Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Попович Станіслав Валерійович

УДК 512.5

ІНВОЛЮТИВНІ АЛГЕБРИ, ЇХ ЗОБРАЖЕННЯ ТА ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.06 — алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ–2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

КЛІМИК Анатолій Улянович, завідуючий ввідділом математичних методів теоретичної фізики, Інститут теоретичної фізики НАН України ім. М.М.Боголюбова, м.Київ;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

КРУГЛЯК Станіслав Аркадійович, Київський військовий інститут управління та зв'язку, м.Київ.

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів.

Захист відбудеться 27.12.2000 року о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 02127, м. Київ-127, пр. акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 25.11.2000 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ПЕТРАВЧУК А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до одного із сучасних напрямків алгебри та теорії операторів — теорії інволютивних алгебр та їх зображень. Теорія зображень алгебр з інволюцією (*-алгебр) має різноманітні застосування в аналізі, математичній фізиці, топології та інше, зокрема, при побудові моделей теоретичної фізики, в теорії квантових груп та квантових однорідних просторів і їх застосуваннях у теорії точних розв'язків диференціальних рівнянь у частинних похідних, при вивченні окремих класів несамоспряжених операторів, при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів, при побудові топологічних інваріантів вузлів та інше.

Перші результати з теорії зображень, зокрема, зображень інволютивних алгебр, були одержані в кінці 19 на початку 20 сторіччя Фробеніусом Г., Бернсайдом В., Шуром І., Моліним Ф.Е. та іншими. Подальший розвиток теорії зображень *-алгебр (30-60 рр. 20-го сторіччя) пов'язаний з вивченням самоспряжених операторних алгебр, зокрема, C*-алгебр та W*-алгебр (Дж. Фон Нойман, Дж. Диксм'є, І.М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Д.А. Райков, А.А. Кирилов, І. Сігал та інші), і в значній мірі обумовлений їх застосуваннями у теорії унітарних зображень груп.

Сучасний розвиток теорії зображень інволютивних алгебр пов'язаний з виникненням понять квантової групи, квантового однорідного простору (Дринфельд В.Г., Джимбо М., Воронович С., Фадєєв Л.Д., Клімек С., Лісневський А. т інш.) та їх застосуванням у моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, теорії вузлів, моделях q-квантової механіки та квантової теорії поля (Зуміно Б., Весс Дж., Віттен Е., Кен К., Клімик А.У. та інш.).

Значна кількість сучасних робіт присвячена вивченню *-алгебр заданих твірними і визначальними співвідношеннями та їх зображень ( обмеженими та необмеженими операторами) у гільбертовому просторі. Багато прикладів *-алгебр заданих твірними та співвідношеннями пов'язані з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки ( Макфарлейн А., Біeденхарн Л., Воронович С., Шмютген К., Йоргенсен П., Фарлі Д.Б. та інші).

В роботах Йоргенсена П., Шмітта Л. і Вернера Р. та Марцинека В., Раловски Р., Проскуріна Д.П., Самойленко Ю.С. та інших вивчалися *-алгебри, що допускають віківське впорядкування, вони включають різноманітні узагальнення квантового осцилятора та q-CCR, зокрема, введених Грінбергом О., Божейком М. та Шпайхером Р. У роботах Й. Кунца і В. Крігера вивчались *-алгебри, породжені наборами ізометрій (скінченим або зліченим). В роботах Ю.Н.Беспалова, Ю.С. Самойленка, В.С. Шульмана та Ю.С. Самойленка, Л.Б. Туровської, В.С. Шульмана та інш. вивчались набори операторів пов'язаних напівлінійними співвідношеннями.

В багатьох работах,,, та інших вивчаються C*-алгебри, пов'язані з топологічними динамічними системами. Так у вище згадуваних роботах А. Макфарлейна та Л. Біeденхарна в рамках узагальнення квантового одновимірного гармонійного осцилятора вводилась до розгляду, та досліджувалась *-алгебра, породжена твірними a, a* пов'язаними співвідношенням a*a – q aa* =1, -1< q < 1. Теорія зображень у гільбертовому просторі цієї алгебрі пов'язана з динамічною системою, що задається відображенням дійсної осі f(x) = 1 + q x. Тісний зв'язок теорії зображень *-алгебр із теорією динамічних систем спостерігається і в цілому ряді інших робіт. Наведемо лише деякі з них. *-Алгебра однопараметричного квантового одиничного диска вивчалась у роботі Клімека С. і Лісневського А. і пов'язана з динамічною системою, що задається відображенням f(л)=((q+м)л-м)/(мл+1-м). Перша деформація Віттена, що є сім'єю алгебр заданих співвідношеннями

pE0E+ - 1/pE+E0 = E+,

[E+, E_] = E0 – (p - 1/p)E02,

pE-E0 – 1/p E0E- = E-;

пов'язана з двовимірною нелінійною динамічною системою

f(x,y) = (1/p(1 + 1/p x), g (g y - x + (p – 1/p) x2) ), де g=1(g= - 1)для першої (другої) дійсної форми. Кубічна деформація, введена у роботі Делбека С. і

Кен C., що задана співвідношеннями:

[J0, J+] = (1+ (1 - q) J0) J+,

[J+, J-] = - J-(1 – (1 - q) J0),

[J+, J-] = 2 J0 (1 + (1 - q) J0)(1 – (1 – p) J0),

де інволюція визначається наступним чином: J0*=J0, J+=J+, теж пов'язана з двовимірною динамічною системою. *-Алгебри у останніх двох прикладах, як і багато інших *-алгебр, мають необмежені зображення, які відіграють важливу роль у застосуваннях. Цей факт породжує нетривіальне питання строгого визначення: що розуміти під необмеженим зображенням такої алгебри? Важливим інструментом для дослідження *-алгебр є пов'язані з ними C*- алгебри. У роботі Воронович С. запропонував поняття C*-алгебри, породженої необмеженими операторами, що встановлює зв'язок між категорією необмежених зображень *-алгебри (наприклад, некомпактної квантової групи) і певною C*-алгеброю. Це дозволило визначати C*-алгебри задані "необмеженими" твірними й визначальними співвідношеннями.

