Міністерство освіти і науки України

Одеський державний політехнічний університет

ВЛАДIМIРОВ Всеволод Анатолійович

УДК 517.958:539.372

НЕЛIНIЙНI ХВИЛЬОВI СТРУКТУРИ В МОДЕЛЯХ

СЕРЕДОВИЩ, ЩО РЕЛАКСУЮТЬ

01.04.01 - фізика приладів, елементів і систем

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Одеса - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті геофізики ім. С.I. Суботіна НАН України

Науковий консультант | член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор ДАНИЛЕНКО В'ячеслав Андрійович,

заступник директора Інституту геофізики

ім. С.І. Суботіна НАН України

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук

НІКІТІН Анатолій Глібович,

Інститут математики НАН України, завідувач відділу;

доктор фізико-математичних наук, професор МАКАРЕНКО Олександр Сергійович,

Науково-навчальний комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НАН України та Міністерства освіти і науки України, професор

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ПАВЛОВИЧ Володимир Миколайович, Науковий центр "Інститут ядерних досліджень" НАН України, завідувач відділу

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет, кафедра математичної фізики.

Захист відбудеться " 22 " червня 2000 р. О 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.052.06 при Одеському державному політехнічному університеті за адресою 65044 м.Одеса, пр. Шевченка, 1.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Одеського державного політехнічного університету.

Автореферат розiсланий 19 травня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Зеленцова Т.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Велика кількість природних та штучних матеріалів характеризується наявністю внутрішньої структури. Експериментальні дослідження по динамічному навантаженню гетерогенних середовищ (грунтів, скельних порід, природної кам'яної солі, газо-рідинних сумішей, тощо) свідчать про те, що структура суттєвим чином впливає на характер нелінійних хвильових процесів. Наявність структури проявляється, зокрема, в фрагментації початково гладких хвильових полів (Накоряков, Покусаєв, Шрейбер, Когарко) та підсиленні ударних фронтів в газорідинних сумішах (Борисов, Нігматулін), солітонних властивостях P-хвиль в блочно-ієрархічних середовищах (Лунд, Николаєв, Николаєвський, Даниленко, Венгрович), дилатансійних властивостях грунтів та полікристалічних матеріалів (Ляхов, Михалюк).

Проблема теоретичного опису ієрархічних середовищ в умовах динамічних навантажень на сьогодні не вирішена в повному обсязі. Побудова континуальних моделей реальних середовищ була започаткована в працях Максвелла, Кельвіна, Фойгхта, Олдройда, які, узагальнюючи експериментальний матеріал, ввели поняття пружно-в'язко-пластичних релаксуючих середовищ, тобто тих властивостей, що є макроскопічними проявами структури та нерівноважності стану. Подальший розвиток цих досліджень стимулювався необхідністю вивчення післядії імпульсних навантажень, асоційованих з ударами та вибухами, та суттєвим зростанням можливостей експериментальних досліджень поведінки матеріалів в екстремальних умовах.

Як відомо, основою побудови макроскопічних моделей матеріальних середовищ є кінетична теорія, започаткована Л. Больцманом. Розвитку цієї теорії в напрямку врахування ефектів пам'яті та нелокальності присвячені праці Боголюбова, Гріна, Макленнана, Зубарєва та багатьох інших. В цих працях обгрунтовано існуючі феноменологічні моделі та викладено принципи побудови нових ієрархічних моделей процесів далеких від рівноваги. Одночасно розвивалися інші підходи до моделювання нерівноважних процесів в складних середовищах, зокрема, аксіоматичний в працях Трусдела, Колеманна, Нолла, Честера, та феноменологічний в працях Леонтовича, Мандельштама, Онзагера, Мейкснера, де Гроота, Пригожина, Ликова.

