались С.Н.Бернштейн, Г.Д.Біркгоф, Д.Джексон, Г.А.Блісс .

Спочатку розвивалася, в основному, теорія лінійних крайових задач. В подальшому розвиток дістає і вивчення нелінійних задач. Створюються методи дослідження існування і єдиності розв’язків, побудови наближених розв’язків, оцінки похибок. Ці проблеми висвітлені в працях М.О.Красносєльського, Г.М.Вайнікко, Н.В.Азбелєва, О.А.Бойчука, М.І.Наймарка, М.О.Пе-рес-тюка, І.Т.Кігурадзе, Д.І.Мартинюка, А.І.Перова, А.Я.Лєпіна, та інших дослідників.

На цей час теорія крайових задач використовує досить потужний арсенал методів. Ці методи можна умовно поділити на такі основні групи, як аналітичні, функціонально-ана-літичні, чисельні та чисельно-аналітичні. Слід відзначити, що аналітичні і функціонально-аналітичні методи спрямовані, головним чином, на дослідження якісних властивостей роз-в’язку, його існування та єдиності, залежності від параметрів. Чисельні методи орієнтовані на безпосередній пошук чисельних значень наближених розв’язків. Відносно чисельно-аналітичних методів можна сказати, що вони в певному розумінні є універсальними - їх застосовують як для дослідження існування розв’язків, так і для їх практичної побудови.

Завдяки тому, що чисельно-аналітичні методи зручні для реалізації на ЕОМ, значення їх з розвитком обчислювальної техніки ще збільшилось. Вони поступово стають необхідним засобом виявлення і наближеного відшукання розв’язків нелінійних крайових задач, а також відкривають перспективу подальшого розвитку конструктивних методів аналізу.

Мабуть, найбільшого поширення серед сучасних методів дослідження крайових задач набув чисельно-аналітичний метод послідовних наближень, розвинутий для звичайних диференціальних рівнянь А.М.Самойленком. Історія розвитку цього методу викладена в опублікованій в Українському математичному журналі серії статтей М.Й.Ронто, А.М.Са-мой-ленка, С.І.Трофімчука. Завдяки своїй простоті, доступності і універсальності чисельно-аналітичний метод застосовується при розв’язуванні широкого класу задач (наприклад, у працях таких дослідників, як А.М.Самойленко, Т.Г.Стрижак, Ю.В.Теплінський, Д.І.Марти-нюк, М.Й.Ронто, В.А.Ронто, А.М.Ронто, О.А.Бойчук, Т.В.Савіна, М.О.Пе-рестюк, С.І.Тро-химчук, Р.І.Петришин, А.Ю.Лучка, О.Д.Нуржанов, М.Урабе, І.О.Па-расюк, О.П.Трохимчук).

З другої половини нашого століття у зв’язку з розв’язуванням фізичних та технічних задач, що стосуються систем з нескінченною кількістю ступенів вільності, розвивається теорія диференціальних рівнянь в просторі обмежених числових послідовностей, які прийнято називати зліченними системами диференціальних рівнянь. На даний момент визначилось кілька напрямків цієї теорії: загальна теорія звичайних рівнянь, системи в часткових похідних, характеристичні числа і стійкість розв’язків, усереднення, диференціальні рівняння в нормованих просторах, “багатоперіодичні” розв’язки та деякі інші. Цій тематиці присвячено роботи А.М.Тихонова, К.П.Персидського, О.А.Жаутикова і К.Г.Валєєва, А.М.Самойленка і Ю.В.Теплінського, та багатьох інших математиків.

Незважаючи на значну кількість праць, присвячених методам дослідження крайових задач як для скінченних, так і для зліченних систем диференціальних рівнянь, питання існування та єдиності розв’язків зліченноточкових крайових задач для зліченних систем, по суті, не вивчались. В першу чергу це стосується редукції таких задач до скінченновимірного багатоточкового випадку, розв’язування задач з нелінійними крайовими умовами та задач з необмеженою множиною крайових моментів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота була розпочата в рамках теми КПМ-1-90/1АН “Багаточастотні коливання диференціальних систем в просторах обмежених числових послідовностей”, яка виконувалась на фізико-математичному факультеті Кам’янець-Подільського державного педагогічного університету в 1990 - 1995 роках і була продовжена в рамках теми ГКП-95М1 “Загальні властивості задач квазіопуклої апроксимації і чисельні методи їх розв’язування”(термін виконання - 1995-2000 роки) згідно з Координаційним планом наукових досліджень Міністерства освіти України в напрямку “Геометричні і аналітичні методи в математиці та їх застосування”.

