ДНІРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ПАНІН Костянтин Вікторович

УДК 539.3

РОЗВ’ЯЗОК ДВОВИМІРНИХ ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПЛАСТИЧНОСТІ,

ЩО ВРАХОВУЄ МІКРОДЕФОРМАЦІЇ, ПРИ СКЛАДНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Дніпропетровськ - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського державного університету Мінистерства освіти і науки України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, доцент

ЧЕРНЯКОВ Юрій Абрамович,

професор кафедри теоретичної та прикладної механіки,

Дніпропетровський державний університет

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, с.н.с.

КУЗЬМЕНКО Василь Іванович,

професор кафедри математичного моделювання, Дніпропетровський державний університет

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЗЕЛЕНСЬКИЙ Анатолій Григорович,

доцент кафедри опору матеріалів,

Придніпровська державна академія будівництва та архітектури

Провідна установа - Харківський державний політехнічний університет

Мінистерства освіти і науки України,

кафедра прикладної математики

Захист відбудеться "27" жовтня 2000 р. о 14 годині на засіданні спе-ціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському державному уні-верситеті за адресою: 49625, м. Дніпропетровськ, пр. К. Маркса 35, корпус 3, ауд. 57.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Дніпропетровського державного університету.

Автореферат розіслано "26" вересня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради /Дзюба А.П./ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На цей час в теорії непружного деформування можна виділити два основних класи варіантів теорії пластичності.

До першого відносяться теорії, що використовують чисто феноменологічний або математичний підхід. Це - деформаційні теорії пластичності, теорії пластичної течії, ендохронні теорії пластичності та теорія пружнопластичних процесів О.А. Ільюшина. Основні успіхи при розв’язанні граничних задач досягнуто у рамках теорій цього класу, а саме, теорії малих пружнопластичних деформацій та найпростіших варіантів теорії течії. Отримані при цьому результати стали вже класичними, їх опубліковано у численних підручниках і монографіях. Однак при використанні теорій цього класу важко досягти загальності опису механічної поведінки реальних матеріалів, а тим більш неможливо передбачати окремі ефекти, що супроводжують цю поведінку.

До другого класу можна віднести теорії, які в тій або іншій мірі враховують мікроструктуру матеріалу. Це - теорії ковзання, фізичні теорії, структурні моделі середовища та теорії, що враховують мікронапруження і мікродеформації. Розвиток сучасної теорії пластичності обумовлюється вдосконаленням теорій саме цього класу. Однак вони, як правило, призводять до досить громіздких визначальних співвідношень, які важко використовувати при розв’язанні прикладних задач механіки деформівного твердого тіла. Особливо це стосується тих задач, в яких розглядаються процеси складного навантаження. Відчутних зрушень у цьому напрямку вдалося досягти тільки в рамках варіанта теорії ковзання М.Ю. Швайка (М.Ю. Швайко та учні) і теорії пластичності, що враховує мікродеформації, (Ю.А. Черняков, Д.К. Тесленко) при розв’язанні задач стійкості при складному навантаженні. Розв’язанню ж граничних задач присвячені лише окремі роботи (С.А. Христіанович, А.І. Мохель, Р.Л. Салганік, Ю.А. Черняков), в яких розглядали-ся найпростіші задачі.

Серед теорій другого напрямку теорія пластичності, що враховує мікродеформації, має достатню загальність і при певних обмеженнях на кінематику розвитку пластичної деформації співпадає з відомими варіантами теорій ковзання та фізичних теорій пластичності. Чисельні експерименти показують, що теорія пластичності, яка враховує мікродеформації, дозволяє описувати достатньо широкий спектр механічних властивостей полікристалічних матеріалів. З цього можна зробити висновок, що розробка методів розв’язання граничних задач теорії пластичності, яка враховує мікродеформації, є актуальною задачею.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках держбюджетної теми кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського державного університету “Розробка теорій незворотніх процесів деформування та методів розв’язку основних та змішаних задач теорії пружності, пластичності, стійкості та руйнування для однорідних та кусково-однорідних тіл” (№ДР 0197U000653).

Мета і задачі дослідження - постановка, розробка методів розв’язання та побудова розв'язку задач складного зсуву, плоскої деформації та плоского напруженого стану в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, при довільному складному навантаженні.