Характерною особливістю нелінійних нерівноважних процесів в системах з розподіленими параметрами є можливість існування когерентних станів, або дисипативних структур, теоретичне вивчення яких було започатковане в працях Пригожина та його послідовників. Виникнення структур початково досліджувалося в зв'язку з задачами хімічної кінетики (Бєлоусов, Жаботинський), гідродинаміки (Тейлор, фон Карман, Ландау, Хопф) та термоконвекції (Бенар, Лоренц), однак достатньо швидко з'ясувалося, що подібні явища спостерігаються в нелінійній оптиці (Хакен), біології (Іваницький, Кринський, Ейген), теорії горіння (Зельдович, Маломед, Самарський) та інших дисциплінах. На сьогодні дослідження виникнення та еволюції когерентних структур достатньо повно проведені стосовно нерівноважних процесів невисокої інтенсивності, що моделюються рівняннями параболічного типу. Одночасно з розвитком фізичних уявлень щодо виникнення дисипативних структур розроблено математичні методи, які дозволяють одержати строгі результати стосовно виникнення когерентних структур на основі теореми про центральний многовид (Марсден, Мак-Кракен) та теорії атракторів дисипативних систем (Ладиженська, Темам, Фойяш, Чуєшов, Мельник).

Нелінійні рівняння параболічного типу, що вірно описують процеси невисокої інтенсивності, стають непридатними для дослідження високоінтенсивних швидкоплинних процесів. В працях Даниленка, Кудінова, Макаренка досліджувались дисипативні структури для рівнянь гіперболічного типу, які враховують ефекти пам'яті - телеграфного рівняння та гіперболічного узагальнення рівнянь Нав'є-Стокса. До цього ж циклу слід віднести роботи по виникненню структур за фронтом детонаційної хвилі (Фікетт, Дейвіс, Ерпенбек, Пухначов, Мітрофанов, Топчиян, Дж.Лі, Даниленко, Борисов). В цих працях виявлено особливості утворення дисипативних структур в швидкоплинних процесах, зокрема, нові сценарії хаотизації та режими з загостренням.

Актуальність теми. Нелінійні хвильові процеси займають помітне місце в науці і техніці. Зокрема, можливість створення високоградієнтних хвильових полів в природних масивах є передумовою ефективного застосування геотехнологічних методів інтенсифікації видобутку корисних копалин. В зв'язку з цим набуває актуальності проблема виведення достатньо простих континуальних моделей структурованих середовищ, виходячи з фундаментальних принципів. В застосуваннях найчастіше використовуються моделі, основані на гіпотезі локальної рівноваги та феноменологічних законах, що відображають локальні зв'язки між узагальненими термодинамічними потоками та силами. Такі моделі адекватно описують процеси невисокої інтенсивності, коли основні термодинамiчнi величини можна вважати постійними на відстанях порядку довжини кореляції та на часових проміжках, порівнювальних з характерними часами релаксації, однак, при розгляді високо інтенсивних швидкоплинних процесів необхідно використовувати удосконалені моделі, які враховують нелокальні ефекти. Оскільки параметри нелокальності в структурованих середовищах визначаються, в першу чергу, характерними розмірами елементів структури, нелокальні ефекти в них можуть проявлятися при навантаженнях порівняно невисокої інтенсивності. Слід відмітити, що нині існує велика кількість рівнянь стану, що узагальнюють наявний експериментальний матеріал по динамічному навантаженню середовищ із внутрішньою структурою, однак більшість з них виведено чисто механічним шляхом без належного термодинамічного обгрунтування. З цієї причини виведення нелiнiйних нелокальних моделей структурованих середовищ в рамках єдиного підходу, що спирається на закони феноменологічної термодинаміки незворотних процесів та принципи симетрії, є важливою та актуальною задачею.

