Проте, функції не мають сенсу у границi m ® Ґ. Тому, для явного виконання усереднення, замість них, вводяться конфiгурацiйнi функції

які вже мають граничне значення при m ® Ґ (та термодинамічну границю при L®Сd. У термінах цих функцій вже вдається обчислити, у межах теорії збурень по взаємодії, середні значення бj(x1)...j(xn)с. Наприклад, при n = 1, 2 з точністю до першого порядку по взаємодії, ці середні даються формулами

б j(x) с = б j(x) с0 - lN2(D-d) б j2 с2P

б j(x) j(y) с = б j(x) j(y) с0 - l N 2(D-d) б j2 с2P [ v( x-y ) f2( x,y )/2 +

ND-d ( h(x) ) ].

Тут l - зворотна температура, б j2 с2 - феноменологiчна функція температури, яка пов'язана з флуктуацiєю поля j у відсутності як розупорядкування, так і взаємодії. Середні б j(x) с0, б j(x) j(y) с0 нульового наближення мають вигляд

б j(x) с0 = ND-d бj2сP h(x),

б j(x) j(y) с0 = ND-d б j2 сP ( d(x-y) + f2(x,y) h(x) h(y) ).

Конфiгурацiйнi функції fn(Ч), які входять у ці вирази, обчислюються явним чином у випадку стохастичних фракталiв з маркiвським подрібненням. Наприклад,

f2(x,y) = const б j2 сP [dist(x,y)]D-d,

де const визначається конкретною моделлю стохастичного фракталу та є флуктуацiєю фрактальної міри.

У висновках дисертацiї приводяться основні висновоки виконаної роботи та дається список проблем, вирішення яких, з точки зору дисертанта, дало б великий поштовх для подальшого розвитку теорії фрактально неупорядкованих середовищ.

ОСНОВНI ВИСНОВКИ

Проведено дослiдження по розробцi формалiзму рiвноважної статистичної фiзики фрактально неупорядкованих середовищ у випадку, коли доля об'єму, зайнятого речовиною середовища надто мала в порiвняннi з долею об'єму матрицi. У результаті проведених дослiджень вдалось подолати ряд принципових перешкод, пов'язаних як з описом геометрії стохастично фрактального середовища, так і з побудовою на стохастичних фракталах гiббсiвських випадкових полів, що описують флуктуацiї фізичних величин.

Основнi висновки по роботi можна сформулювати таким чином:

1. Розроблено метод побудови розподiлiв iмовiрностей для стохастичних фракталiв на основi клiткових подрiбнень та введення випадкового масштабного процесу, що описує заповнення клiток точками фракталу.

2. Знайдено клас аналiтичних гамiльтонiанiв скалярного поля на гратках, для якого, при наявності понадгаусового убування розподілу імовірностей для значень поля у фазовому просторi одного вузла, доведено iснування граничних термодинамiчних станів.

3. Показано, що точки фазових переходів у просторі параметрів гамiльтонiану складають множину не загального положення (гiббсiвське правило фаз).

4. Побудовано кластерний розклад для гратчастих систем статистичної мехники з некомпактним фазовим простором та найдено оцінку на область збіжності цього розкладу.

5. Визначено клас моделей стохастичних фракталiв з маркiвським подрібненням.

6. Введено поняття стохастичного фракталу з фрактальною озмiрнiстю, що самоусереднюється.

7. Доведено, що стохастичнi фрактали з маркiвським подрібненням мають стохастичну визначеннiсть.

8. Введено поняття стохастичного фракталу з невипадковим типом фрактальної міри.

9. Доведено теорему про невипадковiсть фрактальної розмiрностi та невипадковiсть типу фрактальної міри для стохастичних ракталiв з маркiвським подрібненням та показано, що ця мiра є D-мiрою Хаусдорфа.

10. Одержано формулу, що виражає фрактальну рoзмiрнiсть через параметри розподілу імовірностей для класу стохастичних ракталiв з маркiвським подрібненням.