Останнім часом зацікавленість викликають C*-алгебри, пов'язані з не взаємно-однозначними динамічними системами (дивись роботи8,,,11 та інші). Цей напрямок узагальнює добре розвинуту теорію схрещених добутків C*-алгебр із групами на випадок дій напівгруп і C*-алгебр, пов'язаних з ендоморфізмами топологічних просторів.

Важливим питанням, як для теорії *-алгебр, так і для теорії C*-алгебр, є питання існування точного зображення *-алгебр обмеженими операторами у гільбертовому просторі або, іншими словами, чи вкладається *-алгебра у деяку C*-алгебру. Так для групових *-алгебр ствердна відповідь одержана ще Гельфандом І.М. і Райковим Д.А. Для напівгрупових *-алгебр інверсних напівгруп ствердна відповідь одержана Барнесом Б. у 1976 році. Для скінчено-вимірних *-алгебр питання існування точного зображення еквівалентне додатності інволюції, тобто умові, що рівність x*x=0 можлива лише для нульового елементу x = 0. Питанням існування точного зображення *-алгебр обмеженими операторами у гільбертовому просторі присвячені сучасні роботи Ланса К., Гуддірла К. і Мінела П., Тапера П. та інших.

Мета роботи

· Знайти умови C*-зображувальності *-алгебр, тобто умови існування точного зображення *-алгебри обмеженими операторами у гільбертовому просторі, зокрема, для *-алгебр заданих твірними й визначальними співвідношеннями.

· Ввести поняття обгортуючої C*-алгебри для *-алгебри у випадку, якщо остання не є *-обмеженою. Використовуючи обгортуючу C*-алгебру дати визначення необмеженого зображення відповідної *-алгебри, встановити зв'язок цього визначення з відомими означеннями необмежених зображень.

· Для важливих прикладів *-алгебр, що виникають у математичній фізиці й теорії операторних алгебр, дослідити *-зображення і побудувати обгортуючі C*-алгебри.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії асоціативних алгебр, зокрема, тих, що задані твірними та визначальними співвідношеннями, методи функціонального аналізу, теорії операторних алгебр та їх зображень, а також топологічні методи.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

доведено критерії C*-зображувальності *-алгебр у термінах, що узагальнюють поняття додатності інволюції (цілком додатність). Для обмежених *-алгебр наведена характеризація *-радикала;

наведено достатні умови цілком додатності *-алгебр, заданих твірними й визначальними співвідношеннями, зокрема, доведена цілком додатність алгебр В< x1,…, xn, x1*,…, xn*|w1, … ,wm> з нескоротними словами w1,…,wn, алгебр зі співвідношеннями, що не містять твірних x*, а також алгебр

В<ak, ak*, k=1,…, n | ai*aj = еk№lTijkl alak*, i№j >, з матрицею коефіцієнтів, що задовольняють умові;

класифіковані зображення дійсних форм першої деформації Вітена і кубічної деформації;

введено поняття обгортуючої C*-алгебри для *-алгебр, що не є *-обмеженими. Дано застосування обгортуючих C*-алгебр до вивчення необмежених зображень відповідних *-алгебр. Зокрема, наведено реалізацію у вигляді операторно-значних функцій C*-обгортуючої алгебри для *-алгебри, породженої ідемпотентом і спряженим до нього;

описані C*-алгебри, породжені операторами незвідних зображень C*-алгебр, пов'язаних з квадратичними динамічними системами. Зокрема, незвідні нескінченновимірні зображення алгебри В<x,x* | xx*=1 + ax*x - b(x*x)2)> породжують C*-алгебру схрещеного добутку групи Z і деякої комутативної алгебри, або C*-алгебру матриць над алгеброю теплицевих операторів.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при вивченні *-алгебр заданих твірними та визначальними співвідношеннями, їх зображень та їх застосуваннях у теорії операторів і математичній фізиці.

Апробація результатів дисертації.

Результати дисертації доповідались на засіданнях семінару "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" в Інституті математики НАН України, на Міжнародних конференціях "Симетрія в нелінійній математичній фізиці", м. Київ (1997,1999), "Ергодична теорія та динамічні системи", Крим, Кацивелі (2000), на конференції молодих алгебраїстів, присвяченій 40-річчу кафедри алгебри та математичної логіки, м. Київ (1999) та на засіданні Київського алгебраїчного семінару (2000).

Публікації.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у 5 наукових статтях, список яких подано в кінці автореферату. Із сумісних робіт [1], [3] до дисертації включені лише результати, що одержані дисертантом особисто. Зокрема, з роботи [1] включена теорема класифікації незвідних зображень алгебр Apq+(3,1), а з роботи [3] – теорема про опис С*-алгебр, породжених операторами незвідних зображень С*-алгебр, повязаних з простими динамічними ситемами.

Структура й об'єм роботи.

Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури, викладених на 116 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 75 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Самойленко Юрію Стефановичу за постійну увагу і підтримку у роботі.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано короткий огляд історії питань, вивченню яких присвячена дисертація, наведені основні результати роботи. Перший розділ, присвячений проблемі C*-зображувальності *-алгебр, тобто питанню коли *-алгебра має точне зображення обмеженими операторами у гільбертовому просторі. Важливість цього питання пов'язана з тим, що велика кількість C*-алгебр, важливих як у теорії операторних алгебр так і у застосуваннях, виникають як C*-обгортуючі алгебри деяких *-алгебр (найчастіше заданих твірними й визначальними співвідношеннями). Наявність С*-зображувальності дозволяє, зокрема, відповісти на деякі запитання стосовно самої *-алгебри, наприклад, така алгебра є напівпростою, рівність [a,[b,a]]=0 із самоспряженими елементами a, b можлива лише для комутуючих елементів a і b і таке інше. Методи теорії зображень C*-алгебр дозволяють також ефективно доводити для деяких алгебр наявність поліноміальної тотожності, що переноситься на *-алгебру, якщо відомо, що вона є C*-зображувальною. У підрозділі 1.1 наводяться основні означення: C*-зображувальність, додатність і цілком додатність. Відомо, що для скінчено-вимірних *-алгебр C*-зображувальність еквівалентна простій алгебраїчній умові — додатності інволюції, тобто умові, що рівність x*x=0 виконується лише для x=0. Підрозділі 1.1.2 присвячений узагальненню цього важливого факту на випадок нескінчено-вимірних *-алгебр. А саме, додатність інволюції треба замінити сильнішою умовою цілком додатності, скінчено вимірність замінюється умовою , що алгебра є прямою сумою простих алгебр, додатково вимагаємо обмеженість *-алгебри. Остання вимога є деякою технічною умовою, яка уможливлює застосування техніки впорядкованих *-алгебр, якій присвячена книга. Наведемо деякі означення необхідні для формулювання результатів. Елемент х *-алгебри А називається додатнім якщо він є сумою елементів вигляду уу*, якщо х та у самоспряжені елементи, то кажуть, що хЈу якщо у - х є додатнім елементом. Елемент х називається обмеженим якщо існують елементи у1, у2, …, уm і дійсне додатне число б такі, що. *-Алгебра А називається обмеженою, якщо всі її елементи обмежені. Зауважимо, що багато *-алгебр є обмеженими, зокрема, *-алгебри, які породжуються ізометріями або проекторами. Наступна теорема дає характеризацію *-радикалу обмеженої *-алгебри:

Теорема 1.1.4. Нехай A обмежена *-алгебр, тоді

1. A *-обмежена.

2. Відображення задане наступною формулою для є універсальною С*-пренормою на A, тобто, де пробігає множину всіх *-зображень A обмеженими операторами у гільбертовому просторі.

2. Нуль-простір /° /, який є, складається з елементів x таких, що для кожного е>0 знайдуться елементи з алгебри А такі, що

Наслідок 1.1.5. Якщо унітальна *-алгебра A є прямою сумою простих *-алгебр Аn, і обмежена, то A є C*-зображувальною тоді і тільки тоді, якщо вона цілком додатна.

Існування точного додатного функціоналу F на *-алгебрі гарантує С*-зображувальність, наступна теорема показує, що лінійність можна замінити слабшою умовою монотонності:

Теорема 1.1.5. Обмежена *-алгебра А С*-зображувальна тоді і тільки тоді, коли існує відображення таке, що

1. для кожного

2. для кожного.

3., для

Якщо другу умову замінити на слабшу для кожного, то дістанемо достатню умову цілком додатності, яка використовується у підрозділах 1.1.1 та 1.1.3. Ланс і Тапер18, розглядаючи проблему С*-зображувальності *-алгебри з одним не самоспряженим твірним x і одним співвідношенням вигляду, тобто *-алгебри В<x,x* | w = 0> ввели поняття нескоротності слова w. А саме, слово w називається нескоротним, якщо його не можна представити у вигляді w = uzz* або w = zz*u для не одиничних слів z та u. Вони довели, що нескоротність слова w є необхідною умовою С*-зображувальності *-алгебри В<x,x* | w = 0>. У підрозділі 1.1.1 ми узагальнюємо це поняття (чиста система) на випадок довільної кількості твірних і співвідношень, які вже не зобов'язані бути словами і доводимо теорему1.1.2, що алгебри з чистою системою співвідношень є цілком додатними, зокрема, такими є всі алгебри В<x,x* | w = 0> з нескоротним словом w.

Нехай S підмножина вільної *-алгебри з несамоспряженими твірними x1, …, xn , назвемо S чистою, якщо SЗS* є нескоротною і замкненою відносно композицій.

Теорема 1.1.2 Якщо S чиста, то В<x1, …, xn ; S> є цілком додатною *-алгеброю.

У розділі 1.1.3 ми наводимо приклад фінітно-апроксімованої цілком додатної обмеженої *-алгебри, що не є C*-зображувальною.

У розділі 2 розроблено апарат для вивчення необмежених зображень *-алгебр за допомогою C*-обгортуючих алгебр. Розділ 2.1 присвячений конструкції обгортуючої С*-алгебри для не *-обмеженої *-алгебри. Основна ідея полягає у використанні обгортуючої у-С*-алгебри *-алгебри для побудови С*-алгебри. Під pro-C*-алгеброю (або, як ще кажуть, локальною C*-алгеброю) A ми розуміємо повну топологічну *-алгебру з топологією, визначеною за допомогою сім'ї C*-пренорм, в разі якщо ця сім'я злічена A називається у-C*-алгеброю. Обгортуюча у-C*- алгебр - це проективна границя C*-алгебр, які одержуються шляхом накладання обмежень на норми твірних.