Вивчення ієрархії моделей, що служать до опису високоінтенсивних швидкоплинних процесів в структурованих середовищах, дозволяє простежити вплив структури та ступеня відхилення від стану повної термодинамічної рівноваги на еволюцію хвильових полів, одержати нові розв'язки, суттєво відмінні від тих, що мають місце в моделях без нелокальностей, та визначити співвідношення між параметрами, за яких має місце втрата стійкості та виникнення дисипативних структур. Однак моделі швидкоплинних процесів в структурованих середовищах значно складніші від тих, що традиційно розглядаються в рамках синергетичного підходу. Загалом для них не сформульовано аналогу теореми про центральний многовид, яка дозволяє, в принципі, виділити скінчену кількість мод (параметрів порядку). Через це набуває важливого значення застосування альтернативних методів досліджень, зокрема теоретико-групових методів, які дозволяють виділити підкласи розв'язків, що задовольняють системам більш простим, порівняно із вихідною. Послідовне застосування точної групової редукції дає змогу одержати динамічні системи, які ефективно досліджуються якісними та чисельними методами. Широке застосування цих методів в дослідженні систем нелінійних диференціальних рівнянь, для яких не має місця принцип суперпозиції, виправдовується тією обставиною, що інваріантні розв'язки дуже часто служать проміжними асимптотиками для інших, взагалі кажучи, неінваріантних розв'язків. Таким чином, теоретико-групові дослідження дозволяють прогнозувати еволюцію розв'язків початково-крайових задач, в певному сенсі близьких до автомодельних, в тих областях часопростору, де ці розв'язки вже не залежать від деталей початкових (крайових) умов.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках планових НДР Відділення геодинаміки вибуху Інституту геофізики НАН України: "Розробка ефективних та безпечних методів проведення гірничих, будівельних та інших робіт з використанням енергії вибуху в шаруватих масивах та в підводних умовах в застосуванні до регіонів УРСР, Поволжя, Алтайського краю, Західного Сибіру" (затверджена Постановою Президії АН УРСР, (протокол №474 від 27.12.85 р., шифри 1.10.1.8 та 1.5.4.2); "Удосконалення моделей геофізичних середовищ і розв'язок хвильових задач" (затверджена рішенням бюро відділення Наук про Землю НАН України (протоколи №83 від 28.12.89 р. та №6, §35 від 5.12.94 р., шифр 1.5.4.4), та проекту №397 "Розробка наукових основ використання енергії вибуху для інтенсифікації будівництва підземних сховищ енергоносіїв, радіоактивних і токсичних речовин в геологічних формаціях України геотехнологічними методами", що фінансувався Українським науково-технологічним центром.

Мета і задачі досліджень. Мета роботи полягає в побудові нелінійних нелокальних моделей динаміки середовищ, що релаксують, на основі фундаментальних принципів та їх застосуванні до опису когерентних хвильових структур. Нижче перераховані основні задачі дослідження.

1.

2.

3.

4.

5.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

1.

а) гідродинамічна модель середовища з одним та двома релаксацiйними процесами онзагерiвського типу;

б) гідродинамічна модель середовища з одним релаксацiйним процесом, який визначається узагальненим спiввiдношенням мiж термодинамiчними потоками та силами;

в) тензорна модель середовища з одним релаксацiйним процесом, що визначається спiввiдношенням онзагерiвського типу.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Практичне значення одержаних результатiв Дисертаційна робота має теоретичний характер. Для середовищ із внутрішньою структурою отриманi динамiчнi рівняння стану. Цi рiвняння мiстять параметри, для знаходження яких, замiсть детального вивчення перебiгу релаксацiйних процесiв, достатньо визначити їх прояви на макрорiвнi. Моделі, отримані в роботі, можна використовувати для опису післядії ударів та вибухів.

Для системи рiвнянь релаксацiйної гiдродинамiки знайдено ряд випадкiв розширення базової групи iнварiантностi при певній довільності функцій стану та кiнетики. Це вiдкриває шлях до ефективного використання теоретико-алгебраїчних методiв при моделюваннi пiслядiї iмпульсних навантажень.

В роботi вказано умови створення імпульсів наперед заданої форми в релаксуючому середовищi. Це можна використати як засіб діагностики структури природних масивів, а також як спосіб керування нерiвномiрністю хвильових полiв, що є основою вибухових методів інтенсифікації масообмінних процесів.

Результати роботи можуть також бути використані в механіці гетерогенних середовищ, теорії дисипативних структур та як навчальні курси в Вузах (КНУ, КНТУ).