11. Доведено теорему про неможливість існування стохастичних фракталiв, що являються одночасно стохастично трансляцiйно інваріантними та самоподібними.

12. Для випадкових величин, якi розподіленi на стохастичному ракталi згiдно з D-мiрою Хаусдорфа, доведено теорему про амоподібну залежність їх від об'єму усереднення.

13. Побудовано формалізм статистичної механіки гiббсiвських випадкових полів на стохастичних фракталах, що являються випадковими точковими полями з маркiвським подрібненням.

14. У межах конструкції статистичної механіки на стохастичному фракталi, побудовано кластерний розклад для характеристичного функцiоналу гiббсiвського випадкового поля.

Список опублiкованих праць за темою дисертацiї.

1. Вирченко Ю.П., Описание фазы с нарушенной симметрией в модели Изинга методом квазисредних.// Теор. и мат. физ.- 1982.- 52.-3.- C.473-490.

2. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., О расходимостях при построении кинетических уравнений.// Теор. и мат. физ.- 1980.- 44.- №2.- C.238-250.

3. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., Огрубленное описание распределения решений уравнения Ланжевена.// Теор. и мат. физ.- 1979.- 41.- №3.- C.406-417.

4. Вирченко Ю.П., Соболева Т.К., Совпадение порогов просачивания Р(с) и Р(н) в двумерных моделях теории перколяции.// Доклады АН УССР сер.А.- 1986.- №10.- C.38-40.

5. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Одновершинность одного класса распределений, связанных с комплексным процессом Орн-штейна-Уленбека.// Доклады АН УССР, сер.А.- 1988.- №1.- C.55-57.

6. Вирченко Ю.П., Половин Р.В., Стохастическое разрушение нарастающей волны при прохождении её через электрически активную среду.// Укр. физ. жур.- 1988.- 33.- №12.- C.1863-1868.

7. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Статистические свойства функционала свёртки от нормального марковского процесса.// Доклады АН УССР, сер.А.- 1988.- №1.- C.14-16.

8. Вирченко Ю.П., Пелетминский С.В., О решениях уравнений динамики спиральных обменных структур.// Теор. и мат. физ.- 1989.- 81.- №3.- C.441-454.

9. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Флуктуации фотоот-счётов суперпозиции гауссовых мод оптического излучения.// Изв. ВУЗов Радиофизика.- 1989.- 32.- №6.- C.784-786.

10. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Распределение средней мощности в линейной системе, возбуждённой белым шумом.// Радотехника и электроника.- 1989.- 35.- №12.- C.2546-2549.

11. Virchenko Yu.P., Grigoriev Yu.P., Equilibrium distribution of the charged particles in the phase space.// Ann. of Phys. (USA).- 1991.- 209.- 1.- P.1-12.

12. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С. Распределение веро-ятностей случайного функционала свёртки от нормального марковского процесса.// Проблемы передачи информации.- 1990.- 26.- №1.- C.96-101.

13. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Существенная одновер-шинность распределения вероятностей случайных квадратичных функционалов.// ДАН УССР, сер.А.- 1990.- №12.- C.3-5.

14. Вирченко Ю.П., Барц Б.И., Моисеев С.С., Устойчивость и сто-хастический параметрический резонанс осциллятора с муль-типликативным шумом.// Укр. физ. жур.- 1992.- 37.- №1.- C.1792-1799.

15. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Существенная одновер-шинность распределений вероятностей случайных квадратичных функционалов.// Кибернетика и системный анализ.- 1992.- №2.- C.172-175.

16. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Одновершинность распр-еделения числа фотоотсчётов гауссовских оптических полей.// Проблемы передачи информации.- 1995.- 31.- №1.- C.83-89.

17. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Статистические свойства кросс-корреляционного функционала от двух марковских нор-мальных процессов.// Изв. ВУЗов Радиофизика.- 1996.- 39 .- №7.- C.916-924.

18. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Распределение кросс-корре-ляционного функционала от двух процессов Орнштейна-Уленбека.// Доповiдi НАН України.- 1996.- № 4.- C.27-30.