Об’єкт дослідження - процеси складного навантаження пружнопластичних тіл.

Предмет дослідження - вплив історії навантаження на напружено-деформований стан пружнопластичних тіл.

Метод дослідження базується на використанні методу скінченних елементів та визначальних співвідношень теорії пластичності, що враховує мікродеформації, для розв’язання пружнопластичних граничних задач в умовах складного навантаження.

Наукова новизна. Розроблено методики та чисельні алгоритми розв’язання задач складного зсуву, плоскої деформації та плоского напруженого стану при довільному складному навантаженні в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації. Розв’язано нові задачі: складного зсуву - про визначення напружено-деформованого стану (НДС) при складному навантаженні пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого круговим отвором, і пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого крайовою тріщиною; плоскої деформації - про визначення НДС при складному навантаженні пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого круговим отвором, і пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого крайовою тріщиною; плоского напруженого стану - про визначення НДС при складному навантаженні пружнопластичної квадратної пластинки, послабленої круговим отвором, і пружнопластичної квадратної пластинки, послабленої крайовою тріщиною. Розглянуто процеси зовнішнього силового впливу, що призводять до складного навантаження у внутрішніх точках тіла, і показано, що вплив історії навантаження на НДС і, зокрема, на конфігурацію зони пластичності може бути істотним. На прикладі задачі складного зсуву розглянуто питання про інваріантність J-інтеграла при складному навантаженні.

Практичне значення одержаних результатів полягає у розробці чисельних алгоритмів розв'язання граничних задач для пружнопластичних тіл при складних процесах навантаження. Запропонована методика може бути використана у розрахунковій практиці проектних організацій, що працюють у галузі машинобудування, а також у навчальному процесі.

Апробація роботи. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на підсумкових наукових конференціях Дніпропетровського державного університету, IV Всеросійскій школі молодих вчених "Численные методы механики сплошной среды" (Абрау-Дюрсо, 1992), Міжнародній конференції "Теорія наближення та задачі обчислювальної математики" (Дніпропетровськ, 1993), VII Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 1998), Міжнародній науковій конференції "Современные проблемы механики и математики" (Львів, 1998), Міжнародній конференції GAMM99 (Metz, France). У повному обсязі робота доповідалась на науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського державного університету (керівники проф. Лобода В.В. та проф. Швайко М.Ю.) та на науковому семінарі кафедри прикладної математики Харківського державного політехнічного університету.

Публікації. Основний зміст дисертації опубліковано в 12 друкованих роботах.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох глав, висновків та списку літератури (135 найменувань). Загальний обсяг роботи - 160 сторінок, в тому числі 53 рисунка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано важливість та актуальність теми дисертації, визначено мету роботи та коло основних задач, доведено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі наводяться гіпотези, на яких базується теорія пластичності, що враховує мікродеформації, та роз'яснюється алгоритм побудови її визначальних співвідношень. У п'ятивимірному просторі Ільюшина вони мають вигляд

·d· , (1)

d ,

mmW,

?lў , ?lўlў, W?.

де ··- компоненти векторів швидкостей напружень та деформацій; G - модуль зсуву; m; , , - універсальні функції матеріалу;

lў - напрям активного мікропластичного деформування.

Область напрямів активного мікропластичного деформування W' будується за допомогою співвідношень

lЈl ·lmmW·>, (2)

де ··-·.

Зміна інтенсивності розв’язувальних деформацій l визначається за допомогою формул

·l·lll·lc·ll№±h·l·lhc·ll- (3)

де c·mmW·, а h - універсальна функція матеріалу.

У загальному випадку інтеграли в (1) зводяться до чотирикратних. Але, якщо процес деформування визначений меншим, ніж п'ять, числом параметрів, то відповідно зменшується кратність інтегралів при обчисленні , та W.

У роботі наведено опис експериментів на складне навантаження зразків зі сталі Ст45, який свідчить про те, що задовільного опису пластичного деформування у рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, можна досягти навіть якщо універсальні функції матеріалу прийняти сталими. Для сталі Ст45 вони дорівнюють B1=2,74 , B2 = B3 = 0 , h = 1. Ці константи в подальшому використову-вались при розв’язанні граничних задач.

