Придніпровська державна академія будівництва та архітектури

Морозов Геннадій Володимирович

УДК 624.074: 624.953: 519.63

РОЗВИТОК МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ

ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ В ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК

Спеціальність 05.23.17 – Будівельна механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Дніпропетровськ – 2000

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури на кафедрі опору матеріалів, Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

кандидат технічних наук, доцент Красовський Василь Леонідович, доцент кафедри опору матеріалів Придніпровської державної академії будівництва та архітектури.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Гавриленко Георгій Дмитрович, головний науковий співробітник Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН Украіни;

кандидат технічних наук, доцент Скалозуб Владислав Васильович, доцент кафедри комп'ютерних та інформаційних технологій Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту.

Провідна організація:

Дніпропетровський державний університет, кафедра обчислювальної механіки та міцності конструкцій, Міністерства освіти і науки України.

Захист відбудеться " 8 " червня 2000 р. о 15.00

на засіданні спеціалізованної вченої ради Д08.085.02 при Придніпровській державній академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м.Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Придніпровської державної академії будівництва та архітектури за адресою: м.Дніпропетровськ, вул.Чернишевського, 24-а.

Автореферат розісланий 3 травня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Яценко Є.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Необхідність уточнення розрахунку елементів конструкцій та споруд як на етапі проектування, так і на етапі аналізу реального напружено-деформованого стану (НДС) при їх експлуатації, сьогодні не викликає сумнівів. Особлива увага при цьому приділяється розрахунку складних відповідальних об'єктів, руйнування яких, поряд з великими матеріальними збитками, може призвести або до людських жертв, або до екологічної катастрофи. До таких об'єктів можна віднести великогабаритні циліндричні вертикальні резервуари для зберігання нафти і нафтопродуктів, НДС яких залежить від багатьох не тільки конструктивних і технологічних особливостей, але й від експлуатаційних факторів. НДС резервуарів в повному обсязі до сьогодні ще не вивчений. Так, невирішеними залишаються питання впливу на міцність і жорсткість резервуарів осідання їх основи, недостатньо досліджений вплив корозійного зносу на НДС корпусу, початкових геометричних недосконалостей (різнотовщинніть стінки, відхилення форми серединної поверхні від кругового циліндру) і т.д. Для розробки ефективної методики врахування цих факторів актуальним постає питання про розв'язання та детальне дослідження деяких нових задач будівельної механіки тонкостінних конструкцій і, зокрема, задач про НДС циліндричних оболонок при кінематичному самоврівноваженому навантаженні криволінійних країв, про вплив на їх міцність різнотовщинності та початкових недосконалостей.

Світова практика проектування та розрахунку відповідальних споруд показує, що найбільш ефективно задачі міцносної надійності таких об'єктів можуть бути розв'язані в рамках спеціалізованих програмних комплексів, орієнтованих на сучасні ЕОМ. Основним методом, на якому базуються ці комплекси, є, як правило, метод скінченних елементів (МСЕ). В той же час, для широкого кола задач будівельної механіки більш адекватним виглядає метод скінченних різниць (МСР). Однак, провідне положення МСЕ в розрахунковій практиці останніх двох десятирічь призвело до зниження інтенсивності використання МСР, що суттєво уповільнило його розвиток. Так, сталося, що сьогодні МСР не задовольняє вимогам, що пред'являються сучасною розрахунково-обчислювальною практикою. У зв'язку з цим стає актуальним подальший развиток МСР в напрямках як підвищення точності розрахунку, так і прийнятності його до використання в спеціалізованих розрахунково-обчислювальних комплексах, призначених для розв'язання задач будівельної механіки тонкостінних конструкцій, зокрема задач, пов'язаних з розрахунком резервуарів для зберігання нафти та нафтопродуктів.

Мета та задачі досліджень. Мета досліджень заключається в розробці ефективної універсальної чисельної методики розв'язання задач будівельної механіки, пов'язаних з розрахунком великогабаритних вертикальних циліндричних резервуарів, що дозволяє враховувати різні технологічні та експлуатаційні фактори, а також у розрахунку та дослідженні на її основі деяких ще не розв'язаних задач механіки циліндричних оболонок.

Задачі досліджень полягали в:

- розробці програмного комплексу МСР та реалізації в його рамках процедур, що забезпечують автоматизоване високоточне розв'язання різних задач будівельної механіки;

- розв'язанні та дослідженні задач про НДС циліндричної оболонки при силовому та кінематичному навантаженні, яке відображує характер і особливості навантаження стінок великогабаритних резервуарів;

- розробці методики розрахунку НДС стінки резервуару при нерівномірному осіданні його основи.

