КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

СЕМКО Микола Миколайович

УДК 519.41/47

ГРУПИ З УМОВАМИ

ЩІЛЬНОСТІ НОРМАЛЬНОСТІ

ТА ЇЇ УЗАГАЛЬНЕНЬ

ДЛЯ ДЕЯКИХ СИСТЕМ ПІДГРУП

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2000

Дисертація є рукопис

Робота виконана в Академії державної податкової служби України Державної податкової адміністрації України

Офіційні опоненти: |

член-кореспондент НАН Білорусі, доктор фізико-математичних наук, професор

ШЕМЕТКОВ Леонід Олександрович,

Гомельський державний університет імені Франціско Скорини Республіки Білорусь,

професор кафедри алгебри і геометрії

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

ЧЕРНІКОВ Микола Сергійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

ЛИМАН Федір Миколайович,

Сумський державний педагогічний університет

ім. А.М. Макаренка, завідувач кафедри математики

Провідна установа: |

Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра алгебри і топології, Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться 01.02.2001 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01107, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 25.12.2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _____________________Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вже більше ста років здійснюється інтенсивне вивчення груп, у яких деякі системи підгруп задовольняють певні умови (обмеження). Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень невпинно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Гамільтона, груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Особливу роль в подальшому розвитку цього напрямку зіграли роботи О.Ю. Шмідта, Р. Бера, О.Г. Куроша, С.М. Чернікова, Ф. Холла, Б. Неймана. У цій ділянці досліджень одержано багато важливих результатів, які можна знайти в роботах Б. Амберга, Г.Баумслага, З.І. Боревича, Н. Блекберна, Х. Віланда, В.Гашюца, В.М. Глушкова, Ю.М. Горчакова, Ф. Джіованні, Д.І. Зайцева, Л.С. Казаріна, М.І. Каргаполова, О. Кегеля, П.Г. Конторовича, М.Ф. Кузенного, Л.А.Курдаченка, С.С.Левіщенка, Ф.М.Лимана, В.Д.Мазурова, А.І. Мальцева, О.О. Махньова, Ю.І. Мерзлякова, В.С. Монахова, О.Ю. Ольшанського, А.П. Петравчука, І.В.Протасова, Б.І. Плоткіна, В.Н. Ремесленнікова, Д. Робінсона, Я.П. Сисака, А.І. Старостіна, С.Стоунхевара, В.І. Сущанського, М. Томкінсона, Б. Хартлі, Г. Хайнекена, М.Холла, В.С. Чаріна, М.С. Чернікова, С.А. Чуніхіна, Л.О. Шеметкова, В.П. Шункова та багатьох інших алгебраїстів.

З дедекіндових (Н-) груп, тобто груп, у яких нормальні всі підгрупи, розпочалось вивчення довільних (як скінченних, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп ? задовольняє умову нормальності (Н). Опис скінченних Н-груп здійснено у роботі Р. Дедекінда (1897 р.), а нескінченних – у роботі Р. Бера (1933 р.). Згадані роботи започаткували важливий напрямок досліджень в теорії груп. Головною метою цього напрямку є опис узагальнень дедекіндових груп. Такі узагальнення здійснюються або шляхом звуження системи підгруп ?, що є нормальними в усій групі, або послабленням властивості нормальності для підгруп із ?. Названі узагальнення Н-груп можна знайти, наприклад, у роботах О.Ю. Шмідта, Б. Хупперта, З. Янка, Д. Баклі, Н. Іто, Й. Сепа, Ф.М. Лимана, Г.М. Ромаліса, М.Ф. Сесекіна, С.М. Чернікова, В.Т. Нагребецького, О.О. Махньова, М.Ф. Кузенного, С.С. Левіщенка, І.Я. Субботіна, Л.О. Шеметкова, Г. Жордана, А. Фаттахі, М.С. Чернікова, Л.А. Курдаченка, В.В. Пилаєва, Д. Кеппіта, А.Ф. Баранніка, А. Манна, В.Е. Горецького та інших.

Послабленням нормальності для підгруп системи нескінченної групи G є майже нормальність. Підгрупа H групи G називається майже нормальною підгрупою групи G, коли індекс [G: NG(H)] скінченний. Одними з перших значних узагальнень дедекіндових груп, які пов’язані з поняттям майже нормальної підгрупи, одержані Б. Нейманом та І.І. Єрьоміним.

