a
Національна академія наук України
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
СТАРКОВ Вячеслав Миколайович
УДК 519.6 + 519.86 : 53.072
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТА
МЕТОДИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ФІЗИКИ
В ЗАДАЧАХ ІНТЕРПРЕТАЦІЇ
01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ - 2000
Дисертацією є рукопис.
Роботу виконано в Інституті фізики НАН України.
Науковий консультант доктор фізико-математичних наук, професор
Задірака Валерій Костянтинович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
НАН України, завідувач відділу.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України
Старостенко Віталій Іванович,
Інститут геофізики імені С.І. Суботіна НАН України, директор,
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник,
Панін Віктор Михайлович,
Інститут прикладного системного аналізу НАН України
та Міністерства освіти і науки України, професор,
доктор технічних наук, професор, член-кореспондент НАН України,
Самойленко Юрій Іванович,
Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник.
Провідна установа:
Інститут космічних досліджень НАН України і НКА України,
відділ космічних інформаційних технологій та систем, м. Київ.
Захист відбудеться " 09 " лютого 2001 р. о 11 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 26. 194. 02 при Інституті кібернетики
імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680 МСП Київ 187, проспект Академіка Глушкова, 40.
З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.
Автореферат розісланий 27 грудня 2000 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми дослідження. В основі роботи лежать дослідження методами обчислювальної фізики сучасних проблем загальнофізичного профілю, вирішення яких пов’язане з виявленням нових властивостей, ефектів та явищ в нелінійній оптиці багатопучкових процесів, динамічній голографії, фізиці плазми, теорії нелінійних дисипативних структур та інших процесах.
При вирішенні як існуючих, так і нових фізичних проблем, котрі носять, як правило, нелінійний характер, обчислювальна фізика орієнтується на сучасну комп’ютерну техніку, бурхливий розвиток якої, відносно невисока вартість і доступність, наявність потужної і розгалуженої системи математичного моделювання та сучасних методів дослідження моделей, дозволяють перенести центр ваги з експериментальних досліджень загальнофізичного профілю на проведення досліджень методами обчислювальної фізики. Основним об’єктом досліджень в обчислювальній фізиці є математичні моделі, теоретичною базою - методи обчислювальної математики, а експериментальною – обчислювальні експерименти на сучасних комп’ю-терах.
Оскільки якість і ефективність дослідження математичної моделі різноманітними чисельними методами визначаються їх властивостями, то в обчислювальній фізиці важливе місце займають понад усе теоретичні дослідження чисельних методів для визначення способів дискретизації континуальних математичних моделей сучасних задач, умов можливої реализації того чи іншого чисельного алгоритму, оцінок швидкості збіжності, апріорних і апостеріорних оцінок похибок, вибору початкових наближень і питань стійкости чисельних методів щодо похибок вхідних даних та округлень.
Фундаментальні результати з вирішення цих проблем отримані в роботах К.І. Бабенко, М.С. Бахвалова, Г.М. Вайникко, В.В. Воєводіна, В.М. Глушкова, С.Г. Годунова, В.К. Іванова, Л.В. Канторовича, М.О. Красносельського, М.М. Лаврентьєва, О.О. Ладиженської, Г.І. Марчука, С.Г. Міхліна, В.О. Морозова, С.М. Нікольського, О.А. Самарського, С.Л. Соболєва, А.М. Тихонова, М.М. Яненко, І. Бабушки, В. Вазова, Л. Коллатца, Ж.-Л. Ліонса, Р. Ріхтмайєра, Дж. Форсайта, Р.В. Хеммінга.
Вагомий вклад для вирішення цих проблем в Україні внесли П.С. Бондаренко, Г.М. Положій, Ю.Д. Соколов, П.Ф. Фільчаков, М.С. Курпель, В.Е. Шаманський, М.П. Корнійчук, І.І. Ляшко, І.В. Сергієнко, М.З. Згуровський, В.І. Старостенко, В.Л. Макаров, Ю.І. Самойленко, В.В. Скопецький, А.Ф. Верлань, В.К. Задірака, В.В. Іванов, А.Ю. Лучка, С.І. Ляшко, І.М. Молчанов.
Логічно обумовлена внутрішня структура обчислювальної фізики, яка включає в себе математичну модель, метод розв’язування сформульованої за допомогою цієї моделі задачі, обчислювальний експеримент, повинна бути замкнена найважливішим елементом - інтерпретацією результатів експериментальних і теоретичних досліджень.
Традиційно під інтерпретацією розуміють процес обробки даних експерименту для отримання інформації про властивості об’єкта. Як правило, мова йшла про обробку даних фізичного експерименту. З цих позицій проблема інтерпретації зусиллями багатьох математиків сформульована як некоректна задача і отримала назву математичної інтерпретації.
При проведенні обчислювального експерименту виразно виявляється його схожість з фізичним експериментом з тією лише принциповою різницею, що обчислювальний експеримент доступний для отримання більш повної інформації про об’єкт. Як об’єкт досліджень виступає математична модель. Таким чином, у даному випадку доводиться вирішувати проблему інтерпретації іншого характеру, а саме проблему фізичної інтерпретації результатів теоретичних досліджень. Наслідком її вирішення є необхідність уточнення моделі, її модифікації або ж висновок про те, що модель, методи і алгоритми задовольняють потребам дослідника.