Як приклад застосування співвідношень теорії пластичності, що враховує мікродеформації, розглянуто задачу про волочіння тонкостінної труби. Процес волочіння вважається квазістатичним та таким, що встановився. У такому процесі кожний первісно ненавантажений елемент труби протягом руху вздовж матриці послідовно минає однакові стадії деформування. З урахуванням цього задача про волочіння труби в математичному плані зводиться до задачі Коші. Показано, що траєкторія навантаження елемента труби в просторі напружень є двовимірною і складною. Результати розрахунку напружень в елементі труби при волочінні порівняні з розв’язком, отриманим раніше А.І. Мохелєм у рамках теорії С.А. Христіановича. Одержано задовільний збіг результатів.

У першому розділі дано також загальну постановку граничних задач теорії пластичності, що враховує мікродеформації. Оскільки рівняння стану цього варіанта теорії пластичності є диференціально-нелінійними, розв’язання граничної задачі зводиться до задачі у швидкостях, а саме до знаходження функцій s· , e· та з системи рівнянь

¶s·¶·, (4)

e·¶¶¶¶,

визначальних співвідношень (1)-(3) та граничних умов

·s· на , (5)

на .

Розв’язання основної задачі по визначенню компонент тензорів напружень і деформацій та вектора переміщень при відомому розв’язку задачі у швидкостях досягається обчисленням квадратур.

Наводяться варіаційні принципи, які дозволяють у рамках цього варіанта теорії пластичності одержувати розв’язки граничних задач. Далі використовується принцип максимуму для швидкостей деформації, який встановлює, що абсолютний максимум виразу

?s·e·?·?·, (6)

визначеного для усіх кінематично можливих розподілень швидкостей деформації e·, досягається на дійсному полі e· і відповідних швидкостях переміщень .

Наводяться основні співвідношення методу скінченних елементів, на базі яких будувалися програми розв’язання граничних задач у рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, для окремих випадків напружено-деформованого стану пружнопластичних тіл. Як базовий для методу скінченних елементів вибраний чотирикутний ізопараметричний елемент. Враховуючи відзначену вище нелінійність співвідношень (1)-(3), можна прийти до висновку про те, що функціонал (6) не є квадратичним, як у випадку лінійної або квазілінійної задачі. Таким чином, при розв’язанні граничних задач теорії пластичності, що враховує мікродеформації, у швидкостях необхідно вдаватися до ітераційного процесу, подібного до методу змінних параметрів пружності: на кожному кроці ітерації треба розв’язувати квазілінійну задачу зі співвідношеннями, які визначаються за відомим полем швидкостей на попередньому кроці ітерації.

Другий розділ присвячено розробці методики розв’язання задач складного зсуву. До особливостей цього виду напружено-деформованого стану належить те, що траєкторії навантаження та деформації є плоскими. Тому кратність інтегралів у визначальних співвідношеннях (1)-(3) теорії пластичності, що враховує мікродеформації, при довільних процесах навантаження, дорівнює двом. У випадку активного навантаження її можна зменшити ще на одиницю, що наводить до істотного скорочення часу при проведенні чисельних розрахунків. На цій підставі конкретизується постановка та уточнюється алгоритм розв’язання граничних задач для випадку складного зсуву при активних і довільних процесах складного навантаження.

Наводяться приклади чисельної реалізації розроблених алгоритмів. Розглянуто задачі складного зсуву - про визначення НДС пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого круговим отвором, і про визначення НДС пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого крайовою тріщиною. В цих задачах брус знаходиться під впливом дотичних зусиль t1=t1(t) та t2=t2(t), діючих по його гранях вздовж твірної (рис.1). Навантаження брусу є квазістатичним.

В цьому розділі наведено результати розрахунків НДС в перерізі брусу в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, при різноманітних схемах зовнішнього навантаження. Побудовано зони пластичності в перерізі брусу. Для порівняння наведено зони пластичності, які дають теорія течії з ізотропним зміцненням при таких же схемах зовнішнього навантаження та деформаційна теорія при простому навантаженні з тією ж кінцевою точкою. Розрахунки показали, що при прийнятих схемах зовнішнього впливу в перерізі брусу реалізуються процеси складного навантаження, при яких найпростіші теорії можуть призводити до помилкових результатів.

