НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНЕ КОСМІЧНЕ АГЕНСТВО УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КОСМІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

ХАРИТОНОВ ОЛЕКСІЙ МИХАЙЛОВИЧ

УДК 629.7.015

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І ОПТИМІЗАЦІЯ ПЕРСПЕКТИВНИХ КОСМІЧНИХ РУШІЙНИХ СИСТЕМ ВЕЛИКОЇ ТЯГИ

01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ-2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Кіфоренко Борис Микитович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри механіки суцільних середовищ.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Крак Юрій Васильович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики.

доктор фізико-математичних наук, професор Ладіков-Роєв Юрій Павлович, Інститут космічних досліджень НАН і НКА України, завідувач відділу.

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

Захист відбудеться "2" листопада 2000 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.205.01 в Інституті космічних досліджень НАН і НКА України за адресою 03022 Київ 22, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту космічних досліджень НАН і НКА України.

Автореферат розісланий "27" вересня 2000 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат технічних наук Куссуль Н.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасними науковими прогнозами передбачається, що основними напрямками діяльності людства в сфері опанування космосом в найближчі десятиліття стануть дослідження планет Сонячної системи, створення й експлуатація орбітальних комплексів і бази на Місяці. Таке розширення масштабів дослідження космічного простору неминуче приведе до значного збільшення вантажних потоків між Землею і навколоземними орбітами, орбітами Землі і інших планет. Ефективне розв’язання нових задач, що постають перед космонавтикою, неможливе без впровадження принципово нових типів рушійних систем (РC) космічних апаратів (КА). В останнє десятиліття особливу увагу дослідників з різних сфер науки привертають ядерні і перспективні рідинні ракетні двигуни великої тяги. Це пояснюється, в першу чергу, високим рівнем технічної реалізації цих РС, який дозволить їх використання вже під час здійснення пілотованих експедицій на Марс і Місяць, що плануються на період 2010-2020рр.

На сучасному етапі розвитку космонавтики одночасно з проблемами створення нової техніки постають і проблеми максимально ефективного її використання. Протягом 1960-1970-х років сформувалася сучасна механіка космічного польоту, основу якої складають роботи В.В. Бєлєцького, Г.Л.Гродзовського, В.І. Гурмана, Т.М. Енеева, Т.Н. Едельбаума, В.А. Єгорова, Ю.Н. Іванова, В.А. Ільїна, В.К. Ісаєва, Дж. Келлі, П. Контенсу, В.Ф. Кротова, Г.Є. Кузмака, Дж. Лейтмана, Д.Ф. Лоудена, А.М. Льотова, Ж-П. Марека, А.Мієлє, Д.Є. Охоцимського, В.В. Токарєва. Предметом цієї галузі науки є сукупна оптимізація траєкторій, керувань та параметрів КА, призначених для виконання заданих маневрів. Аналіз наукових робіт з механіки космічного польоту, присвячених дослідженню ефективності застосування перспективних РС великої тяги, показує, що переважну кількість аналітичних результатів отримано на основі єдиної математичної моделі, що об'єднує усі типи РС великої тяги. Отже, питання аналітичного дослідження впливу специфічних особливостей РС великої тяги на ефективність їх використання практично лишається відкритим.

З усього сказаного вище випливає актуальність теми дисертації – дослідження оптимального керування робочими процесами у перспективних РС великої тяги на основі нових математичних моделей, з одногу боку більш точних, ніж класичні, а з другого – достатньо простих для ефективного застосування сучасних методів аналітичного дослідження, таких як теорія оптимального керування.

Зв'язок теми дисертації з плановими дослідженнями. Відображені у дисертації результати досліджень були використані при проведенні планових наукових досліджень Київського університету імені Тараса Шевченка по фундаментальній темі Мінвузу України "Дослідження особливостей та інваріантних співвідношень в задачах оптимального керування" (№ ДР 0195U030532) та по фундаментальній темі ДКНТ "Розробка методів розрахунку та створення математичного забезпечення для систем керування аерокосмічними апаратами нового покоління" (№ ДР 0193U040762) та увійшли до звітів по цих темах.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова нових математичних моделей перспективних РС великої тяги, дослідження властивостей оптимального керування РС на основі створених моделей і аналіз ефективності застосування отриманих законів у порівнянні з законами керування, відомими раніше.