Пара ( B; ц : A _ B ), де A і B *-алгебри, а ц деякий *-гомоморфізм називається обгортуючою *-алгеброю A, якщо для кожного зображення р : A_B(H) алгебри А у гільбертовому просторі Н існує і єдиний *-гомоморфізм: B _B(H) такий, що р=ц0. Пара ( B; ц : A_ B ) називається обгортуючою pro-C*-алгеброю для A, якщо B є pro-C*-алгеброю й зображення неперервне. Обгортуюча C*-алгебра визначається як така, що її алгебра мультиплікаторів ізоморфна C*-алгебрі обмежених елементів обгортуючої у-C*-алгебри. Нехай A *-алгебра з твірними aj, jОJ (|J|<Ґ) . Позначимо через Rep(A) множину зображень A у гільбертовому просторі H, а через Rn множину , тоді pn(a)=sup{||р(a)||, рОRn } є пренормою на A і нуль-простір Kn= є двостороннім ідеалом. Тоді || a+Kn|| = pn(a) є нормою на A/Kn. Нехай An позначає поповнення A/Kn по цій нормі. Позначимо через бn канонічний гомоморфізм із A у An, а через ?nn+1 природній гомоморфізм з An у An+1. Введемо позначення. Нам також знадобиться інша алгебра, що є у-C*-алгеброю з покомпонентними операціями й нормою : ||f||=supn||f(n)|| для всіх fОU(A). Позначимо гомоморфізм обрахування у точці n. Існує природній гомоморфізм ц із A у l(A) якій ставить у відповідність елементу функцію a(n)=бn(a). Нехай B позначає сепарабельну C* -алгебру, цn :B_An-сім'я сюр'єктивних гомоморфізмів таких, що шnn+1 0цn+1=цn. Позначимо через T:B_ U(A) гомоморфізм визначений за правилом T(a)(n)=цn(a), тоді Ker(T)=nn Ker(цn).

Зафіксуємо гільбертові простори Hn такі, що An є не виродженими підалгебрами у B(Hn). Зауважимо, що оскільки рn і цn сюр'єктивні T(B) і U(A) є не виродженими підалгебри у B(Hn). Будемо називати алгебру B разом із сім'єю цn обгортуючою C*-алгеброю A, якщо виконані наступні умови: Ker(T)=0, і U(A) є алгеброю мультиплікаторів T(B). Будемо позначати обгортуючу алгебру як C*(A).

Теорема 2.1.2 Якщо обгортуюча C*-алгебра існує, то вона єдина. Нехай C*(A) позначає обгортуючу C*-алгебру A, Rep(A). Тоді існує єдине Rep(C*(A)) у тому самому гільбертовому просторі і натуральне n0 таке, що для всіх n > n0 ( Fn(р) позначає єдине продовження р до An). Більш того, для незвідного р продовження також незвідне.

Для *-обмежених *-алгебр з одиницею обгортуюча C*-алгебра існує й співпадає з класичним об'єктом. У розділі 2.2 ми розглянемо питання існування обгортуючої C*-алгебри і дамо деякі достатні умови існування. Позначимо через T= індуктивну границю топологічних просторів Tn=Rnn Irr(A), що є спектрами An.

Теорема 2.2.1 Нехай T складається із зображень компактними операторами і є хаусдорфовим простором. Тоді обгортуюча C*-алгебра A існує, породжується неперервним полем елементарних С*-алгебр заданим на T, причому множина полів із C*(A), що мають компактний носій є скрізь щільною у C*(A).

Так визначена обгортуюча C*-алгебра дозволить нам визначити "гарні" інтегровані необмежені зображення *-алгебри, які, виявляється, мають щільну інваріантну множину обмежених векторів (остання умова часто в літературі приймається за означення необмеженого зображення).

Нехай A позначає *-алгебру, для якої існує обгортуюча C*-алгебра, яку позначимо через C*(A) . Позначимо через A- уніталізацію A, якщо A не мала одиниці, і саму A у протилежному випадку. Нехай C*(A) реалізується як C*-алгебра породжена неперервним полем C*-алгебр на деякому локально-компактному хаусдорфовому топологічному просторі так, що множина полів із C*(A), що мають компактний носій є скрізь щільною у C*(A). Нехай {aj, j=n} деяка система самоспряжених твірних і {wk, kK} множина співвідношень A-.

Позначимо Dj= - правий ідеал у C*(A).

Визначимо лінійні оператори Aj з областями Dj C* (A) за наступним правилом Ajf=(бk(aj)fk)k=1. Тоді за лемою 2.3.1. Aj є афільованим елементом до С*-алгебри С*(А). Нехай { Bj }j = n оператори (обмежені чи не обмежені) у гільбертовому просторі Н з областями визначення Рj Н. Будемо казати, що набір { Bj }j = n є інтегрованим зображенням *-алгебри A якщо існує не вироджене зображення pОRep(C*(A),H) таке, що для j=1,…, n Bj=р (Aj), де в правій частині стоїть єдине продовження р на множину афільованих елементів.

Теорема 2.3.2 Нехай { Bj }j = n зображення *-алгебри A. Тоді існує щільна інваріантна множина Р обмежених векторів (відносно кожного Bj ) у Н на якій усі співвідношення *-алгебри виконані. Тобто для довільного співвідношення w(a1,a2, ... ,an) у *-алгебрі A і довільного h з Р виконане w(B1,B2, … ,Bn)h = 0.