Однією з перших у світовій літературі монографій з обчислювальної фізики, що з’явилася в зв’язку з бурхливим розвитком автоматизації наукових досліджень і комп’ютерної обробки інформації, була робота Девіда Поттера (Potter D. Computational Physics, 1973). У ній докладно обговорюються різні математичні моделі і вибір адекватних систем диференційних рівнянь і крайових умов для опису складних фізичних процесів, але відсутні будь-які вказівки про методи, алгоритми обробки та інтерпретації даних фізичного експерименту.
Серед вітчизняних вчених, які активно використовують прикладні методи обчислювальної фізики в теорії твердого тіла, слід зазначити в першу чергу роботи академіків В.Г. Барьяхтара, В.В. Немошкаленка та їх учнів.
Про актуальність вибраної теми досліджень, проведених в Інституті фізики НАН України, свідчить те, що за рядом напрямків нелінійної оптики вчені цього інституту досягли пріоритетних позицій у світі. В Інституті фізики НАН України зародився та інтенсивно розвивається новий напрямок у фізиці – динамічна голографія, яка утворилася шляхом об’єднання двох гілок сучасної оптики – голографії та нелінійної оптики. Найбільш вагомі результати в галузі динамічної голографії, отримані в Інституті фізики НАН України, - виявлення, теоретичне обгрунтування і наступна експериментальна реалізація нового типу взаємодії лазерних пучків - нестаціонарної перекачки енергії; виявлення, дослідження та обгрунтування явища оптичної бістабільності при оберненні хвильового фронту лазерних пучків в оптично нелінійних середовищах.
Принциповий вклад у дослідження по нелінійній оптиці і динамічній голографії зробили вчені НАН України М.С. Бродин, А.О. Борщ, В.Л. Вінецький, М.В. Кухтарєв, С.Г. Одулов, М.С. Соскін.
Результативними також є дослідження, що проводяться в Інституті фізики в галузі фізики плазми і, зокрема, в галузі іонної фізики, плазмової електроніки, электрон – діркової плазми напівпровідників.
Нові підходи до побудови математичних моделей складних фізичних проблем нелінійної оптики, динамічної голографії, фізики плазми, дисипативних систем з дифузією, коректний перехід від початкових математичних моделей в диференційній формі до лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь різних типів, створення конструктивних методів обчислювальної фізики дослідження і чисельного вирішення цих рівнянь є актуальною і перспективною темою наукових досліджень.
Зв'язок роботи з науковими темами. Робота виконувалася відповідно до наукових тем Інституту фізики НАН України, в яких дисертант був одночасно і керівником, і відповідальним виконавцем.
1. Завдання 01.57 цільової комплексної програми О.Ц. 027 "Створити і ввести в експлуатацію автоматизовану систему наукових досліджень в галузі фізичної електроніки, фізики твердого тіла і фізики плазми в Інституті фізики АН УРСР" (1981-1985 ), № державної реєстрації 01814013450.
2. 1.4.1 В/4 "Розробити методи, алгоритми і програми розв'язування задач обчислювальної фізики для інтегрованої системи автоматизації наукових досліджень колективного користування в галузі фізичної і квантової електроніки, фізики твердого тіла і фізики плазми" (1986-1990), № державної реєстрації 01860042921.
3. 1.4.1 В/60 "Побудова та обгрунтування алгоритмів розв'язування актуальних задач обчислювальної фізики, які моделюються нелінійними інтегральними рівняннями, на персональних комп'ютерах з використанням апарату сплайн-функцій" (1991-1994), № державної реєстрації 01910008604.
4. 1.4.1 В/13 "Створення конструктивних методів та алгоритмів обчислювальної фізики дослідження активних систем з дифузією" (1995-1997), № державної реєстрації 0195U016821.
5. 1.4.1 В/43 "Розробка нових методів обчислювальної фізики для дослідження задач динамічної голографії та активних систем з дифузією" (1998-2000), № державної реєстрації 0198U001419.
6. Грант 6/120 (Державний фонд фундаментальних досліджень) "Розробка алгоритмів та програм розв'язування актуальних задач оцінки і прогнозу стану водних об'єктів з використанням методів обчислювальної фізики" (1992-1993).
7. Грант 2.3/335 ( ДФФД ) "Розробка конструктивних алгоритмів обчислювальної фізики дослідження автосолітонів та дисипативних структур" (1994-1996).
8. Грант 2.4/955 ( ДФФД ) "Автохвилі у дисипативних системах з дифузією і в нейроструктурах та нові методи їх моделювання" (1997-2000).
Мета і задачі дослідження. Мета дослідження - розвинути теоретичні основи обчислювальної фізики в напрямку моделювання та розв’язування сучасних фізичних проблем (нелінійна оптика, динамічна голографія, фізика плазми та ін.).
Реалізація мети роботи обумовила необхідність постановки і вирішення наступних задач:
1. Розробити новий підхід до побудови та дослідження математичних моделей вимірювального тракту експериментальної установки на прикладі спектроскопічних вимірювань у проблемі математичної інтерпретації експериментальних даних.
2. Дослідити математичну модель стаціонарного обернення хвильового фронту лазерних пучків в електрооптичних кристалах з дифузійною нелінійністю за допомогою чисельно-аналітичних методів; на основі аналізу існуючих побудувати нові адекватні математичні моделі нестаціонарної багатопучкової взаємодії в нелінійних середовищах.