Об'єктом дослідження є метод скінченних різниць у застосуванні до задач будівельної механіки оболонок та корпусів вертикальних циліндричних резервуарів.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

- розроблено універсальний програмний комплекс МСР, у рамках якого реалізовані нові процедури, що забезпечують автоматизовану побудову моделей МСР та їх наступний розрахунок;

- одержано різницеві співвідношення підвищеної точності на нерівномірній сітці; розроблено процедури, що забезпечують необхідний підбір нерівномірної сіточної області;

- розв'язана та досліджена задача про НДС замкненої циліндричної оболонки при кінематичному самоврівноваженому поздовжньому навантаженні її торців; виявлено низку ефектів у поведінці оболонки, зумовлених видом навантаження та умовами закріплення її торців;

- встановлено, що при поздовжньому кінематичному навантаженні циліндричної оболонки, яка близька до безмоментної, суттєвий вплив на величину напружень чинять малі початкові недосконалості форми серединної поверхні циліндру;

- запропоновано спосіб урахування початкових недосконалостей при оцінці НДС стінки резервуару, обумовлених осадкою основи.

Вірогідність одержаних результатів забезпечена суворістю та коректністю постановок задач, обгрунтованністю використовуваних алгоритмів та процедур розрахунку, апробацією запропонованих методик розрахунку на тестових задачах, що мають точні або наближені розв'язання, дослідженнями збіжності одержаних розв'язань МСР до точних розв'язань, відповідністю одержаних результатів фізичним міркуванням, а також даним спостережень за поведінкою реальних резервуарів і моделей в спеціально проведеному експерименті.

Теоретичне та практичне значення роботи. До теоретично значущих слід віднести нові ефекти, виявлені в поведінці циліндричних оболонок при кінематичному самоврівноваженому навантаженні одного з криволінійних країв, а також у розробці процедури автоматизованої побудови розрахункових моделей МСР, що дозволили використати цей метод як базовий для універсального обчислювального комплексу розрахунку задач будівельної механіки оболонок.

Практичне значенння роботи полягає в можливості безпосереднього використання розробленого обчислювального комплексу МСР для розв'язання широкого кола задач міцності, що виникають як на етапі проектування, так і на етапі аналізу реального стану експлуатуючихся великогабаритних вертикальних резервуарів для зберігання нафти та нафтопродуктів, зокрема для оцінки НДС стінки резервуарів при осадці їх основи.

Впровадження результатів. Розроблений комплекс МСР був використаний при розрахунку НДС реальних резервуарів, що знаходяться в експлуатації на нафтобазах ВАТ "Дніпронафтопродукт".

Особистий вклад пошукача. Уся робота виконана пошукачем самостійно, за винятком загальної постановки проблеми, постановки та аналізу прикладних задач, розрахованих в рамках роботи.

Апробація результатів дисертації. Результати представлених у роботі досліджень доповідались на 10-ти міжнародних і національних наукових конгресах, конференціях та семінарах: на Міжнародній конференції математиків і механіків "GAMM-97", (Бремен, 1997); на міжнародній конференції з легких конструкцій у будівництві "LSCE-1998" (Варшава, 1998); на II Білоруському конгресі по теоретичній та прикладній механіці "Механика-99" (Мінськ, 1999); на Міжнародній конференції "Стародубовские чтения" (Дніпропетровськ, 1999); на 5, 6 і 7-му Українсько-Польских семінарах "Теоретичні основи будівництва" (Дніпропетровськ, 1997, 1999, Варшава, 1998); на Міжвузівському науковому семінарі "Проблеми нелінійної механіки" під керівництвом професорів Е.М.Кваші та А.І.Маневича (Дніпропетровськ, 1998, 1999); на Регіональному науково-методичному семінарі "Актуальные проблемы компьютерной механики" (Дніпропетровськ, 1998).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 наукових робіт.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків, додатка та списку використаних джерел (98 найменувань). Загальний обсяг роботи становить 165 сторінок, у тому числі 78 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано вибір теми роботи, її актуальність. Сформульована мета та задачі досліджень. Наведені дані про наукову новизну, теоретичне та практичне значення одержаних результатів.

Перший розділ присвячений разробці структур і алгоритмів обчислювального комплексу методу скінченних різниць.

1. Розглянуто сучасний стан МСР і особливості використання його при розв'язанні задач будівельної механіки на ЕОМ. Відзначена висока ефективність даного методу при розв'язанні крайових задач. Скінченно-різницеве формулювання чисельного розв'язання диференційних рівнянь задачі сприяє, порівнянно з МСЕ, кращій стійкості та збіжності одержаних результатів. На теперішній час, однак, вказаними перевагами МСР не вдається скористатися у повному обсязі, оскільки більшість операцій методу залишаються не формалізованими і їх, як правило, виконують вручну.

2. Подана структурна схема МСР, на основі якої будується автоматизована обчислювальна система, що дозволяє розв'язувати крайові задачі будівельної механіки, використовуючи різні модифікації МСР. Для побудови даної системи була використана технологія об'єктно-орієнтованого програмування. Формулювання основних операцій та структур МСР в об'єктній формі дозволило виділити базову (абстрактну) складову в структурі методу. Побудова конкретних задач (моделей) МСР виконується шляхом нарощування (наслідування) існуючих абстрактних структур. Побудова моделей складних объєктів здійснюється шляхом конструювання їх з окремих елементів, для кожного з яких визначається своя сіточна область.

