Міністерство освіти і науки України

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

Сидорчук Богдан Петрович

УДК 532.546:532.72

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ФІЛЬТРАЦІЇ З УРАХУВАННЯМ СУФОЗІЙНИХ ЯВИЩ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Тернопіль - 2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Рівненському державному технічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико - математичних наук, доцент

Бомба Андрій Ярославович,

Рівненський державний гуманітарний університет, докторант кафедри прикладної математики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Бейко Іван Васильович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри моделювання складних систем;

кандидат фізико - математичних наук,

Чернуха Ольга Юріївна

Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача НАН України,

старший науковий співробітник відділу “Математичного моделювання нерівноважених процесів” Центру математичного моделювання

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України та Національного космічного агентства України, відділ моделювання динамічних процесів Землі і планет, м.Київ

Захист відбудеться 6 жовтня 2000р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 58.052.01 в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя, 46001, Тернопіль, вул. Руська, 56.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя, 46001, Тернопіль, вул. Руська, 56.

Автореферат розіслано 2 вересня 2000р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Б.Г.Шелестовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Як показує практика, меліоративний дренаж у більшості випадків практично в перші ж роки експлуатації не виконує в повній мірі своїх функцій або повністю виходить з ладу.

Традиційно, при гідравлічних розрахунках процесу фільтрації коефіцієнт фільтрації грунту приймають сталою та незмінною величиною у всій області фільтрації та на протязі всієї роботи дренажної системи. Однак, при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного грунту, в навколодренному середовищі відбувається втрата фільтраційної міцності грунтів, що зумовлює зміну коефіцієнта фільтрації. Не зважаючи на те, що розміри зони, де градієнти напору перевищують критичні їх значення, порівняно із міждренними відстанями, досить малі, зміни, що відбуваються у грунті даної зони визначають роботу всієї дренажної системи. Характер і розвиток цих змін грунту досить складний і залежить не тільки від градієнтів напору, а й від механічного складу грунту, захисно-фільтруючого матеріалу, конструкції дренажу, режиму роботи дрени тощо.

Існуючі на даний час теоретичні розрахунки процесу фільтрації в пористому середовищі не враховують взаємовпливу градієнтів напору та коефіцієнта фільтрації в навколодренному середовищі. Дане явище, зумовлене виникненням фільтраційних деформацій, супроводжується суттєвими змінами питомої витрати і може вивести меліоративну систему з ладу (дренаж не виконуватиме покладених на нього функцій). Тому на даний час досить актуальними є питання процесу фільтрації в середовищах, що деформуються.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Робота виконувалась у відповідності з планом науково - дослідної роботи на тему ,,Математичні моделі нелінійних стаціонарних і нестаціонарних фільтраційних і гідравлічних процесів, проблеми взаємозв'язку та урахування локальних неоднорідностей“ № І-34 на підставі рішення експертної комісії УІІВГ від 10 січня 1995 року протокол №4 до наказу ректора від 12 січня 1995 року за №6.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є математичне моделювання нелінійних процесів фільтрації в пористих середовищах з урахуванням взаємовпливу коефіцієнта фільтрації та градієнтів напору в режимі осушувальної та зволожувальної дії дренажу.

У відповідності з поставленою метою були визначені наступні задачі досліджень:

1.Провести модифікацію базових моделей процесів фільтрації в середовищах, що деформуються стосовно розв'язання нових задач руху води до дрени і із зволожувача в грунт. Побудувати розв'язки відповідних нелінійних задач.

2.В рамках моделей, що враховують суфозійно-кольматаційні явища, отримати аналітичні вирази для знаходження фільтраційної витрати. Встановити співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та середовища, що деформується в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку та конструктивних характеристик дренажу.

3.В рамках моделей встановити вплив на витрату до дрени коефіцієнта фільтрації і товщини фільтра при наявності фільтраційних деформацій придренного середовища.

4.Встановити критерій формування різними способами деформованих зон і на основі відповідних моделей провести теоретичні та числові розрахунки для витрат, напорів і їх градієнтів у режимі зволоження.

5.Дослідити залежність витрати із дрени-зволожувача від характеристичних параметрів у випадку нерівномірного заповнення порового простору суфозійними частинками.

6.Виконати чисельні розрахунки процесу фільтрації згідно теоретичних залежностей, отриманих за розробленими математичними моделями.

Об'єкт дослідження - процес фільтрації в пористих середовищах, що деформуються; предмет дослідження - процес фільтрації в середовищах з урахування суфозійних явищ в режимі осушувальної та зволожувальної дії дренажу.

Методи дослідження. При переході від задач в недеформованому середовищі до модельних задач, які враховують суфозію та кольматаж, ставилась вимога: класичну форму закону руху рідини в пористих середовищах залишити початково прийнятою та, не починаючи “спочатку”, отримані раніше розв'язки доповнювати певними поправками. При моделюванні отриманих нелінійностей та локально-неоднорідних збурень використані традиційні метод послідовних наближень та асимптотичний метод в різних їх модифікаціях.

Наукова новизна одержаних результатів.