Узагальненням дедекіндових груп присвячена дисертаційна робота. В ній узагальнення дедекіндових груп здійснюється за допомогою обмеження нормальності і майже нормальності для системи підгруп *, яка певним чином пов’язана із згаданою системою . Це підкреслює її актуальність.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень Інституту математики НАН України і Академії державної податкової служби України ( номер державної реєстрації 0198U001999).

Мета і задачі дослідження. Традиційними питаннями напрямку досліджень груп, до якого відноситься дисертаційна робота, були задачі опису груп G, у яких нормальні або майже нормальні всі підгрупи деякої системи .

У 1968 році А. Манн почав вивчати групи, у яких нормальні не всі підгрупи системи , а ті групи G, що мають нормальну підгрупу N, розміщену між будь-якими двома підгрупами A і B із , де А – власна немаксимальна підгрупа з B. У нього – система всіх підгруп групи G.

Групи, введені А. Манном, С.М. Черніков у 1975 році назвав групами з умовою щільності нормальності для всіх підгруп. Він же ввів поняття умов щільності і строгої щільності для будь-якої теоретико-групової властивості V (доповнюваності, субнормальності, майже нормальності і т.д.) системи підгруп . Властивість V підгруп групи G називається щільною (строго щільною) по відношенню до системи підгруп , якщо для будь-яких підгруп A і B із , де A – власна немаксимальна підгрупа з B, існує така підгрупа H із властивістю V, що A H B (A < H < B). Ці поняття широко використовувалися в роботах С.М. Чернікова і його учнів (М.С. Черніков, Л.А. Курдаченко, М.Ф. Кузенний, В.В. Пилаєв, В.Е. Горецький).

Різноманітні умови щільності властивості V для системи підгруп групи G базуються на поняттях: відрізка ([A; B]) –, інтервалу ((A; B)) –, півінтервалу ((A; B]) –, півінтервалу ([A; B)) – підгруп групи G, кожний із яких є множиною всіх підгруп X групи G таких, що A і B із , A – підгрупа з B і відповідно: A X B; A < X < B; A < X B; A X < B. Потужність відрізка, інтервалу, півінтервалу підгруп групи G називається його модулем, порядком або довжиною і позначається відповідно: |[A; B]|; |(A; B)|; |(A; B]|; |[A; B)|. За означенням |[A; B]| 1, тобто A – підгрупа з B, при |[A; B]| > 1 A – власна підгрупа з B, при |[A; B]| > 2 A – власна немаксимальна підгрупа з B.

У цій термінології А. Манн розглядав групи, у яких – система всіх підгруп групи G і для кожного відрізка [A; B] такого, що |[A; B]| > 2 справедливе співвідношення [A; B) N ? G. Проте він цілком описав тільки скінченні ненільпотентні групи такого роду, у яких (A; B) N ? G. Властивості скінченних груп з умовами |[A; B]| > 2 і [A; B] N? G вивчали М.Ф. Кузенний і В.В. Пилаєв. Опис цих груп згадані автори не одержали.

В.Е. Горецький вивчав нескінченні групи, у яких |[A; B]| > 2 і – система всіх: нескінченних –, нескінченних абелевих –, нескінченних неабелевих підгруп групи G, для яких [A; B] N ? G. Повністю він описав тільки групи такого роду, у яких – система всіх нескінченних підгруп. Цей опис виявився дуже громіздким. Це зумовлено відсутністю опису груп, у яких – система всіх підгруп, |[A; B]| > 2, [A; B] N G.

Зрозуміло, що при |[A; B]| 1 умова [A; B] N – майже нормальна (МН-) підгрупа з G збігається з умовою майже нормальності всіх підгруп групи G. Б. Нейман установив, що групи такого роду скінченні над своїм центром. При умовах |[A; B]| > 2, [A; B] N – МН-підгрупа з G, |G| = , – система всіх підгруп, групи G вивчені Л.А. Курдаченком і В.Е. Горецьким.