У розділі 2.3 ми наводимо приклад: *-алгебра, породжена одним ідемпотентом.

Розділ 3. присвячений розгляду конкретних прикладів *-алгебр, опису їх теорії зображень, побудові їх обгортуючих C*-алгебр, а також застосуванням результатів попередніх розділів до вивчення необмежених зображень. Так у підрозділі 3.1 вивчається сім'я *-алгебр, що носить назву першої деформації Вітена. Це сім'я алгебр Ар, залежних від дійсного параметра p, що породжуються твірними E0, E+, E- і визначальними співвідношеннями:

pE0E+ - 1/p E+E0 = E+,

[E+,E-] = E0 - (p - 1/p)E02,

pE-E0 - 1/p E0E- = E-.

У підрозділі 3.1.1 знайдені всі інволюції на цих алгебрах, які твірні Е0, Е+, Е- відображають в їх лінійні комбінації. С точністю до еквівалентності таких інволюцій дві: Е0*=Е0, а Е+*=Е- для першої інволюції й Е+*=-Е- — для другої. У підрозділі 3.1.3 наведена повна класифікація незвідних зображень у категорії гільбертових просторів відповідних *-алгебр із точністю до унітарної еквівалентності. Розглядаються зображення як обмеженими такі необмеженими операторами (з приводу означення необмеженого зображення див.). Нехай f(x)=p-1(1+p-1x), Gн(y)=g/(1+ p2)(- y - p-1y2+ нI), де g=1(g=-1) для першої (другої) інволюції. Позначимо також f(k,x)=p-2k(x+(p2k-1)/(p2-1)p).

Кожне незвідне зображення *-алгебри Ар визначається деякою підмножиною Д орбіти динамічної системи (f,R+) і параметром н. Настуні теореми дають класифікацію незвідних зображень *-алгебр Ар.

Теорема 3.1.1 Всі незвідні зображення першої дійсної форми Ар реалізуються

обмеженими операторами, причому

1. Для кожного натурального m існує зображення розмірності m+1, що відповідає значенню параметра н=p/4(1-p2m)(1+p2) /((1+p2m)(1-p2))2-1),

Дн= { f(k,x1),-1<k= m+1}

2. Існує серія одновимірних зображень E0=p/(p2-1) ; E+=л; E-=л*; л -комплексне н=p3/(1-p2)2

3. Для кожного н з множини [p3/(1-p2)2;+8) існує зображення з верхнею вагою, що визначене множиною Дн={f(k,x2), k<1}

4. Для кожного н з множини [p3/(1-p2)2;+8) існує зображення з нижньою вагою, що визначене множиною Дн={f(k,x1), k<1}

5. Інших зображень не існує.

Теорема 3.1.2 Незвідні зображення другої дійсної форми Ар реалізуються обмеженими й необмеженими операторами в нескінченновимірному просторі,

за винятком одновимірних, причому

1. Обмеженими операторами реалізуються лише зображення з верхньою вагою:

для кожного н з множини [-p/4;p3/(1-p2)2) існує зображення з верхнею вагою, що визначене множиною Дн={f(k,x1), k<1}

2. Необмеженими операторами

a) Зображення з верхньою вагою:

перша серія: для кожного н з множини (-p/4 ; 0), існує зображення, що визначається множиною Дн={f(k,x2), k<1}

друга серія: для кожного н з множини (p3/(1-p2)2;+8) існує зображення, що визначається множиною Дн={f(k,x1), k>-1}

b) Зображення з нижньою вагою:

перша серія: для кожного н з множини [p/4 ; 0), існує зображення, що визначається множиною Дн={f(k,x2), k>-1}

друга серія: для кожного н з множини (p3/(1-p2)2;+8) існує зображення, що визначається множиною Дн={f(k,x1), k>-1}

c) Без верхньої й нижньої ваги:

перша серія нумерується точками множини

ф={(л,н) : л О (-p ;-p/2)З (-p/2; 0], нО(-p;л (л+p)p-1)} для кожної пари (л,н)О ф існує зображення, що визначається множиною Д(л,н)={f(k,л), kОЩ}

друга серія нумерується точками множини е=[-p-2;-p-1) ґ (- ? ;p/(p2-1))

для кожної пари (л,н)О е існує зображення, що визначається множиною Д(л,н)={f(k,л), kОЩ}

У підрозділі 3.3 ми вивчаємо питання існування й властивості обгортуючої C*-алгебри для *-алгебр, що складають першу деформацію Вітена з першою інволюцією і наводимо застосування до вивчення необмежених зображень, а саме, наслідок 3.1.1 стверджує, що в просторі інтегровного зображення існує щільна інваріантна підмножина обмеженихї векторів.

У підрозділі 3.2 вивчається *-алгебра Apq+(3,1), що була введена Делбеком і Кен13 як двопараметрична кубічна деформація асоціативної обгортуючої алгебри su(2). Вона породжується твірними J0, J+, J- і визначальними співвідношеннями:

[J0,J+] = (1+(1 - q)J0)J+,

[J0,J-] = - J_ - (1 - (1 - q)J0),

[J+,J-] = 2 J0(1+( 1 - q)J0)(1 - ( 1 - p)J0),

де інволюція визначається наступним чином: J0*=J0, J+*=J-. Припускається, що параметри задовольняють умовам: 0<p<1, 0<q<1.

