Харківський національний університет

імені В.Н. Каразіна

Cкорик Василь Олександрович

УДК 517.977

МЕТОДИ ПОБУДОВИ ФУНКЦІЙ КЕРОВАНОСТІ

ТА ПОЗИЦІЙНИХ КЕРУВАНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н.Каразіна Міністерства освіти та науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент

Скляр Григорій Михайлович, професор ка-

федри математичного аналізу Харківського національного університету ім. В. Н. Кара-

зіна.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент

Когут Петро Ілліч, професор кафедри комп'ютерних інформаційних технологій Дніпропетровського державного технічного університету залізничого транспорту;

кандидат фізико-математичних наук, професор

Рабах Рабах, професор інституту кібернетики Гірничого інституту м. Нант, Франція

(Institut de Recherche en Cybernetique de Nantes Ecole des Mines de Nantes, France).

Провідна установа: Одеський національний університет імені І. І. Мечникова

Міністерства освіти та науки України, м. Одеса, кафедра оптимального керування.

Захист відбудеться “29“ грудня 2000 p. o 15 годині на засіданні спеціалізованої

вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті

за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись в Центральній науковій бібліотеці Харківського

національного університету за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий "29" листопада 2000 p.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ігнатович С. Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математична теорія керування бере свій початок у середині 50-х років ХХ століття. Її виникнення пов'язане з необхідністю розв'язувати нові на той час задачі керування, перш за все, механічними об'єктами, рух яких описується диференціальними рівняннями. Подальший розвиток теорії керування пов'язаний як із прикладними задачами (керування літаючими об'єктами, у тому числі космічними апаратами, керування технологічними та економічними процесами, тощо), так і з дослідженням задач керування як суто математичних. Так виникли та сформувалися такі напрямки в математичній теорії керування як керованість, спостережуваність, ідентифікація систем, теорія оптимального керування, синтез керування для різних типів систем (звичайних диференціальних, у тому числі в нескінченновимірних просторах, з розподіленими параметрами, інтегро-диференціальних, стохастичних, із запізненням та інші).

З іншого боку, інтенсивний розвиток математичної теорії керованих процесів призвів до виникнення принципово нових напрямків теорії диференціальних рівнянь, що в значній мірі визначає її теперішній стан. Одним із таких напрямків став синтез керування для диференціальних рівнянь, якому присвячена дисертація. Широке застосування до задач керування і подальший розвиток одержав метод функцій О.М. Ляпунова. Одним із важливих досягнень в цьому напрямку став метод функції керованості, запропонований В.І. Коробовим для розв'язання задачі синтезу допустимого позиційного керування. Пізніше цей метод був розвинутий В.І. Коробовим і Г.М. Скляром також і на нескінченновимірний випадок (метод функціоналу керованості).

Поряд із теоремами, що становлять загальний підхід, , як і в методі функцій Ляпунова, важливою складовою частиною методу функцій керованості є способи побудови функції керованості і синтизуючого керування для конкретних класів систем. На цьому шляху у випадку скінченновимірних систем запропоновано ряд методів для побудови досить широкої множини обмежених керувань, , .У той же час для нескінченновимірних систем до цього часу розроблено по суті один метод2, обгрунтування якого наведено в роботі. У зв'язку з цим актуальним є створення різноманітних методів побудови позиційних керувань, що розв'язують задачу позиційного синтезу для диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі.

До цього часу метод функції керованості був застосований лише до задач з геометричними обмеженнями на керування. Проте природним та актуальним для застосувань є випадок, коли керування має задовольняти обмеження також і на його похідні (так звані інерційні керування). У дисертаційній роботі дається подальший розвиток методу функції керованості для розв'язання задачі позиційного синтезу обмежених інерційних керувань для скінченновимірних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний у дисертації, є складовою частиною тематики кафедри диференціальних рівнянь та керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за державним реєстраційним номером 0100U003352 "Нелінійні динамічні системи та керування", яка виконується згідно з кафедральним планом науково-дослідних робіт.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова множини обмежених позиційних керувань, що розв'язують задачу синтезу для лінійного диференціального рівняння та нелінійного рівняння за першим наближенням у гільбертових просторах, розв'язання задачі позиційного синтезу обмежених інерційних керувань для систем у скінченновимірних просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі вперше:

I У гільбертових просторах на основі методу функціоналу керованості:

1. Побудована множина обмежених позиційних керувань, кожне з яких розв'язує задачу локального синтезу для керованого процесу, який описується лінійним диференціальним рівнянням з обмеженим оператором. На цій основі розв'язана задача для нелінійного рівняння за першим наближенням.