Метою даної роботи є дослідження наступних класів груп з умовами різноманітної щільності нормальності і майже нормальності для конкретних систем підгруп :

·

·

·

·

·

·

Задачі дослідження:

·

·

·

·

·

·

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше отримано нові теоретичні результати:

·

·

·

·

·

·

·

·

Допоміжними новими результатами, що мають і самостійне значення, можна вважати:

·

·

Всі ці результати мають строге доведення.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Описані в дисертації класи груп значно розширюють конкретну базу теорії груп. Важливе як теоретичне, так і практичне значення має розроблена в дисертації методика дослідження груп з умовами щільності нормальності і майже нормальності для різноманітних систем підгруп. Результати дисертації можуть використовуватися в різних теоретико-групових дослідженнях.

Сформульовані і нерозв’язані в роботі задачі можуть бути основою нових наукових досліджень.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковані в монографії [1] без співавторів. Вона інтегрує, узагальнює й уточнює результати, що опубліковані в роботах [2–24]. Всі вони, крім [2, 6, 8–10], опубліковані без співавторів. Особистий внесок здобувача в монографію [2] і роботи [6, 8–10], що написані в співавторстві, такий: [2, розділ 5]; [6, теореми 1 і 2]; [8, теорема 3]; [9, теорема]; [10, теореми 1–3].

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і опубліковані в тезісах матеріалів:

·

·

·

·

·

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на алгебраїчних семінарах Інституту математики НАН України ( 1983 – 1988 роки); Київського національного університету імені Тараса Шевченка (1999 р.); Львівського національного університету імені Івана Франка ( 2000 р.); Гомельського державного університету (Біларусь, 1999 р.); Дніпропетровського національного університету (1998 – 2000 роки); Українського національного педагогічного університету ім. М.П. Драгоманова (1986 – 2000 роки); Кошицького університету (Словаччина, 1990 та 1992 роки ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в монографії [1], в 23 наукових роботах [2 – 24] (список цих робіт наведено в кінці автореферату). Всі ці роботи опубліковані у фахових виданнях, що відповідають вимогам ВАК України.

Структура і об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох основних розділів (які містять 13 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел складається із 217 найменувань. Загальний обсяг дисертації – 301 сторінка.

Автор щиро вдячний ректору Академії державної податкової служби України професору Мельнику Петру Володимировичу за постійну увагу і підтримку в роботі.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність дослідження, показаний зв’язок теми, що досліджується в роботі, із планами наукових досліджень, формулюються мета і задачі дослідження, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення отриманих результатів, особистий внесок дисертанта, апробацію результатів дисертації, вказані структура й обсяг дисертації. В структурі дисертації виділяється чотири основних розділи І – ІV.

Узагальнення дедекіндових груп здійснюється або шляхом звуження системи підгруп , що нормальні в усій групі, або послабленням властивості нормальності для підгруп із . Зрозуміло, що узагальнення таких груп можна одержати накладаючи обмеження на деякі підсистеми із . Однією з ефективних властивостей, що дає можливість виділяти підсистеми із , є включення однієї підгрупи із в іншу. З використанням цієї властивості багато авторів вивчали групи, у яких певна властивість V підгрупи групи G є щільної в групі G. Властивість V підгрупи групи G називається щільною в G, якщо для підгрупи А з підгрупи В в групі G існує підгрупа N із властивістю V така, що А N В. Встановлено, що так виділені групи мають досить складну будову. А тому їхній опис можливий лише при додаткових обмеженнях, серед яких такі досить широкі обмеження як локальна ступінчастість та локальна майже розв’язність.

У розділі І “Будова локально ступінчастих ЩН[ ]-груп” викладаються результати про групи з деякими умовами щільності нормальності для підгруп. Завдяки поняттю проміжку ( відрізок, інтервал, півінтервал ) підгруп групи вводиться вісім різних означень щільності і досліджуються властивості груп по кожному з них. Наведено опис окремих класів груп із найбільш загальним означенням щільності (УЩН[ ]-груп). Описані локально ступінчасті недедекіндові ЩН[ ]-групи.

У підрозділі 1.1 “Допоміжні результати” розглядаються групи, що не породжуються своїми власними немаксимальними підгрупами. Опис локально ступінчастих груп такого роду дано в теоремі 1.1.1. У теоремі 1.1.2 встановлюється один критерій дедекіндовості групи. Опис розкладу групи за допомогою її повної нормальної підгрупи подано в теоремі 1.1.3. У цьому ж підрозділі описані метациклічні групи з трьома інволюціями (теорема 1.1.4). Теореми 1.1.1 – 1.1.4 нові і мають самостійне значення.