Особистий внесок здобувача. Особисто здобувачем отриманi наступнi результати:

1. Виведено динамiчне рiвняння стану (ДРС) для середовища з двома релаксацiйними процесами онзагерiвського типу.

2. Виведенi ДРС, виходячи з iнтегральних залежностей мiж термодинамiчними потоками та силами.

3. Виведено ДРС для пружно-в'язкого релаксуючого середовища з урахуванням тензорного характеру полiв напружень та деформацiй.

4. Проведено дослiдження теоретико-групових властивостей рiвнянь гiдродинамiки релаксуючих середовищ.

5. Проведено якiснi дослiдження гiдродинамiчних моделей релаксуючих середовищ, основаних на спiввiдношеннях онзагерiвського типу, визначено умови iснування iнварiантних автохвильових розв'язкiв, показано, що ці розв'язки служать промiжними асимптотиками для достатньо широкого класу початкових та крайових умов.

6. Здiйснено теоретико-групову редукцiю модельних систем, якi враховують нелокальні ефекти, виділено клас динамічних систем (ДС), що описують розв'язки типу бiжучої хвилi. Наведено критерії iснування перiодичних i квазiперiодичних режимiв та розв'язкiв двояко-асимптотичного типу (петель гомоклiнiки), для довільної системи третього порядку із специфічним виродженням лінійної частини.

7. Проведено теоретико-груповi та якiснi дослiдження гiдродинамiчних систем без релаксацiї, здiйснено групову класифiкацiю, знайдено багатопараметричнi сiм'ї точних розв'язкiв, отримано результат про наявнiсть нескiнченної групи симетрiї у гiдродинамiчної системи з рiвнянням стану тетiвського типу .

Разом з В.А. Даниленко було виведено динамiчне рiвняння стану (ДРС) для середовища з одним релаксацiйним процесом, пiдпорядкованим узагальненим феноменологiчним спiввiдношенням [2,4,21,22,23]. Спільно з В.В. Сорокiною та В.О. Хрищенюком проводилися чисельнi дослiдження виникнення хвильових структур в гiдродинамiчнiй моделi, замкнутiй ДРС ляхiвського типу [4,5,24,36,38]. Разом з В.О.Сидорцем та С.І.Скуратівським проводились чисельні дослiдження хаотичних режимiв в системах з пам'яттю та просторовою нелокальнiстю [14,16,18], [20,26]. Спільно з В.А. Тичинiним було здійснено нелокальну лiнеаризацiю гiдродинамiчної системи з баротропним рiвнянням стану [1]. Спіль-но з М.А. Селехманом проводились якiснi дослiдження автомодельних розв'язкiв гiдродинамiчної системи з тетiвським рiвнянням стану [35]. Разом з А.В. Михалюком та С.В.Микуляком отримано результат про вплив просторового та часового розосередження точкових зарядів на характер хвильових полів та інтенсифікацію масообміну в середовищах з ієрархічною структурою [11,19].

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на міжнародних школах-семінарах "Differential Equations, Bifurcations and Chaos" (Кацивелі, 1991, 1994); міжнародній конференції "Free-boundary Problems in Continuum Mechanics" (Новосибірськ, 1991); на I-III школах-семінарах з вибухових явищ (Алушта, 1990-1992); на семінарі "Акустика неоднородных сред" (Новосибірськ, 1992); на міжнародній школі-семінарі по фізиці та газовій динаміці ударних хвиль (Мінськ, 1992); на міжнародній школі-семінарі "Non-equilibrium Processes in Gases and Low Temperature Plasma" (Мінськ, 1992); на міжнародній конференції "Combustion, Detonation and Shock Waves" (Москва, 1994); на IV міжнародній конференції "Lavrentyev Readings" (Казань, 1995); на I-III міжнародних конференціях "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, 1995-1999); на міжнародній конференції "IFIP95" (Варшава, 1995); на III міжнародній конференції "Bogolyubov Readings" (Київ, 1997); на XXX та XXXI симпозіумах з математичної фізики (Торунь, 1998, 1999), на міжнародній конференції "Modern Problems of Mathematics and Mechanics" (Львів, 1998); на наукових семінарах Інституту геофізики ім. С.І. Суботіна НАН України (Київ, 1986-1998).