- Розроблені нові математичні моделі процесу фільтрації, які враховують взаємовплив коефіцієнта фільтрації та градієнтів напору в придренному середовищі.

- Дістала подальший розвиток методика розв'язання нелінійних задач із післядією при моделюванні осесиметричної фільтрації з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища.

- Вперше одержані в рамках моделей аналітичні вирази для знаходження фільтраційної витрати, що враховують суфозійно-кольматаційні явища придренного середовища при перевищенні діючими градієнтами їх критичного значення та залежності, що характеризують вплив параметрів процесу фільтрації на зміну притоку до дрени та витрати із дрени в грунт за наявності суфозійних явищ.

- Встановлено характер впливу на витрату до дрени коефіцієнта фільтрації і товщини фільтра за наявності фільтраційних деформацій в придренному середовищі.

Практичне значення одержаних результатів. На основі виконаних досліджень знайдені залежності для розрахунку фільтраційної витрати в середовищах, що деформуються. Реалізація розрахункових алгоритмів дозволяє враховувати вплив суфозійних явищ на питому витрату із зволожувача та притік до дрени. Також, зокрема, за відповідними алгоритмами пропонується розраховувати параметри (коефіцієнт фільтрації, товщина) фільтрів (засипок), які найбільш доцільні при наявності фільтраційних деформацій придренного середовища.

Рекомендації щодо фільтраційного розрахунку питомої витрати та стоку до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища використані при проектуванні модуля дослідно-виробничої автоматизованої осушувально-зволожувальної системи, яка розташована в с.Кам'яниця Дубнівського району Рівненської області. Робота меліоративної системи протягом 1996 - 1999 років забезпечувала запроектовані питомі витрати.

Особистий внесок здобувача полягає в безпосередній участі в проведенні теоретичних досліджень та самостійному проведенні чисельних експерементів, що виконані згідно плану даної роботи в рамках вище згаданої науково - дослідної теми, оформленні проміжних результатів роботи у вигляді публікацій і доповідей, самостійному узагальненню окремих етапів досліджень, дисертаційної роботи в цілому.

У публікаціях, написаних у співавторстві, здобувачеві належить: у праці [4] – проведення чисельних розрахунків на ЕОМ алгоритму послідовних наближень розв'язку стаціонарної модельної задачі; у праці [5] – знаходження розв'язку поставленої модельної задачі з використанням методу малого параметра; у праці [6] – отримання на основі розробленої покрокової процедури розв'язків локально збурених нелінійних задач для рівнянь фільтрації; у праці [9] – виконання на основі запропонованих математичних моделей та методики їх реалізації чисельних розрахунків, доведення збіжності послідовних наближень точки розділу області фільтрації, напорів та їх градієнтів; у праці [10] – виконання чисельних експериментів для ряду запропонованих математичних моделей, опрацювання та аналіз отриманих результатів; у праці [11] – обгрунтування вибору моделей коефіцієнта фільтрації, комп'ютерне опрацювання, аналіз та систематизація отриманих результатів; у праці [12] – знаходження розв'язку нестаціонарної модельної задачі, проведення чисельних досліджень; у праці [13] – проведення чисельних розрахунків для розроблених модельних задач фільтрації.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на науковій конференції ,,Сучасні проблеми прикладної математики“ (м.Рівне, 21-22 квітня 1994р.); ювілейній науково- технічній конференції професорсько-викладацького складу та студентів УІІВГ (м. Рівне, 27 березня-15 травня 1995р.); Всеукраїнській науковій конференції ,,Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (м. Львів, ЛДУ, 24-26 вересня 1996р.); ІІІ-ій науково - технічній конференції професорсько-викладацького складу, аспірантів та студентів академії (м. Рівне, 24 березня- 16 квітня 1997р.); ювілейній Всеукраїнській науково-технічній конференції ,,Актуальні проблеми водного господарства” (м. Рівне, 21-23 жовтня 1997р.); Міжнародній конференції ,,Сучасні проблеми теорії фільтрації” (м.Рівне, 1-3 червня 1998р.); десятій науковій сесії Наукового товариства ім. Шевченка (м.Львів, 1-25 березня 1999р.).

Публікації. За результатами проведених досліджень опубліковано 13 наукових праць, з яких – 8 у збірниках наукових праць, з них - 3 у фахових виданнях, 3 є депоновані в ДНТБ України, 2 - тези доповідей.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи (175 сторінки) містить 159 сторінок основної частини, включає 31 рисунок та 116 джерел бібліографічних найменувань на 10 сторінках, а також 2 додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність роботи, сформульована мета, визначено основні завдання, показана наукова новизна, практичне значення та апробація матеріалів роботи, коротко викладено зміст дисертації.

У першому розділі зроблений короткий огляд теорії фільтрації в зернистих середовищах.

Одним з перших питання про закон руху рідин в пористих середовищах поставив і експериментально дослідив французький інженер А.Дарсі в 1852-1856 роках. Результати досліджень вилились в закон, що був опублікований в 1856 р. у вигляді V=-kI, де V — швидкість фільтрації; І — градієнт напору; k — коефіцієнт пропорційності, що пізніше отримав назву коефіцієнта фільтрації. Даний закон і до цього часу дослідники вважають основним законом фільтрації в пористих середовищах.