Мета роботи - розповсюдження чисельно-аналітичного методу послідовних наближень на дослідження розв’язків крайових задач для зліченних систем нелінійних диференціальних рівнянь нормального вигляду і не розв’язаних відносно похідної у випадку зліченноточкових крайових умов (як лінійних, так і нелінійних), заданих на відрізку, а в деяких випадках - на додатній піввісі.

Методи дослідження грунтуються на розробленій А.М.Самойленком схемі дослідження розв’язків диференціальних рівнянь за допомогою чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в наступному:

- обгрунтовано застосування чисельно-аналітичного методу послідовних наближень для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь нормального вигляду зі зліченноточковими крайовими умовами. Наведено редукцію таких задач до скінченновимірного випадку. Одержано умови розв’язуваності визначальних рівнянь, достатні та необхідні умови розв’язуваності крайової задачі. Оцінено похибку наближеного розв’язку і його початкового значення у випадку лінійності правої частини нормального рівняння по ;

- результати, аналогічні до деяких із вказанах, одержано для зліченних систем диференціальних рівнянь, частково розв’язаних відносно похідної, у випадку зліченноточкових лінійних крайових умов, а також для зліченних систем нормального вигляду при зліченноточкових крайових умовах, заданих на додатній піввісі, та зліченноточкових крайових умовах з нелінійними правими частинами;

- показано можливість реалізації методу на прикладі конкретної зліченної нелінійної неавтономної системи, підпорядкованої зліченноточковій лінійній крайовій умові.

Теоретична і практична цінність дисертаційної роботи полягає в тому, що одержані результати узагальнюють і доповнюють відповідні дослідження як в теорії крайових задач, так і в теорії зліченних систем диференціальних рівнянь. Запропоновані алгоритми можуть бути застосовані до розв’язування задач фізики, техніки, які зводяться до нелінійних зліченновимірних зліченноточкових крайових задач. Результати, що стосуються редукції до скінченновимірного багатоточкового випадку, дозволяють звести знаходження розв’язків розглядуваних задач до розв’язування добре вивчених скінченновимірних багатоточкових крайових задач, яке можна реалізувати на ЕОМ.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України (керівник семінару - академік НАН України А.М.Самойленко), семінарі математичного факультету Чернівецького державного університету (керівник семінару - доктор фізико-математичних наук, професор С.Д.Івасишен), семінарі фізико-математичного факультету Кам’янець-Подільського державного педагогічного університету (керівник семінару - доктор фізико-математичних наук, професор Ю.В.Теплінський). Крім того, доповіді за результатами дисертаційного дослідження було здійснено на таких наукових конференціях: Всеукраїнська школа-семінар “Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування” (7-12 жовтня 1996 року, Кам’янець-Подільський); II Всеукраїнська школа “Ряди Фур’є: теорія і застосування” (30 червня - 6 липня 1997 року, Кам’янець-Подільський); Міжнародна конференція “Сучасні проблеми математики” (25-30 червня 1998 року, Чернівці); Четверта Кримська Міжнародна математична школа “Метод функцій Ляпунова і його застосування” (5-12 вересня 1998 року, Алушта); Міжнародна школа-семінар “Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь і математичної фізики - Четверті Міжнародні Боголюбовські читання” (12-19 вересня 1998 року, Ужгород).

Публікації. Зміст дисертації відображено у 3 журнальних статтях, 3 збірниках наукових праць та 2 тезах всеукраїнських та міжнародних наукових конференцій [1-8 ]. Роботи [1, 3, 7] написано у співавторстві з професором Ю.В.Теплінським. Йому належить постановка задачі і обговорення результатів, які автором дисертації одержано самостійно.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, загальних висновків та списку використаної літератури, який містить 133 найменування. Загальний обсяг роботи - 132 друковані сторінки, з них список використаних джерел займає 12 сторінок, основна частина - 120 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, формулюється мета роботи, дається короткий огляд основних праць, які стосуються розглядуваного в дисертації чисельно-аналітичного методу послідовних наближень, і наводиться коротка анотація одержаних результатів.

В першому розділі проаналізовано основні етапи розвитку теорії крайових задач та вказано місце, яке займає в цій теорії дане дослідження.

У другому розділі вивчається крайова задача для диференціального рівняння

(1)

зі зліченноточковою крайовою умовою

, (2)

де сталі нескінченні матриці; - простір обмежених числових послідовностей з нормою .

Задача (1), (2) вивчається в припущеннях, що функція визначена і неперервна в області

, (3)

де - замкнена обмежена область, і в області задовольняє умову обмеженості та умову Ліпшиця зі сталими :

. (4)

У підрозділі 2.1 будується послідовність функцій , які задовольняють крайову умову (2) при певних значеннях , рівномірно збіжна до точного розв’язку збуреної задачі (1), (2).

