ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ЮРІЯ ФЕДЬКОВИЧА

СОБЧУК ІГОР СТЕПАНОВИЧ

УДК 537.311.33

ЕЛЕКТРОННІ ЕНЕРГЕТИЧНІ СПЕКТРИ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ КРИСТАЛІВ У

МЕТОДІ АПРІОРНОГО ПСЕВДОПОТЕНЦІАЛУ

01.04.10 - Фізика напівпровідників і діелектриків

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці-2000

Дисертація є рукопис.

Робота виконана у національному університеті " Львівська політехніка"

Науковий керівник :

доктор фізико-математичних наук, професор

Буджак Ярослав Степанович,

національний університет "Львівська політехніка",

професор кафедри напівпровідникової електроніки

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Гурський Зеновій Олександрович,

Інститут фізики конденсованих систем НАН України,

завідувач відділу фізики металів та сплавів, м.Львів

доктор фізико-математичних наук, професор

Мельничук Степан Васильович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

професор кафедри теоретичної фізики

Провідна установа:- Львівський національний університет

імені Івана Франка,

фізичний факультет, м.Львів

Захист дисертації відбудеться "_23__ " лютого 2001р. о 17 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д76.051.01 при Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою:58012, м.Чернівці, вул. Коцюбинського, 2.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Чернівець-кого національного університету імені Юрія Федьковича (м. Чернівці, вул. Л. Українки, 23).

Автореферат розісланий " 23 " січня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Курганецький М.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність_теми. Електронна енергетична структура кристала (закон дисперсії) E=E(k) є ключовою в розрахунках його властивостей. В з'язку з цим розрахунок законів дисперсії - це важлива квантово-механічна задача. Одним із шляхів вирішення цієї задачі є метод псевдопотенціалу , оскільки він дозволяє з єдиних позицій вивчати широкий спектр фізичних властивостей кристалів та невпорядкованих систем. У даний момент часу проводяться дослідження електронного енергетичного спектра методами емпіричних псевдопотенціалів та атомних апріорних псевдопотенціалів. Емпіричні псевдопотенціали містять параметри, отримані з умов відтворення ними експе-риментально виміряних властивостей кристала.

Найбільше уживаними донедавна були атомні апріорні псевдо-потенціали Башеля, Хамана і Шлютера, опубліковані у 1982 р. Вия-вилось однак, що сформульована на їх основі секулярна задача має в базисі плоских хвиль (пх) вимірність 140000*140000. Дослідники, які користувалися базисом ~1000 плоских хвиль, помітили повільну збіжність задачі про енергетичний спектр, що і було непрямим підтвердженням, що ці псевдопотенціали вимагають великих базисів плоских хвиль, що з технічної точки зору є дуже складною проблемою для комп'ютерної реалізації.

Все більше використання псевдопотенціалів для розв'язання задач моле-кулярної динаміки стимулювало пошук більш досконалих форм останніх. У 1992р. Н.Труайє і Х.Л.Мартінс запропонували принципи побудови так званих сепарабельних псевдопотенціалів. У цьому підході вдалося знизити порядок задачі до ~3000 плоских хвиль. Однак відомо, що для SiC поря-док задачі становить 7300. Отже, пошук ефективних підходів в елек-тронній теорії кристалів триває. Цікавими з точки зору майбутнього засто-сування є апріорні псевдопотенціали, отримані Р.Бер-тончіні і Ф.Мелоні методом Хартрі-Фока. Вони не містять такого штучного параметра, як розмір остова rc, який не має фізичного змісту. Численні спроби покра-щити псевдопотенціали Башеля, Хамана і Шлютера шляхом зміни rc не мали успіху. Псевдопотенціали Бертончіні-Мелоні неперервні у прямому просторі і тому мають ті ж переваги, що й модельний псевдопотенціал Краска і Гурського. Перевагою локальних псевдопотенціалів Бертончіні-Мелоні є те, що вони не мають параметрів, залежних від експеримен-тальних даних, а також дозволяють отримати збіжні розв’язки за порів-няно невеликого розміру базису ~300 плоских хвиль. Отже, алгоритми пошуку зонних енергій і хвильових функцій є швидкими і більш точними, що дозволяє математично моделювати електро-фізичні параметри напівпровідників і приладних структур на їх основі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках державних програм, а саме: "Явища переносу при дефектоутворенні в реальних напівпровідникових структурах ІЧ-техніки (N0194И029593)" у якій дисертант провів розрахунок кінетичних властивостей кристалів актуальних для ІЧ-техніки (коефіцієнт Холла, рухливість зарядів); "Дефекти в кристалах та де-формаційно-стимульовані процеси і їх вплив на властивості кристалів і приладних структур твердотільної електроніки (N0196И000153)", де дисертант розрахував тензорезистивні властивості кристалів та їх залежність від умов деформації; "Отримання та дослідження чутливих елементів мікропе-ретворювачів магнітної індукції (N0196И000168)", у якій автор брав участь у виготовленні давачів Холла та розрахунку їх чутливості.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка апріорного методу розрахунку енергетичних спектрів і хвильових функцій напівпровідникових кристалів, обчислення диференціальних і інтегра-льних характеристик зонних спектрів, а також побудова ефективних алгоритмів і комп'ютерних програм.