Основні положення теорії фільтрації розробили такі видатні вчені, як М.Є.Жуковський, М.М.Павловський, П.Я.Полубаринова-Кочина, А.М.Костяков, В.І.Аравін, С.М. Нумеров та інші. С.В.Ізбаш, В.С.Істоміна, Д.М.Мінц, А.М.Патрашев, М.І.Хрисанов та ряд інших вчених вивчали процеси фільтраційних деформацій в середовищах.

Проведений аналіз наукових джерел показує, що на приплив до дрени (питому витрату) впливають деформативні процеси, які виникають в придренній зоні, що зумовлює перерозподіл напорів, їх градієнтів та зміну коефіцієнта фільтраціїї. Однак, на даний час, це враховується, як на практиці так і в теорії, певною залежністю коефіцієнта фільтрації грунту від характеристик середовища і аж ніяким чином не від характеру збурення чи градієнта напору.

Виявляючи фільтраційні деформації, дослідники намагалися компенсувати зміну коефіцієнта фільтрації та градієнта напору застосуванням фільтра чи засипки з певним значенням коефіцієнта фільтрації. Коефіцієнт фільтрації грунту при дослідженнях вище згаданих процесів вважався, як правило, сталою і незмінною величиною.

В гідротехнічній лабораторії Рівненського державного технічного університету за методикою і під керівництвом М.М.Хлапука були проведені певні експерименти на грунтових моделях, які показали, що складний характер роботи дрен осушувально - зволожувальних систем зумовлює значне зменшення дренажного стоку і витрати з дрени в грунт. За результатами експериментів було зроблено висновок про те, що втрата фільтраційної міцності грунтів (що пов'язано зі зміною коефіцієнта фільтрації) в навколодренному середовищі відбувається при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного грунту.

З метою математичного моделювання такого роду процесів фільтрації з урахуванням взаємовпливу градієнтів напору та коефіцієнта фільтрації А.Я.Бомбою був розроблений підхід до розв'язання відповідних нелінійних крайових задач з післядією [8, 10, 14], а в дисертаційній роботі розвинуто його та розроблено методику розв'язання поставлених задач.

У загальному випадку залежність коефіцієнта фільтрації від градієнта напору приймається нами, як правило, у вигляді

(1)

де - деяка незростаюча функція;

Ikp - критичний градієнт напору;

ko - коефіцієнт фільтрації недеформованого середовища.

У другому розділі розглядаються теоретичні дослідження процесу фільтрації в режимі осушувальної дії дренажу.

При моделюванні процесу осесиметричної фільтрації з урахуванням впливу градієнтів напору на коефіцієнт фільтрації, за основу вибрана відома стаціонарна задача фільтрації в круговому недеформованому пласті

(2)

де h(r) напір на колі радіуса r (в точці r);

ro, Ro - радіуси відповідно дрени та її зони впливу.

Розв'язок даної задачі (відповідно напір, його градієнт та витрата) має вигляд

, (3)

, (4)

. (5)

Розв'язавши рівняння dho(r)/dr=Ikp, де Ikp - критичне значення градієнта напору для даного середовища, отримано початкове наближення радіуса

(6)

що ділить область фільтрації rorRo на ,,збурену'' (де dho /dr>Ikp) та ,,незбурену'' (dho(r)/drIkp) ділянки.

Отримані залежності h=ho(r), I=Io(r), q=qo , rc=rco вважаються вихідними значеннями відповідно напору, його градієнта, витрати та радіуса розділу зон.

А.Я.Бомбою та М.М.Хлапуком пропонуються такі базові моделі коефіцієнта фільтрації на ділянці збурення: а) б)k=korc /r, в) k=ko(arc/r+b), a+b=1, г)k=ko(1+e(1-r/rc)), д)k=ko(1+e(dh/dr-Ikp)).

Як показали результати досліджень осесиметричної фільтрації, характер і розвиток зміни коефіцієнта фільтрації досить складний і залежить, зокрема, від градієнтів напору та гранулометричного складу грунту. Так, у випадку сильносуфозійних грунтів за рахунок повного вимивання суфозійних частинок у порожнину дрени відбувається значне збільшення коефіцієнта фільтрації, а отже і притоку до дрени (модель б). При цьому діючі градієнти зменшуються до критичного значення.

Зміна величини градієнта напору, згідно лабораторних та теоретичних досліджень, пропорційна 1/r (~1/r). У більш загальному випадку структуру грунту та вплив градієнтів напору на коефіцієнт фільтрації враховує модель (в), де введено параметр а, що виражає міру сприйняття суфозійними частинками дії фільтраційного потоку.

При незначних деформаціях середовища, коли проявляється непропорційне зростання (спадання) швидкості фільтрації від градієнтів напору, доцільне використання моделей (г), (д), де параметр характеризує ступінь впливу градієнтів напору на коефіцієнт фільтрації.