На рис.1 наведені зони пластичності, які отримані в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, при різних схемах зовнішнього навантаження. Вони свідчать про те, що при складному зсуві може мати місце вплив історії навантаження на НДС.

Рис.1. Зони пластичності у випадку складного зсуву

(навантаження по траєкторіях: ------- ОВА, __ __ ОСА, ______ ОDA)

При розв’язанні задачі складного зсуву для брусу квадратного перерізу (aґa), послабленого крайовою тріщиною, поряд з побудовою НДС було проведено дослідження інваріантності запропонованого Г.П. Черепановим і Дж. Райсом J-інтеграла, який визначається таким чином:

s¶¶, (7)

де Г - контур навколо вершини тріщини; ?ese- щільність енергії деформації; - компонента одиничного вектора зовнішньої нормалі до контуру; - компонента вектора переміщень на Г.

Для обчислення J-інтеграла було вибрано вісім контурів у формі квадрата з довжиною сторін від a/30 до a/3. Розрахунки проводились у рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, для чотирьох схем зовнішнього навантаження. На рис.2 приведені значення J-інтеграла, які віднесені до його величини, що дає розв’язання пружної задачі.

Рис.2. Значення J-інтеграла при різних схемах навантаження

Пунктирними лініями показано середнє значення J-інтеграла для кожного розрахунку. Максимальне відхилення J-інтеграла від середнього значення складає 3,5%. Результати виконаних розрахунків свідчать про те, що при прийнятих схемах навантаження в рамках допустимої точності J-інтеграл є інваріантним як при пропорційному, так і при складному навантаженні, а його величина залежить від історії навантаження.

Третій розділ присвячено розробці методики розв’язання задач плоскої деформації в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації. До особливостей цього виду напружено-деформованого стану можна віднести те, що траєкторії навантаження і деформації є тривимірними, що ускладнює у порівнянні із складним зсувом розрахунок при використанні співвідношень (1)-(3). Дано постановку та запропоновано алгоритм розв’язання задач плоскої деформації для довільних процесів складного навантаження.

Як приклад розглянуто задачі плоскої деформації для пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого круговим отвором, і брусу квадратного перерізу, послабленого крайовою тріщиною.

Для вказаних задач при різноманітних схемах зовнішнього впливу знайдено НДС та побудовано зони пластичності в перерізі брусу. Навантаження вважалося квазістатичним. Розрахунки проводились за трьома схемами зовнішнього силового впливу, при яких в перерізі брусу було реалізовано процеси складного навантаження. Для порівняння було зроблено аналогічні розрахунки в рамках найпростіших теорій пластичності. В одних випадках результати для всіх трьох теорій співпали повністю, в інших є певні розбіжності у формі та розмірах зон пластичності. Можна також відзначити, що в усіх проведених розрахунках для призматичного брусу квадратного перерізу, послабленого крайовою тріщиною, результати в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, та теорії течії відрізнялися мало.

На рис.3 наведені зони пластичності, які були отримані в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, при різних схемах зовнішнього навантаження. По цих результатах можна зробити висновок, що у випадку плоскої деформації має місце вплив історії навантаження на НДС та, зокрема, на форму і розмір зони пластичності.

Рис.3. Зони пластичності у випадку плоскої деформації

(навантаження по траєкторіях: ---- ОВА, __ __ ОСА, ______ ОDA)

Четвертий розділ присвячено розв’язанню задач плоского напруженого стану в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації. Як і у випадку плоскої деформації, при плоскому напруженому стані траєкторії навантаження та деформації є тривимірними. З урахуванням цього дано постановку і конкретизовано алгоритм розв’язання граничних задач плоского напруженого стану для довільних процесів складного навантаження.