Т е о р е м а 1.1.1. Локально ступінчасті групи G, що не породжуються своїми власними немаксимальними підгрупами, вичерпуються групами порядку 1 і p (p – просте число) і скінченними розв’язними 2-породженими групами, у яких усі власні немаксимальні підгрупи породжують власну нормальну підгрупу М, і G ізоморфна групі одного з типів:

1) G – циклічна група порядку p , p – просте число, > 0, М = Ф(Ф(G)) – 2-максимальна підгрупа з G;

2) |G| = pq, p і q – необов’язково різні прості числа, М1 – 2-максимальна підгрупа з G;

3) G – група кватерніонов, М = Ф(G) – 2-максимальна підгрупа з G;

4) G – циклічна група порядку pq, p і q – різні прості числа, > 1, М – максимальна підгрупа з G, |M| = p q;

5) G = <x> ? <z>, |x| = p , |z| = p, > 1, [x,z] <x >,[ G:G ] > 4, M = <xр><z> – максимальна підгрупа з G;

6) G = R ? <x>, |R| = r > 2, |x| = q , > 0, + > 2, r і q – різні прості числа, <x> – максимальна підгрупа з G, M = R ? <xq> – максимальна підгрупа з G.

Т е о р е м а 1.1.2. Нехай G – група, що містить нормальні підгрупи N1 і N2, для яких N1 N2= 1, G/N1 і G/N2 – дедекіндові групи. Тоді G – дедекіндова група, якщо в ній виконується хоча б одна з умов:

1) N1 – періодична група без інволюцій, N2 – група без інволюцій або група, що містить елемент порядку 8;

2) N1 – неперіодична група без інволюцій або з елементами порядку 8, N2 – група без інволюцій або група, що містить елемент порядку 8.

Н а с л і д о к 1.1.3. Якщо група G містить нормальні підгрупи N1 і N2 такі, що N1 N2 = 1 і G/Ni – дедекіндова група (i {1,2}), Ni – локально циклічна група з силовською 2-підгрупою D, для якої |D| {2,4}, то G – дедекіндова група.

Т е о р е м а 1.1.3. Нехай G – група, N – її нормальна підгрупа і G індукує на N групу внутрішніх автоморфізмів, тобто для будь-якого елемента g із G і всіх елементів x із N в N існує елемент а такий, що g_xg = a_xa. Тоді G = NCG(N). Зокрема, при Z(N) = 1 G = N CG(N).

Н а с л і д о к 1.1.4. Нехай G – група, N – така її 2-породжена нормальна підгрупа, що G N = N Z(N). Тоді G = NCG(N).

Н а с л і д о к 1.1.5. Нехай G – група з центральним циклічним комутантом G. Тоді для будь-якої 2-породженої підгрупи N з умовою G = N маємо G = NCG(N).

Н а с л і д о к 1.1.6. Якщо G – група з комутантом порядку p і N – будь-яка її 2-породжена неабелева p-підгрупа, то G = NCG(N).

Н а с л і д о к 1.1.7. Всі скінченні 2-групи з трьома інволюціями і центральним комутантом вичерпуються групами таких типів:

1) G – нециклічна метациклічна 2-група, що не містить груп кватерніонов та групи діедра порядку 8, G Z(G);

2) G = U ? X, де кожна з підгруп U та X є циклічної 2-групою чи групою кватерніонів, |U| > 1, |X| > 1, w(X) Z(G), [U,X] w(U);

3) G = (<a> <b>)<x>, |a| = |b| = 4, a2 = x2, [a, x] = a2 b2, [b, x] = b2;

4) G = (<a> <b>)(<x> <y>), |a| = |b|= 4, a2 = x2 = [a, y], a2b2 = = [a, x] = [b, y], b2 = y2 = [b, x].