3. Дослідити математичні моделі процесів у плазмі, включаючи модель еволюціонуючої беззіткнівної плазми, модель впливу високочастотного поля на гвинтову нестійкість в електрон-дірковій плазмі напівпровідника, модель мікроплазмового пробою в переходах; математичні моделі дисипативних структур і автосолітонів, а також екологічних проблем водних об’єктів.
4. Розвинути теорію сплайн-ітераційних методів для обчислювальної фізики, включаючи розробку сплайн-ітераційних методів розв’язування лінійних та нелінійних інтегральних рівнянь.
5. Здійснити аналіз результатів обчислювальних експериментів для виявлення роботоздатності побудованих математичних моделей та ефективності розроблених методів їх дослідження.
Наукова новизна одержаних результатів дисертації:
комплексний підхід до проблем математичної та фізичної інтерпретації результатів експериментальних і теоретичних досліджень, який заснований на використанні апарата лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь, теорії сплайн-ітераційних методів для обчислювальної фізики та на порівнянні результатів обчислювальних і фізичних експериментів;
створення нового методу математичного моделювання вимірювального тракту експериментальної установки (на прикладі спектроскопічних вимірювань);
модифікація методу Положія для розв’язування рівнянь Фредгольма другого роду, до яких методом регуляризації Тихонова (у випадку регуляризації першого порядку) зведена проблема математичної інтерпретації результатів експериментальних спектроскопічних вимірювань;
аналіз математичних моделей проблем фізичної інтерпретації результатів теоретичних досліджень, сформульованих у вигляді крайових задач для диференційних рівнянь, та перетворення в адекватні моделі у вигляді інтегральних рівнянь різних типів;
створення математичних моделей багатопучкової лазерної взаємодії в оптично нелінійних середовищах, що дозволило виявити нові фізичні явища оптичної бістабільності при оберненні хвильового фронту лазерних пучків в нелінійних електрооптичних кристалах;
побудова нової математичної моделі в фізиці еволюціонуючої плазми у вигляді поєднаних електронних та іонних пучків, моделі впливу високочастотного поля на гвинтову нестійкість в електрон-дірковій плазмі напівпровідника, моделі мікроплаз-мового пробою в переходах;
побудова математичних моделей для дослідження властивостей дисипативних структур і автосолітонів;
розвиток теорії сплайн-ітераційних методів для обчислювальної фізики, розробка нових сплайн-ітераційних методів розв’язування лінійних та нелінійних інтегральних рівнянь різних типів;
проведення серії обчислювальних експериментів із запропонованими математичними моделями і співставлення їх результатів з даними фізичних експериментів, виявлення ряду нових фізичних ефектів і закономірностей.
Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичне значення з точки зору розвитку обчислювальної фізики для вирішення сучасних фізичних проблем (нелінійна оптика, динамічна голографія, фізика плазми та ін.), які моделюються лінійними та нелінійними інтегральними рівняннями різних типів.
Практичне значення результатів обчислювальних експериментів, отриманих в роботі, пов’язане з виявленням явищ оптичної бістабільності і гістерезису при оберненні хвильового фронту лазерних пучків. Їх технологічне втілення можна очікувати в створенні різних елементів оптичних комп’ютерів.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, представлені в дисертації, доповідалися на конференціях і семінарах: на XI Всесоюзній конференції з когерентної і нелінійної оптики (Єреван, 1982), на міжнародних конференціях "International Conference on Lasers' 82" (1982), "Сonstructive Theory of Functions" (Varna, 1987), на Всесоюзному семінарі "Питання оптимізації обчислень" (Київ, 1987), на ІІІ Республіканській науково-технічній конференції "Інтегральні рівняння в прикладному моделюванні" (Київ, 1989), на симпозіумі "Питання оптимізації обчислень" (Київ, 1993), на V міжнародній науковій конференції ім. академіка
М. Кравчука (Київ, 1996), на міжнародній конференції "Асимптотичні і якісні методи в теорії нелінійних коливань. Треті Боголюбівські читання" (Київ, 1997), на міжнародній конференції "Питання оптимізації обчислень" (Київ, 1997, 1999), на міжнародній конференції “Математичне моделювання” (Херсон, 1998), на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (Чернівці-1998), на міжнародному симпозіумі "Методи дискретних особливостей в математичній фізиці" (Київ, 1999).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 35 наукових робіт. З них - 23 статті в наукових виданнях (журналах та збірниках наукових праць), 12 доповідей на наукових конференціях і семінарах.
Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати дисертаційної роботи отримані одноосібно або за особистою участю автора. Внесок дисертанта в дослідження, за якими опубліковані статті і доповіді в співавторстві, визначаються таким чином:
[1 - 2] - розробка математичної моделі залежності інтенсивності бласттрансформації від концентрації стимулятора та віку донора; проведення обчислювальних експериментів;
[3, 7, 8, 10, 11, 24, 25] - розробка, обгрунтування і реалізація чисельно – аналітичних методів розв’язування крайових задач для систем звичайних диференційних рівнянь; проведення обчислювальних експериментів та інтерпретація результатів;
[4 - 6, 9, 14, 15, 27] - розробка математичних моделей, обгрунтування адекватності досліджуваних процесів вихідним моделям; отримання результатів обчислювальних експериментів та їх інтерпретація;
[13] - розробка математичних моделей досліджуваних фізичних процесів; розробка, обгрунтування та аналіз сплайн-ітераційних методів;
[17, 21, 29] - розробка математичних моделей, обгрунтування адекватності досліджуваних процесів вихідним моделям;
[28, 33] - розробка, обгрунтування та аналіз сплайн-ітераційних методів.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, заключної частини та списку використаних джерел, який містить 321 найменування. Обсяг роботи - 294 сторінки, із них 6 рисунків і 26 сторінок використаних джерел.