Для досягнення мети в роботі розв’язуються такі задачі.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

При розв'язанні вказаних задач використовуються методи теорії оптимального керування, теорії оптимальних особливих керувань, теорії диференціальних рівнянь, механіки космічного польоту, системного аналізу.

Наукова новизна отриманих результатів

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Практичне значення одержаних результатів В роботі побудовано нові математичні моделі перспективних РС великої тяги, що дозволяють враховувати основні специфічні особливості окремих типів РС вже на етапах попереднього аналізу ефективності їх застосування, виконуючи його методами сучасної теорії оптимального керування.

Встановлені основні властивості оптимального керування РС на основі ЯРД і РРД можуть служити основою для побудови моделей РС як об'єктів керування, адекватніших ніж відомі.

Запропоновані нові підходи до розв’язання задач оптимізації перельотів орбіта ШСЗ – сфера впливу дають змогу проводити розрахунок оптимальних міжпланетних траєкторій КА з ЯРД, ураховуючи масові витрати на виконання маневру більш точно, ніж при застосуванні класичної імпульсної апроксимації.

Алгоритми апроксимації основних характеристик оптимально керованого РРД і алгоритм параметричної оптимізації РС, розроблені у роботі, можуть використовуватися при виконанні інженерних розрахунків на попередніх етапах проектування.

Отримані результати можуть служити базовим матеріалом при розробці нових спеціальних курсів для студентів і магістрів спеціальності "Механіка, прикладна математика".

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертаційної роботи опубліковано 7 наукових праць [1-7]. У тому числі 4 -в наукових журналах, 2 - в збірках праць та 1 - в тезах доповідей міжнародних наукових конференцій. Всі основні результати дисертації одержані автором особисто і достатньо відображені у роботах [1-7]. В роботі [1] постановка задачі була здійснена Б.М.Кіфоренком, аналіз оптимального керування і розв’язання задачі проведені автором самостійно. В роботі [2] Б.М. Кіфоренку належить постановка задачі, аналіз результатів виконувався спільно, розв’язання задачі проведено автором самостійно. У роботі [4] Б.М. Кіфоренком доведено твердження 1., решта роботи виконана автором самостійно. У роботі [5] Б.М. Кіфоренку належить розробка методики моделювання, І.Ю. Васильєвим проведена частина роботи по створенню програмного забезпечення, решта роботи виконана автором самостійно. У роботі [7] Б.М. Кіфоренку належить постановка задачі, розв’язання задачі виконане автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на таких міжнародних наукових конференціях, конгресах та симпозіумах: 3-я Международная конференция "Прикладные проблемы механики жидкости и газа". (1994р., м.Севастопіль, Україна);. The 46-th International Astronautical Congress (IAС-95) (1995р., м.Осло, Норвегія); The 4-th Ukraine-Russia-China Symposium on Space Science and Technology (1996р., м. Київ, Україна).

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу чотирьох розділів основної частини, висновків, списку використаних літературних джерел та додатків. Повний обсяг дисертації - 147 сторінок. Додатки А і Б. займають 3 сторінки. Робота містить 17 рисунків. Список використаних джерел налічує 102 найменування.

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема розкривається сучасний стан досліджень, пов'язаних з проблемами математичного моделювання і оптимізації законів керування РС великої тяги; обгрунтовується актуальність теми дисертації; формулюється мета роботи. Наведено стислий аналіз основних результатів роботи, відзначено їх наукову новизну, достовірність та практичне значення; вказується на публікації, що відображають ці результати і на особистий внесок здобувача у роботах, виконаних у співавторстві.

В першому розділі приведений короткий аналіз сучасного стану проблеми математичного моделювання перспективних РС великої тяги і оптимізації законів керування КА, що мають такі РС. Приведений огляд наукових праць за темою дисертаційної роботи.