На прикладі моделі, що виражає взаємозв'язок градієнтів напору і коефіцієнта фільтрації за залежністю (б), наводиться методика досліджень процесу осесиметричної фільтрації в середовищах, що деформуються.

В рамках даної моделі встановлено, що область виникнення фільтраційних деформацій однозначно визначається конструкцією дренажу (радіуса ro), характеристикою грунту (Ikp), гідродинамічною дією фільтраційного потоку (Ho - ho) та розміром контура живлення (Ro). Із зростанням радіуса дрени ro деформована зона збільшується від дрени в масив фільтрації, причому для ro=ro(Ro)= Ro-(Ho-ho)/Ikp незбурена зона зникає (rc=Ro). Аналіз же відповідних залежностей підтверджує той факт, що граничні (при ) значення градієнтів напору даної моделі зменшуються до їх критичного значення за рахунок повного вимивання суфозійних частинок у порожнину дрени.

Провівши розрахунки в рамках моделі (в), одержано співвідношення для знаходження точки розмежування зон, градієнтів напору та притоку до дрени відповідно у вигляді

, , (10)

(11)

. (12)

Встановлено, що величина притоку до дрени в значній мірі залежить від деформаційних процесів, що відбуваються у придренній зоні (ділянці rorrc) і інтенсивність яких, в свою чергу, визначається характеристиками грунту (а, b), розміром контура живлення (Ro) та конструктивними параметрами дрени (ro).

Результати досліджень показують (рис.1), що витрата зростає при зменшенні критичного градієнта, а при зменшенні параметра a – спадає. При збільшенні радіуса дрени ro в грунтах, в яких відсутні суфозійні частинки (), витрата зростатиме за рахунок збільшення ділянки виходу потоку (зауважимо, що в дійсності збільшення витрати в цьому випадку може відбуватись ще й за рахунок переорієнтації в просторі частинок скелету грунту). В сильносуфозійних грунтах () збільшення притоку до дрени відбувається за рахунок вимивання частинок в порожнину дрени. Таке явище, якщо його не обмежувати, може призвести до переосушення земель.

Розроблені математичні моделі коефіцієнта фільтрації, а також метод послідовних наближень, запропонований для розв'язання нелінійних задач з післядією, які виникають при моделюванні процесів фільтрації в деформованих середовищах, дозволяють розвивати дані процеси і в часі. В роботі наведено приклад дискретного моделювання процесу фільтрації в середовищах, що деформуються, з урахуванням зміни коефіцієнта фільтрації як в просторі, так і в часі, а саме: за початкове значення коефіцієнта фільтрації = приймаємо коефіцієнт фільтрації недеформованого середовища: ; градієнт напору Io(r), точку розділу збуреної і незбуреної зони rco для моменту часу t=to=0 - відповідно у вигляді (4) та (6). Провівши часову дискретизацію, і припустивши, що k(r,t)=k(r) на будь - якому інтервалі часу довжиною Dt, тобто: hi(r)= hi(r,ti), ki(r)= ki(r,ti), , , на довільному i-му часовому інтервалі (Dti=ti - ti-1), i=1, 2,… коефіцієнт фільтрації k(r) отримуємо у наступному вигляді:

(13)

де величина коефіцієнта визначається дослідним шляхом;

Ii1 - градієнт напору збуреної зони при .

Традиційно вважається, що закладення фільтрів навколо дрен забезпечує їх захист від механічного замулення, збільшує осушувальну дію дренажу та сприяє його довговічності. Обгортка або засипка дренажних труб добре фільтруючим і правильно підібраним матеріалом змінює структуру потоку (лінії потоку направляються перпендикулярно поверхні дрени) та зменшує втрати напору в придренній зоні, що сприяє збільшенню водосприймальної спроможності дрен. Однак, дрена і фільтр в процесі роботи дренажу взаємодіють з грунтом (у якому можуть проявлятися фільтраційні деформації), що може спричинити вихід меліоративної системи з ладу - дренаж не виконуватиме покладених на нього функцій.

У дисертаційній роботі побудована математична модель для випадку процесу фільтрації до дрени з об'ємним фільтром (засипкою), згідно з якою, градієнти напору на початковому (нульовому) етапі, коли дія критичного градієнта не враховується (діючі градієнти у грунті та фільтрі не перевищують відповідних критичних значень), отримано у вигляді

(14)

де Ф(rco)=(ko/kз)ln(rз /ro)+ ln(Ro/rз) ;

rз , kз - відповідно радіус та коефіцієнт фільтрації засипки.

При цьому приплив води до дрени обчислюється за формулою

(15)

Аналіз залежностей (14) показує, що при зменшенні коефіцієнта фільтрації засипки діючі градієнти в засипці збільшуються, а в грунті - зменшуються у порівнянні з початковими (при відсутності засипки). Отже, понижуючи коефіцієнт фільтрації засипки (об'ємного фільтра), можна досягти зменшення діючих градієнтів у грунті, зокрема, при наявності суфозійних явищ, не допускати можливих фільтраційних деформацій.