Т е о р е м а 1.1.4. Метациклічні 2-групи з трьома інволюціями мають вигляд G = <a><b>, |a| = 2, |b| = 2, > 0, > 0, b_1ab = ar (r – ціле непарне число) і вичерпуються групами таких типів:

1) G = <a> <b>, r = 1;

2) G = <a> ? <b>, > 1, > 1, r = - 1;

3) G = <a> ?<b>, > 2, > 1, r = -(1+2k), 1 < k < , - k;

4) G = <a> ? <b>, r = 1+2k, 1 < k < , - k;

5) G=<b><d>, <b> <d>= 1, <a> <b> = <a2>, r = 1+2k, 1 < k < l, < , |d| = 2l;

6) G = <a><b>, > 2, > 2, |<a> <b>| = 2, r = - 1;

7) G = <a><b>, |<a> <b>| = 2, r = - (1+2k),1 < k < - 1, > _k +1.

Н а с л і д о к 1.1.9. Неодиничні метациклічні 2-групи G з числом інволюцій відмінним від числа 3 вичерпуються групами таких типів:

1) G – неодинична циклічна 2-група, в G одна інволюція;

2) G = <a><b> – група кватерніонів, |a| = 2, |b| = 4, > 1, a2=b2, b_1ab = a_1, в G одна інволюція;

3) G = <a> ? <b> – група діедра, |a| = 2, |b| = 2, > 1, b_1ab = a_1, в G не менше 5 інволюцій;

4) G = <a> ? <b> – квазідіедральна група, |a| = 2, > 2, |b| = 2, b_1ab = a_1+2 , в G не менше 5 інволюцій.

У підрозділі 1.2 “Основні означення і загальні результати” вводяться означення восьми класів груп з умовами щільності нормальності для підгруп (означення 1.2.3). Теорема 1.2.1 встановлює замкненість введених класів груп за підгрупами та фактор-групами і включення кожного з цих класів в деякий інший. Всі розглядувані класи груп належать класу УЩН[ ]-груп, тобто груп G, у яких для будь-якої пари підгруп A і B таких, що А – власна немаксимальна підгрупа з B, існує нормальна підгрупа N із G і A N B. Теорема 1.2.2 описує всі типи ненормальних підгруп локально ступінчастої УЩН[ ]-групи. Вона є одним з вузлових результатів подальших досліджень. Теорема 1.2.3 присвячена характеризації локально ступінчастих УЩН[ ]-груп.

О з н а ч е н н я 1.2.1. Нехай G – група, A і B – її підгрупи, A B. Відрізком (інтервалом) [A;B] ((A;B)) називається множина всіх тих і тільки тих підгруп Х із G, для яких A X B (A < X < B).

Півінтервалом (A;B] чи [A;B) називається множина всіх тих і тільки тих підгруп X із G, для яких A < X B чи A X < B.

Проміжком {A;B} називається відрізок, інтервал або півінтервал.

О з н а ч е н н я 1.2.2. Модулем проміжку |{A;B}| називається число його елементів.

О з н а ч е н н я 1.2.3. Нехай у групі G для довільного відрізка [A;B], де A та B – -підгрупи, існує нормальна підгрупа N із G така, що:

1) при |[A;B]| 1: 1.1) N [A;B];

2) при |[A;B]| > 1: 2.1) N (A;B]; 2.2) N [A;B); 2.3) N [A;B];

3) при[A;B]| > 2: 3.1) N (A;B); 3.2) N (A;B]; 3.3) N [A;B); 3.4) N [A;B].

Тоді G називається відповідно: Н- , ЩН(]- , ЩН[)- , ЩН[]- , УЩН()_, УЩН(]- , УЩН[)- , УЩН[]-групою.

Якщо – властивість бути будь-якою підгрупою групи G, то в позначеннях відповідних класів груп буква опускається і в подальшому ці класи груп будемо називати як Н- , ЩН( ]- , ЩН[ )- , ЩН[ ]- , УЩН( )- , УЩН( ]- , УШН[ )- , УЩН[ ]-групи.

Вісім класів визначених тут груп будемо позначати відповідно через K(Н), K(ЩН( ]), K(ЩН[ )), K(ЩН[ ]), K(УЩН( )), K(УЩН( ]), K(УШН[ )), K(УЩН[ ]).

Т е о р е м а 1.2.1. Класи K(Н), K(ЩН( ]), K(ЩН[ )), K(ЩН[ ]), K(УЩН( )), K(УЩН( ]), K(УШН[ )), K(УЩН[ ]) замкнені за підгрупами і фактор-групами і незамкнені за прямими добутками.