В другому розділі приводиться постановка основної задачі механіки космічного польоту як варіаційної задачі (Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. - М.: Наука, 1975.- 704 с.). Обговорено проблеми побудови математичних моделей РС великої тяги.

Система диференціальних рівнянь руху центру мас КА записується у вигляді:

(1)

де і - радіус-вектор і вектор швидкості центру мас КА, - поточне значення маси КА; - функції керування ( - секундна масова витрата робочого тіла, - ефективна швидкість витікання, - одиничний вектор напрямку тяги), - головний вектор сил аеродинамічного опору, - головний вектор гравітаційного прискорення.

Вважається, що маса КА складається з маси корисного навантаження , маси запасу робочого тіла і маси РС :

(2)

З точки зору механіки космічного польоту, побудова математичної моделі РС зводиться до формалізованого представлення залежностей витрати , швидкості витікання і маси РС від векторів керувань і параметрів :

(3)

а також- до опису множин допустимих керувань і параметрів:

(4)

Якщо проаналізувати необхідні умови оптимальності керування в системі (1), інваріантні відносно крайових умов і функціонала задачі Майєра, то з вигляду гамильтоніана

(5)

де спряжені функції, зробимо висновок, що припущення про оптимальність режиму з максимальним значенням , яке апріорно приймається в більшості робіт з механіки польоту КА з двигунами великої тяги, виправдане тільки в разі виконання певних умов стосовно моделі РС. Такою умовою є, наприклад, спільна точка максимума для залежностей і . Вказане припущення суттєво звужує можливості управління рухом КА, залишаючи орт напрямку тяги і величину секундної масової витрати єдиними функціями керування. Виконаний в цьому розділі критичний аналіз справедливості класичного припущення про оптимальність максимального значення стимулював проведену у наступних розділах роботу, спрямовану на побудову нових моделей двигунів великої тяги, які відображають способи керування робочими процесами в РС більш адекватно до можливостей сучасної і перспективної космічної техніки.

В третьому розділі побудовано нову математичну модель перспективного оптимально керованого РРД, що працює на двокомпонентній паливній суміші. На відміну від класичних робіт з механіки космічного польоту, в яких вважалося, що керування РРД здійснюється шляхом незалежного регулювання тяги і ефективної швидкості витікання, в основу цієї моделі покладено більш адекватний особливостям РС опис процесу керування - шляхом незалежного регулювання секундних масових витрат компонентів паливної суміші. Модель оптимально керованого РРД побудовано за рахунок інваріантного звуження множини допустимих керувань. При цьому використано відоме твердження про необхідну належність оптимального керування границі множини допустимих керувань (Кифоренко Б.Н., Даулетов Г.К. Аналитическое исследование оптимального управления составом рабочего тела // Труды IX научн.чтений пам. С.П.Королева.-М.: - 1987.-С. 100-109.).

В термінах даної моделі рівняння руху центру мас КА мають вигляд:

(6)

де - залежність витрати окислювача від витрати пального на границі множини допустимих керувань; - залежність тяги двигуна від витрати пального на границі множини допустимих керувань; - дискретна функція керування, що відповідає за переключення з активних ділянок на пасивні і навпаки.

Керування називаються допустимими, якщо для них виконані умови:

(7)

де - тиск у камері згоряння, який відповідає керуванням - максимально допустимий тиск у камері; . Перша умова пов'язана із обмеженнями на роботу газогенераторів.

Рис.1 Загальний вигляд множини допустимих керувань

Рис.2 Загальний вигляд залежностей

Загальний вигляд множини допустимих керувань наведено на рис.1.

Як випливає з результатів Б.М. Кіфоренка, оптимальне керування може належати лише ділянці границі цієї множини, на якій досягається максимально допустимий тиск у камері згоряння. Масова формула двигуна має вигляд:

(8)

де - об’єм камери згоряння.

Використовуючи загальний вигляд залежностей , і (рис.2), досліджено інваріантні відносно крайових умов і функціонала задачі Майєра властивості оптимального керування КА, рух центру мас якого описується системою (6). Доведено наступну теорему.