3. Розроблено процедури, що автоматизують операції скінченно-різницевого подання вихідних диференційних рівнянь задачі і формування разв'язуючої системи алгебраїчних рівнянь задачі. У цих процедурах скінченно-різницеві вирази похідних третього порядку й вище, а також частинних похідних подаються у вигляді деякої композиції різницевих операторів D1 і D2, що відповідають похідним першого та другого порядку. Операторами D1 і D2 можуть бути різниці звичайної або підвищеної точності на рівномірній та нерівномірній сітці.

4. Побудовані скінченно-різницеві шаблони операторів D1 і D2 звичайної та підвищеної точності на рівномірних і нерівномірних сіткових областях. Подано виводи різницевих виразів як центрального, так і нецентрального типу. Тут певна складність постала в одержанні різниць підвищеної точності на нерівномірній сітці. Вирази для них виявились вельми громіздкими і одержати їх вдалося лише при використанні пакету аналітичних перетворень "Maple".

Для ефективного використання різницевих шаблонів на нерівномірній сіточній області розроблена процедура підбору такої сітки.

5. Вивчені питання, пов'язані з розв'язанням МСР континуальних задач будівельної механіки. Досліджені різні схеми зберігання матричних структур у пам'яті ЭОМ. Запропоновані структури матриць, зберігання яких у пам'яті ЭОМ базується на комбінуванні послідовного та зв'язного розподілення пам'яті.

Досліджені прямі методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) високого порядку, матриця коефіцієнтів яких має стрічковий несиметричний вид. Запропонована процедура розв'язання СЛАР, яка дозволяє часткове зберігання матриці коефіцієнтів у пам'яті ЭОМ.

У другому розділі в рамках розробленого комплексу розв'язані тестові задачі будівельної механіки циліндричних оболонок, досліджене питання збіжності та точності одержаних розв'язань.

1. Побудована одномірна модель МСР задачі осесиметричного навантаження циліндричної оболонки. Розв'язана тестова задача про гідростатичне навантаження вертикальної циліндричної оболонки з жорстким закріпленням її нижнього торця. Для радіального переміщення w і поздовжнього згинаючого момента M1 одержана оцінка відносної похибки розв'язання МСР e = 100%Ч(P*-P)/P* (P – розв'язання МСР, P* – точне розв'язання). Ця оцінка в залежності від безрозмірного параметру (, h – крок сітки, R, t – відповідно радіус і товщина оболонки; m – коефіцієнт Пуассона матеріалу оболонки) подана на рис.1.

Виконане також порівняння збіжності розв'язання на рівномірній та нерівномірній сітках, результати якого відображені на рис.2 у вигляді залежностей похибки e від числа інтервалів n сіткової області.

2. На основі повних лінійних рівнянь теорії циліндричних оболонок, записаних у переміщеннях, побудовані двомірні моделі МСР, для яких за базові різницеві шаблони були використані різниці звичайної та підвищеної точності. Для різниць підвищеної точності розглянуті моделі, у яких подання похідних третього та четвертого порядків виконано на основі: 1) дев'ятиточечних шаблонів; 2) семиточечних шаблонів (випадок рівномірної сітки); 3) п'ятиточечних шаблонів звичайної точності (комбінування різниць звичайної та підвищеної точності). На основі цих моделей досліджена збіжність розв'язання задачі осесиметричного навантаження циліндру в області жорсткого закріпленя його торця (область крайового ефекту). На рис.3 подані графіки залежності похибки розв'язання e від параметру nb (тут позначені: 0 – розв'язання на базі різниць звичайної точності; 1-3 – розв'язання, що відповідає моделям 1-3).

На рис.4 для розглянутих моделей МСР показаний зв'язок похибки (e) і часу розрахунку (t), виконаного на ПЕОМ з процесором AMD-5x86, що відображує їх обчислювальну ефективність. З графіків видно, що найбільш ефективною являється модель 3, яка основана на комбінованому використані різниць звичайної та підвищеної точності.

3. Розглянуто модель МСР оболонки ступінчасто-змінної товщини. Пояси такої оболонки подаються у вигляді макроелементів, кожен з яких є моделлю циліндричної оболонки постійної товщини. Для цих макроелементів за допомогою різницевих операторів записуються граничні умови та умови спряжень. Досліджена збіжність розв'язання в області крайових ефектів (на стиках оболонок різної товщини) при навантаженні ступінчастого циліндру рівномірним внутрішнім тиском. На рис.5 подані залежності похибки розв'язаня e від параметру nb для різних відношень товщин сполучених між собою поясів (t1/ t2).

4. Побудовано також модель МСР циліндричної оболонки, спряженої з кільцем жорсткості. Досліджена збіжність розв'язання цієї моделі при деяких видах навантаження кільця та оболонки.

Третій розділ роботи присвячений розв'язанню задач механіки оболонок, зв'язаних з розрахунком НДС вертикальних циліндричних резервуарів, зокрема, при нерівномірних осадках їх основи.