Витрата до дрени із засипкою зростає як при збільшенні відношення коефіцієнтів фільтрації засипки та грунту kз /ko , так і при збільшенні радіуса засипки rз. В роботі подані графіки залежності відносної витрати qв=q/(2pko(Ho - ho)) від товщини фільтра при Ro=1,0 м, ro=0,036 м для kз /ko =2; 5; 10; 50; 100. Результати досліджень показують, що більш суттєвий вплив на витрату має відношення kз/ko, ніж величина rз . Тому при необхідності підвищення притоку до дрени більш доцільно і економічно збільшувати коефіцієнт фільтрації засипки (об'ємного фільтра), а не її товщину.

Однак, для недопущення фільтраційних деформацій у суфозійних грунтах, доцільно застосовувати засипки (об'ємний фільтр) з низьким коефіцієнтом фільтрації (при kз<ko відбуватиметься природній кольматаж фільтра суфозійними частинками, що дозволить понизити діючі градієнти у грунті). Застосування засипок (об'ємних фільтрів), коефіцієнт фільтрації яких значно вищий ніж грунту, може призвести до виникнення у суфозійних грунтах суттєвих фільтраційних деформацій.

У загальному випадку, а саме, коли фільтраційні деформації можуть проявлятися як в грунті, так і в засипці (тобто діючі градієнти в грунті та засипці перевищують відповідні критичні значення Ikpг, Ikpз), збурення коефіцієнта фільтрації у засипці (фільтрі) описуємо таким же чином, як у грунті, тобто за моделлю в). При цьому вважаємо, що всі суфозійні частинки проходять у дрену (без кольматажу середовища).

Формула для притоку до дрени у даному випадку отримана у вигляді

. (16)

Результати досліджень показують, що виникнення фільтраційних деформацій в засипці спричиняє збільшення питомої витрати за рахунок вимивання суфозійних частинок із зони . Дане явище негативно впливає на роботу дренажу в цілому, оскільки призводить до збільшення збуреної зони в грунті.

Аналіз результатів моделювання процесу фільтрації в двошаровому середовищі, чисельних розрахунків та графіків, які побудовані за відповідними залежностями показує, що для недопущення фільтраційних деформацій у суфозійних грунтах необхідно застосувати об'ємний фільтр (зміна товщини фільтра дозволяє регулювати фільтраційну витрату) із коефіцієнтом фільтрації меншим за коефіцієнт фільтрації грунту. Однак, для збільшення питомої витрати у малосуфозійних грунтах більш доцільно і економічно збільшувати коефіцієнт фільтрації засипки (об'ємного фільтра), а не її товщину.

Фільтраційні деформації, які можуть проявлятися як у грунті, так і в засипці (об'ємному фільтрі), суттєво впливають на весь процес фільтрації та здатні значно змінювати питому витрату до дрени.

У третьому розділі подані результати теоретичних і числових розрахунків процесу фільтрації в режимі зволожувальної дії дренажу.

Характерною особливістю моделювання процесів фільтрації із зволожувача в грунт є те, що на відміну від режиму осушення, тут обов'язково виникають два типи різних збурених зон. Безпосередньо навколо зволожувача формується зона вимивання суфозійних частинок (коефіцієнт фільтрації зростає), за нею – зона їх зупинки (ділянка кольматажу), де коефіцієнт фільтрації певним чином зменшується, а далі іде незбурена зона. Такі зміни в навколодренній зоні суттєво впливають на витрату з дренажу. Згідно результатів експериментів (проведених в гідротехнічній лабораторії Рівненського державного технічного університету) витрата із зволожувача зменшується в десятки разів.

При моделюванні процесу фільтрації із зволожувача в середовище, що деформується, шляхом введення величин радіусів rв та rз (ro <rв <rз <Rо), задаємо три зони: ro <r <rв - зона вимивання частинок грунту, де k=kв>ko, rв <r <rз - зона ''закупорення'' пор частинками, k=kз<ko; rз <r <Ro - незбурена зона, k=kн=ko. Градієнти напору з урахуванням даного роду збурень, отримано відповідно у вигляді

(17)

де

Результати числових досліджень показали, що діючі градієнти в зоні кольматажу та незбуреній зоні, навіть при незначному вимиванні частинок із зони суфозії (kв>ko), зростуть, а в зоні вимивання () - стануть менші за початкові, а саме

(18)

Пропонується декілька варіантів формування збурених зон. Проілюструємо один із них. Прирівнючи Iв(rв) та Iз(rз) відповідно до Ikpв та Ikpз, отримаємо співвідношення для знаходження радіусів (точок) розділу зон

(19)

де Ikpв– критичне значення градієнта напору стосовно границі вимивання суфозійних частинок;

Ikpз – градієнт, що відповідає межі зупинки суфозійних частинок (при розв'язанні задачі за значення Ikpз приймемо величину Iз(r) при r=rз).

Параметри kв , kз та Ikpз входять у дані рівняння в неявному вигляді. Методика їх знаходження наступна.