Теорема 1 Рух по активних дугах оптимальних траєкторій системи (6) може відбуватися тільки внаслідок такого керування витратою пального u(t) і окислювача w(t), яке відповідає максимально допустимому значенню тиску у камері згоряння () при зміні витрати пального в межах від мінімально можливого значення до значення, що відповідає максимуму ефективної швидкості витікання ().

На основі описаної вище математичної моделі сформульовано і розв'язано модельну задачу про максимізацію кінцевої швидкості КА при вертикальному підйомі в однорідному гравітаційному полі. Вважалося, що двигун працює на паливній суміші "кисень-водень". За допомогою принципа максимума Понтрягіна знайдено рівняння, якому задовольняє оптимальне керування секундною масовою витратою пального:

(9)

де стала інтегрування спряженої системи.

Доведено, що оптимальне керування може приймати значення тільки з відрізку. На цьому відрізку залежності і з достатньою точністю було апроксимовано, відповідно, поліномом третього і другого порядку. Прийняття вказаної апроксимації дозволило знайти розв'язок задачі в квадратурах.

Ефективність оптимального керування витратами компонентів паливної суміші показано шляхом порівняння значень функціоналу, які відповідають оптимальному керуванню зі значеннями, отриманими при застосуванні традиційного керування з постійним значенням співвідношення компонентів, оптимального при використанні класичних моделей РРД. Залежність ефективності у відсотках (Ef,%), яка обчислювалася по формулі , де - значення кінцевої швидкості, які відповідають оптимальному і традиційному законам керування, відповідно, від безвимірної маси корисного навантаження і бакового коефіцієнту при оптимальних параметрах рушійної системи і стартовій масі т. показано на рис.3. При цьому приймалося (відношення бакових коефіцієнтів обернено пропорційне відношенню густин відповідних компонентів паливної суміші).

Рис.3. Ефективність оптимального керування витратами компонентів паливної суміші.

Як свідчить цей рисунок, керування витратами найбільш виправдане для ракет з невеликими значеннями корисного навантаження і важкими баками. При оптимальному заправленні КА загальні значення ефективності оптимального керування невеликі.

В роботі показано, що кращих результатів слід очікувати при відхиленні заправочного співвідношення від оптимальних значень, що може трапитись, наприклад, у аварійних ситуаціях, пов'язаних з частковою втратою запасу одного або обох компонентів до початку виконання маневру. Якщо початкові параметри КА відповідають оптимальній програмі, єдина можливість виконати маневр в цьому випадку полягає у скиданні до початку виконання маневру частини корисного навантаження, а можливо - і частини запасу того компоненту палива, надлишок якого з’явився внаслідок аварії.

Розглянуто задачу про мінімізацію початкового скидання корисного навантаження при розгоні КА до заданої швидкості при вертикальному підйомі в однорідному гравітаційному полі. У такому випадку інтервал можливого положення оптимального керування суттєво розширюється у відповідності до міри порушення розрахункових умов, що обумовлює недостатню точність апроксимації залежності поліномами невисоких порядків або іншими достаньо простими функціями. Тому за відрізок апроксимації взято відрізок (рис.2). На цьому відрізку достатню для попередніх розрахунків точність можна досягти шляхом апроксимації залежності кубічним сплайном.

Рис.4. Залежність ефективності оптимального керування від втрати окислювача.

Рис.5. Залежність ефективності оптимального керування від втрати пального.

На рис.4, 5 приведено криві, які відображають залежність ефективності оптимального керування від втрати окислювача (рис.4) і втрати пального (рис.5). На цих рисунках: , - максимальні значення збереженого корисного навантаження при застосуванні оптимального і традиційного керування витратами, відповідно; (рис.4), (рис.5), , - початкові втрати, відповідно, пального і окислювача, - маси початкових запасів, відповідно, пального і окислювача. Розрахунки проведені для КА з стартовою масою 500т. Суцільні криві відповідають розрахунковому значенню маси корисного навантаження =25т., штрихпунктирні - =50т., штрихові - =100т.