При проведенні досліджень вирішувались такі задачі:

- вивчено вплив форми обмінно-кореляційних потенціалів на зонні енергії;

- розраховані градієнти та ефективні маси носіїв заряду напівпровідників з граткою типу алмазу;

- зроблено тривимірне інтерполювання на ортогональних полі-номах законів дисперсії , яке може бути використане для розрахунку термодинамічних, кінетичних, оптичних та інших властивостей кристалів;

- розрахована густина електронних станів на псевдогрінівських функціях, побудованих на розв'язках секулярної задачі;

- розраховані імовірності оптичних переходів у різних точках зони Брилюена, а також оптична діелектрична проникність .

Об'єктом дослідження є електронні енергетичні спектри і роз-раховані на їх основі фізичні властивості напівпровідникових кристалів.

Предмет дослідження:

-секулярна задача нульового наближення, на основі розв’язків якої розраховуються електронна густина і потенціал кристала;

-самоузгоджені густина валентних електронів , кулонівський і об-мінно-кореляційний потенціали кристала;

-аналітичні градієнти законів дисперсії електронів і отримані числовим диферинціюваням ефективні маси носіїв заряду;

-густина електронних станів, отримана за допомогою псев-догрівської функції, побудованої з блохівських хвильових функцій електронів у кристалі;

-імовірність оптичних переходів, оптична діелектрична про-никність у різних точках зони Брилюена і для різних енергій.

Метод дослідження: квантово-механічний метод апріорного псевдопотенціалу без використання експериментальних параметрів; метод функцій Гріна на основі розрахованих блохівських станів кристала.

Методом апріорного псевдопотенціалу отримані енергетичні спектри для різних розмірів базису та різних обмінно-кореляційних потенціалів. На основі розрахованих хвильових функцій отримані градієнти енергетичного спектра та ефективні маси носіїв заряду для кремнію і германію.

Методом функцій Гріна розрахована густина електронних станів.

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в тому що:

1. Вперше розраховані закони дисперсії в кристалах кремнію і германію методом апріорного модельного йонного псевдопотенціалу Бертончіні-Мелоні з врахуванням адитивного екранування в нульовому наближенні.

2. Методом тривимірного інтерполювання самоузгодженої густини ортогональними поліномами Чебишева вперше проведено розрахунки самоузгодженого енергетичного спектра напівпровідників з граткою алмазу.

3. На основі отриманих розв'язків знайдені градієнти енерге-тичного спектра і компоненти тензора ефективної маси носіїв заряду.

4.

Практичне значення роботи.

1. Отримані закони дисперсії є базою для розрахунку діелект-ричної матриці, яка використовується у квазічастинковій задачі у GW наближенні.

2. Аналітично наближений тривимірний закон дисперсії E(kx,ky,kz) може бути використаний і іншими дослідниками для роз-рахунку термодинамічних, кінетичних, оптичних та інших характе-ристик напівпровідникових кристалів.

3. Програма розрахунку тензора оберненої ефективної маси може бути використана і для складніших кристалів, у яких складові тензора можуть служити для побудови моделей електронного спектра у зонних долинах.

4. Комп'ютерні програми, реалізовані у даній роботі, придатні для розрахунків енергетичних зон і їх диференціальних і інтегральних характеристик. Вони побудовані так, що при незначній модифікації можуть бути застосовані для розрахунків в інших кристалах.

Особистий внесок автора. У роботі узагальнені результати досліджень, виконаних автором на кафедрі "Напівпровідникової електроніки" ДУ "Львівська політехніка" з дослідження електронної будови напів-провідникових кристалів. Автору належить: побудова кристалічного гамільтоніана системи[1,6]; створення програми для знаходження енергетичного спектра та хвильових функцій[3,4]; написання програми розрахунку градієнтів енер-гетичного спектра та компонентів тензора ефективної маси[5,7]; розрахунок кінетичних коефіцієнтів напів-провідникових кристалів[2].