Т е о р е м а 1.2.2. Недедекіндова локально ступінчаста УЩН[ ]-група є розв’язною черніковською групою, ненормальна підгрупа U якої може бути лише власною підгрупою одного з таких типів:

1) U – циклічна підгрупа порядку p, > 0, p – довільне просте число, Ф(Ф(U)) = M G;

2) U – група порядку pq, p і q – необов’язково різні прості числа, M = 1 G;

3) U – група кватерніонів порядку 8, Ф(U) = M G;

4) U – циклічна підгрупа порядку pq, > 1, p і q – різні прості числа, M U, M G, |M| = p q;

5) U = <x> ? <y>, |x| = p , > 1, |y| = p, p – довільне просте число, [<x>,<y>] <x>, [U:U ] > 4, кожна підгрупа з U порядку p2 містить U, <xp> <y> = M G;

6) U = R ? <x>, R – елементарна абелева мінімальна нормальна підгрупа в U порядку r > 2, |x| = p, p і r – різні прості числа, {1,2,3}, > 0, + > 2, <x> – максимальна підгрупа з U, U = R, R <xp> = M G, при > 1 + < 5.

Т е о р е м а 1.2.3. Недедекіндові локально ступінчасті УЩН[ ]-групи G мають скінченний комутант, не мають підгруп, що розкладаються в прямий добуток більше ніж трьох неодиничних прямих множників і є черніковською дисперсивною групою одного з таких типів:

1) G – скінченна ненільпотентна група;

2) G – скінченна нільпотентна не більше ніж біпримарна група;

3) G має центральну квазіциклічну p-підгрупу R, для якої G/R – скінченна дедекіндова група.

Підрозділ 1.3 “Деякі частинні випадки” присвячений описам деяких підкласів УЩН[ ]-груп, що мають самостійне значення і використовуються в подальших дослідженнях. У теоремі 1.3.1 описані всі локально ступінчасті УЩН[ ]-групи Шмідта. Теорема 1.3.2 описує всі метациклічні УЩН[ ]-групи, а теорема 1.3.3 – локально ступінчасті мінімальні неметациклічні групи такого роду. У теоремі 1.3.4 описані локально ступінчасті УЩН[ ]-групи, які мають ненормальні мінімальні неметациклічні підгрупи.

Т е о р е м а 1.3.1. Локально ступінчасті УЩН[ ]-групи Шмідта мають вигляд G = P ? Q, де P – нормальна в G силовська p-підгрупа порядку p > 2, {1,2,3}, G = P, Q – ненормальна циклічна силовська q-підгрупа з G порядку q, > 0, p і q – різні прості числа, P = Ф(P) Z( P), |Ф(P)| = p, {0,1}, - – показник p по модулю q, Ф(P) Q – максимальна підгрупа з G, Z(G) = Ф(P) Ф(Q) та вичерпуються групами таких типів:

1) P – група кватерніонів, q = 3 > ;

2) exp(P) = |Ф(P)| = p > 3, q > 2, = 1;

3) P – елементарна абелева група, при > 1 + < 5.

Т е о р е м а 1.3.2. Метациклічні УЩН[ ]-групи G вичерпуються групами таких типів:

1) G = <a> <b>;

2) G = <a> ? <b>, |a| = 2, |b| = 2, {2,3}, > 0, b_1ab = a_1;

3) G = <a> ? <b>, |a| = 8, |b| = 2, > 0, b_1ab = a3;

4) G = <a> ? <b>, |a| = p, |b| = p, b_1ab = a1+ p, pk > 2, 0 < - k < 3, - k k < , - k ;

5) G = <a><b> = <b><d>, |a| = p, |b| = p, |d| = p_1, <a> <b> = <ap>, <b> <d> = 1, b_1ab = a1+p, p> 2, 2 < < ;

6) G = <a><b>, |a| = 8, |b| = 2, > 1, |<a> <b>| = 2, b_1ab = a_1;

7) G = <a><b>, |a| = 16, |b| = 2, {2,3,4}, |<a> <b>| = 2, b_1ab = a_1;

8) G = <a><b>, |a| = |b| = 16, |<a> <b>| = 2, b_1ab = a3;