Нехай при пористості грунту n величини mck та mc відповідно дорівнюють об'єму частинок, що утворюють скелет (під скелетом тут розуміємо таку структуру грунту, частинки якого не переміщуються у просторі під дією будь-якого з градієнтів напору, хоча можуть зміщуватися навколо осі, яка обов'язково проходить через частинку), та об'єму суфозійних частинок, які містяться в одиниці об'єму грунту. Вважатимемо, що коефіцієнт фільтрації обчислюється за формулою k=an (або k=bn2 тощо [7]), де a (чи b)- коефіцієнт пропорційності, і при Ikp>Iв має місце повне вимивання дрібних частинок із даної зони. Отже, при повному вимиванні суфозійних частинок із зони , об'єм яких , і рівномірному розподілі їх в об'ємі грунту зони затримки, матимемо kв=a(1-mck). Додаткова кількість суфозійних частинок, що надійде в кожну одиницю об'єму зони затримки, становитиме

, (20)

звідки

. (21)

Тоді kз=a(1-mck -mc -amc).

Отже, – параметр, що чисельно дорівнює відношенню кількості суфозійних частинок, які надходять в зону кольматажу до тих, які початково там знаходились. З фізичної точки зору, - параметр характеризує ймовірність переміщення суфозійних частинок із зони, де градієнти перевищують критичні значення для даного грунту, в зону кольматажу , що можливе при певному співвідношенні між розмірами суфозійних частинок dc, порами Do та початковим заповненням порового простору. При повному заповненні порового простору зони , матимемо

(22)

звідси

. (23)

Отже, - максимальне значення a, при якому суфозійні частинки повністю заповнюють поровий простір зони затримки. При вимивання суфозійних частинок не відбуватиметься.

З урахуванням (21), (23), із (19) отримаємо

. (24)

Отже, критичний градієнт зупинки Ikpв - це змінна величина , що характеризує стабілізацію процесу кольматажу і враховує взаємовплив суфозії та кольматажу.

Аналіз наведених залежностей показує, що групою характеристик суфозії є такі параметри як Ikpв,rв а кольматажу - Ikpз, a , які є взаємозв'язані між собою.

Формула для обчислення витрати в даному випадку отримана у вигляді

, (25)

де .

Результати досліджень показують, що при збільшенні a витрата спадатиме, причому інтенсивність спадання значно посилюється при наближенні a до , що можливо при щільному заповненні порового простору зони кольматажу дрібними суфозійними частинками. Також, як і очікувалося, збільшення в одиниці об'єму суфозійних частинок призводить до зменшення витрати.

З досліджень процесу фільтрації із зволожувача у випадку, коли із зони при наявності суфозійних явищ, вимилися не всі частинки, тобто певна їх частка залишилась у зоні суфозії, встановлено, що збільшення кількості суфозійних частинок (параметра ), що залишаються у зоні суфозії, призводить до поступового зменшення витрати з інтенсивністю, яка залежить від mc – при збільшенні mc витрата спадає швидше.

Розроблений метод є суттєво природним стосовно розв'язання нелінійних задач з післядією, які виникають при моделюванні осесиметричної стаціонарної фільтрації в режимі осушувальної та зволожувальної дії дренажу із врахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища, що дозволяє на основі покрокової побудови послідовних наближень точки розділу збуреної та незбуреної ділянок області фільтрації, напору та його градієнта моделювати процеси взаємовпливу градієнтів напору та фільтраційних характеристик середовища в часі. У четвертому розділі на основі розробленої методики наведено розв'язки для ряду нових задач нестаціонарної фільтрації, у яких врахована наявність фільтраційних деформацій придренного середовища.

У п'ятому розділі наведено рекомендації та залежності для розрахунку питомої витрати та стоку до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій.

ВИСНОВКИ

1.Проведено модифікацію базових моделей процесів фільтрації в середовищах, що деформуються стосовно розв'язання нових задач руху води до дрени і із зволожувача в грунт. Побудувано розв'язки відповідних нелінійних задач.

2.В рамках моделей, що враховують суфозійно - кольматаційні явища, одержані аналітичні вирази для знаходження фільтраційної витрати. Встановлені співвідношення між характеристиками деформованого середовища та середовища, що деформується в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку та конструктивних характеристик дренажу.

3.Виведені рівняння для певних моделей, що дозволяють встановлювати найдоцільніші значення конструктивних параметрів дренажу в залежності від характеристик грунту та гідродинамічної дії фільтраційного потоку.

4.В рамках моделей встановлено вплив на витрату до дрени коефіцієнта фільтрації і товщини фільтра при наявності фільтраційних деформацій в придренному середовищі.

5.Отримані співвідношення, що дозволяють визначати значення характеристичних параметрів засипки (об'ємних фільтрів), при яких будуть відсутні фільтраційні деформації в суфозійних грунтах.

6.Установлено, що для збільшення питомої витрати у слабосуфозійних грунтах більш доцільно і економічно вигідно збільшувати коефіцієнт фільтрації засипки (об'ємного фільтра), а не її товщину.

7.Визначені критерії формування різними способами деформованих зон і на основі відповідних моделей проведені теоретичні та числові розрахунки для витрат, напорів і їх градієнтів в режимі зволоження.

8.Досліджено залежність витрати із дрени - зволожувача від характеристичних параметрів у випадку нерівномірного заповнення порового простору суфозійними частинками.