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідалися і обговорювалися на XV пекарівській нараді з теорії напівпровід-ників, Донецьк, 1992 р.; IV Міжнародній конференції з фізики і технології тонких плівок, Івано-Франківськ, 1993 р.; I Українській конференції з структури та фізичних властивостей невпорядкованих систем, Львів, 1993 р.; The first international conference on material science of chalcogenide and diamond-structure semiconductors, Chernivtsi, October 4th-6th, 1994; Internatinal workshop on statistical physics and condensed matter theory. Lviv, 1995; Міжнародній науковій конференції, присв'яченій 150-річчю від дня народження видатного фізика і електротехніка І.Пулюя. Львів, 1995 р.; International conference on advanced materials ICAM 97. Strasbourg, 1997.

Публікації. Результати роботи викладені у 17 друкованих працях: 7- у фахових виданнях і 10- тези наукових конференцій.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чо-тирьох розділів, висновків , списку використаних джерел , що містить 136 найменувань та трьох додатків, які займають 23 сторінки. Повний обсяг дисертації складає 154 сторінок. Наведено 16 таблиць та 17 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі обгрунтовано актуальність теми досліджень, сфор-мульована мета та визначені конкретні задачі роботи, показана новизна та практичне значення отриманих результатів.

Розділ перший включає огляд літератури, у якому розглянутий підхід функціоналу локальнолої густини в розрахунках зонної структури твердих тіл. Зокрема, це стосується робіт присв'ячених побудові псевдопотенціалів, а саме : на ортогоналізованих плоских хвилях, повністю ортогоналізованих плоских хвилях і трансформованих орто-гоналізованих плоских хвилях. Поданий огляд модельних локальних і нелокальних псевдопотенціалів. Відмічено, що метод локального псевдопотенціалу має ряд переваг над іншими підходами, коли необхідно отримати не тільки зонний спектр, але й фізичні параметри напівпровідників.

У результаті про метод псевдопотенціалу взагалі можна сказати, що він дозволяє з єдиних позицій аналізувати електрон-ні, хімічні і структурні властивості молекул і твердих тіл. У псевдопотенціальному підході вдається виключити детальний опис хвильових функцій електронів кістяка. Явний вираз псевдопотен-ціалу можна отримати з багатоелектронного атомного гамільтоніана Хартрі-Фока або емпі-ричним шляхом прив'язування перших Фур'є-зображень псев-допотенціалу на відтворення експерименталь-них характеристик.

Локальні апріорні псевдопотенціали, обгрунтовані на основі рівняння Хартрі-Фока, дозволяють будувати швидкі розрахункові алгоритми розв’язання задачі про власні енергії і хвильової функції електронів у кристалі.

У другому розділі описаний алгоритм побудови матриці ефективного гамільтоніана на апріорному псевдопотенціалі Бертончіні-Мелоні:

, (1)

де , А, В параметри, отримані з роз'язків рівняння Хартрі - Фока, z-кількість валентних електронів. При побудові ефективного гамільтоніана використано адитивне екранування. Секулярне рівняння:

, (2)

розв'язане методом ортогональних перетворень. У рівнянні (2) і - вектори оберненої гратки, -матричний елемент псевдопо-тенціала,-шуканий енергетичний спектр. Матриця у рівнянні(2) зводилась до тридіагональної форми, а потім QL методом знаходились власні значення енергії [1]. Розраховано закони дисперсії і досліджена їх залежність від форми обмінно-кореляційного потенціалу, див. табл.1. Ці потенціали вибирались у наближенні Слетера(Сл), Кона-Шема(КШ) і Гедіна-Лундквіста(ГЛ), причому останній враховує коре-ляційні ефекти в електронній підсистемі, які є більш суттєвими для германію. Сформульована секулярна задача для пошуку власних енергій і власних векторів методом апріорного псевдопотенціалу, отриманого Бертончіні і Мелоні з рівняння Хартрі-Фока. Виведені розрахункові вирази для матричних елементів. Застосоване адитивне екранування йонного псевдопотенціалу на основі електронної густини, отриманої з аналітичних функцій Клементі і Роетті. Досліджена точність числового перетворення Фур'є, застосованого для отримання матричних елементів обмінно-

Таблиця1.