У підрозділі 3.2 ми приводимо повну класифікацію зображень алгебр із цієї сім'ї обмеженими і не обмеженими операторами з точністю до унітарної еквівалентності. Введемо деякі позначення: g(x,м)=м-2(q-1)/((q+1)(q3-1))x(x+1)(1+(p+q)q-(1-p)(1+q)x)

Позначимо через x1(м)=x2(м)=x3(м) дійсні корені рівняння g(x,м) = 0 ( у випадку якщо локальний максимум g(x,м) рівний 0 вважаємо x1(м) = x2(м), якщо він менше 0, то будемо вважати що x1(м), x2(м) не існують, у випадку якщо локальний мінімум g(x,м) рівний 0 вважаємо x2(м) = x3(м), якщо він більше 0, то будемо вважати, що x2(м), x3(м) не існують). Нехай a=1+(p+q)q, b=(1-p)(1+q), g=ab-1. Тоді е1=(a-b+

(a2+b2+ab)1/2)/(3b),е2=(a-b-(a2+b2+ab)1/2)/(3b)

є екстремальними точками g(x,м). Покладемо y1(p,q)=

g(е1(p,q),0), y2(p,q)=g(е2(p,q),0), ш(м,p,q)=(x3(м)-(q-1)-1)/ (x2(м)-(q-1)-1),

шi,j(м,p,q)=(xi(м)-(q-1)-1)/ (xj(м)-(q-1)-1).

будемо позначати через ш(p,q). Нехай б(q)=2/((1+q)(1+q-q2)).

Теорема 3.2.1 Незвідні зображення *-алгебри Apq+(3,1) з інволюцією, що на твірних визначена як J0*=J0, J+*=J- реалізуються як обмеженими так і не обмеженими операторами. Кожне таке зображення унітарно еквівалентне одному і лише одному з наведених у наступному списку:

1. Обмеженими операторами реалізуються наступні зображення:

a) Одновимірні зображення: J0=(q-1)-1, J+=л, лОВ

b) Скінчено-вимірні зображення:

· Нехай у=г-1-2е1. При тих значеннях параметрів p, q, що у? (q-1)-1 для кожного t=1 існує незвідне зображення розмірності t+1 задане множиною Д={f(x1,k)| k=0,…,t} і параметром м, що однозначно визначається з рівняння q-t=к(м).

При тих значеннях прарметрів p, q, що у> (q-1)-1 визначене вище

зображення існує для t<log1/qк(-y1).

· Для тих значень параметрів p, q і тих цілих t ?1, що один з коренів квадратного рівняння

(1+q+qt)x2-((1-qt)/(1-q)(1+2qt)+(г-1)(1+qt))x+

( ((1-qt)/(1-q))2+(г-1)(1-qt)/(1-q)-г) = 0, задовольняє умову

(1+q+qt)x<(1-qt)/(1-q)

існує незвідне зображення розмірності t+1, що задане множиною Д={f(x1,k)|k=0,…,t} і параметром

· Якщо p=1-2q-q2 або p=2+q+q2 існує незвідне зображення розмірності 2, що задається множиною Д={x1,x3} і параметром м=-y2.

c) Зображення з верхнею вагою:

1) Для заданих параметрів p, q нехай м1 позначає те єдине значення параметра м, що x1(м)=(q-1)-1. Тоді для кожного мО (-y2,м 1]З {-y1} існує незвідне зображення визначене, множиною Д={f(x2(м),k)|k= 0}.

2) Для параметрів p, q таких, що ш(p,q)>1/q існує єдине значення параметра м=м0 таке, що ш(м0)=1/q.

Тоді для кожного мО(м0,м1) існує незвідне зображення визначене, множиною Д={f(x3(м),k)|k= 0}. Якщо ш(p,q)<1/q, то визначене вище зображення існує для кожного мО (-y2,м 1).

2. Необмеженими операторами реалізуються наступні зображення:

a) Зображення з нижньою вагою:

1) Для тих значень параметра ?О (-y2,м 1), що ?3,1(м,p,q)>1/q існує незвідне зображення визначене, множиною Д={ f(x1(м),k)|kі 0}.

2) Для тих значень параметра мО (-y2,м 1), що існує натуральне n і

q-n<к (м,p,q), q-n-1>ш3,1(м,p,q), існує незвідне зображення визначене, множиною Д={ f(x1(м),k)|kі0}.

3) Для тих значень параметра мО (-y2,м 1) , що ш(м)<1/q існує незвідне зображення визначене, множиною Д={f(x2(м),k)|kі0}.

4) Для кожного мО (-8,-y1) існує незвідне зображення визначене, множиною

м={ f(x3(м),k)|k=0}.

5) Для всіх значень параметрів p, q існує незвідне зображення визначене м=-y1 і множиною Д={f(x2(-y1),k)|k=0}.

b) Зображення без ваг.

Для кожної пари значень параметрів p, q і кожного ? такого, що ш(м)Ј 1/q існує континуум незвідних зображень, що визначаються множинами Dl={f(л,k)|kОЩ}, де

лО (qx3-1,x2).