Осідання основи резервуару викликає зміщення краю його циліндричної стінки. Ці зміщення у процесі експлуатації резервуару підлягають обов'язковому контролю, результати якого після відповідної обробки повинні використовуватись, як вихідні дані для розрахунку. У загальному випадку розглядувані зміщення за допомогою рядів Фур'є можна представити у вигляді суми трьох складових (рис.6): 1) рівномірних зміщень краю оболонки (нульова гармоніка); 2) нерівномірних зміщень краю, пов'язаних з поворотом торця (перша гармоніка); 3) нерівномірних зміщень краю, що виходять з площини торця оболонки (друга та послідуючі гармоніки). Рівномірне зміщення краю відповідає паралельному зміщенню оболонки, як жорсткого цілого, й не впливає на НДС корпуса резервуару.

1. Нерівномірні зміщення краю, що пов'язані з поворотом торця, відповідають крену (нахилу) резервуару. Дзеркало рідини, що зберігається в резервуарі, зостається при цьому горизонтальним й це призводить до збільшення стовпа рідини на частині резервуару, що викликає підвищення внутрішнього гідростатичного тиску і, як наслідок, призводить до збільшення напружень в оболонці. Для аналіза впливу крена на напружений стан корпуса резервуару на базі двомірної моделі МСР були проведені розрахунки циліндричної оболонки на гідростатичне навантаження, яке було доповнене кососиметричною складовою виду , де , R - радіус резервуару, g - густина рідкого продукту і a - крен резервуару. Розрахунки показали, що при малих кутах (до 1о) крен резервуару мало впливає на напруження в корпусі й може не враховуватись. При більших кутах (до 10о) вплив крену, з похибкою не більше 3%, може бути врахований в рамках осесиметричного розв'язання, при якому гідростатичний тиск по всьому периметру оболонки приймається постійним і дорівнює тиску в прямостоячій оболонці, збільшеному на .

2. Нерівномірні зміщення краю оболонки, що відповідають другій та вищим гармонікам ряду Фур'є, викликають в оболонці самоврівноважений напружений стан, який може суттєво вплинути на її міцність. Визначення додаткових напружень, обумовлених цими складовими осадок, зводиться до розв'язання задачі про кінематичне навантаження циліндричної оболонки неоднорідними поздовжніми зміщеннями одного з її країв. З метою вивчення поведінки оболонки при такому навантаженні була розглянута модельна задача, в якій задавались гармонічні переміщення, що мають наступний вигляд:

, (1)

де A – амплітуда поздовжніх зміщень; n – номер гармоніки. Протилежний край оболонки приймався вільним. Граничні умови мали вигляд:

на верхній кромці: N1 = 0, S1* = 0, Q1* = 0, M1 = 0;

на нижній кромці: U = u*, v = 0, w = 0, M1=0.

Тут N1, M1 – нормальне зусилля й згинаючий момент в поздовжньому напрямку; S1*, Q1* - узагальнені зсувні й поперечні зусилля; u, v, w – переміщення оболонки в поздовжньму, коловому та радіальному напрямках, відповідно (див. рис.7).

Задача розв'язувалась на основі двомірної моделі МСР циліндричної оболонки. Виявлено, що при згаданих граничних умовах домінуючими в оболонці є деформації згину. При цьому поздовжні переміщення навантаженого краю, величина яких близька до переміщень, що виникають в реальних конструкціях, викликає на ненавантаженому торці радіальні переміщення, що більш як на порядок перевищують задані переміщення навантаженого краю. Змінність цих переміщень в коловому напрямку відповідає змінності навантаження (рис.8). Зазначимо, що подібний ефект спостерігався у процесі заповнення та зливу деяких резервуарів, тобто тоді, коли саме й відбуваються поздовжні переміщення нижнього краю їх стінок. Крім того, описаний характер поведінки оболонки при такому навантаженні був підтверджений спеціальними експериментами, проведеними на зразках, виготовлених з цупкого паперу.

3. Встановлено, що збільшення амплітуди заданих поздовжніх зміщень і довжини оболонки веде до пропорційного підвищення радіальних переміщень і внутрішніх зусиль на вільному торці циліндру. При фіксованій геометрії оболонки та фіксованій амплітуді поздовжніх зміщень величина розглядуваних радіальних переміщень пропорційна квадрату змінності навантаження.

4. При розглянутому навантаженні НДС оболонки суттєво залежить від граничних умов на її ненавантаженому краю. В таблиці 1 подані максимальні значення радіального прогину (w), нормальних поздовжніх (N1), колових (N2) і дотичних (S1) зусиль, поздовжніх (M1) і колових (M2) згинаючих моментів, еквівалентних напружень згідно з IV-ю теорією міцності (sIV), одержаних при розрахунках оболонки для різних умов закріплення її країв. Максимальні значення цих характеристик реалізувались в околі навантаженого нижнього (н) або ненавантаженого верхнього (в) країв оболонки.