9.У рамках запропонованих моделей встановлено закономірність спадання витрати при заповненні порового простору зони кольматажу дрібними суфозійними частинами.

10.Розв'язані задачі фільтрації у випадку формування збурених зон змінним коефіцієнтом фільтрації із урахуванням нерівномірного заповнення порового простору суфозійними частинками.

11.У рамках моделей встановлені найбільш доцільні можливості практичної зміни витрати із дрени (зволожувача) в грунт.

12.Наведені рекомендації для розрахунку витрати до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Cидорчук Б.П. Математичні моделі нестаціонарних задач процесу фільтрації в середовищах, що деформуються // Вісник Тернопільського державного технічного унівеситету. – 1999. – Т.4, число 2. – С.30-36.

2. Cидорчук Б.П. Математичні моделі процесу фільтрації в шаруватих середовищах, що деформуються // Вісник Тернопільського державного технічного унівеситету. – 1999. – Т. , число 4. – С. 123-128.

3. Сидорчук Б.П. Про моделювання нелінійних процесів фільтрації із зволожувача в суфозійне середовище// Вісник Рівненського державного технічного унівеситету. – 1999. – випуск 2, част. . – С. 181-186.

4. Хлапук М.М., Бомба А.Я., Сидорчук Б.П. Про моделювання взаємовпливу фільтрації та механічної суфозії // Сучасні проблеми теорії фільтрації. Вісник УДАВГ.- Рівне, 1998.-С.157-166.

5. Бомба А.Я., Хлапук М.М., Сидорчук Б.П. Математичне моделювання нелінійних процесів масопереносу з урахуванням малих деформацій середовища // Актуальні проблеми водного господарства. Т.1. Вид- во УДАВГ. - Рівне, 1997.- С.11- 15.

6. Бомба А.Я., Хлапук М.М., Сидорчук Б.П. Про моделювання і розв'язання одного класу локально збурених нелінійних задач //Волинський математичий вісник.- Рівне, 1995.- Випуск 2.- С. 22- 24.

7. Сидорчук Б.П. Про математичне моделювання нелінійних процесів фільтрації в шаруватих середовищах, що деформуються // Волинський математичний вісник.- Рівне, 1998.- Випуск 5.- С. 115 - 121.

8. Сидорчук Б.П. Математичне моделювання нелінійних процесів фільтрації з урахуванням малих деформацій середовища // Зб. статей за матеріалами ІІІ наук.- техн. конференції професорсько- викладацького складу, аспірантів та студентів академії 24 березня- 16 квітня 1997р. ч.2. Проблеми гідротехніки та гідроенергетики.- Рівне, 1997.- С.61-62.

9. Про моделювання впливу градієнтів напору на фільтраційні характеристики придренної зони / А.Я.Бомба, М.М.Хлапук, Б.П.Сидорчук; УДАВГ. - Рівне, 1996. – 25 с. – Укр. – Деп. в ДНТБ України 23.10.96, №1997 – Ук96 // Анот. в РЖ ,,Депоновані наукові роботи”, - 1997, №2.

10. Про моделювання нелінійних процесів фільтрації із зволожувача в середовище, що деформується /А.Я.Бомба, М.М.Хлапук, Б.П.Сидорчук; УДАВГ. - Рівне, 1997. – 23 с. – Укр. – Деп. в ДНТБ України 19.02.97, №162 - Ук97 // Анот. в РЖ ,,Депоновані наукові роботи”, - 1998, №1.

11. До питання про моделювання процесів фільтрації в середовищах, що деформуються /А.Я.Бомба, М.М.Хлапук, Б.П.Сидорчук; УДАВГ. - Рівне, 1997. – 19 с. – Укр. – Деп. в ДНТБ України 22.09.97, №504 - Ук97 // Анот. в РЖ ,,Депоновані наукові роботи”, - 1998, №1.

12. Хлапук М.М., Бомба А.Я., Кузьменко А.Г., Сидорчук Б.П. Теоретичні рішення задачі нестаціонарної фільтрації при підгрунтовому зволоженні та їх аналіз.- В кн. Ювілейна н.- т. конференція професорсько- викладацького складу та студентів УІІВГ 27 березня- 15 травня 1995р. Тези доповідей. Рівне, 1995, ч.1- С.63.

13. Бомба А.Я., Хлапук М.М., Сидорчук Б.П. Про матеметичне моделювання нелінійних процесів фільтрації з урахуванням малих деформацій середовища //Тези доп. Всеукр. наук. конференції ,,Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”. 24- 26 вер. 1996р.- Львів, 1996.- С.12.

АНОТАЦІЇ

Сидорчук Б.П. Математичне моделювання нелінійних процесів фільтрації з урахуванням суфозійних явищ.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання і обчислювальні методи. Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2000.

Дисертацію присвячено питанням математичного моделювання взаємовпливу коефіцієнта фільтрації та градієнтів напору при осесиметричній фільтрації в пористих середовищах. Проведено модифікацію існуючих базових моделей та розроблено методику досліджень процесів фільтрації в середовищах, що деформуються стосовно розв'язання нових нелінійних задач з післядією руху води до дрени і із зволожувача в грунт.