Теорема 2.4. Нехай виконуються припущення теореми 2.1, і, крім того:

1) існує замкнена обмежена область , така, що топологічно відображає на ;

3) для деякого натурального рівняння має в єдиний розв’язок ;

4) на межі області виконується нерівність:

.

Тоді крайова задача (1), (2) має розв’язок , такий, що .

Далі встановлено необхідні умови розв’язуваності крайової задачі (1), (2):

Теорема 2.5. Припустимо, що крайова задача (1), (2) задовольняє умови теореми 2.1. Тоді для того, щоб деяка область містила елемент що визначає при початкове значення розв’язку крайової задачі (1), (2), необхідно, щоб для всіх досить великих натуральних і довільного виконувалась нерівність

,

де .

У підрозділі 2.5 наведено умови, при виконанні яких з розв’язуваності точного випливає розв’язуваність наближеного визначального рівняння (лема 2.8), і оцінено відхилення наближеного розв’язку крайової задачі (1), (2) від точного в тому випадку, коли . Тут нескінченна, неперервна по , обмежена за нормою неперервна по , обмежена за нормою зліченновимірна вектор-функція.

ВИСНОВКИ

Основними результатами даного дисертаційного дослідження є наступні:

1. Чисельно-аналітичний метод послідовних наближень узагальнено і розповсюджено на дослідження розв’язків зліченних систем нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку нормального вигляду і частково не розв’язаних відносно похідної, підпорядкованих зліченноточковим лінійним крайовим умовам і (у випадку нормальної системи) зліченноточковим крайовим умовам з нелінійною правою частиною та з необмеженою множиною крайових моментів.

2. Для вказаних класів нелінійних систем розроблено ітераційні схеми побудови розв’язків у вигляді рівномірно збіжної послідовності функцій, одержано достатні та необхідні умови розв’язуваності крайових задач.

3. Для крайових задач з крайовими умовами на відрізку побудовано редукцію до скінченновимірного багатоточкового випадку.

4. Для крайових задач з лінійними крайовими умовами оцінено похибку обчислення початкового значення розв’язку у випадку лінійності правої частини нормального рівняння по .

5. Реалізацію методу показано на прикладі зліченної нелінійної неавтономної системи першого порядку нормального вигляду зі зліченноточковою лінійною крайовою умовою.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Теплинский Ю.В., Недокис В.А. Предельные теоремы в теории многоточечных краевых задач // Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 4. - С. 519-531.

2. Недокис В.А. Предельные теоремы в теории многоточечных краевых задач для уравнений, не разрешенных относительно производной // Доп. НАН України. Математика, природничі, технічні науки. - 1999, № 4. - С. 37-41.

3. Теплінський Ю.В., Недокіс В.А. Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь // Нелінійні коливання. - 1999. - 3, № 2. - С. 252-266.

4. Недокіс В.А. Про крайові задачі з нелінійними зліченноточковими крайовими умовами для зліченних систем диференціальних рівнянь // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. - Чернівці: Рута. - 1998. - Вип. 3. - С. 92-110.

5. Недокіс В.А. Чисельно-аналітичний метод для зліченних багатоточкових крайових задач // Зб. наук. праць Кам’янець-Подільського державного педагогічного університету. Серія фізико-математична. - Кам’янець-Подільський педуніверситет. - 1997. - Вип 3. - С. 69-75.

6. Недокіс В.А. Про похибку обчислення початкового значення розв’язку зліченних багатоточкових крайових задач // Зб. наук. праць Кам’янець-Подільського державного педагогічного університету. Серія фізико-математична. - Кам’янець-Подільський педуніверситет. - 1998. - Вип 4. - С. 82-91.

7. Теплинский Ю.В., Недокис В.А. О счетноточечной краевой задаче // Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування. - К.: Ін-т математики НАН України. - 1996. - С. 88-90.

8. Недокіс В.А. Про зліченноточкову крайову задачу з необмеженою множиною моментів // II школа “Ряди Фур’є: теорія і застосування”. Тези доп. - К.: Ін-т математики НАН України. - 1997. - С. 87.

Недокіс В.А. Чисельно-аналітичний метод дослідження зліченноточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Чернівецький державний університет ім. Ю.Федьковича, Чернівці, 2000.