2. Побудована множина обмежених позиційних керувань, кожне з яких розв'язує задачу глобального синтезу для лінійного рівнянням з обмеженим кососамоспряженим оператором.

3. Розв'язана задача позиційного синтезу обмежених керувань для певних класів рівнянь із необмеженим оператором у випадку, коли функціонал керованості є часом руху, що знайшло застосування для рівнянь із частинними похідними.

II У скінченновимірних просторах на основі методу функції керованості:

1. Для лінійної системи вказана за параметром сім'я позиційних керувань, кожне з яких розв'язує задачу локального позиційного синтезу інерційних керувань, а в граничному випадку – задачу стабілізації.

2. Для нелінійної системи з одновимірним керуванням розв'язана задача локального синтезу інерційних керувань за першим наближенням.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і є внеском у математичну теорію керованих процесів, що описуються диференціальними рівняннями. Вони можуть бути використані в подальших теоретичних дослідженнях. Поряд із цим, внаслідок конструктивного характеру доведень, ряд результатів може стати основою для побудови нових чисельних методів.

Особистий внесок здобувача. У роботі [4], що видана на компактному диску за матеріалами 14 Міжнародного сімпозіуму, який проходив у м. Перпін'яні (Франція), ідея теореми 3 належить всім авторам у рівній мірі. Доведення цієї теореми автор дисертації отримав особисто. Решта опублікованих результатів отримана автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецьк, 1996), на Четвертій Кримській Міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения", присвяченої 60-річчю директора інститута Математики НАН України А.М. Самойленка (Алушта, 1998), на VII Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецьк, 1999), на Міжнародному науковому семінарі в інституті Математики Щецінського університету (Польща, 1999), на 14 Міжнародному сімпозіумі MTNS 2000 (Перпін'ян, Франція, 2000), на Міжнародній науковій конференції "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Одеса, вересень 2000), на науковому семінарі з теорії керування на кафедрі диференціальних рівнянь та керування ММФ ХНУ (керівник професор В.І. Коробов).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи наведено в статтях [1] – [4], які опубліковані в наукових виданнях, включених у перелік ВАК України.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації 126 сторінок, список використаних літературних джерел містить 86 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі приводиться короткий огляд сучасного стану питань, що вивчаються в дисертації, підстави і вихідні дані для розробки теми, обгрунтування необхідності проведення досліджень.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертації, обгрунтовується вибір напрямків досліджень та приводяться основні результати дисертації.

У другому розділі наведено загальний підхід до розв'язання задач синтезу в скінченновимірних та нескінченновимірних просторах і деякі результати теорії керування, що використовуються в дисертації.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено побудові множини позиційних керувань, які розв'язують задачу позиційного синтезу для диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі.

Розглянемо задачу синтезу обмеженого позиційного керування для керованого процесу, який описується рівнянням

(1)

де X, U – простори Гільберта, оператор А з областю визначення D(А) породжує сильно неперервну групу операторів, . Припустимо, що рівняння (1) точно 0-кероване за вільний час.

Під локальним синтезом обмеженого позиційного керування для рівняння (1) будемо розуміти задачу знаходження керування u=u(x) такого, щоб для всіх x із деякого околу Q початку координат, і такого, щоб для довільного розв'язок x(t) рівняння із початковою умовою задовольняв умови: 1) при деякому скінченному ; 2)для всіх . Якщо Q=X, то будемо говорити про глобальный синтез. Дослідження сформульованої задачі опирається на метод функціоналу керованості.

У підрозділі 3.1 даються методи побудови функціоналів керованості та синтезуючих керувань.