Публікації. Основні результати і положення дисертації висвітлені у 42 наукових роботах, список яких подано в кінці автореферату.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків і списку цитованої літератури з 288 назв. Обсяг дисертації складає 353 сторінки, включаючи 96 рисунків та 5 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтована актуальнiсть теми, дана загальна характеристика роботи, подано короткий огляд лiтератури та висвiтлено розмiщення матерiалу по роздiлах.

У першому розділі виведені динамічні рівняння стану, які описують еволюцію довгих нелінійних хвиль в структурованому середовищі. При розгляді великого класу задач механіки структурованих середовищ використовується модель одношвидкістного континуума у вигляді рівнянь балансу маси, імпульсу (моменту імпульсу) та енергії. Для того, щоб така система була замкнутою, необхідно встановити функціональну залежність між термодинамічними величинами, які характеризують стан системи. Однак, як свідчать експерименти по динамічному навантаженню гетерогенних матеріалів, при фіксованих значеннях термодинамічних параметрів, в таких системах все ще можливі зміни внутрішнього стану, який визначається не миттєвими значеннями параметрів, а всією передісторією системи. Математично це твердження формулюється так: визначальні рівняння мають вигляд інтегро-диференціальних співвідношень

(1)

що зв'язують узагальнені термодинамічні потоки та сили . Інтегральне ядро переносу в принципі, може бути визначене після розв'язку динамічної задачі про рух частинок середовища, однак такі розрахунки надзвичайно складні і в більшості ситуацій визначальні рівняння (1) залишаються чисто формальними.

Опис нелокальних ефектів за допомогою достатньо простих співвідношень стає можливим, якщо обмежитися процесами, що характеризуються невеликими відхиленнями від стану повної термодинамічної рівноваги. Тоді відхилення від рівноваги можна зв'язати з певними "внутрішніми" змінними що формально задовольняють рівнянням хімічної кінетики:

. (2)

Змінні разом із сукупністю "зовнішніх" термодинамічних параметрів (тиском , температурою , тощо) повністю визначають стан системи поблизу рівноваги. При визначенні властивостей невідомих функцій та феноменологічних коефіцієнтів , використовується другий закон термодинаміки у формі Гіббса

(3)

та принцип взаємності Онзагера, згідно з яким термодинамічні потоки та сили зв'язані між собою лінійними функційними співвідношеннями. Утотожнення з термодинамічними потоками, а функцій з узагальненими термодинамічними силами дає змогу отримати обмеження на функції спорідненності релаксаційних процесів, що випливають з другого закону термодинаміки.

В нестаціонарних інтенсивних процесах потоки будуть зв'язані з термодинамічними силами співвідношеннями вигляду

(4)

де феноменологічні коефіцієнти. Співвідношення (2)(4) використовуються для виводу динамічних рівнянь стану, що враховують вплив релаксаційних процесів на зміну основних термодинамічних параметрів середовища. В п. 1.2 розглядається один релаксаційний процес.

У другому розділі викладено результати теоретико-групового аналізу гідродинамічної системи рівнянь, що описує адіабатичні процеси в релаксуючому середовищі:

У третьому розділі результати теоретико-групового аналізу гідродинамічних моделей релаксуючих середовищ застосовуються до вивчення умов виникнення автохвильових розв'язків. Як відомо, симетрію того чи іншого рівняння в частинних похідних можна використати для виділення класів розв'язків, які залежать від меншої кількості змінних. Метод редукції традиційно використовується для пошуків точних розв'язків. Слід, однак, зауважити, що існує велика кількість когерентних рухів суцільних середовищ, які не описуються точними розв'язками. Це, зокрема, періодичні та квазіперіодичні розв'язки, образами яких служать, відповідно, граничні цикли та тори, солітонні розв'язки, образами яких служать двоякоасимптотичні траєкторії, а також предтурбулентні розв'язки, образами яких служать дивні атрактори. З цієї причини становить інтерес проведення якісних досліджень фактор-систем.