Автор висловлює глибоку подяку науковому консультанту професору В.К. Задіраці за допомогу та корисне всебічне обговорення результатів роботи; академіку НАН України М.С. Бродину, професору А.О. Борщу за плідне і перспективне співробітництво; член-кореспонденту НАН України П.М. Томчуку, професору О.Г. Сарбею за підтримку і постійну доброзичливу увагу до роботи.
Основний зміст роботи
У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, визначається мета дослідження, коротко викладено зміст дисертації та ії основні результати.
Перший розділ присвячений вирішенню проблем моделювання в задачах математичної інтерпретації результатів фізичного експерименту. На прикладі задач математичної інтерпретації результатів спектроскопічних вимірювань показано, що ці задачі в загальному випадку є некоректно поставленими і зводяться до розв’язання операторних рівнянь першого роду:
де оператор з непустою областю визначення , що діє з метричного простору в метричний простір .
Розв’язання задачі відновлення елементу включає два основні етапи: побудову оператора , що діє на елемент , та розв’язання операторного рівняння.
У підрозділі 1.1 розглядається задача моделювання вимірювального тракту експериментальної установки. Природні припущення про лінійність вимірювального тракту, обмеженість кількісних характеристик, накопичений досвід моделювання спектроскопічних вимірювань дозволяють конкретизувати оператор і подати його у вигляді
де апаратна функція, така, що
, .
За концептуальну основу побудови математичної моделі вимірювального тракту в спектроскопії прийнятий принцип використання як апаратних безлічі функцій, що утворюють дельта – подібні послідовності. Правомірність цього принципу обгрунтована співставленням безлічі використаних у спектроскопії апаратних функцій (контурів) та імпульсних функцій. Конструктивним результатом такого співставлення є, зокрема, пропозиція про введення в арсенал апаратних функцій контуру у вигляді “шапочки”:
.
При апроксимації інструментального контуру функцією у вигляді “шапочки”, спектральний розподіл, що спостерігається, є середньою функцією (або регуляризацією) стосовно дійсного розподілу з радіусом усереднення, що дорівнює напівширині інструментального контуру, а дійсний спектральний розподіл є узагальненою функцією.
У підрозділі 1.2 викладені основні положення теорії розв’язання некоректно поставлених задач, створених працями А.М. Тихонова, М.М. Лаврентьєва, В.К. Івано-ва, В.Я. Арсеніна, В.О. Морозова, В.І. Старостенко, їх учнів і послідовників. При лінійному операторі і гільбертових просторах і метод регуляризації А.М. Тихонова зводиться до розв’язання операторного рівняння другого роду
,
і визначення параметра регуляризації .
Доводиться теорема, яка дозволяє визначити величину параметра регуляризації, що забезпечує мінімальне значення мажоранти похибки розв’язання рівняння Тихонова.
Теорема 1. Величина параметра регуляризації , яка забезпечує мінімальне значення мажоранти
похибкирозв’язання , визначається виразом
,
де псевдообернений оператор, регуляризуючий оператор.
Значення теореми полягає в тому, що вона не містить будь-яких попередніх обме-жень на при обчисленні параметра регуляризації, тому що дискри-мінант визначального рівняння менший нуля за будь-яких відмінних від нуля значеннях і .
У підрозділі 1.3 розглядаються основні існуючі алгоритмічні принципи вибору параметра регуляризації; у підрозділі 1.4 показано, що метод регуляризації Тихонова для інтегрального рівняння Фредгольма першого роду приводить до рівняння Тихонова, яке у випадку регуляризації першого порядку (), як і у випадку регуляризації нульового порядку (), може бути зведене до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду:
.
У другому розділі дисертації запропоновані нові математичні моделі для вирішення проблем фізичної інтерпретації результатів наукових досліджень з метою створення елементів оптичних комп’ютерів, досліджень процесів у плазмі, дослідження дисипативних структур і автосолітонів та екології водних об’єктів.
Основним інструментом побудови математичних моделей у дисертаційній роботі є інтегральні рівняння.
Для з’ясування цієї залежності застосовувалися чисельно–аналітичні методи.
Суттєвою особливістю такого підходу є можливість безпосереднього отримання та аналізу багатозначного розв’язку, що має назву оптичної бістабільності, і суттєво розширює застосування явища обернення хвильового фронту для створення нової технології конструювання та виробництва різних элементів оптичних систем обробки інформації.
Розробників таких систем цікавлять проблеми поведінки бістабільних станів у часі, проблеми стійкості стаціонарних станів. Виникає задача дослідження нестаціонарних ефектів при чотирьохпучковому оберненні хвильового фронту.
Першим етапом на шляху її вирішення було створення нової математичної моделі нестаціонарного двопучкового енергообміну при записі просвітних динамічних голограм.
Фізичний аспект отриманої математичної моделі нестаціонарного енергообміну між двома взаємодіючими хвилями в оптично нелінійному середовищі полягає в тому, що інтегральне рівняння записане щодо функції, яка оперує з амплітудою інтерференційної картини і яку можна спостерігати, досліджувати і реєструвати безпосередньо в ході фізичного експерименту. Математичний аспект полягає не лише в компактності та доступності для огляду моделі, але і в можливості побудови простого і ефективного сплайн-ітераційного алгоритму розв’язання нелінійного інтегрального рівняння Вольтерра.