Нехай f(s) – довільна незростаюча невід'ємна на півосі функція така, що (2)

(якщо f – фінітна функція, то =). Позначимо

.

Розглянемо оператор , який для кожного задається співвідношенням .

Якщо функція f(s) не є фінітною, то точна 0-керованість рівняння (1) за вільний час еквівалентна додатній означеності оператора . Якщо f(s) є фінітною функцією, то для того щоб оператори були додатно означені, необхідно і достатньо, щоб рівняння (1) було точно 0-керованим за довільно малий час. Якщо оператор A є обмеженим, то поняття точної 0-керованості для рівняння (1) за вільний і за довільно малий час співпадають. У цьому випадку далі будемо говорити, що рівняння (1) точно 0-кероване. У подальшому припускається існування операторів .

Нехай і - деяке додатне число. Виберемо число, , і нехай . Функціонал керованості визначимо в області як єдиний додатний розв'язок рівняння

(3)

(0)=0. Нехай константа, . Тоді множина є обмеженою і . Задамо керування в області Q\{0} формулою

. (4)

У підрозділах 3.2, 3.3 та 3.4 дається розв'язання задачі синтезу позиційних керувань у випадку, коли A є обмеженим оператором. А саме, показано, що керування вигляду (4) розв'язує для рівняння (1) задачу синтезу.

У випадку обмеженого оператора А основою для всіх подальших побудувань є наступний факт: умова точної 0-керованості рівняння (1) еквівалентна існуванню цілого числа такого, що

. (5)

Нехай - найменьше число, для якого виконане співвідношення (5). При розв'язанні задачі синтезу суттєву роль відіграє наступна лема, доведення якої основано на ідеях класичної проблеми моментів.

Лема 1. Нехай X і U – гільбертові простори, і - довільні оператори, і нехай , , - монотонна функція, яка має хоча б m+1 точку зросту і така, що при виконана умова

. (6)

Тоді існує константа така, що при і деяких додатних константах та виконуються нерівності

.

Позначимо через клас монотонних незростаючих невід'ємних на півосі функцій f, які мають хоча б m+1 точку спадання, і таких, що виконана умова (2). Нехай , , ,. Умова (6) для цих функцій випливає з (2). Визначимо константи,.

Розв'язок задачі локального синтезу обмеженого керування дає

Теорема 1. Розглянемо рівняння (1), де X, U – гільбертові простори, , , (d>0 – будь-яке задане число). Припустимо, що рівняння (1) точно 0-кероване. Нехай, , функціонал визначається рівнянням (3).

Тоді керування вигляду (4) розв'язує задачу локального синтезу в області, де. При цьому.

Випадок кососамоспряженого оператора A в рівнянні (1) дозволяє розглянути питання про глобальний синтез (підрозділ 3.3).

Позначимо через підклас всіх функцій f(s) із класу функцій, для кожної з яких існують числа та такі, що на відрізку функція має похідну .

Для функції визначимо число так, щоб.

Нехай число таке, що для функції виконана умова . Позначимо, , ,.

Теорема 2. Нехай додатково до умов теореми 1 оператор A є кососамоспряженим, , , ,.

Тоді функціонал визначається рівнянням (3) для всіх і керування вигляду (4) розв'язує задачу глобального синтезу, причому.

В підрозділі 3.4 розглянуто нелінійне рівняння, , , , за першим наближенням

, (7)

де X, U – гільбертові простори, , , - неперервна на функція. Поняття локального синтезу обмеженого позиційного керування поширюється на нелінійний випадок природним чином.

Теорема 3. Розглянемо керований процес (7) де X, U – гільбертові простори, оператори, ,. Припустимо, що рівняння (1) є точно 0-керованим і функція g(x,u) задовольняє нерівність, , , , , та в кожній області задовольняє умову Ліпшиця. Нехай, ,.

Тоді існує додатна константа така, що керування вигляду (4), де функціонал при визначений рівнянням (3), розв'язує для рівняння (7) задачу локального синтезу в області, причому .

Одержані в дисертації вирази для визначення констант, не наводяться внаслідок їх громіздкості.