Для функцій що виражаються згідно із формулою

(17)

в розділі 3 наведені всі фактор-системи рангу 1, які "успадковують" симетрію вихідної системи і можуть бути зведені до динамічних систем другого і третього порядку. У випадку двовимірних динамічних систем існує можливість проведення вичерпних досліджень в рамках якісної теорії.)

Розглядалося також питання про збіжність розв'язків початкових (крайових) задач до інваріантних автохвильових режимів. Вихід на такі режими не спостерігається в тих випадках, коли за початкову (крайову) умову береться одне локалізоване збурення, проте збіжність має місце, наприклад, в задачі про поршень, рух якого періодично ініціюється в імпульсному режимі. Тут також ефективно працює енергетичний критерій, але, окрім відповідного підбору енергії імпульсу, для досягнення збіжності необхідно збуджувати рух поршня з певною затримкою, тривалість якої визначається параметрами системи (27) та початкової неоднорідності (28). При поданих вище значеннях параметрів збіжність спостерігається, якщо енергія повністю сформованого хвильового збурення близька до 17, а час затримки імпульсу вагається біля 22. На рис. 3 представлені типові результати чисельного моделювання: інваріантний періодичний розв'язок "огинає" цуг хвильових збурень біля джерела збурень і майже співпадає з ним на великих відстанях.

В кінці підрозділу 3.3 показано, за рахунок чого асимптотичні властивості інваріантних розв'язків можуть знайти використання в діагностиці неоднорідних релаксуючих середовищ.

У четвертому розділі аналізуються інваріантні розв'язки системи гідродинамічних рівнянь з ДРС, які враховують ефекти часової та просторової нелокальності. Дослідження канонічної форми служили відправною точкою для чисельного моделювання системи (30), яке проводилося в околі значень при фіксованих параметрах Розв'язки системи (30) в околі особливої точки характеризуються великою різноманітністю. Тут спостерігаються періодичні та мультиперіодичні режими, а також спіральні атрактори які існують в малому околі стаціонарної точки. При збільшенні періодична траєкторія, яка знаходиться всередині спірального атрактора, починає проявляти біфуркаційні властивості. Аналіз автоколивних рухів в системі (30) проводився із залученням техніки біфуркаційних діаграм. Опишемо сценарій розвитку автоколивань при При перетині параметром правої гілки кривої нейтральної стійкості

в точці м'яко народжується стійкий граничний цикл. Амплітуда його зростає із збільшенням , однак при цикл втрачає стійкість, а в його околі з'являється стійкий 2Т цикл. Подальше зростання параметру супроводжується серією біфуркацій подвоєння періоду та виникненням дивного атрактора.

Дослідження зони хаотичних коливань показали, що хаос неоднорідний по своїй структурі в ньому спостерігаються вікна періоду .

Характерна особливість системи (30) проявляється в тому, що вікно періоду має гістерезисний характер (рис 4) при одних і тих самих значеннях параметрів в системі існують два типи автоколивань - періодичне з періодом та хаотичне. Зона співіснування цих режимів обмежена, з одного боку, біфуркацією подвійного граничного циклу, а, з другого - кризою хаотичного атрактора.