Підрозділ 2.2 присвячений різним аспектам математичного моделювання ряду прикладних задач фізики плазми. У пункті 2.2.2 показано, як принципові труднощі дослідження еволюції беззіткнівної плазми як системи двох однаково направлених електронного і іонного пучків, що суміщуються, можуть бути подолані методами обчислювальної фізики. Вивчаються, зокрема, аксіальні зміни стаціонарного стану беззіткнівної плазми.
Підрозділ 2.3 містить детальний аналіз математичних моделей активних систем з дифузією. Фундаментальний характер цих моделей визначається тим, що вони описують автосолітони та дисипативні структури в фізичних, біологічних, екологічних системах, а також у системах популяційної генетики. Модифіковані моделі представлені системою двох нелінійних інтегральних рівнянь
, .
Нарівні з задачами загальнофізичного профілю в підрозділі 2.4 розглянуті і проаналізовані екологічні задачі конвективно-дифузійного переносу домішок і задачі озонування води. Математичні моделі в цих задачах отримані і представлені системами нелінійних інтегральних рівнянь, аналогічними вищенаведеним.
Третій розділ дисертації присвячений розвитку теорії сплайн-ітераційних методів для обчислювальної фізики, більш конкретно - новим сплайн-ітераційним методам розв’язування лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь. У підрозділі 3.1 наведена порівняльна характеристика сплайн-функцій і алгебраїчних поліномів. Наводиться ряд конкретних властивостей поліноміальних сплайнів, які роблять їх особливо зручними при роботі на комп’ютері.
У підрозділі 3.2 наводяться сплайн-квадратурні і сплайн-кубатурні формули, отримані з використанням апроксимаційних параболічних і кубічних сплайнів, а також оцінки похибок цих формул для ряду класів гладких функцій.
Підрозділ 3.3 присвячений розробці і обгрунтуванню сплайн-ітераційних методів розв’язування лінійних інтегральних рівнянь другого роду. У пункті 3.3.1 обговорюється ряд результатів з теорії наближених методів розв’язування лінійних операторних рівнянь. У пункті 3.3.2 наводиться аналіз існуючих методів застосування сплайн-функцій для наближеного розв’язування рівнянь Фредгольма другого роду. Зроблено висновок про ефективність використання апроксимаційних параболічних і кубічних сплайнів в алгоритмах наближеного розв’язування лінійних інтегральних рівнянь другого роду. Пропонується також і обгрунтовується модифікація класичного методу простих ітерацій для розв’язування рівнянь Фредгольма другого роду на основі використання апроксимаційних параболічних і кубічних сплайнів. У пункті 3.3.3 для наближеного розв’язання лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду пропонується варіант сплайн-ітераційного методу, заснований на двох положеннях принципового характеру. По-перше, кожний з відрізків вихідної сітки вузлів накривається додатковою сіткою для застосування сплайн-квадратурних формул; по-друге, вводиться нове поняття крайових умов для апроксимаційних сплайнів. Отримані оцінки похибки наближеного розв’язку рівняння Вольтерра сплайн-ітераційним методом.
У підрозділі 3.4 розроблені й обгрунтовані сплайн-ітераційні методи розв’язування інтегральних рівнянь Урисона та Вольтерра - Урисона.
У підрозділі 3.5 описані різні варіанти поєднання сплайн-квадратурного методу і методу Ньютона - Канторовича для розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь.
Підрозділ 3.6 присвячений узагальненню розроблених в підрозділі 3.4 сплайн-ітераційних методів розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь на випадок двомірних рівнянь Урисона і двомірних нелінійних рівнянь Вольтерра.
Четвертий разділ містить результати обчислювальних експериментів і їх інтерпретацію в ряді сучасних фізичних досліджень. Підрозділ 4.1 присвячений обговоренню проблем моделювання і чисельного розв’язування задач обчислювальної фізики. У підрозділах 4.2 и 4.3 показана ефективність використання запропонованих математичних моделей для виявлення принципово нових фізичних явищ - оптичної бістабільності і гістерезису при оберненні хвильового фронту лазерних пучків в оптично нелінійних середовищах, а також підтверджено явище нестаціонарного енергообміну двох пучків в середовищах з інерційною кубічною нелінійністю. Результати обчислювальних експериментів у підрозділах 4.4 та 4.5 по розв’язуванню актуальних задач фізики плазми підтвердили ефективність розроблених сплайн-ітераційних методів розв’язування інтегральних рівнянь Урисона і системи нелінійних рівнянь Вольтерра великої розмірності. У підрозділі 4.6 наведений графік апаратної функції у вигляді "шапочки", що має велике практичне значення при моделюванні вимірювального тракту експериментальної установки.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ
1. Проблема математичної інтерпретації результатів експериментальних спектроскопічних вимірювань зведена методом регуляризації Тихонова (випадок регуляризації першого порядку) до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду, для розв’язання якого розроблена модифікація методу Положія; доведена теорема існування параметра регуляризації, який забезпечує мінімальне значення мажоранти похибки розв’язку; запропоновано метод апроксимації апаратних функцій інструментальним контуром у вигляді "шапочки".