Далі в підрозділі 3.5 розглядається позиційний синтез для деяких класів керованих рівнянь вигляду (1) із необмеженим оператором A, до яких зводяться рівняння з частинними похідними гіперболічного типу. Розглянемо, наприклад, керований хвильовий процес, що описується рівнянням

, , (8)

де, , - замкнена обмежена область евклідового простору з межею класу. За допомогою заміни змінних рівняння (8) зводиться до рівняння вигляду (1), в якому:

а) оператор A має в просторі X ортонормований базис із власних векторів, які відповідають власним значенням таким, що, , ,;

б) B – оператор вкладення в X, тобто.

Розглянемо функцію для, для. У десертації доведено, що за умов а), б) на оператори та випливає додатна означеність операторів, , що еквівалентно точній 0-керованості рівняння (1) за довільно малий час.

Теорема 4. Нехай у рівнянні (1) для операторів А і В виконані припущення а), б) та. Нехай , функціонал визначається рівнянням (3) при .

Тоді:

1) існують додатні константи та такі, що для числа, яке задовольняє нерівність, керування вигляду (4) розв'язує задачу локального синтезу в області , де;

2) якщо, , то для керування розв'язує задачу глобального синтезу.

При цьому час руху.

Приклади застосування теореми 4 також і у випадку, коли оператор має ще й скінченну кількість дійсних власних значень, наведені у підрозділі 3.6. Наприклад, розглянуто керований процес, що описується гіперболічним рівнянням 2-го порядку вигляду

, , ,

де, , , є замкнена обмежена область з межею класу, диференціальний оператор визначається співвідношенням, - дійсні функції, , , і при деякому має місце нерівність,.

У четвертому розділі дисертаційної роботи дається подальший розвиток методу функції керованості для розв'язання задачі локального позиційного синтезу інерційних керувань для автономних систем у скінченновимірних просторах.

Під задачею локального синтезу позиційних інерційних керувань для системи, із () раз неперервно диференційовною функіцією будемо розуміти задачу побудови керування , яке переводить довільну початкову точку із деякого околу початку координат у початок координат по траєкторії системи за скінченний час та для всіх точок задовольняє обмеження , , де - похідна -го порядку, складена за системою .

У даному розділі з множини керувань, наведеної у третьому розділі, виділено сім'ю позиційних інерційних керувань , , таких, що: керування розв'язують задачу локального позиційного синтезу; при час руху нескінченний, тобто керування розв'язує задачу стабілізації та задовольняє задані обмеження. При цьому зі збільшенням параметра відбувається збільшення степеня гладкості керування. Для лінійної системи знайдено час руху із довільної точки у початок координат. Для нелінійної системи дається оцінка на час руху зверху.

У підрозділі 4.1 дається розв'язання задачі позиційного синтезу інерційних керувань для канонічної системи

(9)

де матриця та вектор мають вигляд (10)

з обмеженнями на керування вигляду

(11)

де - похідна k-го порядку, складена за замкненою системою (9). Розглянемо відносно параметра сім'ю функцій

Далі будемо позначати через при матриці вигляду

(12)

(13)

Відмітимо, що, де

Визначимо функцію керованості і фіксованому як єдиний додатний розв'язок рівняння

. (14)

Керування (4) набирає вигляду

(15)

Введемо до розгляду множини керованості – сім'ю еліпсоїдів вигляду

Співвідношення між цими еліпсоїдами дає наступна теорема.

Теорема 5. Нехай . Тоді при справедливе включення .

Розв'язання задачі локального синтезу інерційних керувань для канонічної системи дає

Теорема 6. Нехай, в (14) задовольняє умову де,

(16)

Нехай визначається рівнянням (14) і.

Тоді при кожне керувння вигляду (15) в області розв'язує для системи (9) задачу локального позиційного синтезу і задовольняє обмеження вигляду (11). При цьому час руху із довільної точки у початок координат по траєкторії системи (9) з керуванням дорівнює.