Таблиця 1. Переміщення, зусилля та напруження в оболонці при різних

граничних умовах (R = H = 10 м, R/t = 1000, A = t , n = 2)

Граничні умови (верх / низ) Переміщення, зусилля та напруження

w (мм) N1 (кН) N2 (кН) S1 (кН) M1 (кНЧм) M2 (кНЧм) s IV (МПа)

N1 = 0, S1 = 0, Q1 = 0, M1 = 0; u = u*, v = 0, w = 0, M1 = 0 40.0 (в) 0.770 (н) 2.92 (в) 0.435 (н) 0.0641 (в) 0.0213 (в) 1.53 (в)

N1 = 0, S1 = 0, Q1 = 0, M1 = 0; u = u*, v = 0, w = 0, wў = 0 39.9 (в) 3.30 (н) 58.9 (в) 5.13 (н) 0.614 (н) 0.184 (н) 32.9 (в)

U = 0, S1 = 0, Q1 = 0, M1 = 0; u = u*, v = 0, w = 0, M1 = 0 17.0 (в) 2060 (н,в) 615 (н) 26.8 (н) 1.27 (н) 0.383 (н) 250 (н)

N1 = 0, v = 0, Q1 = 0, M1 = 0; u = u*, v = 0, w = 0, M1 = 0 2.34 (н) 2090 (н) 625 (н) 1180 (н) 0.556 (н) 0.168 (н) 225 (н)

N1 = 0, v = 0, w = 0, wў = 0; u = u*, v = 0, w = 0, wў = 0 2.09 (н) 2090 (н) 625 (н) 1050 (н) 1.67 (н) 0.501 (н) 274 (н)

Безмоментне розв'язання (верх: N1 = 0, v = 0) 3.05 (н) 2090 (н) - 1050 (н) - - 182 (н)

З цих даних видно, що жорстке закріплення верхнього краю зумовлює кардинальну зміну характеру НДС оболонки, який з суттєво моментного (у випадку вільного краю) переходить в стан, близький до безмоментного. Це проявляється у різкому зниженні величини радіальних переміщень і згинаючих напружень і такому ж різкому збільшенні (більш як на два порядки) мембранних напружень. Найбільш важливим фактором з числа граничних умов, що зумовлюють такий стан оболонки, є обмеження колових переміщень ненавантаженого краю.

5. Для розглядуваної задачі досліджений вплив на НДС оболонки підкріплення ненавантаженого краю пружним кільцем, центрально розміщеним відносно обшивки. Визначено параметри кільця прямокутного перерізу, що забезпечують умови на ненавантаженому торці, близькі до жорсткого закріплення.

6. Оскільки при жорсткому закріпленні ненавантаженого краю реалізується напружений стан оболонки, близький до безмоментного, тому розглядувана задача була розв'язана також у рамках безмоментної схеми (останній рядок табл.1). Причому, для даної задачі, поряд з розв'язанням МСР, було одержано також розв'язання в тригонометричних рядах. З таблиці видно, що умовою прийнятності такого розв'язання є рівність нулю колових переміщень ненавантаженого торця (v = 0). 7. Проведено розрахунок напруженого стану стінки реального резервуару об'ємом 20000 м3, для якого мала місце осадка основи (рис.9). Корпус резервуару діаметром 39.0 м складався з 9 поясів, висота яких становила 2.0 м, а товщина – від 17.0 до 7.0 мм. Оскільки конструкція покриття для резервуарів розглядуваного типу забезпечує умови на верхньому краю стінки, близькі до жорсткого закріплення, тому при визначенні напружень, зумовлених осадкою основи, використовувалась безмоментна розрахункова схема. Враховуючи, що осадки основи для реальних резервуарів проявляються, коли він заповнений, безмоментний НДС, пов'язаний з осадкою основи (рис.10), доповнював основний НДС, зумовлений гідростатичним тиском (значення напружень, одержаних по двох розрахунках, додавались).

Розрахунки показали, що максимальні мембранні напруження, зумовлені осадкою (s1) склали 44% від еквівалентних мембранних напружень (sекв). При цьому максимальні значення sекв виявились суттєво більшими реальних напружень, діючих в корпусі резервуару. Встановлено, що при визначенні значень s1 така невідповідність пов'язана з неурахуванням початкових недосконалостей серединної поверхні стінки резервуару. Вплив недосконалостей на величину напружень у даному випадку пов'язаний з особливістю постановки цієї задачі, яка заключається в тому, що навантаженнями є не зусилля, а переміщення (кінематичне навантаження). При такій постановці (на відміну від силового навантаження) початкові недосконалості, збільшуючи податливість оболонки, можуть призвести (порівняно з ідеальною оболонкою) до вельми суттєвого зниження мембранних напружень. Зазначимо, що у випадку силового навантаження недосконалості геометрії, не впливаючи на мембранні напруження, призводять до збільшення переміщень. Початкові недосконалості стінок резервуарів розглядуваного класу мають вид пологих хвиль (з малою амплітудою) в поздовжньому і коловому напрямках, а також достатньо великих хаотично розташованих випучин і вм'ятин. Оскільки вирішальним для розглядуваної задачі є зниження жорсткості оболонки на розтяг-стиск у поздовжньому напрямку, то для оцінки впливу початкових недосконалостей на мембранні напруження використовувалась модель недосконалої оболонки у вигляді поперечно гофрованого циліндру зі слабким синусоідальним гофром. Ця модель найбільш проста, тому що зменшення поздовжньої жорсткості такого циліндру залежить тільки від амплітуди гофра (А). Розрахунок описаної моделі був виконаний у рамках конструктивно-ортотропної теорії безмоментних оболонок. Аналіз результатів заміру недосконалостей стінки резервуарів досліджуваного типу показав, що величина А може змінюватись у межах t - 5t (де t - товщина поясу оболонки). Урахування цих недосконалостей призводить до того, що внесок напружень s1 в максимальні еквівалентні напруження при А=t знижується до 30% і при А=5t до 3%. Таким чином, початкові недосконалості корпусу, що вносять певний вклад у переміщення нижнього краю резервуару при осадці його основи, можуть суттєво знизити напруження s1 (в принципі до нуля). Зазначимо, що при розрахунку конкретного резервуару величина А повинна задаватись на основі аналізу результатів обмірів твірних корпусу цього резервуару. Вибір величини А являє собою достатньо складну й самостійну задачу, яка може бути розв'язана тільки в результаті комплексного експериментально-теоретичного дослідження.