Рис. 6 Біфуркаційні діаграми системи (36), отримані при та різних значеннях

В п. 4.5 представлені результати досліджень системи

яка одержується підстановкою анзацу (19) в гідродинамічну систему рівнянь балансу маси та імпульсу, замкнуту динамічним рівнянням стану, що враховує просторову нелокальність та релаксаційні ефекти:

Уявлення про особливості зміни автоколивних розв'язків системи (36) дають дві серії біфуркаційних діаграм, представлені на рис. 5, 6. Перша з цих серій (рис. 5), одержана при та значеннях що лежать в інтервалі , ілюструє таку важливу характеристику системи (36) як самоподібність, що проявляється в пов-торювальності біфуркаційних властивостей на різних масштабах. Друга серія, отримана при та значно більших , відзначається наявністю адитивного каскаду в вікнах періодичності та "жорстким" переходом в хаотичний режим з періоду (рис. 6). При , крім мультиперіодичних та хаотичних, в системі (36) з'являються квазіперіодичні розв'язки, розташовані в площині параметрів біля вісі абсцис (рис. 7). За цих значень параметрів в системі існують двоякоперіодичні траєкторії шильніківського типу (рис. 8), які є образами локалізованих збурень вихідної системи.

Рис. 7 Біфуркаційна діаграма системи (36) в параметричному просторі :

1 - стійкий фокус; 2 - цикл; 3 - тори; 4 - цикли; 5 - хаос; 6 - втрата стійкості.

Рис. 8 Фазовий портрет двоякоасимптотичної траєкторії (а) та зображення

однієї з координат як функції (б).

У п'ятому розділі розглядаються деякі субмоделі гідродинамічної моделі суцільного середовища. Спрощені постановки дозволяють, застосовуючи теоретико-групові методи, отримати сім'ї точних розв'язків. В тих випадках, коли точні розв'язки одержати не вдається, відповідні фактор-системи вивчаються якісними методами.

Досліджується модельна система

яка одержується підстановкою в рівняння балансу імпульсу залежності

Вивчення симетрійних властивостей системи (38) показало, що базовою групою інваріантності для неї є - мірна неперервна група, яка породжується операторами (див. формулу (14)). Симетрія розширюється при певних конкретних значеннях функції . В роботі знайдено 20 випадків розширення симетрії, для яких застосування аналітичних та якісних методів виявилось найбільш ефективним. Розглядалось також питання інваріантного продовження інваріантних ударнохвильових розв'язків в стаціонарну область, розташовану перед фронтом ударної хвилі. Для багатьох фактор-систем розв'язки вдається знайти в явному вигляді, або у вигляді квадратур. Серед розв'язків присутні такі, що залежать від довільних функцій.

Теоретико-групові властивості одномірних рівнянь математичної фізики дуже часто відрізняються від властивостей своїх багатомірних аналогів. Причиною цього є нелінійне збільшення кількості визначальних рівнянь, які одержуються при застосуванні алгоритму пошуків допустимої алгебри Лі, із збільшенням розмірності простору незалежних змінних. Внаслідок цього простори розв'язків одномірних систем мають інколи нескінчену розмірність. В роботі показано, що гідродинамічна система (38) замкнута тетівським рівнянням стану допускає нескінчену групу.

Теорема 7. Система (38) з рівнянням стану

допускає, у випадку одній просторової змінної, нескінченовимірну алгебру, яка окрім галілеєвських операторів , включає такі генератори однопараметричних підгруп:

де довільні розв'язки системи

Той факт, що система (38) допускає нескінченовимірну групу інваріантності дозволяє ставити питання про її зведення до деякої лінійної системи. Виявляється, що нелокальна лінеаризація можлива при довільному рівнянні стану, яке не залежить від . Більш точно, справедлива

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі побудовані континуальні моделі, які описують динаміку ієрархічних середовищ в довгохвильовому наближенні, зокрема гідродинамічна модель середовища з релаксацiйними процесами, які визначаються спiввiдношеннями онзагерiвського типу; гідродинамічна модель середовища з одним релаксацiйним процесом, який визначається узагальненим спiввiдношенням мiж термодинамiчними потоками та силами; тензорна модель середовища з одним релаксацiйним процесом, що визначається спiввiдношенням онзагерiвського типу. Ці моделі відображають такі характерні особливості динамічного навантаження гетерогенних середовищ, як зсув фаз між полями напружень та деформацій, дисперсія швидкості звуку та гістерезис.