19. Вирченко Ю.П., Болотин Ю.Л., Статистика квазиэнергий для регулярного и хаотического режимов в квантовомеханических системах с гамильтонианами, периодически изменяющимися во времени.// Теор. и мат. физ.- 1996.- 108.- №3.- C.431-447.

20. Virchenko Yu.P., Unimodality of photocount distribution for optical noise field.// Journal of Physics A.- 1996.- 29.- № 22.- P.7105 -7111.

21. Virchenko Yu.P., Correlation inequalities for lattice gas statistical models.// Украинский математический журнал.- 1998.- № 6.- C.765-773.

22. Virchenko Yu.P., Exact Unimodality of One-Dimensional Stable Distributions.// Доповiдi НАН України.- 1997.- № 11.- C.74-77.

23. Virchenko Yu.P., Level First Passage Time Distribution Unimodality in Detection Problem.// Доповiдi НАН України.- 1998.- № 12.- C.89-92

24. Virchenko Yu.P., Percolation Mechanism of Material Ageing and Distri\-bution of the Destruction Time.// Functional Materials.- 1998.- 5.- № 1.- C.7-13.

25. Virchenko Yu.P., Dulfan A.Ya., Model of Uniform Stochastic Fractal.// Functional Materials.- 1998.- 5.- № 4.- C.471-474.

26. Virchenko Yu.P., Dulfan A.Ya., Mathematical models of self-similar random fields.// Functional Materials.- 1999.- 6.- № 3.- C.392-409.

27. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A., Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation. I. General theory.// Functional Materials.- 1996.- 3.- № 1.- C.5-11.

28. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A., Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation. II. One-dimensional model analysis.}// Functional Materials.- 1996.- 3.- № 3.- C.312-319.

29. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Домнина И.М., Алгоритм численного нахождения собственных чисел интегрального корреляционного оператора многомерного процесса Орнштейна-Уленбека.}// Автоматизированные системы управления и приб. автоматики.- Вища школа.- 1988.- 87.- C.52-54.

30. Вирченко Ю.П., Домнина И.М., Построение решения стационарного матричного уравнения Ляпунова.}// Вест. ХПИ, техн. киберн. и её прил..- 1989.- 263.- 9.- C.70-72.

31. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Алгоритм численного решения линейного матричного уравнения// АСУ и приборы автоматики.- Харьков.- 1989.- 89.- C.116-117.

32. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Метод функционального интегрирования как средство анализа нелинейных инерционных преобразований гармонических случайных процессов.// АСУ и приборы автоматики.- Харьков.- 1990.- 95.- C.62-69.

33. Вирченко Ю.П. К теории основного состояния обменной модели Гейзенберга. в кн. Проблемы теоретической физики, ред. А.Г.Ситенко.- Киев: Наукова думка.- 1991.- C.80-96.

34. Virchenko Yu.P., Soboleva T.К., Кivshar Yu.S., Kinks in the nongo\-mogeneous medium. in Nonlinear and Turbulent Processes in Physics.- Singapour: World Scientific.- 1990.- P.1343-1351.

35. Virchenko Yu.P., The quasiclassical statistical description of quantum dynamical systems and quantum chaos. in Stochasticity and Quantum Chaos, eds. Zbigniew Haba, Wojciech Cegla, Lech Jakobczyk.- Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.- 1995.- P.258-266.

36. Вирченко Ю.П., Пелетминский С.В. Скобки Пуассона и дифференциальные законы сохранения в теории магнитоупругих сред в кн. Проблемы теоретической физики, ред. А.Г.Ситенко.- Киев: Наукова думка.- 1990.- C.53-77.

37. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Плотность распределения вероятностей энергетического функционала от траекторий стохастического процесса. - М.: ЦНИИ Атоминформ.- 1987.- 26с.

38. Вирченко Ю.П., Корреляционные неравенства в моделях решёточного газа.- препринт ХФТИ.- Харьков.- 1984.- 12c.

39. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., Мазманишвили А.С., Статистика функционалов, опредленных на решениях стохастических дифференциальных уравнений- препринт ДонФТИ-84-8.- Донецк.- 1984.- 16c.

40. Вирченко Ю.П., Пуассоновские среды. в кн. Энциклопедический словарь. Математическая физика.- М.: Российская энциклопедия.- 1997.

41. Вирченко Ю.П., Перколяция. в кн. Энциклопедический словарь. Математическая физика.- М.: Российская энциклопедия.- 1997.

ВIРЧЕНКО Ю.П. "Iмовiрнiстно-феноменологiчний пiдхiд у статистичнiй физицi фрактально неупорядкованих конденсованих середовищ." Рукопис. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.04.02 - Теоретична фiзика. Iнститут монокристалiв НАН України, Харкiв, Україна, 2000.

Дисертація присвячена побудові формалізму рівноважної статистичної фізики неупорядкованих конденсованих середовищ, що являють собою, з геометричної точки зору, стохастичнi фрактали. Статистична механіка флуктуацiй фізичних полів на таких структурах будується на основі гiббсiвських розподілiв імовірностей, по аналогії з рівноважною статистичною механікою систем багатьох тiл. Фізичними прикладами середовищ, якi мають необхідну для застосування формалiзму, що розвивається, структуру, є конденсованi просторово однорідні у середньому макроскопiчнi системи, у яких просторове розподілення речовини сильно змінюється у великому діапазоні масштабів, що лежить між макроскопичними розмірами та типовими міжатомними відстанями. Такими є сильно пористi, дендритнi, гомогенно змiшанi композитні матеріали. У межах роботи вирішуються принципові питання математичної фізики, котрi виникають при iмовiрнiстному описі такого роду структур.

Ключовi слова: статистична механiка, спiввiдношення узгодженостi, гiббсiвське випадкове поле, випадковi точковi множини, простiр занурення, дiнамичнi системи дроблення, стохастична означенicть, стохастична iнварiантнiсть, стохастична самоподiбнiсть, маркiвське подрiбнення, фрактальна розмiрнiсть, фрактальна мiра.

ВИРЧЕНКО Ю.П. "Вероятностно-феноменологический подход в статистической физике фрактально неупорядоченных конденсированных сред." Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по специальности - теоретическая физика. Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, Украина, 2000.

Диссертация посвящена построению формализма равновесной статистической физики неупорядоченных конденсированных сред, представляющих собой, с геометрической точки зрения, стохастические фракталы. Статистическая механика флуктуаций физических полей на таких структурах строится на основе гиббсовских распределений вероятностей, по аналогии с равновесной статистической механикой в системах многих тел. Физическими примерами сред, имеющих необходимую для применения развиваемого формализма структуру, являются конденсированные пространственно однородные в среднем макроскопические системы, у которых пространственное распределение вещества сильно изменяется в большом диапазоне масштабов, лежащем между макроскопическими размерами и типичными межатомными расстояниями. Таковыми являются сильно пористые, дендритные, гомогенно перемешанные композитные материалы. В рамках работы решаются принципиальные вопросы математической физики, возникающие при вероятностном описании такого рода структур.

Ключевые слова: статистическая механика, соотношения согласованности, гиббсовское случайное поле, случайные точечные множества, пространство погружения, динамические системы дробления, стохастическая определённость, стохастическая инвариантность, стохастическое самоподобие, марковское измельчение, фрактальная размерность, фрактальная мера.

VIRCHENKOYu.P., "Probabilistic and phenomenological approach in statistical physics of fractal disorder condensed media." Manuscript. The dissertation on doctor scientific degree of Physics-mathematics sciences, on the speciality 01.04.02 - Theoretical physics. Institute for Single Crystals of National Academy of Sciences, Kharkov, Ukraine, 2000.