8. Для реальних резервуарів, поряд зі ступінчатою зміною товщини стінки, характерна також зміна товщини у межах кожного поясу. Ці зміни пов'язані як з неточностями в товщині прокатного листа, що використовується для виготовлення стінки резервуару, так й з її корозійним зносом. Для урахування таких недосконалостей стінки була розроблена модель циліндричної оболонки з товщиною, що змінюється довільним чином. Проведені розрахунки НДС стінки реального резервуару з урахуванням її корозійного зносу.

9. В рамках обчислювального комплексу були виконані дослідження НДС циліндричної оболонки, що зазнає радіальне кінематичне навантаження, прикладене по невеликій прямокутній області. Даний вид навантаження моделював вплив на НДС стінки резервуару примикаючого до нього трубопроводу. Були розглянуті декілька варіантів такого кінематичного навантаження. Встановлено, що така дія може суттєво вплинути на міцність резервуару, оскільки викликає великі мембранні напруження біля краю оболонки.

ВИСНОВКИ

Основні наукові та практичні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. Розроблено універсальний програмний комплекс розв'язання крайових задач будівельної механіки методом скінченних різниць. У рамках комплексу реалізована структурна схема, що дозволяє на базі єдиної системи розв'язувати задачі різного класу. При цьому можуть бути використані різні модифікації МСР, різницеві схеми та види сіткових областей. Універсальність системи була досягнута шляхом використання при її реалізації технології об'єктно-орієнтованого програмування.

2. Розроблені процедури, що автоматизують операції МСР по скінченно-різницевому поданню вихідних диференційних рівнянь і формуванню на їх основі розв'язуючої системи лінійних алгебраїчних рівнянь крайової задачі.

3. Для одержання розв'язань МСР, що мають високу збіжність, одержані різницеві співвідношення диференційних операторів підвищенної точності для нерівномірної сітки та розроблений алгоритм підбору нерівномірної сітки.

4. З метою забезпечення достатньої точності одержуваних розв'язань та високої швидкості розрахунків розроблено структури та процедури розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності.

5. Ефективність програмного комплексу продемонстрована при розв'язанні задач будівельної механіки оболонок, пов'язаних з розрахунком корпусів великогабаритних вертикальних циліндричних резервуарів для зберігання нафти та нафтопродуктів.

6. Розв'язано та детально досліджено задачу про напружено-деформований стан замкненої циліндричної оболонки при кінематичному самоврівноваженому поздовжньому навантаженні одного з криволінійних країв. При цьому виявлено низку ефектів, що пов'язані з впливом на поведінку оболонки умов закріплення ненавантаженого краю, зокрема, "ефект вільного краю", який полягає в значних радіальних переміщеннях ненавантаженого краю, зумовлених незначними поздовжніми переміщеннями, заданими на протилежному торці.

7. Виявлені умови закріплення ненавантаженого краю, що відіграють найбільш важливу роль у визначенні напружено-деформованого стану оболонки при кінематичному самоврівноваженому поздовжньому навантаженні протилежного краю. Встановлено, що накладання більш жорстких граничних умов призводить до збільшення мембранних та еквівалентних напружень, які досягають максимальних значень для оболонки, близької до безмоментної (випадок обмеження тангенціальних переміщень v=0).

8. Виявлено, що при поздовжньому кінематичному навантаженні оболонки, яка близька до безмоментної, суттєвий вплив на величину напружень чинять малі початкові недосконалості форми серединної поверхні циліндру.

9. У рамках безмоментної розрахункової схеми конструктивно-ортотропної теорії оболонок виконано розрахунок напруженого стану корпусу реального великогабаритного вертикального циліндричного резервуару, що зазнає нерівномірних осадок основи. Початкові недосконалості геометрії були враховані шляхом зміни поздовжньої жорсткості оболонки на розтяг-стиск, величина яких визначалась параметрами пологого поперечного синусоїдального гофра, моделюючого реальні початкові недосконалості.