9) G = <a><b>, |a| = 16, |b| = 2, |<a> <b>| = 2, {3,4}, b_1ab = a7;

10) G = P D, P – група кватерніонов порядку 8, D – скінченна абелева метациклічна група;

11) G = P D, P – силовська p-підгрупа G, |D| = q, p і q – різні прості числа, P – група одного з таких типів розглядуваної теореми: 2, |P | = 2; 4, |P | = p; 6, < 4;

12) G = <a> ? <b>, |a| = pr, p і r – необ’язково різні прості числа, |b| = q, > 0, p 1 (mod q), r 1 (mod q),[<a>,<b>] = <a>, bq Z(G);

13) G = (<a> ? <b>) <z>, |a| = p – непарне просте число, |b| = q, > 0, p 1 (mod q), [<a>,<b>] = <a>, |z| {1,r}, r – просте число, Ф(Ф(<b>)) Z(G); при |z| = r bq Z(G); при |z| = p < 3;

14) G = <a> ? <b>, |a| = p > 5, |b| = qr, q і r – різні прості числа, p 1 (mod q), p 1 (mod r), [<a>,<b>] = <a>, C<b>(<a>) = 1;

15) G = (<a> <z>)<b>, |a| = p – непарне просте число, <z,b> – група кватерніонів порядку 8, b_1ab = a_1;

16) G = <a> ? (<b> ? <z>), |a| = p – непарне просте число, |b| = q, |z| = q, > 2, p 1 (mod q), [<a>,<b>] = <a>, [a,bq] = [a,z] = 1, [b, z] = bq.

Т е о р е м а 1.3.3. Локально ступінчасті мінімальні неметациклічні УЩН[ ]-групи G мають вигляд G = AX, де A = <a,b> – нормальна в G p-підгрупа, а 1, X – q-група, p і q – прості числа і вичерпуються групами таких типів:

1) |G| = p3, exp(G) = p;

2) A = <a> <b>, X = <x>, |a| = |x| = 9, |b| = 3, [a,x] = b, [b,x] = a3 = x6;

3) G = A X, A – група кватерніонов порядку 8, |X| = 2;

4) A – група кватерніонов порядку 8, X = <x>, |x| = 4, <x2> = Ф(A), X = Z(G);

5) A = <a> <b>, X = <x>, |a| = |b| = |x| = 4, [a,x] = a2, [b,x] = x2= a2b2;

6) G = A ? X – група Шмідта типу 3 теореми 1.3.1, |A| = p2, |x| {q,q2};

7) G = A ? X – група Шмідта типу 1 теореми 1.3.1, A – група кватерніонів порядку 8, |x| {3,9};

8) G = A ? X, A = <a> <b>, |a| = |b| = p – непарне число, X = <x>, |x| {q,q2}, p 1 (mod q), [<a>,<x>] = <a>, [<b>,<x>] = <b>, <bq> = Z(G);

9) G = A ? X, A = <a> <b>, |a| = |b| = p – непарне просте число, X = <x>, |x| = q, > 2, p 1 (mоd q), [<a>,<x>] = <a>, [<b>,<x>] = <b>, <bq > = Z(G), A – квазіцентральна підгрупа з G;

10) G = A ? X, |A| = p – непарне просте число, X = <x> ? <z>, |x| = q2, |z| = q – непарне просте число, p 1 (mod q), [A,<x>] = A, [x,z] = xq, CX(A) = <xq> <z>;

11) G – квазіциклічна p-група.

Т е о р е м а 1.3.4. Нехай G – локально ступінчаста УЩН[ ]- група з мінімальною неметациклічною підгрупою C. Тоді в G нормальні всі підгрупи, що строго містять C.

Всі локально ступінчасті групи G з ненормальною підгрупою C вичерпуються групами таких типів:

1) G = P ? Q, P = <a> <b>, |a| = |b| = p2, |Q| = q, p і q – різні прості числа, Ф(P) ? Q – ненільпотента група Міллера-Морено, p 3;

2) G = (R P) ? Q, |R| = r, |P| = p2, |Q| = q, r, p і q – попарно різні прості числа, p 3, q 2, r 1 (mod q), R ? Q і P ? Q – ненільпотентні групи Міллера–Морено.