Як випливає з цих рисунків, ефективність застосування оптимального керування витратами компонентів зростає зі збільшенням втрат пального або окислювача. Переваги оптимального керування стають особливо помітними при наближенні до граничних значень втрат (вони відповідають вертикальним асимптотам кривих, наведених на рис.4, 5), при переході за які маневр не може бути виконаним з використанням традиційного нерегульованого двигуна. Застосування регульованого двигуна забезпечує розширення діапазону значень втрат, в якому можливе виконання маневру, в середньому на 5-7% від початкового запасу компонента.

У четвертому розділі побудовано нову математичну модель ЯРД, якою, на відміну від класичних моделей, враховуються такі специфічні особливості ЯРД як обмеження на швидкість зміни температури робочого тіла на вході в сопло, пов’язані із обмеженістю термічних напружень в активній зоні реактора та необхідність витрачання робочого тіла, а отже і можливість генерування тяги в процесі розхолоджування реактора. В термінах даної моделі рух центру мас КА описується трьома системами рівнянь руху, які відповідають руху на активних дугах, дугах розхолоджування і пасивних дугах:

(9)

(10)

(11)

де фазові координати виражають, відповідно, поточні значення температури робочого тіла на вході в сопло, тривалості i-ої активної дуги і часу, що пройшов з моменту її початку; функції керування і - поточні значення теплової потужності реактора і швидкості зміни температури на вході в сопло; - моменти початку -ої активної дуги, -ої дуги розхолоджування і -ої пасивної дуги, відповідно. Рівняння (9)-(11) записані в безвимірних змінних.

Вираз для потужності на дузі розхолоджування має вигляд:

(12)

де - середня потужність на активній дузі, що безпосередньо передувала даній дузі розхолоджування; - масштаб часу.

Тривалість дуги розхолоджування є неявною функцією тривалості активної дуги, що їй передувала, і задається рівнянням:

(13)

де - мінімальна потужність, до якої охолоджування реактора повинно здійснюватися за рахунок витрачання робочого тіла.

Множина допустимих керувань і обмеження на фазові координати задаються системою нерівностей:

(14)

де, - масштаб маси, - максимальне значення секундної витрати робочого тіла, [кг/с], - фазовий вектор, - вектор керувань.

Загальний вигляд проекції множини (14) на площину TN показаний на рис.6.

Рис.6. Проекція множини допустимих керувань на площину TN

Виконано аналіз інваріантних відносно крайових умов і функціонала задачі Майєра властивостей оптимального керування для системи (9)-(11). Застосовуючи апарат необхідних умов оптимальності у формі принципу максимума Понтрягіна для систем з розривними правими частинами і обмеженнями на фазові координати доведено наступну теорему:

Теорема 2. Регулярні оптимальні траєкторії системи (9)-(11) характеризуються наступними інваріантними відносно крайових умов і функціонала задачі Майєра властивостями:

1. Після виходу на режим з максимальною тягою (, рис.6) оптимальним може бути тільки керування, якому відповідають значення температури робочого тіла на вході в сопло з відрізку , обмеженого точками максимумів тяги і ефективної швидкості витікання.

2. Схід з границі , на якій досягається максимум швидкості витікання, або переключення керування до виходу на цю границю можуть відбуватися тільки на дузі, вздовж якої модуль базис-вектора Лоудена строго монотонно зростає на певному відрізку часу.

З використанням сучасної теорії особливих оптимальних керувань було проаналізовано можливості виникнення дуг особливого керування вздовж оптимальної траєкторії. Встановлено, що особливе керування має нескінченний порядок виродженості. Знайдено особливе керування,

(15)

що задовольняє необхідній умові оптимальності Келлі.

Отримані інваріантні властивості оптимального керування КА з ЯРД було використано під час аналізу оптимального керування у модельних задачах механіки польоту. Для класичних задач про розгін КА до максимальної швидкості і про набір КА максимальної висоти доведено такі теореми:

Теорема 3 Екстремальні програми керування у задачі про розгін КА з ЯРД до максимальної швидкості при вертикальному підйомі в однорідному гравітаційному полі мають вигляд:

(16)

Теорема 4. Екстремальні програми керування у задачі про набір КА з ЯРД максимальної висоти при вертикальному підйомі в однорідному гравітаційному полі мають вигляд:

(17)

де

(18)

Ефективність оптимального керування знайдено шляхом порівняння значеннь функціоналів, отриманих внаслідок застосування отриманих оптимальних законів керування зі значеннями, що відповідають урахуванню режиму розхолоджування лише за рахунок відкидання маси робочого тіла, необхідного для розхолоджування, і керуванню, оптимальному при описі рушійної системи класичною моделлю, спільною для всіх РС великої тяги (Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. - М.: Наука, 1975. – 704 с.) (протягом усього маневру підтримується максимальне значення потужності реактора).