The dissertation is devoted to construction of equilibrium statistical physics of strong disorder condensed media, representing, from geometrical point of view, stochastic fractals. The statistical mechanics of fluctuations of physical fields on such structures is built on base of Gibbs' probability distributions, by analogy with the equilibrium statistical mechanics of many-body systems. The physical examples of media possessing the structure necessary for application of developed formalism, are condensed macroscopic systems being spatially uniform on the average and having the space distribution of matter which is changed in large range of scales lying between macroscopic sizes and typical interatomic distances. Such materials are strong porous media, dendrites, homogeneously mixed composites. The following basic problems of mathematical physics connected with probabilistic description of such structures are solved in frameworks of dissertation.

On bases of cellular refinements, the methods of synthesis of stochastic fractal models representing random point sets are developed. It is reached by means of a random "scale" branching process which describes the filling of cells by points belonging to each random realization. It is shown that, at simple particular case, Poisson's point random fields has constructed on the basis of this mathematical instrument.

The fundamental concepts of stochastic translation invariance and of stochastic self-similarity of random sets are introduced. The theorem about impossibility of existence of random sets having simultaneously both of these properties is proven.

The concepts about stochastic fractal with self-averaging fractal dimension and about fractal having the fractal measure of nonrandom type on them are introduced.

Among all possible types of scale processes, the simple uniform markovian process with finite set of ways of branching is considered. Such process determines the class of models of point random sets with Markov refinement. For stochastic fractal of such type, it is proven the theorem about self-averaging of their fractal dimension D and about nonrandom type of fractal measure on it. This measure is Hausdorff's D-measure. Besides, for models of this class, the fractal dimension D as the function of parameters of probability distribution of scale process is calculated.

It is introduced the concept of stochastic definiteness of fractal that asserts natural, from physical point of view, requirement of smallness of probability change at each small moving for all random events connected with the fractal. In connection with this, it is proven that the random sets with Markov refinement have the property of stochastic definiteness.

With the purpose of consideration of physical values distributed on a stochastic fractal, the concept of field on fractal points is introduced. The fields are defined by averaging on the basis of integral on Hausdorff's D-measure on small volumes containing fractal points. In turn, they are random fields on immersion space of fractal. Probability distribution for such random fields induced by probability distribution of stochastic fractal, are constructed. For them, the theorem about their self-similar dependence on sizes of averaging domain is proven.

Further, Gibbs' distributions for random fluctuations of random fields on stochastic fractal are introduced. In the work, the scalar Gibbs' field is considered only. For construction of such class Gibbs' random fields, the space of analytic Hamiltonians being functionals of field realizations is defined. They are expressed as a sum of terms describing multipoint nonlocal interactions of arbitrary order n between fractal points. Each term is presented in the form of n-multiple integral on Hausdoff's D-measure.

The study of statistical systems of such type_is realized on the base of approximate lattice systems being models of the statistical mechanics. With the purpose of development of research apparatus, in frameworks the statistical mechanics, it is introduced the concept of systems determined by functional integral with supergaussian decrease of field distribution in isolated vertex. In this case, the existence of limit thermodynamic states is proven. Besides, Gibbs' "rule of phases" is proven for such systems. It is generalization of theorem of Miracle-Sole and Gallavotti according to which the phase transition points in parameter space of Hamiltonian make the set being not in general position.

With the purpose of calculation of statistical characteristics of random Gibbs' field both on usual lattice and on stochastic fractal, the cluster decomposition for characteristic functional of lattice systems of the statistical mechanics having noncompact one-vertex phase space is constructed. It is estimated the domain of convergence of this decomposition. The decomposition on inverse radius of interaction is constructed and the domain of its convergence is found.

Keywords: statistical mechanics, consistency conditions, Gibbs' random field, random point sets, immersion space, dynamical fragmentation systems, stochastic definiteness, stochastic invariance, stochastic self-similarity, Markov refinement, fractal dimension, fractal measure.

Подписано к печати 18.08.2000г.

Формат 60ґ 84 1/16. Уч.-изд. л. 1,5

Тираж 150. Зак. 31. Бесплатно.

Ротапринт Института монокристаллов

Харьков, пр.Ленина, 60

30-70-97