Знайдена максимальна група інваріантності гідродинамічної моделі ієрархічного середовища з онзагерівським механізмом релаксаційних процесів в елементах структури. Розв'язана задача групової класифікації відносно невідомих функцій стану та кінетики.

Здійснено теоретико-групову редукцію для гідродинамічної моделі з одним релаксаційним процесом онзагерівського типу, одержано динамічні системи, які описують сім'ї розв'язків вихідної моделі з наперед заданою симетрією. Отримано умови та обмеження на фізичні параметри, за яких існують інваріантні автохвильові режими. Проведено чисельне моделювання еволюції інваріантних розв'язків, показано, що автохвильові інваріантні розв'язки та граничні до них солітоноподібні розв'язки служать проміжними асимптотиками для широкого класу початково-крайових задач. Встановлено, що повна енергія хвильового збурення є критерієм збіжності. Здійснено чисельні експерименти по утворенню когерентних структур в задачі про поршень та зіткнення хвильових фронтів.

Сформульовано умови виникнення інваріантних хвильових структур для узагальнених нелокальних моделей ієрархічного середовища. Складено параметричні портрети та визначено області значень параметрів, що відповідають мультиперіодичним, квазіперіодичним та хаотичним режимам. Виявлено основні відмінності розв'язків динамічних систем, пов'язані з проявами просторової та часової нелокальностей. Показано, що у випадку часової нелокальності хаотизація автохвильових розв'язків відбувається за відомим сценарієм подвоєння періоду, а характерною відміністю дивного атрактора є наявність гістерезису у вікні періоду , в якому співіснують періодичні та хаотичні режими. Дивні атрактори, які асоціюються з ефектами просторової нелокальності мають більш багату структуру. Характерною відмінністю цих об'єктів є самоподібність - сценарій хаотизації при певних значеннях параметрів має тенденцію до повторювальності на різних масштабах. При інших значеннях параметрів спостерігається "жорсткий" режим хаотизації з періоду та наявність в хаотичній області адитивного каскаду. В обох типах нелокальних моделей зустрічаються спіральні атрактори, які породжують складні періодичні та хаотичні режими. Крім того, серед автохвильових розв'язків асоційованих з просторовою нелокальністю є квазіперіодичні режими та двоякоасимптотичні траєкторії шильніківського типу, яким відповідають багатогорбі солітоноподібні збурення. Зазначимо, що некласичні багатогорбі солітони утворюються при сильних землетрусах в літосфері, що має блочно-ієрархічну структуру.

Проведено теоретико-групові дослідження моделей без нелокальності. Розв'язано задачу групової класифікаціях для гомотермічної моделі, одержано умови існування ударнохвильових розв'язків та знайдено деякі точні розв'язки у нелінійному випадку. Показано, що гідродинамична модель з тетівським рівнянням стану має нескінчену симетрію. Знайдено для неї нелокальну лінеаризацію, встановлено нелінійний аналог принципу суперпозиції та вказано загальний розв'язок для чаплигінського рівняння стану.

Складені фазові портрети автомодельних розв'язків для тетівського рівняння стану у випадку плоскої, циліндричної та сферичної симетрій. Показано, що в моделі без нелокальності у цьому класі існують лише нестійкі автохвильові розв'язки.

Таким чином, в роботі запропоновані континуальні моделі, що визначають динаміку ієрархічного середовища в довгохвильовому наближенні. При побудові цих моделей використовувались фундаментальні принципи - симетрія та феноменологічна термодинаміка незворотніх процесів і певні загальні положення щодо перебігу релаксаційних процесів в елементах структури, тому рівняння мають універсальний характер і можуть використовуватись для опису швидкоплинних процесiв в структурованих середовищах в тих випадках, коли є виправданим застосування одношвидкiсної гiдродинамiчної моделi. Аналіз класу розв'язків типу біжучої хвилі в рамках ієрархії вкладених моделей тетівська ляхівська з просторово (часовою) нелокальністю дозволяє простежити процес ускладнення когерентних розв'язків в міру включення до опису нових проявів нелокальності, пов'язаної з наявністю внутрішньої структури.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.