Рис.7. Залежність ефективності оптимального керування від відносної кінцевої маси КА

Залежності ефективності оптимального керування яка підраховувалася по формулі ( - значення кінцевої швидкості, що відповідають оптимальному і класичному керуванню) у задачі про розгін КА до максимальної швидкості в безсиловому полі () від кінцевої маси, віднесеної до початкової , при різних значеннях початкової маси КА з ЯРД приведені на рис. 7. Вплив особливостей роботи ЯРД, які на відміну від класичних моделей, враховані побудованою у роботі моделлю, є в деяких випадках (малі і великі значення кінцевої маси) досить значним, а при значеннях , більших 0.9, навіть переважним, що ставить під сумнів можливість застосування класичних моделей в таких випадках.

Рис.8. Залежність ефективності оптимального керування від значення відносної кінцевої маси КА m1 і величини прискорення вільного падіння g.

На рис.8 приведено залежність ефективності оптимального керування для задачі про набір максимальної висоти від значення кінцевої маси КА, віднесеного до значення початкової маси і величини прискорення вільного падіння g. Ефективність обчислювалася шляхом порівняння оптимальних значень функціоналу () зі значеннями , що відповідають закону керування оптимальному для класичної моделі при неурахуванні тяги на ділянці розхолоджування: . Як випливає з рис.8, ефективність оптимального керування зростає зі збільшенням кінцевої маси (збільшенням впливу керування на ділянці розгону реактора, відносна тривалість якої при цьому зростає) і спадає зі збільшенням величини g. Останній факт пояснюється наближенням оптимальної програми керування до програми з максимальним значенням потужності протягом усього маневру, яка є оптимальною для класичної моделі.

Також в цьому розділі було розглянуто задачі оптимізації перельотів з орбіт штучних супутників Землі на сферу впливу. Дослідження саме цих задач пояснюється тим, що класичні методи розрахунку траєкторій міжпланетних перельотів, що спираються на імпульсну апроксимацію активних дуг, для КА з ЯРД будуть мати меншу точність, ніж для КА з РРД, оскільки тягоозброєність останніх двигунів значно більша. У випадку старту з високих навколоземних орбіт було застосовано метод транспортуючої траєкторії, алгоритм якого відрізняється від класичного (Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. - М.: Наука, 1975. – 704 с.) можливістю оптимізації точок старту і наведення. Було проведено аналітичне та чисельне дослідження необхідних умов оптимальності. Встановлено вигляд однієї з екстремальних програм керування:

(19)

З метою аналізу ефективності оптимального керування значення функціоналу (маси корисного навантаження), отримані внаслідок застосування програми (19), було порівняно зі значеннями, отриманими за допомогою імпульсної апроксимації і програми керування, оптимальної для класичної моделі РС.

На рис.9 приведено залежність ефективності від висоти орбіти старту horb (у тисячах кілометрів) і швидкості vS КА на границі сфери впливу (у кілометрах в секунду). Ефективність обчислювалася за формулою: , де - значення корисного навантаження, отримані, відповідно, внаслідок застосування програми (19) і внаслідок застосування імпульсної апроксимації. Як випливає з рис.9, ефективність застосування методу транспортуючої траєкторії зменшується зі зменшенням висоти орбіти старту, що пояснюється посиленням збурень гравітаційного прискорення, пов’язаних з відхиленням від транспортуючої траєкторії. Зростання ефективності зі збільшенням значення швидкості на сфері впливу пояснюється посиленням впливу дуги розхолоджування за рахунок збільшення тривалості цієї дуги. В цілому, невеликі значення ефективності підтверджують правомочність застосування імпульсної апроксимації при розв’язанні цієї задачі для високих орбіт старту.