2. Математичні моделі в проблемах фізичної інтерпретації результатів теоретичних досліджень, сформульовані у вигляді крайових задач для диференційних рівнянь, проаналізовані та перетворені в адекватні моделі у вигляді інтегральних рівнянь різних типів та їх систем.
3. Побудовані нові математичні моделі нестаціонарного двопучкового енергообміну в термінах динамічних голограм і моделі нестаціонарної чотирьохпучкової взаємодії в нелінійно оптичних середовищах.
4. Фізична модель еволюціонуючої плазми у вигляді електронних та іонних пучків, що суміщаються, представлена системою нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра великої розмірності; побудована нова модель впливу високочастотного поля на гвинтову нестійкість в електрон-дірковій плазмі напівпровідника, математична модель мікроплазмового пробою в переходах.
5. Побудовані математичні моделі для дослідження властивостей дисипативних структур і автосолітонів у різних багатовимірних канонічних областях їх існування у вигляді систем нелінійних інтегральних рівнянь, а також моделі екологічних проблем водних об’єктів.
6. З використанням апроксимаційних параболічних, біпараболічних, кубічних і бікубічних сплайнів отримані сплайн-квадратурні та сплайн-кубатурні формули і оцінки похибок для цих формул.
7. Розвинута теорія сплайн-ітераційних методів для обчислювальної фізики, розроблені сплайн-ітераційні методи розв’язування лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь різних типів; введено поняття крайових умов сплайн-апроксимації; отримані оцінки повної похибки сплайн-ітераційного методу розв’язування інтегральних рівнянь; на основі використання апроксимаційних біпараболічних і бікубічних сплайнів запропоновані методи розв’язування багатовимірних нелінійних інтегральних рівнянь.
8. За результатами обчислювальних експериментів з математичними моделями стаціонарної чотирьохпучкової взаємодії в оптично нелінійних середовищах уперше виявлений теоретично та підтверджений фізичним експериментом важливий ефект – явище оптичної бістабільності при оберненні хвильового фронту лазерних пучків в нелінійних электрооптичних кристалах; це явище відіграє важливу роль при розробці елементів оптичних комп’ютерів.
9. Обчислювальні експерименти з математичними моделями для електронних та іонних пучків, що суміщаються, підтвердили високу ефективність розроблених сплайн-ітераційних методів розв’язування систем нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра великої розмірності; результати проведених обчислювальних експериментів підтверджені даними фізичних експериментів.
Основні положення дисертації опубліковані в таких працях:
1.
Пакін Ю.В., Писаренко В.Г., Старков В.М. Математична модель вікових змін залежності бласттрансформації лімфоцитів від концентрації фітогемаглютиніну // Доп. АН УРСР. - 1976. - № 6. - С.552 - 555.
2.
Pakin Yu.V., Pisarenko V.G., Starkov V.N. The effects of temperature and incubation period on age changes in pha-blasttransformation of lymphocytes: experiment and mathematical model // Experimental Gerontology. - 1978. - 13, № 6. - P. 364 -372.
3.
Кухтарев Н.В., Старков В.Н. Оптическая бистабильность при обращении волно-вого фронта световых пучков в электрооптических кристаллах с диффузионной нелинейностью // Письма в ЖТФ. - 1981. - 7, вып. 11. - С. 692- 695.
4.
Габович М.Д., Коваленко В.П., Митропан И.М., Старков В.Н., Фастовец С.Ф. Совмещаемые электронный и ионный пучки- модель эволюционирующей бесстолкновительной плазмы // Физика плазмы. - 1982. - 8, вып. 4. - С. 808- 810.
5.
Габович М.Д., Старков В.Н. Поле в сферическом диоде и ток жидкометаллического эмиттера ионов // ЖТФ. - 1982. - № 6. - С.1249 - 1251.
6.
Коваленко В.П., Пергаменщик В.П., Старков В.Н. Квазиравновесные состояния пинчующегося электрон-ионного пучка // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1983. - 84, вып. 6. - С. 2055 - 2063.
7.
Borshch A.A., Brodin M.S., Volkov V.I., Kukhtarev N.V., Starkov V.N. Optical hysteresis and bistability in phase conjugation by degenerate six-photon mixing // J. Opt. Soc. Am.- 1984. - 1, № 1. - P. 40 - 44.
8.
Борщ А.А., Бродин М.С., Волков В.И., Кухтарев Н.В., Семенец Т.И., Старков В.Н. Оптический гистерезис при обращении волнового фронта в полупроводниках // Изв. АН СССР. - 1983.- 47, № 10. - С. 192 - 197.
9.
Коваленко В.П., Пергаменщик В.П., Старков В.Н. Динамика быстрого сгустка зарядов в плазме // Физика плазмы. - 1985. - 11, вып. 4. - С. 417 - 424.
10.
Kukhtarev N.V., Dovgalenko G.E., Starkov V.N. Influence of the optical activity on hologram formation in photorefractive crystals // Applied Physics. - 1984. - A 33. -
P. 227 - 230.
11.
Кухтарев Н.В., Семенец Т.И., Старков В.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис при обращении волнового фронта световых волн в сегнетоэлектриках // Сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики. - Калинин: Калининский гос. ун-т, 1984. - С. 115 - 122.
12.
Старков В.Н. Структура комплекса задач многоуровневой АСНИ общефизического профиля // Управляющие системы и машины. - 1988. - № 6. - С. 80 - 85.
13.