Розв’язано задачі - про визначення НДС пружнопластичної квадратної пластинки, послабленої круговим отвором, та пластинки з крайовою тріщиною. На підставі отриманого напруженого стану побудовано зони пластичності в пластинці. Аналіз отриманих траєкторій деформування в різних точках пластинки свідчить про те, що при прийнятих у розрахунках схемах зовнішнього впливу мали місце процеси складного навантаження. Також було зроблено аналогічні розрахунки в рамках теорії течії з ізотропним зміцненням при складному навантаженні та деформаційної теорії при пропорційному навантаженні. Проведено порівняння результатів. При цьому в одному розрахунку для квадратної пластинки, послабленої круговим отвором, зони пластичності, яких отримано в рамках всіх теорій, відрізнялися мало, в другому і третьому є істотні розбіжності в зонах пластичності, отриманих у рамках усіх трьох теорій. Для квадратної пластинки з крайовою тріщиною можна відзначити, що при прийнятих схемах навантаження теорія пластичності, що враховує мікродеформації, та теорія течії дають схожі результати.

На рис. 4 приведені зони пластичності, які отримані з використанням визначальних співвідношень теорії пластичності, що враховує мікродеформації, при різноманітних схемах навантаження. Ці результати свідчать про те, що у випадку плоского напруженого стану вплив історії навантаження на НДС може бути істотним.

Рис.4. Зони пластичності при плоскому напруженому стані

(навантаження по траєкторіях: ---- ОВА, __ __ ОСА, ______ ОDA)

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Виконано загальну постановку граничних задач у рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, та запропоновано методику їх розв’язання.

2. Розглянуто задачу про волочіння тонкостінної труби. При розв’язанні задачі як фізичні рівняння застосовані співвідношення теорії пластичності, що враховує мікродеформації. Проведено порівняння результатів розрахунків з відомим розв’язком, якого отримано в рамках теорії С.А.Христіановича. Одержано задовільний збіг результатів.

3. Розроблено чисельний алгоритм розв’язання задач складного зсуву при довільному складному навантаженні в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації. Запропоновано також модифікований варіант указаного алгоритму, який суттєво спрощує розв’язання задачі складного зсуву при активних процесах навантаження.

4. У рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, розв’язані задачі складного зсуву - про визначення НДС пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого круговим отвором, і про визначення НДС пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого крайовою тріщиною. Для вказаних задач побудовані зони пластичності в перерезі брусу при різноманітних схемах зовнішнього навантаження. Проведено їх порівняння з зонами пластичності, які дають теорія течії з ізотропним зміцненням і деформаційна теорія пластичності. Показано, що при прийнятих схемах зовнішнього впливу в перерізі брусу реалізуються процеси складного навантаження, а також що вплив історії навантаження на конфігурацію зони пластичності в перерізі брусу може бути істотним.

5. Для пружнопластичного брусу квадратного поперечного перерізу, послабленого крайовою тріщиною, досліджено питання про інваріантність J-інтеграла при складному зсуві. Встановлено, що для прийнятих при розрахунках схем навантаження у рамках допустимої точності J-інтеграл є інваріантним як при пропорційному, так і при складному навантаженні, а його величина залежить від історії навантаження.

6. Розроблено чисельні алгоритми розв’язування задач плоскої деформації і плоского напруженого стану при довільному складному навантаженні в рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації.

7. У рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації розв’язані задачі плоскої деформації - про визначення НДС пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого круговим отвором, і про визначення НДС пружнопластичного брусу квадратного перерізу, послабленого крайовою тріщиною. Для вказаних задач при схемах зовнішнього силового впливу, які призводять до процесів складного навантаження, побудовані зони пластичності в перерізі брусу. Проведено їх порівняння з зонами пластичності, отриманими в рамках найпростіших теорій. Розрахунки показали, що у випадку плоскої деформації історія навантаження може впливати на НДС.

8. В рамках теорії пластичності, що враховує мікродеформації, розв’язано задачі плоского напруженого стану - про визначення НДС пружнопластичної квадратної пластинки, послабленої круговим отвором, і про визначення НДС пружнопластичної квадратної пластинки, послабленої крайовою тріщиною. Для цих задач при різних схемах зовнішнього навантаження побудовані зони пластичності в пластинці. Проведено їх порівняння з зонами пластичності, отриманими в рамках теорії пластичної течії та деформаційної теорії. Розрахунки показали, що у випадку плоского напруженого стану історія навантаження може суттєво впливати на НДС і, зокрема, на форму та розмір зони пластичності в пластинці.