При побудові функцій керованості та інерційних керувань виникає необхідність в оберненні матриць із (12), (13), що мають вигляд

(17)

(18)

Позначимо через , , ганкелеві матриці вигляду

. (19)

Для знаходження матриць нам необхідно обернути матриці . Відзначимо, що матриці (тим більше, матриці ) є погано зумовленими. Аналітичне зображення матриць , дає

Теорема 7. Нехай вектори задаються рівностями

а ганкелеві матриці мають вигляд (19).

Тоді обернені матриці можуть бути знайдені за однією з наступних формул:

де - компоненти векторів відповідно. Матриці обернені до матриць (17), (18), мають вигляд

де - елементи матриць та відповідно.

У підрозділі 4.2 розглядається задача синтезу інерційних керувань для повністю керованої лінійної системи з одновимірним керуванням

(20)

з обмеженнями на керування вигляду (11). Нехай вектор c задовольняє рівність і ортогональний векторам, , p – n-вимірний вектор, компонен-тами якого є коефіцієнти характеристичного полінома матриці А.

Теорема 8. Розглянемо повністю керовану систему (20). Нехай , задовольняє умову де

із (16). Нехай функція керованості при є розв'язком рівняння

, (21)

і.

Тоді при кожне керування розв'язує для системи (20) задачу локального синтезу в області та задовольняє задані обмеження вигляду (11). При цьому час руху із довільної точки у початок координат по траєкторії системи (20) з керуванням дорівнює.

Далі в цьому підрозділі розглядається лінійна повністю керована система з багатовимірним керуванням

(22)

з обмеженнями на керування вигляду

(23)

Без обмеження загальності, вважаємо, що ранг матриці B дорівнює r. Розглянемо ланцюг лінійно незалежних векторів

(24)

де - i-й стовпець матриці B, Нехай вектори такі, що і ортогональні всім іншим векторам ланцюга (24). Позначимо через матриці, відповідно, розмірів , що мають вигляд

де – матриці розмірів вигляду

- матриці розміру вигляду (10), а числа Нехай додатні числа, , для, задовольняють нерівність

(25)

(26)

де - матриці розміру вигляду (13), числа вигляду (16).

Позначимо. Для кожного визначимо функцію керованності при як єдиний додатний розв'язок рівняння

(27)

- матриця розміру вигляду (12), і покладемо. Нехай позначає керування, де --вимірний вектор вигляду (10). Нехай і покладемо.

Теорема 9. Розглянемо повністю керовану систему (22). Нехай, для кожного число вибрано так, що виконуються нерівність із (25) – (26) для, і функція керованості при є додатним розв'язком рівняння (27). Нехай

Тоді при кожне керування розв'язує для системи (22) в області задачу синтезу інерційних керувань і задовольняє обмеження (23). При цьому час руху з точки у початок координат по траєкторії системи (22) з керуванням дорівнює

На завершення цього розділу, у підрозділі 4.3 розглядається задача синтезу інерційних керувань для нелінійної системи за припущенням, що, з обмеженнями на керування вигляду (11) при l=1. В околі нуля цю систему можна записати у вигляді

(28)

де - неперервна функція.

Теорема 10. Розглянемо керовану систему (28), де функція g(x,u) задовольняє нерівність і в кожній області задовольняє умову Ліпшиця. Нехай

Тоді існують додатні константи такі, що при кожне керування з визначеною рівнянням (21) функцією керованості розв'язує для системи (28) в області задачу синтезу інерційних керувань та задовольняє обмеження. При цьому час руху із точки в початок координат задовольняє нерівність).

Одержані в дисертації вирази для визначення констант , , не наводяться, внаслідок їх громіздкості.

Відмітимо той факт, що в теоремах 6, 8, 9, 10 у граничному випадку при керування розв'язують задачу стабілізації і задoвольняють задані обмеження в області .

ВИСНОВКИ

I. У третьому розділі розглянуто задачу синтезу обмеженого позиційного керування для керованого процесу, який описується рівнянням

де X, U – простори Гільберта, оператор A з областю визначення D(A) породжує сильно неперервну групу операторів, за припущенням, що це рівняння точно 0-кероване за вільний час.

Дослідження цієї задачі проводиться на основі методу функціоналу керованості.