Поляков Р.В., Старков В.Н., Тивончук В.И., Яшин А.А. Решение класса актуальных задач медико-биологического и экологического моделирования методами вычислительной физики с использованием сплайн-функций // Вестн. новых медицинских технологий. Часть I. - 1996.- 3, № 3. - С. 22- 29; Часть II. 1997. – 4,
№ 3. – С. 57 - 62; Часть III. – 1997. – 4, № 4. – С. 24 - 26; Часть IV.- 1998. - 5, № 2.
- С. 26 - 30.
14.
Борщ А.О., Бродин М.С., Старков В.М. Конструктивна модель нестаціонарного двопучкового енергообміну при записуванні пропускаючих динамічних голограм // Доп. НАН України. – 1997. - № 9.- С. 78 - 81.
15.
Борщ А.А., Бродин М.С., Старков В.Н. Новая математическая модель нестационарного двухпучкового энергообмена при записи просветных динамических голограмм // Квантовая электроника. – 1997. - 24, № 11. - С. 1027 - 1029.
16.
Старков В.М. Математична інтерпретація експериментальних досліджень з використанням методів обчислювальної фізики // Вісн. Державного ун-ту "Львівська політехніка". Прикладна математика. - 1998. - № 337. - С. 271 - 273.
17.
Сарбей О.Г., Старков В.М., Поляков Р.В. Моделювання мікроплазмового пробою в
- переходах нелінійними інтегральними рівняннями // Вісн. Державного ун-ту "Львівська політехніка". Прикладна математика. - 1998. -
№ 337. - С. 262 - 265.
18.
Старков В.Н. Решение интегральных уравнений Вольтерра - Урысона с использованием сплайн-функций // Нелинейные краевые задачи математической физики: Сб. науч. тр.- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. - С. 203 -206.
19.
Старков В.Н. Cплайн-кубатурный метод решения интегральных уравнений Вольтерра - Урысона // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - К.: Ін-т математики НАН України, 1998. - С.133 - 143.
20.
Старков В.Н. Исследование модели воздействия высокочастотного поля на винтовую неустойчивость в электрон-дырочной плазме полупроводника // Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1999. - С.233 - 237.
21.
Старков В. Н., Поляков Р.В., Тивончук В.И. Моделирование экологических проблем водных объектов методами вычислительной физики // Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения.- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1999. - С.238 - 242.
22.
Старков В.Н. Методы моделирования задач интерпретации // УСиМ. - 2000. - № 1.- С. 43 - 55.
23.
Старков В.Н. Сплайн-итерационные методы решения задач интерпретации //УСиМ.-2000.-№ 2.-С.23-34.
24.
Brodin M.S., Borshch A.A., Volkov V.I., Kukhtarev N.V., Starkov V.N. Investigation of non-cavity optical bistability and hysteresis in wave-front conjugation by cadmium sulfide crystal // Proc. of the intern. Conf. on Lasers'82. - 1982. - P. 35 - 39.
25.
Борщ А.А., Бродин М.С., Волков В.И., Кухтарев Н.В., Старков В.Н. Безрезонаторный оптический гистерезис при обращении волнового фронта в кристаллах сульфида кадмия // Тез. докл. XI всесоюз. конф. по когерентной и нелинейной оптике.- Ереван, 1982. - С. 204 - 205.
26.
Старков В.Н. Аппроксимация и вычислительный эксперимент в задачах общефизического профиля // Тез. докладов Междунар. конф. "Constructive Theory of Functions". - Варна, 1987.- С. 2 47 - 248.
27.
Поляков Р.В., Старков В.Н., Тивончук В.И., Хижняк А.И. О сплайн-методе восстановления поверхности по заданному набору дискретной информации // Тез. докл. Всесоюз. семинара "Вопросы оптимизации вычислений". - Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1987. - С.168 - 169.
28.
Поляков Р. В., Старков В. Н., Тивончук В. И. Алгоритм решения нелинейных интегральных уравнений на персональных компьютерах с применением локальных сплайнов // Тез. докл. ІІІ Республ. науч.-техн. конф. "Интегральные уравнения в прикладном моделировании". - Киев: Ин-т проблем моделирования в энергетике АН УССР, 1989. - С.136 - 137.
29.
Кондрачук А.В., Старков В.Н., Томчук П.М. Алгоритм решения задачи озонирования воды методами вычислительной физики // Тез. доп. симп. "Питання оптимізації обчислень". - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 1993. - С. 82 - 83.
30.
Старков В.М. Інтегральні рівняння для моделювання активних систем з дифузією // Зб. пр. "П'ята міжнародна наук. конф. ім. академіка М. Кравчука". - К., 1996. - С. 419.
31.
Старков В.Н. Сплайн-итерационный метод исследования диссипативных структур // Тез. доп. симп. "Питання оптимізації обчислень". - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ, 1993.- С.165 - 166.
32.
Старков В.Н. Нелинейные интегральные уравнения в задачах динамической голографии // Тез. доп. Міжнар. конф. "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань". - Треті Боголюбовські читання. - К.: Ін-т математики НАН України, 1997. - С. 166 - 167.
33.
Старков В.Н., Тивончук В.И. Решение нелинейных интегральных уравнений методом Ньютона - Канторовича с использованием сплайн-функций // Тез. доп. Міжнар. конф. "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань". - Треті Боголюбовські читання. - К.: Ін-т математики НАНУ, 1997. - С. 167.
34.