Розділ 3.4 присвячений вивченню C*-алгебр пов'язаних з одновимірними неоднозначними простими динамічними системами. Динамічна система (f,С) називається простою, якщо кожна орбіта є або періодичною або аппроксимативно періодичною. Функція f називається кусково-монотонною на інтервалі I , якщо I є об'єднанням скінченої кількості інтервалів на кожному з яких f монотонна. У випадку кусково-монотонного відображення f простота еквівалентна умові для деякого натурального m, причому довжина кожного циклу є ступенем 2. Клас таких динамічних систем позначається F. Надалі будемо розглядати лише F динамічні системи (f,I) з унімодальним відображенням f, задані на інтервалі I=[0,1], які мають тільки дві нерухомі точки s0=0, 0<s1<1, і припустимо, що для кожного mЈn існує лише один цикл періоду 2m котрий є відштовхуючим для m<n і притягуючім для m=n. Наступна теорема дає опис C*-алгебр породжених операторами незвідних зображень. У випадку, якщо система задається поліноміальним відображенням, наприклад, f(x) = x(1-x) відповідна C*-алгебр є C*-обгортуючою алгеброю *-алгебри, що задається твірними й визначальними співвідношеннями В< X,X*| XX* = f(X*X)>. У випадку f не поліном, під C*(Af) ми розуміємо C*-алгебру, що одержується з вільної *-алгебри F(X,X*) породженої X із пренормою

|| b ||=supр || р(b) ||, де супремом береться по всіх рО Rep(F(X,X*)) таких, що р(XX*) = f(р(X*X)) за стандартною процедурою факторизації і поповнення. Кожне незвідне зображення C*(Af) визначається або двосторонньою орбітою dМС+, або односторонньою орбітою dМС , яка починається або закінчується в 0, а решта коефіціентів строго додатня. Множину таких орбіт позаначатимо Orb+ (f).

Теорема 3.4.5 Нехай динамічна система (f,С) проста і ?ОOrb+ (f).

1. д не циклічна двостороння орбіта, тоді C*(рd)=Щґd C() є схрещеним добутком C*-алгебри й групи цілих чисел, де = д Зб (д)Зв (д). Множина незвідних зображень Irr(C*(рd)) це рd,рw (d),f,рa (d),f, де 0=ц?2р.

2. Припустимо, що 0 не є періодичною точкою.

Якщо ? фоківська орбіта, то C*(рd) @ Mm(T(C(У))) є алгеброю всіх матриць розмірності m= |щ (д)| над C*-алгеброю T(C(У)) Теплицевих операторів.

Аналогічне твердження вірне для анти-фоківської орбіти із заміною m= |б (д)|.

У підрозділі 3.4.4 ми описуємо двоїстий простір C*-алгебри пов'язаної з F2n унімодальною системою. Нехай A C*-алгебра, під спектром (двоїстим простором), позначеним В розуміється множина класів унітарно-еквівалентних зображень в множині Irr(A) незвідних зображень A із топологієюДжекобсона. Замикання множини S Н A це [S]={ рО В | Ker р Н ИrО S Ker с }або еквівалентно [S]={ рО В| для всіх y О A | || р(y)|| Ј suprО S|| с (y)||}. Нехай H — гільбертовий простір з ортогональним базисом {ek, kОЩ}. Нехай U унітарний оператор визначений як Uek=ek+1. Для кожної орбіти д=(xk)kОЩ О Orb+(f) існує відштовхуючий цикл B такий, що б(д) = B надалі ми будемо завжди вважати, що x0 ОIB. Визначимо оператор Cd за правилом Cd ek= xk ek. Нехай Z позначає множину неперіодичних орбіт. Покладемо ?(X)(д)= U і продовжимо на C*(Af). Ми маємо представлення Ш:C*(Af) ®B(H)Z елементів обгортуючої алгебри операторнозначними функціями на Z. Нехай R позначає підпростір не вироджених орбіт. В наступних теоремах ми позначаємо через [X] замикання X у топології C*(Af), де підмножина XНOrb+(f) ототожнюється з множиною відповідних зображень. Якщо YНС, то позначає замикання в топології

дійсних чисел С. Множина циклічних орбіт, яку ми будемо позначати Cyc(f),

природним чином ототожнюється з Per(f)/~, де x~y, якщо xі y належать одній орбіті. На множині підмножин множини не циклічних орбіт Z розглянемо операцію cl(X) де XНZ визначену правилом cl(X)={д О Z| дН }.

Лема 3.4.4. Множина Z з операцію замикання cl() є топологічним простором. Клас гомеоморфізму таких просторів визначається лише цілим числом n.

Теорема 3.4.7. Двоїстий простір C*(Af) гомеоморфний Orb+(f)+q(Сyc(f)ґУ), деи:Сyc(f)ґУ ® Orb+(f) визначено за правилом и(x,ц) циклічна орбіта x. Топологія на Orb+(f) задається наступною сукупністю замкнених множин

; SНOrb+(f) і простір Orb+(f)+q(Сyc(f)ґУ) є фактор множиною незв'язного об'єднання Orb+(f)+(Сyc(f)ґУ) за відношенням еквівалентності, яке ототожнює циклічну орбіту x із (x,1)ОСyc(f)ґУ, де топологія задається сукупністю замкнених множин: S замкнена у Per(f)/~ ґУ і, де SН Orb+(f). Більш того, він визначається з точністю до гомеоморфізму цілим n.

ВИСНОВКИ

В даній роботі вивчаються зображення *-алгебр обмеженими й необмеженими операторами у гільбертових просторах.

Знайдено нові критерії С*-зображувальності *-алгебр.

Розвинуто технічний апарат для дослідження необмежених зображень *-алгебр за допомогою обгортуючих С*-алгебр. Класифіковано незвідні зображення деформацій Вітена та деформацій Делбек і Кен асоціативної обгортуючої алгебри su(2). Описано С*-алгебри пов'язані з динамічними системами.

Розвинуті в дисертаційній роботі методи можуть бути використані для подальших досліджень С*-зображувальності інволютивних алгебр, опису їх незвідних зображень та пов'язаних із ними С*-алгебр.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ.