10. Розв'язані деякі задачі, пов'язані з оцінкою міцності реальних резервуарів, що знаходяться в експлуатації у ВАТ "Дніпронафтопродукт".

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ПОШУКАЧА

За результатами дисертаційної роботи опубліковано 10 робіт:

1. Морозов Г.В. Влияние крена на напряженное состояние стенки стальных вертикальных резервуаров большого объема // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. –Дніпропетровськ. –1998. –№6 . –С.35-38.

2. Морозов Г., Биленко П., Красовский В. О влиянии краевого эффекта на напряженное состояние ступенчатых цилиндрических оболочек //Теоретичнi основи будiвництва (Придніпровська державна академія будівництва та архітектури).– Днiпропетровськ. –1999. –Вип.7. –С.147-153. (Здобувачем отримані розв'язуючі співвідношення задачі, розроблена та реалізована розрахункова програма).

3. Морозов Г.В. Использование динамических списков в матричных алгоритмах решения задач строительной механики// Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. –Дніпропетровськ. –1999. – №11. –С.48-55.

4. Морозов Г.В. Автоматизация конечно-разностного представления дифференциальных уравнений при решении краевых задач методом сеток //Проблемы современного материаловедения. Материаловедение, строительство и отраслевое машиностроение. –Днепропетровск. –Вып.8. –Часть 2. –1999. –С. 62-68.

5. Морозов Г.В. О некоторых проблемах решения систем линейных алгебраических уравнений в среде Windows //Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. –Дніпропетровськ, –1999. - №2 . -С.34-37.

6. Krasovsky V.L., Morozov G.V. Stresses in a wall of steel vertical cylindrical tanks under foundation subsidence // Lightweight Structures in Civil Engineering. Proceedings of International Colloquium. –Warsaw. –1998. –P.131-136. (Здобувачем отримані розв'язуючі співвідношення задачі, розроблена розрахункова програма, проведені розрахунки та виконано аналіз отриманих результатів).

7. Морозов Г.В. Об одном подходе к автоматизации решения задач математической физики методом конечных разностей // Theoretical Foundations of Civil Engineering. – Warsaw. –1998. –№6. –C. 515-522.

8. Красовский В.Л., Морозов Г.В. Влияние осадок основания на напряженное состояние стенки стальных вертикальных цилиндрических резервуаров // Theoretical Foundations of Civil Engineering. – Warsaw. –1997. –№5. –С.133-138. (Здобувачем отримані розв'язуючі співвідношення задачі, розроблена розрахункова програма і проведені розрахунки).

9. Krasovsky V.L., Morozov G.V. Influence a subsidence of the ground on a stress state of steel vertical cylindrical tanks wall // Gesellschaft fur Angewandte Mathematik und Mechanik. Annual Meeting. Book of Abstracts. – Bremen. –1998.–P.72. (Здобувачем отримані розв'язуючі співвідношення задачі, розроблена розрахункова програма і проведені розрахунки).

10. Морозов Г.В. К автоматизации процедур метода конечных разностей //Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике "Механика-99". –Минск. –1999. –С.390-391.

АНОТАЦІЯ

Морозов Геннадій Володимирович. Розвиток методу скінченних різниць та його використання в прикладних задачах теорії циліндричних оболонок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 – Будівельна механіка. - Придніпровська державна академія будівництва та архітектури. Дніпропетровськ, 2000.

У работі розглядається низка питань, пов'язаних зі створенням ефективної чисельної методики розв'язання задач будівельної механіки, що виникають при розрахунку великогабаритних стальних вертикальних циліндричних резервуарів, і досдідженням на її основі деяких задач статики циліндричних оболонок. Розроблено універсальний розрахунковий програмний комплекс, що базується на методі скінченних різниць (МСР), в якому реалізовані нові процедури, що забезпечують автоматичну побудову моделей МСР та їх розрахунок на основі різниць підвищеної точності. В рамках комплексу розв'язані та досліджені задачі про напруженно-деформований стан циліндричних оболонок змінної товщини при силовому та кінематичному, радіальному та поздовжньому навантаженні. При самоврівноваженому поздовжньому кінематичному навантаженні криволінійного краю оболонки виявлено ряд важливих ефектів, зумовлених видом навантаження та умовами закріплення торців. Результати досліджень були використані на практиці при оцінці впливу осадки основи великогабаритних резервуарів на напруження, що виникають в їх стінках.

Ключові слова: метод скінченних різниць, розрахунковий комплекс, циліндрична оболонка, кінематичне навантаження, напружено-деформований стан, резервуар, осадки основи

АННОТАЦИЯ

Морозов Геннадий Владимирович. Развитие метода конечных разностей и его применение в прикладных задачах теории цилиндрических оболочек. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 - Строительная механика. - Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры. Днепропетровск, 2000.

В работе рассматривается круг вопросов, связанных с созданием эффективной численной методики решения задач строительной механики, возникающих при расчете стальных крупногабаритных вертикальных цилиндрических резервуаров, и исследованием на ее основе некоторых задач статики цилиндрических оболочек.