1. Нехай A – обмежений оператор, – найменше число таке, що виконується співвідношення Нехай – клас незростаючих невід'ємних на півосі функцій f, які мають, хоча б m+1 точку спадання, і таких, що виконана умова . Тоді кожна функція з цього класу породжує синтезуюче обмежене керування.

2. Для нелінійного рівняння задача локального синтезу розв'язується за першим наближенням.

3. Нехай A – кососамоспряжений оператор, – підклас всіх функцій f(s), кожна з яких має від'ємну похідну на деякому відрізку. Тоді кожна функція породжує позиційне керування, яке розв'язує задачу глобального синтезу.

4. Нехай необмежений оператор А має в просторі X ортогональний нормований базис із власних векторів які відповідають власним значенням таким, що і B є оператор вкладення U в X. Тоді функція , породжує позиційне керування, яке розв'язує задачу локального синтезу, а у випадку, коли , - задачу глобального синтезу. При цьому . Цей результат застосований для розв'язання задачі синтезу для деяких керованих процесів, що описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними гіперболічного типу.

II. У четвертому розділі метод функції керованості розвинуто на задачі позиційного синтезу керування з обмеженнями на керування та його похідні до заданого порядку (задача синтезу інерційних керувань).

1. Для лінійної системи з множини позиційних керувань, наведеної в третьому розділі, виділено сім'ю (відносно параметра) позиційних керувань що розв'язують задачу локального синтезу інерційних керувань, причому таку, що в граничному випадку при керування розв'язує задачу стабілізації. При цьому за допомогою функції керованості обчислюється час руху.

При розв'язанні вказаної задачі одержано також наступні допоміжні результати: для сім'ї погано зумовлених матриць аналітично знайдено обернені матриці, за якими будуються функції керованості та синтезуючі керування; встановлено співвідношення між облаcтями керованості відносно параметра .

2. Для нелінійної системи з одновимірним керуванням задача локального синтезу інерційних керувань (та стабілізації) розв'язується за першим наближенням у випадку . На час руху наводиться оцінка зверху.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Скорик В.А. Аналитическое обращение одного семейства плохо обусловленных матриц, возникающих в методе функции управляемости // Вісник Харківського університету. – 1999.–

№ 444: Математика, прикладна математика і механіка.– С. 15–23.

2. Скляр Г.М., Скорик В.А. О множестве позиционных управлений, решающих задачу синтеза в гильбертовых пространствах // Вісник Харківського університету. – 1999. – № 458: Математика, прикладна математика і механіка.– С. 3–14.

3. Скляр Г.М., Скорик В.А. О синтезе управления для некоторых уравнений гиперболического типа// Вісник Харківського університету. – 2000.– № 475: Математика, прикладна математика і механіка.– С. 347–357.

4. Korobov V.I., Sklyar G.M., Skoryk V.A. Solution of the Synthesis Problem in Hilbert Spaces// Proceeding CD of the Forteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS 2000). – Perpignan, France. – 2000. – 10 pages.

АНОТАЦІЯ

Cкорик В.О. Методи побудови функцій керованості та позиційних керувань.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2000.

Дисертація присвячена побудові множини обмежених позиційних керувань, що розв'язують задачу локального синтезу для лінійного диференціального рівняння і нелінійного рівняння за першим наближенням в гільбертовому просторі, а також задачі синтезу інерційних позиційних керувань для автономних систем диференціальних рівнянь, в скінченновимірних просторах. На основі методу функціоналу (функції) керованості отримано конструктивний розв'язок цих задач.

Показано, що кожна функція з класу незростаючих невід'ємних на невід'ємній півосі функцій експоненціального типу, що мають достатнє число точок спадання, породжує обмежене позиційне керування, яке розв'язує задачу синтезу для рівнянь у гільбертовому просторі. З цього класу функцій виділено сім'ю функцій, кожна з яких породжує позиційне керування, що розв'язує задачу синтезу інерційних керувань для систем в скінченновимірних просторах.

Результати дисертації носять теоретичний характер. Поряд з цим, в силу конструктивного характеру доведень, низка результатів може бути основою для побудови нових чисельних методів.