[1] Yu.S. Samoilenko, L.B.Turowska, S.Popovych Representations of a Cubic Deformation of su(2) and Parasupersymmetric Commutation Relations //

Symmetry in Nonlinear Math. Physics.— V.2.—1997.—p.372—383.

[2] S.Popovych Representation of Real Forms of Witten's First Deformation // Symmetry in Nonlinear Math. Physics.— V.2.—1997.—p.393—396.

[3] Popovych S.V., Maistrenko T.Yu. C*-Algebras Associated With Quadratic Dynamical System // Proceedings of Insitute of Mathematics of NAS of Ukraine.-2000.-Vol.30.-Part 2.-P.364-370.

[4] S. Popovych Conditions for embbeding a *-algebra into a C*-algebra //

Methods Funct. Anal. Topol.—1999.—V.5—no.3.—pp. 40—48

[5] S. Popovych Unbounded idempotents // Methods Funct. Anal. Topol.—1999—V.5—no.1.—pp.95—103

Попович С.В. Інволютивні алгебри, їх зображення та застосування. ѕ Рукопись.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел - Київський університет імені Тараса Шевченка, м.Київ, 2000.

Дисертацію присвячено дослідженню зв'язку алгебраїчних властивостей інволютивних алгебр з теорією їх зображень обмеженими та необмеженими операторами у гільбертових просторах. Доведено критерії існування точного зображення інволютивної алгебри обмеженими операторами у гільбертовому просторі в термінах, що узагальнюють поняття додатності інволюції. Наведені достатні умови додатності інволюції для інволютивних алгебр, заданих твірними та визначальними співвідношеннями. Наведено конструкцію обгортуючої С*-алгебри для інволютивних алгебр, що не є *-обмеженими, та її застосування до вивчення необмежених зображень. Класифіковано незвідні зображення Першої деформації Вітена su(2) та кубічної деформації su(2) введеної в роботі Делбека та Кен. Вивчено властивості обгортуючої С*-алгебри першої дійсної форми Першої деформації Вітена su(2). Описаний спектр і наведена реалізація операторнозначними функціями на спектрі С*-алгебр, пов'язаних з простими унімодальними динамічними системами.

Ключові слова: С*-зображувальність, точне зображення, обгортуюча С*-алгебра, унімодальна динамічна система.

Попович С.В. Инволютивные алгебры, их представления и приложения.—Рукопись.

Дисертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел.- Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Дисертация посвящена изучению связи между алгебраическими свойствами инволютивных алгебр и их теорией представлений ограниченными, а также неоганичеными операторами в гильбертовых пространствах. Доказаны критерии существования точного представления ограничеными операторами в гильбертовом пространстве инволютивной алгебры в терминах, обобщающих понятие положительной инволюции. Приведены достаточные условия положительности инволюции для инволютивных алгебр, заданых образующими и оперделяющими соотношениями. Приводится конструкция обертывающей С*-алгебри для инволютивных алгебр, не являющихся *-ограниченными, дается ее применение к изучению неограниченных представлений соответствующей инволютивной алгебры. Классифицированы неприводимые представления первой деформации Виттена ассоциативной обертывающей алгебры su(2) и кубической деформации ассоциативной обертывающей алгебры su(2), введеной в работе Делбека и Кен.

Описан спектр и приведена реализация операторнозначными функциями на спектре С*-алгебр, связанных с простыми унимодальными динамическими ситемами.

Ключевые слова: С*-представимость, точное представление, обертывающая С*-алгебра, унимодальная динамическая система.

Popovych S.V. Involutive algebras their representations and applications. ѕ Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specialty 01.01.06. ѕ algebra and number theory.ѕ Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.

Connections between algebraic properties of involutive algebras and their theory of representations by bounded and unbounded operators in Hilbert spaces are studied. Some necessary and sufficient conditions of existence of faithful representation of involutive algebra by bounded operators in Hilbert space in terms generalizing notion of proper involution are given. Some sufficient conditions of properness are given for involutive algebras given by generators and relations.

Construction of enveloping C*-algebra for *-algebra which is not *-bounded is given. Its application to the study of unbounded representations of corresponding *-algebra is presented. An example of *-algebra generated by idempotent and its conjugated is studied in detail.

The complete classifications of irreducible representations up to unitary equivalence of real forms the First Witten deformation of associative enveloping algebra of su(2) and cubic deformation of associative enveloping algebra of su(2) proposed by Delbeco and Quesne are given. Some properties of enveloping C*-algebras of the first real form of The First Witten deformation of associative enveloping algebra of su(2) are studied and existence of dense invariant subset of bounded vectors in the space of unbounded integrable representation is proved.

The description of the spectra and realization as an operator-valid functions on the spectrum of C*-algebras associated with simple unimodal dynamical systems are given.

The main results are following:

· New criteria of C*-representability in terms of properness of the involutions on all matrix algebras over given *-algebra (completely proper *-algebra) are found.

· Some sufficient conditions of completely properness of *-algebras given by generators and relations are presented. In particular, completely properness of *-algebras given by non-selfadjoint generators and relations which does not involve elements conjugated to generators, as well as of *-algebras in which relations are unshrinkable words is proved.

· Complete classification of all irreducible representations by bounded and unbounded operators of real forms of The Witten First deformation of associative enveloping algebra su(2) is presented.

· Complete classification of all irreducible representations by bounded and unbounded operators of real form of cubic deformation of associative enveloping algebra su(2) is presented.

· C*-algebras generated by irreducible representations of C*-algebras associated with simple unimodal dynamical