ОСНОВНІ РОБОТИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Панин К.В., Черняков Ю.А. Алгоритм вычисления матриц жесткости в определяющих соотношениях теории пластичности, учитывающей микродеформации // Вопросы прочности и пластичности. - Днепро-петровск: ДГУ. - 1991. - С.67 - 73.

2. Панин К.В., Черняков Ю.А. Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины продольного сдвига при сложном нагружении // Вопросы механики деформирования и разрушения твердых тел. - Днепро-петровск: ДГУ. - 1992. - С.39-45.

3. Панин К.В. Определение напряженно-деформированного состояния тонкостенной трубы // Вопросы механики деформирования и разрушения твердых тел. - Днепро-петровск: ДГУ. - 1992. - 21-26.

4. Панин К.В., Черняков Ю.А. Напряженно-деформированное состояние пластины с отверстием при сложном нагружении // Вопросы прочности и пластичности. - Днепро-петровск: ДГУ. - 1993. - С.36-43.

5. Панин К.В. Сложный сдвиг призматического бруса прямоугольного профиля, ослабленного угловым вырезом // Вопросы прочности и пластичности. - Днепро-петровск: ДГУ. - 1993. - С.30-35.

6. Панин К.В., Черняков Ю.А. Описание циклического нагружения металлов с контролируемой траекторией пластической деформации // Вопросы прочности и пластичности. - Днепро-петровск: ДГУ. - 1993. - С.12-17.

7. Panin K.V., Chernyakov Yu.A. Influence of history of loading on stress-strain state near the tip of anti-plane shear crack // GAMM99. Book of Abstracts. - Metz. - 1999. - P.117.

8. Панин К.В. Алгоритм численного решения граничных задач теории пластичности, учитывающей микродеформации // Численные методы механики сплошной среды: Тез. док-л. IV Всеросс. шко----лы мо-ло-дых уче-----ных. - Красно-ярск. - 1992. - С.162-163.

9. Панин К.В. Решение граничных задач теории пластичности, учитывающей микродеформации // Теорія наближення та задачі обчислю-валь-ної математики: Тези міжнар. конф. - Дніпро-петровськ: ДДУ. - 1993. - С.142.

10. Панин К.В. Эффективный алгоритм решения краевых задач теории микродеформации // Матеріали Сьомої міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 1998. - С.380.

11. Панин К.В. Влияние истории нагружения на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы механики и математики". - Львов. - 1998. - С.32.

12. Панин К.В. Влияние истории нагружения на концентрацию напряжений вблизи отверстий // Матеріали Першої міжнародної конфе-ренції "Наука і осві-та ' 98". - Том 4. - Дніпро-петровськ. - 1998. - С.176.

АНОТАЦІЯ

Панін К.В. Розв'язок двовимірних граничних задач теорії пластичності, що враховує мікродеформації, при складному навантаженні. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Дніпропетровський державний університет, Дніпропетровськ, 2000р.

Дисертаційна робота присвячена розв'язуванню граничних задач теорії пластичності. Для опису поведінки матеріалу використовується теорія пластичності, що враховує мікродеформації. В роботі запропоновані чисельні алгоритми розв'язання задач складного зсуву, плоскої деформації та плоского напруженого стану для довільних процесів складного навантаження. Розглянуто задачі складного зсуву та плоскої деформації для брусу квадратного поперечного перерізу, який послаблено або круговим отвором, або крайовою тріщиною, а також задачі плоского напруженого стану для квадратної пластинки, послабленої або круговим отвором, або крайовою тріщиною. У кожній задачі досліджено вплив історії навантаження на форму та розмір зони пластичності. Виконано порівняння з результатами, отриманими в рамках деформаційної теорії пластичності та теорії пластичної течії з ізотропним зміцненням. У випадку складного зсуву розглянуто питання про інваріантність J-інтеграла та про його залежність від історії навантаження.

Ключові слова: теорія пластичності, мікродеформації, складне навантаження, складний зсув, плоска деформація, плоский напружений стан, J-інтеграл, зона пластичності.