Власні значення енергії в еВ., у точках Г, X, L для кремнію і германію. |

Вид потенціалу

Рівень | Кремній | Германій

WСл | WКШ | WГЛ | WСл | WКШ | WГЛ

1(1) | -12.71 | -12.99 | -12.98 | -13.28 | -13.52 | -13.51

15 | 2.76 | 2.37 | 2.38 | 2.83 | 2.45 | 2.47

'2 | 3.29 | 3.98 | 3.04 | 1.14 | 0.86 | 0.91

1(2) | 7.39 | 6.28 | 6.32 | 6.88 | 5.78 | 5.84

X1(1) | -8.42 | -8.61 | -8.59 | -9.09 | -9.25 | -9.23

X4 | -3.18 | -3.41 | -3.40 | -3.14 | -3.35 | -3.34

X1(2) | 0.68 | -0.159 | -0.13 | 0.48 | -0.24 | -0.216

L'2(1) | -10.30 | -10.47 | -10.46 | -10.98 | -11.14 | -11.12

L1(1) | -7.52 | -7.89 | -7.87 | -7.85 | -8.17 | -8.15

L'3 | -1.35 | -1.43 | -1.43 | -1.35 | -1.42 | -1.42

L1(2) | 1.54 | 1.06 | 1.10 | 0.547 | 0.06 | 0.097

кореляційного потенціалу. Розраховано закони дисперсії і досліджена їх залежність від форми обмінно-кореляційного потенціалу.

Третій розділ присв'ячений побудові алгоритмів і розрахунку самоузгоджених спектрів напівпровідників з граткою алмазу. Густина валентних електронів для кристала побудована на блохівських функціях. У розрахунках переходимо до незвідної частини зони Брилюена, подіявши груповим оператором на хвильову функцію :

, (3)

де Ns -кількість елементів у групі - вектор непримітивної трансляції, S - точкова група Oh , - коефіцієнти розкладу хвильової функції . Обмін-но-кореляційний потенціал є нелінійною функцією густини електронів, тому його матричні елементи в базисі плоских хвиль розраховуються за допомогою числового тривимірного перетворення Фур’є. Вперше для розрахунку фур'є-трансформанти густини та обмінно-кореляційного потенціалу електронів створений алгоритм і розроблена програма тривимірного інтерполювання на ортогональних поліномах Чебишева:

де , аі і bі - вершини ребер паралелепіпеда, у якому проводиться інтерполювання, Сi,j,k -коефіцієнти апроксимації електронної густини у прямому просторі, Fn() - фур’є-образи поліномів Чебишева Tn(x), . Для одновимірного випадку інтерполяційна формула є такою:

, (5)

де

а многочлени Чебишева [1]. Встановлено, що час розрахунку фур'є- трансформанти елект-ронної густини менший приб-лизно у два рази, ніж у випад-ку застосування традиційного алгоритму . На основі роз-рахованої матриці крис-талічного потенціалу реалі-зована програма само-узгодженого розрахунку зако-нів дисперсії електронів у напівпровідниках з граткою алмазу . Нами проведені розрахунки енергетичного спектра в основних високо-симетрійних напрямках зони Брилюена (рис.1). Оскільки германій має меншу ширину забороненої зони порівняно з кремнієм, що наближає його до металів, то вплив коре-ляційних ефектів стає досить відчутним. Тому при розра-хунках законів дисперсії у германії в криста-лічний потенціал включені коре-ляційні поправки. Аналіз ре-зультатів розрахунку зонного спектра крем-нію і германію пока-зує, що збільшення довжини базису до 331 плоскої хвилі приводить до стабі-лізації значень енергії.

Розрахунки енерге-тичних спектрів пока-зують, що поправка крис-талічного потен-ціалу на кожній іте-рації наближає значення енергій до експериментальних і хви-льова функція стає точ-нішою. Розрахунки зон-них діаграм на крис-талічному потенціалі, який побудований на атомних хвильових функ-ціях, є допустимим тільки на стартовій ітерації. Реалізована програма самоузгодженого розра-хунку законів дисперсії електронів у кремнії і германії.

У четвертому розділі розроблені алгоритми і комп'ютерні програми три-вимірної апроксимації за-конів дисперсії і розра-хунки їх інтегральних та диференціальних характе-ристик. Якщо закон дис-персії має мінімум або максимум поблизу точки , то її можна розкласти в тривимірний ряд Тейлора в наближенні тензора ефективної маси:

, (6)

де - компоненти тензора ефективної маси, необхідно або розрахувати , або виміряти. Тензор ефективної маси в базисі плоских хвиль:

, (7)

де - вільноелектронна маса, а похідні знаходимо числовим дифе-ренціюванням за нарямком у просторі . Для розрахунку числових похідних від енергетичного спектра використаємо інтерполювання зонної енергії у заданій точці зони Брилюена. Числові похідні розраховані за триточковою схемою. Розраховані компоненти тензора ефективної маси у долинах з екстремумами для електронів і дірок див. табл.2. Для кремнію абсолютний мінімум зони провідності знаходиться у точці 0.85(Г-Х). Максимум енергії валентної зони знаходиться у центрі зони Брилюена в точці Г. У валентній зоні експериментально виявлено два види ефективних мас дірок: в і л - важкі і легкі відповідно.