Разработан универсальный программный комплекс решения краевых задач механики методом конечных разностей. В рамках комплекса реализована структурная схема, позволяющая на базе единой системы решать задачи различного класса. При этом могут быть использованы различные модификации МКР, разностные схемы и виды сеточных областей. Универсальность системы была достигнута путем использования при ее реализации технологии объектно-ориентированного программирования.

Разработаны процедуры, автоматизирующие операции МКР по конечно-разностному представлению исходных дифференциальных уравнений и формированию на их основе разрешающей системы линейных алгебраических уравнений краевой задачи.

Для получения решений МКР, имеющих высокую сходимость, для неравномерной сетки получены разностные соотношения дифференциальных операторов повышенной точности и разработан алгоритм подбора неравномерной сетки. С целью обеспечения достаточной точности получаемых решений и высокой скорости расчетов разработаны структуры и процедуры решения системы линейных алгебраических уравнений большой размерности.

Эффективность программного комплекса продемонстрирована при решении задач строительной механики оболочек, связанных с расчетом корпусов крупногабаритных вертикальных цилиндрических резервуаров для хранения нефтепродуктов, в частности, при неравномерных осадках их оснований.

Осадка основания резервуара, вызывающая смещения края его цилиндрической стенки, с помощью рядов Фурье представляется в виде суммы трех составляющих: 1) равномерных по периметру смещений края оболочки (нулевая гармоника); 2) неравномерных смещений края, связанных с поворотом торца (первая гармоника); 3) неравномерных смещений края, выходящих из плоскости торца оболочки (вторая и последующие гармоники).

Неравномерные смещения края оболочки, отвечающие второй и более высоким гармоникам ряда Фурье, вызывают в оболочке самоуравновешенное напряженное состояние, которое может оказать существенное влияние на ее прочность. Решена и детально исследована задача о напряженно-деформированном состоянии замкнутой цилиндрической оболочки при кинематическом самоуравновешенном продольном нагружении одного из криволинейных краев. При этом обнаружен ряд эффектов, связанных с влиянием на поведение оболочки условий закрепления ненагруженного края, в частности, "эффект свободного края", заключающийся в существенных радиальных перемещениях ненагруженного края, обусловленных незначительными продольными перемещениями, заданными на противоположном торце.

Выявлены условия закрепления ненагруженного края, играющие наиболее важную роль в определении напряженно-деформированного состояния оболочек при рассматриваемом виде нагружения. Установлено, что наложение более жестких граничных условий приводит к увеличению мембранных и эквивалентных напряжений, которые достигают максимальных значений для оболочки, близкой к безмоментной (случай ограничения тангенциальных перемещений v=0).

Проведен расчет напряженного состояния стенки реального резервуара объемом 20000 м3, для которого имели место осадки основания. Обнаружено, что при продольном кинематическом нагружении оболочки, которая близка к безмоментной, существенное влияние на величину напряжений оказывают малые начальные несовершенства формы серединной поверхности цилиндра. В рамках безмоментной расчетной схемы конструктивно-ортотропной теории оболочек выполнен расчет напряженного состояния корпуса реального крупногабаритного вертикального цилиндрического резервуара, испытывающего неравномерные осадки основания. Начальные несовершенства геометрии были учтены путем изменения продольной жесткости оболочки на растяжение-сжатие, величина которого определялась параметрами пологого поперечного синусоидального гофра, моделирующего реальные начальные несовершенства.

Проведены расчеты НДС стенки реального резервуара с учетом ее коррозионного износа. Выполнены исследования НДС цилиндрической оболочки, испытывающей радиальное кинематическое нагружение, приложенное по небольшой прямоугольной области. Установлено, что существенное влияние на напряжения в оболочке оказывает толщина накладки, через которую передается кинематическое нагружение.

Ключевые слова: метод конечных разностей, вычислительный комплекс, цилиндрическая оболочка, кинематическое нагружение, напряженно-деформированное состояние, резервуар, осадки оснований

SUMMARY

Morozov Gennadij Vladimirovich. Development of Finite Difference Method and its application in applied problems of cylindrical shell theory. – Manuscript.

Thesis for degree of candidate of technical sciences on speciality 05.23.17 – Structural Mechanics. – Prydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture, Dnipropetrovsk, 2000.

Development of effective numerical methods for solving the structural mechanics problems is considered. These problems appear at the calculation of large steel vertical cylindrical tanks, and on the base of proposed methods some problems of statics of cylindrical shells studied. The universal computing program package is designed, based on the Finite Difference Method (FDM), in which the new procedures that ensure automatic construction of FDM models and their calculation on the base of differences of higher precision, are elaborated. Within the framework of the program the problems of calculating stress-strain state of cylindrical shells of variable thickness under static and kinematic radial and longitudinal loads are solved and investigated. The number of important effects that take place under the self-balanced longitudinal kinematic loading of curvilinear edge of shells are revealed, connected with loading type and edge support conditions. The results of the study were used for practical evaluation of influence of foundations subsidence of large tanks on stresses appearing in their walls.

Keywords: finite difference method, program packege, cylindrical shell, kinematic load, stress-strain state, tank, foundations subsidence.