Н а с л і д о к 1.3.11. Нехай G – локально ступінчаста УЩН[ ]-група і C – її ненормальна мінімальна неметациклічна підгрупа. Тоді C – ненільпотентна група Міллера–Морено порядку p2q з нормальною силовською p-підгрупою, p і q – різні прості числа.

Н а с л і д о к 1.3.12. Нехай G – локально ступінчаста УЩН[ ]-група і C – її нільпотентна мінімальна неметациклічна підгрупа. Тоді C G і G/C – дедекіндова група.

Підрозділ 1.4 “Будова ЩН[ ]-груп та їх підкласів” присвячений опису локально ступінчастих ЩН[ ]-груп та їх підкласів. ЩН[ ]-групою називається така група G, у якої для будь-якої пари підгруп A і B таких, що A < B, існує нормальна в G підгрупа N і A N B. Зауважимо, що ЩН[ ]-групи раніше не розглядались. Теорема 1.4.1 дає опис всіх локально ступінчастих ЩН[ ]-груп з виділенням восьми типів груп такого роду. Теорема 1.4.2 показує, що всі виділені в означенні 1.2.3 підкласи ЩН[ ]-груп вичерпуються дедекіндовими групами.

Т е о р е м а 1.4.1. Локально ступінчасті недедекіндові ЩН[ ]-групи G є черніковськими групами, у яких |G | {p,p2}, [G:Z(G)] {p2q,pq}, p і q – необов’язково різні прості числа та вичерпуються групами таких типів:

1) G = <a> ? <b>, |a| = p, |b| = p, > 1, > 0, [a,b] = ap ;

2) G = <a><b>, |a| = 8 , |b| {4,8}, |<a> <b>| = 2, b_1ab = a_1;

3) G = C Q, C – неодинична локально циклічна 2-група, Q – група кватерніонів порядку 8;

4) G = (C <a>) ? <b>, C – локально циклічна p-група або група кватерніонів порядку 8, [a,b] = c C, |c| = p, |a| = |b| = p, [C,<b>] = 1;

5)

6) G = (<a> <b>)<x>, |a| = |b| = |x| = 4, [a,x] = a2, [b, x] = x2 = a2b2;

7) G = (<a><b>)(<x><y>), |a|=|b|=4, a2 = x2 = [a,y], a2b2 = [a,x] = [b,y], b2 = y2 = [b,x];

8) G = P ? Q, P – силовська p-підгрупа з G, Q – силовська q-підгрупа з G, p і q – різні прості числа, |P| {p,p2}, |Q| = q, > 0; при |P| = p p 1 (mod q); при /P/ = p2 p 3, q > 2, = 1, 2 – показник p за модулем q.

Н а с л і д о к 1.4.2. Нехай G – локально ступінчаста недедекіндова група. Тоді справедливі такі твердження:

1) будь-яка ЩН[ ]-група є групою з нормальними нециклічними підгрупами;

2) існують неперіодичні метациклічні групи G та скінченна група G з нормальною силовською 2-підгрупою, що ізоморфна групі кватерніонів порядку 8, у яких нормальні всі нециклічні підгрупи і G – не ЩН[ ]-група;

3) для довільної p-групи G наступні умови еквівалентні:

а) G – ЩН[ ]-група; б) G – група з нормальними нециклічними підгрупами.

Т е о р е м а 1.4.2. Класи H-, ЩН[ )- , ЩН( ]-груп співпадають з класом дедекіндових груп.

У кінці розділу наведено висновки.

Розділ ІІ “Будова локально ступінчастих УЩН[ ]-груп” повністю присвячений опису локально ступінчастих груп з умовами узагальненої щільності нормальності для підгруп (УЩН[ ]-груп). Спочатку описуються метагамільтонові групи такого роду. Далі, з використанням цього опису, вивчаються неметагамільтонові УЩН[ ]-групи.

Підрозділ 2.1 “Деякі корисні результати” присвячений опису локально ступінчастих недедекіндових метагамільтонових УЩН[ ]-груп. Зауважимо, що цей опис суттєво використовується в подальшому, зокрема, у підрозділах 2.2 і 2.3. У теоремі 2.1.1 описані недедекіндові УЩН[ ]-групи з комутантом простого порядку з виділенням 7 типів груп такого роду. Теорема 2.1.2 описує всі недедекіндові