Рис.9. Ефективність застосування методу транспортуючої траєкторії у порівнянні з класичною імпульсною апроксимацією

Очевидно, що іншого слід очікувати при старті з низьких орбіт, де зміна сили гравітації продовж активної дуги буде більш суттєвою. У випадку старту з низьких орбіт для опису руху на активних дугах було застосовано модель центрального однорідного гравітаційного поля, рух на дугах розхолоджування опиcано за допомогою моделі центрального ньютонівського гравітаційного поля. Проведено аналітичне та чисельне дослідження необхідних умов оптимальності. Знайдено одну з екстремальних програм керування. Вона має вигляд цілком аналогічний вигляду регулярної програми (17).

Рис 10. Ефективність застосування моделі центрального однорідного гравітаційного поля у порівнянні з класичною імпульсною апроксимацією.

Ефективність оптимального керування оцінювалася так само, як у випадку старту з високих орбіт. Залежність ефективності від висоти орбіти старту і швидкості на сфері впливу приведено на рис.10. Зростання ефективності зі збільшенням значення швидкості на сфері впливу і зменшенням висоти орбіти старту пояснюється посиленням впливу ділянки розхолоджування за рахунок збільшення тривалості цієї ділянки. В цілому, достатньо суттєві значення ефективності, говорять про те, що закони керування, отримані за допомогою імпульсної апроксимації, досить далекі від оптимальних у випалку старту з низьких орбіт.

ВИСНОВКИ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

АНОТАЦІЇ

Харитонов О.М. Математичне моделювання і оптимізація перспективних космічних рушійних систем великої тяги. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень. Інститут космічних досліджень НАН України і Національного космічного агенства України, Київ, 2000.

Дисертацію присвячено побудові нових математичних моделей перспективних космічних рушійних систем (РС) великої тяги (РС на основі ядерних (ЯРД) і перспективних рідинних ракетних двигунів (РРД)), аналізу оптимального керування цими РС і дослідженню ефективності отриманих законів керування у порівнянні з законами, відомими раніше. Побудовано нову математичну модель оптимально керованого РРД з незалежною подачею компонентів паливної суміші. Проведено інваріантне відносно крайових умов і функціоналу задачі Майєра звуження множини допустимих керувань, розроблено алгоритми апроксимації основних характеристик РС, а також алгоритм параметричної оптимізації РС. Побудовано нову математичну модель ЯРД, якою, на відміну від моделей регульованих ЯРД, відомих раніше у механіці польоту, враховуються обмеження на швидкість зміни температури робочого тіла на вході в сопло, а також тяга на ділянці розхолоджування реактора. Доведено теорему про інваріантні відносно крайових умов і функціонала задачі Майєра властивості оптимального керування. Побудовані математичні моделі використано при розв’язанні ряду модельних задач механіки польоту, на прикладі яких досліджено ефективність отриманих законів керування.

Ключові слова: математичне моделювання, механіка космічного польоту, рідинний ракетний двигун, ядерний ракетний двигун, оптимальне керування.

Харитонов А.М. Математическое моделирование и оптимизация перспективных космических двигательных систем большой тяги. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ и теория оптимальных решений. Институт космических исследований НАН Украины и Национального космического агенства Украины, Киев, 2000.

Дисертация посвящена построению новых математических моделей перспективных космических двигательных систем (ДС) большой тяги (двигательных систем на основе ядерных (ЯРД) и перспективных жидкостных ракетных двигателей (ЖРД)), исследованию свойств оптимального управления этими ДС в задачах механики космического полёта и анализу эффективности применения полученных программ управления в сравнении с программами, известными ранее.

Построена новая математическая модель оптимально управляемого ЖРД с возможностью независимого управления секундными массовыми расходами компонентов топливной смеси. С использованием принципа максимума Понтрягина проведено инвариантное относительно краевых условий и функционала задачи Майера сужение множества допустимых управлений до множества допустимых управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Разработаны алгоритмы аппроксимации зависимостей основных характеристик оптимально управляемого ЖРД от секундных массовых расходов компонентов топливной смеси, а также алгоритм параметрической оптимизации ДС.