АННОТАЦИЯ

Панин К.В. Решение двумерных граничных задач теории пластичности, учитывающей микродеформации, при сложном нагружении. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Днепропетровский государственный университет, Днепропетровск, 2000г.

Диссертационная работа посвящена разработке методики решения граничных задач теории пластичности при произвольных процессах внешнего нагружения. Для описания поведения материала используется теория пластичности, учитывающая микродеформации. Этот дифференциально-нелинейный вариант теории пластичности принадлежит к классу теорий, основанных на микроструктурном подходе. В качестве примера использования соотношений теории пластичности, учитывающей микродеформации, рассмотрена задача о волочении тонкостенной трубы из упрочняющегося материала. Результаты расчета сопоставлены с известным решением, полученным в рамках другого дифференциально-нелинейного варианта теории пластичности.

В работе предложены численные алгоритмы решения задач сложного сдвига, плоской деформации и плоского напряженного состояния для произвольных процессов сложного нагружения. Они основаны на применении метода конечных элементов и определяющих соотношений теории пластичности, учитывающей микродеформации. При этом учтено важное обстоятельство, позволяющее существенно упростить процесс проведения расчетов по траекториям меньшей размерности. Оно состоит в том, что для случая сложного сдвига процесс деформирования определен в общем случае двумя параметрами, а для плоской деформации и плоского напряженного состояния - тремя. Это позволило соответственно сократить кратность интегралов в определяющих соотношениях теории. Для сложного сдвига предложена модификация общего алгоритма, упрощающая проведение численных расчетов при активном нагружении. В этом случае кратность интегралов в определяющих соотношениях можно уменьшить еще на единицу. К особенностям предлагаемых алгоритмов можно отнести и то, что в силу нелинейности соотношений теории пластичности, учитывающей микродеформации, при применении метода конечных элементов необходимо прибегать к итерационному процессу, подобному методу переменных параметров упругости.

Рассмотрены конкретные задачи сложного сдвига и плоской деформации для бруса квадратного сечения, ослабленного либо круговым отверстием, либо краевой трещиной, а также задачи плоского напряженного состояния для квадратной пластинки, ослабленной либо круговым отверстием, либо краевой трещиной. При проведении расчетов напряженно-деформированного состояния приняты схемы внешнего нагружения, приводящие к процессам сложного нагружения внутри рассматриваемых тел. В каждой задаче исследовано влияние истории нагружения на параметры напряженно-деформированного состояния и, в частности, на форму и размеры зоны пластичности. Показано, что в некоторых случаях такое влияние может быть существенным. Проведено сравнение с результатами, полученными в рамках деформационной теории пластичности и теории течения с изотропным упрочнением.

Для случая сложного сдвига рассмотрен вопрос об инвариантности J-интегра-ла. Показано, что для принятых при расчетах схем внешнего нагружения в рамках допустимой точности J-интеграл является инвариантным как при пропорциональном, так и при сложном нагружении, а его величина зависит от истории нагружения.

Ключевые слова: теория пластичности, микродеформации, сложное нагружение, сложный сдвиг, плоская деформация, плоское напряженное состояние, зона пластичности, J-интеграл.

SUMMARY

Panin K.V. Solving two-dimensional boundary problems of the theory of plasticity taking into account microstrain under complex loading. - the Manuscript.

A dissertation for Candidate Degree in Physics and Mathematics for speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids.- Dnіpropetrovsk State University, Dnіpropetrovsk, 2000.

Dissertation is devoted to solving boundary problems of the theory of plasticity under complex loading. Theory of plasticity taking into account microstrain is used for the description of non-elastic behaviour of a material. The numeric algorithms for solving problems of anti-plane deformation, plane strain state and plane stress state for processes of combined loading are proposed. The problems of anti-plane deformation and plane strain state for the beam with hole or crack in square cross-section and plain stress state of plate with hole or crack are considered. In each problems influence of history of loading on form and size of plastic zones are investigated. The results obtained by using deformation theory, incremental theory and theory of plasticity taking into account microstrain are compared. The question of non-dependence from contour of J-integral for the case of anti-plane deformation and its dependence from history of loading are considered.

Key words: theory of plasticity, microstrain, complex loading, anti-plane deformation, plane strain state, plane stress state, plastic zone, J-integral.