Таблиця 2.

Ефективні маси електронів і дірок у кремнії та германії .

В одиницях | Кремній | Германій

| 137 пх | Експ. [2] | Експ. [3] | 137 пх | Експ. [2]

ел,.в | 0.875 | 0.970 | - | 1 1.16 | 1.30

ел.,л | 0.175 | 0.190 | - | 0.14 | 0.082

д.,в | 0.396 | 0.500 | 0.430 | 0.441 | 0.340

д.,л | 0.120 | 0.160 | 0.150 | 0.058 | 0.044

Для розрахуку кінетичних, термоди-намічних, оптичних та інших властивостей напів-провідників необхідно роз-раховувати інтегральні вели-чини у зоні Брилюена. Чис-ловий розрахунок таких інтег-ралів, як правило, вимагає знання власних значень енер-гії та власних векторів у точках зони Брилюена. Для розрахунку інтегралів у зоні Брилюена із задовільною точ-ністю необхідно мати зна-чення енергії і хви-льової функції у 104 - 106 точках зБ. Методи прямого розрахунку зонної структури кристалів є доволі складні і тривалі у часі, що не дозволяє проводити розрахунки у такій кількості точок зони Брилюена. Одним із способів розв'язання цієї за-дачі є створення алгоритмів і комп'ютерних програм інтерполюваня числових значень законів дисперсії тривимірним аналітичним виразом (див. рис.2). Оскільки енер-гетичні спектри залежать від kx, ky, kz , то нам необхідно будувати інтерпо-ляційну схему для функції трьох змінних. Наблизимо функцію ортогональними поліномами Чебишева:

, (8)

де - коефіцієнти розкладу, а

аі і вi - координати крайніх ребер прямокутного паралелепіпеда, у якому проводиться інтерполювання. Інформація про хід у - просторі міститься у коефіцієнтах розкладу .

Для дослідження багатоелектронних систем з квазінеперервним енергетичним спектром густина електронних станів g(E) є важли-вою характеристикою. Густину електронних станів розрахуємо на одноелектронних функціях Гріна. Псевдофункція Гріна є розв'яз-ком рівняння:

(ES - T - W) = S , (9)

де Е = , Т - оператор кінетичної енергії , W - псевдопо-тенціал, S- матриця перекривання. Система рівнянь у базисі плоских хвиль відносно невідомих буде такою:

, (10)

де . Розрахунок матричних елементів за теорією збурень є не завжди коректним, що пов'язано з розрахунком зонних енергій. У даній роботі знаходимо з розв'язків cекулярної задачі. Полюси діагональної псевдогрінівської функції визначають точний спектр псевдогамільтоніана, а сума діагональних матричних елементів дає густину електронних станів [4]:

(11)

Підсумовування за векторами проводимо методом точок середнього значення, у якому використовуються спеціальні точки з незвідної частини зони Брилюена з відповідними ваговими множниками. Проведено генерування 480 спеціальних точок. У кожній точці необхідно розрахувати діагональний матричний елемент , використовуючи алгоритм трививірної апроксимації по . Густина електронних станів розрахована для кремнію і германію з кроком 0.0001 еВ. Результати розрахунків густини електронних станів подані на рис.3 для кремнію і на рис.4 для германію. Порівняння отриманих залежностей g(E) з експериментальними кривими показує збіг піків в основних точках зони Брилюена і ходу кривих g(E). На основі отриманих густин станів для ідеальних кристалів можна розрахувати зміну густини електронних станів , викликану внесенням збурення у вигляді локалізованих дефектів :

, (12)

де - потенціал збурення, - діагональні елементи матриці псевдогрінівського опера-тора ідеального кристала. Використовуючи розраховані зонні енергії , електронну густину станів g(E), зміну гус-тини станів та гра-дієнти можна розрахувати термо-динамічні потенціали, кінетичні властивості кристала, оптичні па-раметри та інші властивості напівпро-відникових кристалів. Розглянемо кристал як термодинамічну сис-тему, що складається з великої кількості Na структурних частинок, які розташовані у вуз-лах кристалічної гратки і великої кількості частинок газу носіїв N (Фермі-газу), які хаотично рухаються між вузлами гратки. Такий газ носіїв заряду описується одночастинковою нерівноважною функ-цією розподілу

, (13)

де - зміна енергії однієї частинки під дією збурення, - хімічний потенціал. В омічній області провідності кристала відхилення його енергетичного стану від стану рівноваги невелике. Тоді концентрація газу носіїв заряду , (14)