У рамках моделей, що враховують суфозійно - кольматаційні явища, отримано аналітичні вирази для знаходження напорів, їх градієнтів та фільтраційної витрати. Встановлені співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та середовища, що деформується в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку та конструктивних параметрів дренажу. Наведені рекомендації та залежності для розрахунку витрати та стоку до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища.

Ключові слова: математичне моделювання, нелінійні задачі, коефіцієнт фільтрації, градієнт напору, витрата, грунт, фільтраційні деформації, взаємовплив.

Сидорчук Б.П. Математическое моделирование нелинейных процессов фильтрации с учетом суффозионных явлений.-Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2000.

Во введении дисертации подано обоснование актуальности работы, указано научную новизну полученных результатов и их практическое значение, сформулировано ее цель, которая заключается в математическом моделировании нелинейных процессов фильтрации в пористых средах с учетом взаимовлияния коэффициента фильтрации и градиентов напора в режиме осушительного и увлажнительного действия дренажа.

Проведенный в первой главе анализ научных иссточников показывает, что на фильтрационный расход воздействуют дефформационные процессы, которые проявляются в придренной зоне. Проделанные нами теоретические исследования нелинейных процессов фильтрации в режиме осушительного действия дренажа, которые были подтверждены экспериментальными данными, показывают (глава вторая), что при превишении действующими градиентами их допустимого (критического) значения, в околодренной среде происходит потеря фильтрационной стойкости грунтов, которая приводит к изменению коэффициента фильтрации. Построенные решения соответствующих нелинейных задач с последействием позволили, в частности, установить соотношения между характеристиками деформирующейся и недеформированной среды в зависимости от гидродинамического действия фильтрационного потока и конструктивных характеристик дренажа.

Результати теоретических и числовых расчетов процесса фильтрации в режиме увлажнительного действия дренажа представлены в третьей главе. Характерной особенностю моделирования процессов фильтрации из увлажнителя в грунт есть то, что в отличие от режима осушения здесь непременно возникают два типа разным образом возмущенных зон (участков). Непосредственно вокруг увлажнителя формируется зона вымыва суффозионных частиц (коэффициент фильтрации здесь возрастает), после нее – зона их остановки (участок кольматажа), где коэффициент фильтрации определенным образом уменьшается, а далее идет невозмущенная зона. Нами предлагается несколько вариантов формирования возмущенных зон и моделирования изменений коэффициента фильтрации в деформированных зонах. Приведены теоретические и числовые решения соответствующих нелинейных задач для предложенных моделей, анализ которых показывает, что при увеличении количества суффозионных частиц, которые поступают в зону кольматажа, расход из увлажнителя снижается, причем интенсивность уменшения значительно зависит от соотношения размеров суффозионных частиц, пор и начального заполнения порового пространства. Решены задачи фильтраци в случае формирования возмущенных зон переменным коэффициентом фильтрации с учетом неравномерного заполнения порового пространства суффозионными частицами.

Розработанный метод, который является естественным для решения нелинейных задач с последействием при моделировании оссесиметричной стационарной фильтрации в режиме осушительного и увлажнительного действия дренажа с учетом фильтрационных деформаций придренной среды, позволяет на основании пошагового построения последовательных приближений точки раздела возмущенной и невозмущенной зон области фильтрации, напора и его градиента моделировать процессы взаимовлияния градиентов напора и фильтрационных характеристик среды во времени. В четвертой главе на основании розработанной методики приведены решения для ряда новых задач несстационарной фильтрации, которые учитывают наличие фильтрационных деформаций придренной среды.

В пятой главе приведены рекомендации и соотношения для расчета потерь и стока к дрене с учетом фильтрационных деформаций придренной среды.

Ключевые слова: математическое моделирование, нелинейные задачи, коэффициент фильтрации, градиент напора, рассход, грунт, фильтрационные деформации, взаимовлияние.

Sedorchuk B.P. Mathematical modeling of non-linear of filtration processes with theaccount the phenomena suffosion.-Manuscript.

Thesis for a degree of candidate of technical sciences by speciality 01.05.02 - Mathematical modelling and calculating methods. – Ivan Pul'uj Ternopil State Technical University, Ternopil', 2000 .

The dissertation is devoted to questions a mathematical modeling of mutual influence of factor filtration and head gradients in porous sphere. In the dissertation is conducted updating of existing base models аnd is made a technique of researches of filtration processes in deformable sphere concerning the decision of new non-linear problems with after action of movement of a liquid to drainage and from humidifier in a ground.

Within the framework of models, which take into account moving the particles occluding time of the phenomenon, is received analytical expressions for a finding head, their gradients and the losses of filtration. Is established ratio between the characteristics non deformable sphere and sphere which is deformed depending on of action hydrodynamics of a flow filtration and design data of a drainage. The recommendations and ratio for account of losses and inflow to a drainage taking into account deformations filtration of near drainage sphere are induced.

Key words: a mathematical modeling, non-linear problems, factor to filtration, gradient head, losses, ground, deformations filtration, mutual influence.