Ключові слова: задача синтезу, позиційне керування, інерційне керування, метод функціоналу (функції) керованості.

АННОТАЦИЯ

Cкорик В.А. Методы построения функций управляемости и позиционных управлений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2000.

Диссертация посвящена решению задачи синтеза позиционных управлений, удовлетворяющих наперед заданным ограничениям. Исследования проведены на основе метода функционала (функции) управляемости и имеют конструктивный характер.

В диссертационной работе построено множество ограниченных позиционных управлений, решающих задачу локального синтеза для линейного дифференциального уравнения с ограниченным оператором в гильбертовом пространстве. А именно, показано, что каждая невозрастающая неотрицательная на неотрицательной полуоси функция экспоненциального типа, имеющая достаточно большое число точек убывания, порождает искомое управление. На этой основе решена задача локального синтеза для нелинейного уравнения по первому приближению. Из этого класса функций выделен подкласс функций, каждая из которых имеет на некотором отрезке отрицательную производную. Для линейного дифференциального уравнения в случае кососамосопряженного оператора каждая функция из этого подкласса порождает позиционное управление, решающее задачу глобального синтеза и удовлетворяющее заданным ограничениям.

Для определенного класса дифференциальных уравнений с неограниченным оператором построено ограниченное позиционное управление, решающее задачу локального синтеза, а при условии мнимого спектра оператора и задачу глобального синтеза. Этот результат применяется для решения задачи синтеза для некоторых управляемых процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа.

В диссертационной работе впервые метод функции управляемости развит на задачи позиционного синтеза инерционных управлений для автономных систем в конечномерных пространствах (с ограничениями на управление и на его поизводные в силу замкнутой системы до заданного порядка ).

В этом направлении из указанного множества управлений выделено семейство (по некоторому параметру) позиционных управлений, решающих эту задачу для линейных полностью управляемых систем с одномерным и многомерным управлением. При этом вычисляется время движения из произвольной точки некоторой окрестности начала координат в начало координат. Для нелинейной системы с одномерным управлением с ограничениями на управление и его производную задача решена по первому приближению. При этом дается оценка на время движения сверху. В граничном по параметру случае соответсвующие управления для этих систем решают задачу стабилизации и удовлетворяют указанным ограничениям в некоторой окрестности начала координат. Кроме того, установлены соотношения между эллипсоидами, которые задаются функциями управляемости и являются множествами управляемости за одно и то же время, и существование области, в которой решается задача позиционного синтеза любым инерционным управлением из этого семейства. При построении инерционных управлений и функций управляемости требуется обращать семейство плохо обусловленных матриц произвольного порядка. В диссертации приводится аналитическое представление обратных матриц, что позволяет применить разработанный метод для систем большого порядка.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Вместе с тем, вследствие конструктивного характера доказательств, ряд результатов может стать основой для построения новых численных методов.

Ключевые слова: задача синтеза, позиционное управление, инерционное управление, метод функционала (функции) управляемости.

ABSTRACT

Skoryk V.A. Methods of constructing of the controllability functions and the positional controls. – Manuscript.

The thesis for candidat's degree in physics and mathematics science by specialty 01.01.02 – differential equations. – V.N. Karazin Khar'kov National University, Khar'kov, 2000.

The thesis is devoted to constructing of the set of restricted positional controls solving the synthesis problem for a linear differential equation and a non-linear equation at the first approximation in the Hilbert space and to the problem of synthesis of inertial positional controls for systems in finite-dimentional spaces. On the basis of the controllability functional (function) method the constructive solution of the problems are obtained.

For every function of exponential type with sufficient number of decrease points it is shown that if the function is non-increasing non-negative on the non-negative semiaxis then it generates a restricted positional control solving the synthesis problem for equations in Hilbert space. From this class of functions (with respect to certain parameter) we extract the family of functions which generates the positional control solving the synthesis problem of inertial controls for systems in finite-dimensional spaces.

The results of the thesis are of a theoretical character. Along with this, by virtue of constructive character of proofs the numbers of the results can form the basis for new numerical methods.

Keywords: synthesis problem, positional control, inertial control, controllability functional (function) method.