Дисертацію присвячено розповсюдженню чисельно-аналітичного методу послідовних наближень на дослідження крайових задач для зліченних систем нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку нормального вигляду і частково розв’язаних відносно похідної, у випадку зліченноточкових крайових умов (лінійних і нелінійних), заданих як на відрізку, так і на всій додатній піввісі. Розроблено ітераційні схеми побудови розв’язків у вигляді рівномірно збіжної послідовності функцій, одержано достатні та необхідні умови розв’язуваності крайових задач. Для крайових задач з крайовими умовами на відрізку побудовано редукцію до скінченновимірного багатоточкового випадку. Для крайових задач з лінійними крайовими умовами оцінено похибку обчислення початкового значення розв’язку у випадку лінійності правої частини нормального рівняння по . Реалізацію методу показано на прикладі зліченної нелінійної неавтономної системи першого порядку нормального вигляду зі зліченноточковою лінійною крайовою умовою.

Ключові слова: зліченна система, зліченноточкова крайова умова, чисельно-ана-літичний метод, послідовне наближення, точна визначальна функція, наближена визначальна функція, редукція до скінченновимірного випадку, похідна Фреше.

Недокис В.А. Численно-аналитический метод исследования счетноточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных числовых последовательностей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Черновицкий государственный университет им. Ю.Федьковича, Черновцы, 2000.

Диссертация посвящена распространению и обобщению численно-аналитического метода последовательных приближений на исследование краевых задач для счетных систем нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка нормального вида

и частично разрешенных относительно производной

в случае счетноточечных краевых условий вида

,

где постоянные бесконечные матрицы; - пространство ограниченных числовых последовательностей с нормой .

В случае уравнения нормального вида предполагается, что функция определена и непрерывна в области

,

где - замкнутая ограниченная область, и в области удовлетворяет условию ограниченности и условию Липшица с постоянными :

.

Норма матрицы согласованная с векторной нормой пространства , задается формулой , и на класс рассматриваемых краевых задач накладываются следующие ограничения:

1) матрицы и ограничены по норме, причем и существует матрица

2) множество элементов , принадлежащих области вместе со своей окрестностью, где

является непустым;

3) .

Рассматривается последовательность функций

(*)

все члены которой удовлетворяют линейному счетноточечному краевому условию при произвольных .

При указанных предположениях разработана итерационная схема построения решения в виде равномерно сходящейся последовательности функций (*), получены достаточные и необходимые условия разрешаемости краевой задачи. Аналогичные результаты получены и для краевой задачи с уравнением, частично разрешенным относительно производной.

В случае нормальной системы рассмотрены также счетноточечная краевая задача с нелинейной правой частью вида

где нелинейная функция счетного количества аргументов из , принимающая значения из , и краевая задача с неограниченным сверху множеством краевых моментов:

.

Для краевых задач с краевыми условиями на отрезке построена редукция к конечномерному многоточечному случаю. Для краевых задач с линейными краевыми условиями оценена погрешность вычисления начального значения решения в случае линейности правой части нормального уравнения по . Реализация метода продемонстрирована на примере счетной нелинейной неавтономной системы первого порядка нормального вида со счетноточечным краевым условием.

Ключевые слова: счетная система, счетноточечное краевое условие, численно-аналитический метод, последовательное приближение, точная определяющая функция, приближенная определяющая функция, редукция к конечномерному случаю, производная Фреше.

Nedokis V.A. Numerically - analytical method of a research countpoint of boundary value problems for the ordinary differential equations in the space of the limited numerical sequences. - Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.01.02 - differential equations. - Chernivtsy state university by Yu. Fedkovich, Chernivtsy, 2000.

The thesis is devoted to distribution and generalization numerically - analytical of method of successive approximations for a research of boundary value problems for accounting systems of the nonlinear differential equations of the first order of a normal aspect and partially solved rather derivative, in a case of countpoint boundary conditions (linear and nonlinear), given both on a segment, and on all positive semiaxis. The iterative circuits of construction of solutions as is uniform of a converging sequence of functions are developed, the sufficient and necessary conditions of solving of boundary value problems are obtained. For boundary value problems with boundary conditions on a segment the reduction to a finite-dimensional multipoint case is constructed. For boundary value problems with linear differential equations and linear boundary conditions the error of an evaluation of an initial value of a solution is appreciated. The realization of a method is shown on an example of an accounting nonlinear nonautonomous first order system of a normal aspect with a countpoint boundary condition.

Key words: accounting system, countpoint boundary condition, numerically - analytical method, successive approximations, exact defining function, approached defining function, reduction to a finite-dimensional case, derivative the Frechet.

Підписано до друку 06.09.2000 р. Формат 60х90/16.

Авт. арк. 0,9. Обл. вид. арк. 1. Умовн. друк. арк. 1,2.

Зам. № 61. Наклад 100.

Інформаційно-видавничий відділ Кам"янець-Подільського

державного педагогічного університету.

32300, м. Кам"янець-Подільський, вул. Івана Огієнка, 61.