питомі термодинамічні потенціали , (15)

, (16) , (17)

, ентропія - , де f0 - функція розподілу Фермі-Дірака, , а - електронна густина станів. У нерівноважному газі носіїв зарядів відбуваються процеси перенесення електрики і теплоти, які описуються такими рівняннями:

, (18)

. (19)

У цих формулах - вектор напруженості електричного поля, - вектор магнітної індукції, - градієнт температури. В узагальнених рівняннях електропровідності (18) і теплопровідності (19) величини та - це відповідно симетричний та антисиметричний тензори другого порядку. Ці тензори разом з оберненим тензором, який розраховується за правилами тензорної алгебри, описують всі кінетичні властивості кристалів :

тензор питомого опору (20)

тензор ефекту Холла (21)

тензор ефекту Зеєбека (22)

тензор поперечного ефекту Нернста-Еттінгсгаузена

(23)

тензор теплопровідності

. (24)

Оптичні властивості кристалів характеризуються комплексною діелектричною проникливістю е=е1+іе2. Уявна частина е , яка визначає коефіціент поглинання має вигляд:

, (25)

де - частота випромінювання. Імовірність оптичних переходів за ‘золотим правилом Фермі’ описується такою загальною формулою:

, (26)

де , - хвильові функції і - власні значення енергії відповідно у зоні провідності ‘c’ і валентній зоні ‘v’. Для того , щоб знай-ти ді-електричну проник-ність е2 , необхідно у (25) перейти до суми по зоні Брилюена . У зоні Брилюена було знайдено 23040 спеціальних точок. При сумуванні використано алгоритм інтерполювання (8).

Отже, методом псевдопотенціалу роз-в'язана задача відносно електронного енер-гетичного спектра та хвильових функцій. На основі отриманих роз-в'язків розрахований тензор ефективної маси носіїв заряду, складові якого добре погоджуються з експериментом. Досліджена залеж-ність результатів розрахунку ефективних мас від довжини базису.

Зроблена апробація програми числового тривимірного інтер-полювання енергетичного спектра E(kx,ky,kz) за допомогою ортогональних поліномів Чебишева. Результати інтерполювання і безпосереднього розрахунку наведені на рис.2., який показує високу точність апроксимації і можливість застосування для розрахунків інтегральних властивостей кристалів.

Для розрахунку густини електронних станів, оптичної діелектричної проникності використано алгоритм тривимірного інтерполювання полі-номами Чебишева .

Основні результати і висновки

1. Запропонований метод розв'язання самоузгодженої задачі про власні значення енергій і власні функції на апріорному псевдопотенціалі, отриманому методом Хартрі-Фока, який апробований на кремнії і германії. Реалізований програмно метод тривимірного наближення для законів дисперсії та резольвенти псевдогрінівського оператора у кристалах, за допомогою якого отримані густини станів та оптична діелектрична проникність.

2. На псевдопотенціалі Бертончіні-Мелоні без використання ек-спериментальних, підгоночних величин самоузгоджено розраховані зонні енергії електронів .

3. Врахування кореляційної енергії валентних електронів наближає величину міжзонних щілин до отриманих експериментально. Вплив коре-ляційної енергії на міжзонні щілини кремнію є незначний ~ 0,01 еВ, для германію кореляційна поправка є більш суттєвою і становить ~ 0,2-0,3 еВ.

4. Вперше розроблено алгоритм аналітичного наближення зон-них енергій у довільній точці зони Брилюена ортогональними полі-номами Чебишева. Запропонована інтерполяційна схема дозволяє суттєво прискорити розрахунки не тільки інтегральних характе-ристик(повна енергія зв'язку, густина електронних станів), але й диференціальних характеристик(градієнти енергетичного спектра, тензор ефективної маси електрона) енергетичного спектра у зоні Брилюена.

5. Достовірність розв’язку секулярної задачі перевірена розрахунками тензора ефективної маси у кремнії та германії. Отримане добре узгодження розрахованих значень складових тензора ефективної маси з експериментальними.

6. Розраховані електронні густини станів у кремнії та германії на псевдогрінівських функціях, побудованих на розв'язках се-кулярної задачі, що є базою у дослідженні кінетичних коефіцієнтів, оптичних параметрів та термодинамічних властивостей напів-провідників.

Основні роботи, які опубліковані по темі дисертації:

1.

2.

3. Буджак Я.С., Сиротюк С.В., Собчук І.С., Кинаш Ю.Є. Комп'ютер-не моделювання законів дисперсії електронів у кристалі//Вісник ДУ "ЛП".- 1995.- N257.- C.54-65.