Старков В.М. Моделювання активних систем з дифузією нелінійними інтегральними рівняннями // Питання оптимізації обчислень. – К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ, 1997. – С. 287 - 291.
35.
Старков В.М. Дослідження нестаціонарного енергообміну двох пучків в середовищах з інерційною кубічною нелінійністю методами обчислювальної фізики // Теорія обчислень. - К.: - Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 1999. - С. 344 - 348.
Старков В.М. Математичні моделі та методи обчислювальної фізики в задачах інтерпретації. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фіз.-мат. наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ, К., 2000.
Методами обчислювальної фізики досліджуються сучасні проблеми загальнофізичного профілю, розв’язання яких пов’язане з виявленням нових властивостей, ефектів і явищ в нелінійній оптиці багатопучкових процесів, динамічній голографії, фізиці плазми, теорії дисипативних структур.
Розроблений комплексний підхід до розв’язання проблем математичної та фізичної інтерпретації результатів експериментальних і теоретичних досліджень, заснований на використанні апарата лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь, теорії сплайн-ітераційних методів для обчислювальної фізики та на порівнянні результатів обчислювальних і фізичних експериментів.
Математичні моделі в проблемах фізичної інтерпретації результатів теоретичних досліджень, сформульовані у вигляді крайових задач для диференційних рівнянь, проаналізовані та перетворені в адекватні моделі у вигляді інтегральних рівнянь різних типів.
Побудовані нові математичні моделі нестаціонарного двопучкового енергообміну в термінах динамічних голограм, а також моделі нестаціонарної чотирьохпучкової взаємодії в оптично нелінійних середовищах.
Еволюціонуюча плазма у вигляді електронних та іонних пучків, які суміщаються, моделюється системою нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра великої розмірності. Запропоновані нові математичні моделі для дослідження властивостей дисипативних структур і автосолітонів.
Розвинута теорія сплайн-ітераційних методів для обчислювальної фізики, розроблені нові сплайн-ітераційні методи розв’язування лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь різних типів, у тому числі й методи розв’язування багатомірних нелінійних рівнянь.
За результатами обчислювальних експериментів уперше теоретично виявлено і підтверджено фізичним експериментом явище оптичної бістабільності при оберненні хвильового фронту лазерних пучків в нелінійних электрооптичних кристалах.
Ключові слова: обчислювальна фізика, математична модель, інтегральне рівняння, регуляризація, сплайн, інтерпретація, бістабільність, оптика, динамічна голограма, плазма.
Старков В.Н. Математические модели и методы вычислительной физики в задачах интерпретации. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2000.
В диссертационной работе методами вычислительной физики исследуются современные проблемы общефизического профиля, решение которых связано с обнаружением новых свойств, эффектов и явлений в нелинейной оптике многопучковых процессов, динамической голографии, физике плазмы, теории нелинейных диссипативных структур.
Разработан комплексный подход к решению проблем математической и физической интерпретации результатов экспериментальных и теоретических исследований, основанный на использовании аппарата линейных и нелинейных интегральных уравнений, теории сплайн-итерационных методов для вычислительной физики, сопоставлении результатов вычислительных и физических экспериментов.
Проблема математической интерпретации результатов экспериментальных спектроскопических измерений сведена методом регуляризации Тихонова (случай регуляризации первого порядка) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для решения которого привлекается модифицированный метод Положия. Сформулирована и доказана теорема существования параметра регуляризации, который обеспечивает минимальное значение мажоранты погрешности решения.
Математические модели в проблемах физической интерпретации результатов теоретических исследований, сформулированные в виде краевых задач для дифференциальных уравнений, проанализированы и модифицированы в адекватные модели в виде интегральных уравнений различных типов.
Построены новые математические модели нестационарного двухпучкового энергообмена в терминах динамических голограмм, а также модели нестационарного четырехпучкового взаимодействия в оптически нелинейных средах.
Эволюционирующая плазма в виде совмещаемых электронных и ионных пучков моделируется системой нелинейных интегральных уравнений Вольтерра большой размерности. Предложена новая математическая модель воздействия высокочастотного поля на винтовую неустойчивость в электрон-дырочной плазме полупроводника, а также новые модели для исследования свойств диссипативных структур и автосолитонов в различных многомерных канонических областях их существования в виде систем нелинейных интегральных уравнений.
Развита теория сплайн-итерационных методов для вычислительной физики, разработаны новые сплайн-итерационные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений различных типов, в том числе и методы решения многомерных нелинейных уравнений.
По результатам вычислительных экспериментов с математическими моделями стационарного четырехпучкового взаимодействия в оптически нелинейных средах впервые теоретически выявлено и подтверждено физическим экспериментом явление оптической бистабильности при обращении волнового фронта лазерных пучков в нелинейных электрооптических кристаллах. Это явление имеет определяющее значение при разработке элементов оптических компьютеров. Вычислительные эксперименты с математическими моделями для совмещаемых электронных и ионных пучков подтвердили высокую эффективность разработанных сплайн-итерационных методов решения систем нелинейных интегральных уравнений.
Ключевые слова: вычислительная физика, математическая модель, интегральное уравнение, регуляризация, сплайн, интерпретация, бистабильность, оптика, динамическая голограмма, плазма.
Starkov V. Mathematical models and methods of computational physics for problems of interpretation.-Manuscript.
Thesis doctor of physics and mathematics on a speciality 01.05.02 - mathematical modelling and