Эффективность полученных оптимальных программ управления исследована при решении основных модельных задач механики полета. Показано, что эффективность оптимального управления секундными массовыми расходами компонентов топлива особенно существенна при выполнении маневров, характеризующихся неоптимальным начальным заправочным соотношением, например в аварийных ситуациях, связанных с частичной утечкой топлива до начала выполнения маневра.

Построена новая математическая модель ЯРД, учитывающая, в отличие от моделей регулируемых ЯРД, использовавшихся в механике космического полёта ранее, ограничения на скорость изменения температуры рабочего тела на входе в сопло, связанные с ограниченностью термических напряжений в активной зоне реактора, а также возможность генерирования тяги на режиме расхолаживания реактора. Управление работой ДС осуществляется за счет регулирования тепловой мощности реактора и скорости изменения температуры рабочего тела на входе в сопло.

В терминах данной модели движение центра масс космического аппарата с ЯРД описывается системой дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, множество допустимых управлений является переменным, на фазовые координаты наложены ограничения.

С использованием аппарата необходимых условий оптимальности на основе принципа максимума для систем с разрывными правыми частями и теории особых оптимальных управлений проведен качественный анализ свойств оптимального управления ЯРД в задачах механики полёта. Доказана теорема об инвариантных относительно краевых условий и функционала задачи Майера свойствах оптимального управления. Найден общий вид особого управления скоростью изменения температуры рабочего тела на входе в сопло, удовлетворяющего необходимому условию оптимальности Келли.

Построенная модель ЯРД использовалась при постановке и исследовании ряда модельных задач механики полёта. Для задач о наборе максимальной скорости и максимальной высоты доказаны теоремы о составе оптимальных траекторий. Проведенное исследование эффективности полученных законов управления показало, что преимущества оптимального управления над управлением, оптимальным в случае использования классических моделей механики космического полёта, наиболее существенны при выполнении маневров, характеризующихся незначительным расходом рабочего тела и несущественным влиянием гравитационных сил (маневры коррекции орбит).

Предложены новые подходы к решению задач оптимизации перелетов орбита искусственного спутника Земли – сфера влияния, основывающиеся на применении метода транспортирующей траектории при старте с высоких орбит и модели центрального однородного гравитационного поля при старте с низких орбит. Для этих задач найдены отдельные программы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности. Установлено, что при старте с орбит, высота которых меньше 1000 км., применение указанных подходов обеспечит достаточно существенную экономию топлива (3-4%) по сравнению с применением классической импульсной аппроксимации активных дуг.

Ключевые слова: математическое моделирование, механика космического полёта, ядерный ракетный двигатель, жидкостный ракетный двигатель, оптимальное управление.

Kharytonov O.M. Mathematical modeling and optimization of perspective high-thrust rocket engines for space vehicles. – Manuscript.

Thesis for a Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.05.04 – system analysis and optimal decision theory. – Space Research Institute of of National Academy of Science and National Space Agency of Ukraine.

Dissertation is devoted to the development of mathematical models of perspective high-thrust rocket engines, the analysis of optimal control and the investigation of it’s effectiveness. Nuclear (NRE) and perspective liquid rocket engines (LRE) are under consideration. The new mathematical model of optimal controllable LRE with propellant components mass flow rates independent regulation has been constructed. The admissible control set contraction that is invariant to Mayer’s problem functional and boundary conditions, has been carried out. It makes it possible to approximate the main engine characteristics by simple analytical functions. The engine parameter optimization algorithm is developed. The new mathematical model of NRE has been constructed. Quite opposite to known mathematical models of controllable NRE such NRE features as reactor cooldown and the restrictions on working body temperature rate of regulation are taken into account by given model. The theorem about optimal control properties that are invariant to Mayer’s problem functional and boundary conditions has been proved. To analyze the effectiveness of the optimal control a number of space flight mechanics model problems are investigated with the help of presented models.

Key words: mathematical modeling, space flight mechanics, liquid rocket engine, nuclear rocket engine, optimal control.