4. Буджак Я.С., Сиротюк С.В., Собчук І.С. Розрахунок електронної енергетичної структури кремнію методом адитивно екранованого псев-допотенціалу//УФЖ.- 1996.- T.41, N2.- C.208-211.

5. Syrotyuk S.V., Kynash Yu.E. and Sobchuk I.S. The exact formula for an energy band spectrum gradient within the new completely orthogonalized plane wave methоd//Phys. Stat. Sol. B.- 1997.- N200.- P.129-136.

6. Сиротюк С.В., Кинаш Ю.Є., Собчук І.С. До розрахунку OPW - псевдопотенціалів напівпровідників і перехідних металів на неорто-гональних і ортогональних блохівських станах остова//УФЖ.- 1997.- T.42, N4.- C.469-471.

7. Собчук І.С. Ефективні маси електронів і дірок у кремнії, от-римані методом апріорного псевдопотенціалу//Вісник ДУ "ЛП". Елементи теорії та прилади твердотільної електроніки.- 1999.- N326.- C.119-121.

8. Сиротюк С.В., Собчук І.С., Кинаш Ю.Є, Швед М.М. Апріорні COPW-псевдопотенціали кристалів та розплавів напівпровідни-ків//Матеріали І Української конференції з структури та фізичних властивостей невпорядкованих систем. Ч. І.-Львів.- 1993.- С.40.

9. Буджак Я.С., Сиротюк С.В., Собчук І.С. Розрахунок зонних енергій в кремнії методом модельного псевдопотенціалу з адитивним екрануванням//The first international conference on material scinece of chalcogenide and diamond-structure semiconductos. V.II.- Chernivtsi, 1994.- P.86.

10. Syrotyuk S.V., Kynash Yu.E. and Sobchuk I.S. The ortgonalized core Blosh sums construction in semiconductor and metals//Internatinal workshop on statistical physics and condensed matter theory. Lviv.- 1995.- P.107.

11. Syrotyuk S.V., Budjak Y.S. and Sobchuk I.S. The electron and hole effective masses within ab initio pseudopotential approach//International confe-rence on advanced materials ICAM-97. Strasbourg.- 1997.- D26.

12.

Список використаних джерел:

1.

2. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников.-М.: Наука, 1990.-688 с.

3. Persson C., Lindefelt U. Detailed band structure for 3C-, 2H-, 4H-, 6H -SiC, and Si around the fundamental band gap//Phys. Rev. B.-1996.-V.54, №15.-p.10257-10260.

4. Moriarty J. Pseudo Green's functions and the pseudopotential theory of d-band metals // Phys. Rev.B.-1972.-V.5, №6.- P.2066-2081.

Cобчук І.С. Електронні енергетичні спектри напівпровідникових крис-талів у методі апріорного псевдопотенціалу.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.10 - фізика напівпро-відників і діелектриків.- Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2000.

Дисертація присвячена розрахунку законів дисперсії і хвильових функцій, а також електронних властивостей напівпровідникових кристалів. У дисертації розроблені комп'ютерні програми розрахунку самоузгоджених енергетичних спектрів напів-провідників з граткою типу алмазу. Вперше побудовано алгоритм тривимірної апроксимації енергетичних спектрів кремнію та германію на ортогональних по-ліномах Чебишева. На базі розв' язків секулярного рівняння отримані матриці псевдогрінівського оператора, за якими розраховані густини електронних станів. Для прискорення розрахунків резольвенти псев-догрінівського оператора використано тривимірну апроксимаційну схему на ортогональних поліномах Чебишева. Алгоритм і програма розрахунку матриці псевдогрініського оператора є базою для дос-лідження електронної будови невпорядкованих систем.

Ключові слова: енергетичні спектри, апріорний псевдо-потенціал, міжзонні щілини, кристалічний гамільтоніан, тривимірна апроксимація, псевдогрінівські функції, густина електронних станів.

Sobchuk I.S. The electronic energy band spectrum of semiconductor crystals within the method a priori pseudopotential method.- Manuscript.

Thesis submitted for a scintific degree of the candidate of sciences in physics and mathematics on a speciality 01.04.10-physics of semiconductors and dielectrics.-Yu. Fedkovich Chernivtsi national university, Cher-nivtsi , 2000.

Thesis is dedicated to the electronic energy band structure evaluation of semiconductor crystals within the ab initio pseudopotential approach. The obtained electronic eigenenergies and eigenwave functions are considered as basis for calculculation of the electronic properties of crystal semiconductors. The self-consistent calculations have been peformed with different exchange potentials. The electronic correlations have been included to the crystal Hamiltonian matrix as well.

The computer programms for calculation of self-consistent semicon-ductor eigenvalues with diamond lattice have been developed, where the Bertoncini-Meloni a priori pseudopotentials are employed. The optimal sizes of plane wave basis have been employed yielding the satisfactory eigenvalue energy compared with known a priori approaches for semiconductor crystals of silicon and germanium . The influence of correlation corrections on the energy band gaps has been investigated. It has been found that the latter are more essential for germanium while for silicon they are not so essential .

We have performed the self-consistent calculations of the eigen-energies and eigenvalues in the crystals, because the starting crystal po-tential is the superposition of the one-site atomic terms and only appro-ximately describes the electronion interaction. The self- consistent wave function give us the realistic screening in the crystal as well. The results obtained for energy band structure of silicon and germanium crystals show a marked difference between energy levels evaluated on first and zero interactions. This difference is decreased on the next iteration steps.

The self-consistent electronic charge density and crystal potential have been evaluated by means of the two special point summation over the first Brillouin zone. Since the first iteration stage the electronic density was become a many-elecnronic while on the initial iteration step it was represeuted as a superposition of atommic densities. This is very important for materials with covalent bondigs. The obtained crystal wave functions have been applied for calculation of the energy band spectra gradients which have been derived from eigenvectors in analytic form.

The latter is the base for numerical derivative calculation in order to evaluate the effective mass tensor. This way is characterized as more precise in comparison with usual second dirivative numerical calcu-lation.We have solved the secular equations and than on basis of eva-luated crystal wave functions the effective mass tensor components have been calculated. The tensor components are in good accordance with experimental.

It means that calculated dispersion laws have true differential characteristics. For the first time the algorithms of three-dimensional energy band spectrum approximation in silicon and germanium with the orthogonal Chebyshev polynomials have been established. The depen-dence of the approximation accuracy of the Chebyshev polynomial deg-rees has been investigated. The pseudo Green’s matrix has been calculated by means of eigenvalue problem local density approximation solutions and than the electronic density of states has been evaluated.

The electronic density of states has been evaluated by summation of the pseudo Green’s matrix over 480 special points of irreducibile part of the first Brillouin zone. The pseudo Green’s function has been calculated in three-dimensional space on base of eight order Chabyshev polynomials, which show the higher order of approximation in comparison with traditional linear or quadratic interpolation schemes.

The acceleration of the pseudo Green’s resolvent evaluation has been made by means of the three dimensional Chebyshev polynomials interpolation of its diagonal part. The pseudo Green’s function calculated here is the base for evaluation of the electronic density of states in real crystals with impurities. The total density of states includes two terms corresponding to the perfect crystal and to the change, cansed by impurity. This total density of states is the key property of the real crystal and may be employed in the calculation of the kinetic, thermodynamic, optical and other values. The poles of the pseudo-Green’s function define the electronic energy spectrum in the crystal with impurity.

Key words: the energy band structure, a priori pseudopotential, the band gaps, the crystal Hamiltonian, the three dimensional interpolation, the pseudo Green’s operator, the electronic density of states.

Собчук И.С. Электронные энергетические спектры полупро-водниковых кристаллов в методе априорного псевдопотенциала.- Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.10-физика полу-проводников и диэлектриков.- Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2000.

Диссертация посвящена расчету законов дисперсии и волновых функций, а также электронных свойств полупроводниковых крис-таллов. В диссертации разработаны компьютерные программы рас-чета самосогласованных энергетических спектров полупроводников с ячейкой типа алмаза. Впервые построен алгоритм трёхмерной аппроксимации энергетических спектров кремния и германия на ортогональных полиномах Чебышева. На базе решений секулярного уравнения получены матрицы псевдогриновского оператора, по которым рассчитаны плотности электронных состояний. Для ускорения расчетов резольвенты псевдогриновского оператора использована трёхмерная апрок-сима-ционная схема на ортогональных полиномах Чебышева. Алгоритм и программа расчета матрицы псев-догриновского оператора является базой для исследования элект-ронного строения неупорядоченных систем.

Ключевые слова: энергетические спектры, априорный псев-допо-тенциал, межзонные щели, кристаллический гамиль-тониан, трёхмерная аппроксимация, псевдогриновские функции, плотность элект-ронных состояний.

Підписано до друку 5.01.2001 р. Формат 60х90/16. Папір офсетний.

Друк на різографі. Умовн. друк. арк. 1,5.

Умовн. фарбо-відб..№38

Тираж 100 прим. Зам. №301

ПП “Істар”, м.Львів, вул. П.Мирного, 24.