Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем
механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

ЗАСАДНА ХРИСТИНА ОМЕЛЯНІВНА

УДК 539.3

ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ РЕЖИМІВ НАГРІВАННЯ
ТА ТЕРМОНАПРУЖЕНОГО СТАНУ
НЕОДНОРІДНИХ І ТЕРМОЧУТЛИВИХ ТІЛ

Спеціальність 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Львів –2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики
ім. Я.С. Підстригача НАН України, м.Львів.

Науковий керівник – | доктор фізико–математичних наук, професор

Вігак Василь Михайлович,

завідувач відділу Інституту прикладних проблем механіки
і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів

Офіційні опоненти – |

доктор фізико–математичних наук, професор
Василенко Анатолій Тихонович,

головний науковий співробітник Інституту механіки
ім.С.П.Тимошенка НАН України, м.Київ

доктор фізико–математичних наук, професор
Осадчук Василь Антонович,

завідувач кафедри Державного університету
“Львівська політехніка”, м.Львів

Провідна установа – | Львівський національний університет ім.Івана Франка,
кафедри механіки та інформаційних систем, м. Львів

Захист відбудеться 22 вересня 2000 року о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79601, м. Львів, МСП, вул. Наукова, 3–Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79601, м.Львів,МСП, вул. Наукова, 3–Б.

Автореферат розісланий 18 серпня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико–математичних наук |

Шевчук П.Р.

Загальна характеристика роботи

Актуальність роботи. Оптимізація технологічних процесів нагрівання елементів конструкцій і вузлів при їх виготовленні та експлуатації пов’язана з визначенням функцій керування – внутрішніх чи зовнішніх джерела тепла та забезпеченням при цьому відповідних критеріїв оптимізації – мінімуму часу нагрівання, мінімальні затрати енергії, заданий розподіл температури або термонапружень в кінці режиму нагрівання. Крім того, технологічні процеси нагрівання часто накладають необхідність виконання додаткових обмежень на параметри температурного режиму – максимальну чи мінімальну температуру тіла, максимальний перепад температур, максимальний градієнт температурного поля, середньоінтегральну температуру в тілі, а також на параметри напружено–деформованого стану – температурні переміщення, компоненти тензора напружень чи деформацій, приведені напруження, які випливають з відповідного критерію міцності.

Теоретичні дослідження з питань постановки та розв’язування задач оптимального нагрівання твердих тіл виконані в працях Ю.Н.Андрєєва, Я.Й.Бурака, А.Г.Бутковського, В.М.Вігака, Є.І.Григолюка, Г.Дюво, Ю.В.Єгорова, Ж.–Л.Ліонса, Я.С.Підстригача, В.П.Путятіна, Е.Я.Рапопорта, Т.К.Сіразетдінова, Ю.Г.Стояна, Е.П.Чубарова та ін. Переважна більшість досліджень задач оптимального керування нестаціонарними температурними режимами твердих тіл проводилась у припущенні однорідності їх матеріалів. Задачі оптимального керування нагріванням однорідних тіл при обмеженнях на фазові координати (параметри температурного режиму та термонапруження), критерієм оптимізації в яких виступає мінімізація часу нагрівання тіла, розглядались у роботах Б.М.Бублика, Л.Д.Величка, А.Х.Вирка, О.Р.Гачкевича, В.Я.Данілова, Є.А.Клестова, В.С.Колєсова, А.В.Костенка, С.О.Малого, А.С.Матвєєва, В.В.Мелюкова, М.Г.Огульника, Ю.С.Постольника, Б.М.Распопова, А.А.Углова, І.І.Федика, О.М.Шаблія, А.В.Ясінського, E.D.Eymana, U.Mackenrotha, T.Tsacheva та ін. Аналогічні задачі оптимізації нагрівання неоднорідних тіл розглядались В.М.Вігаком, М.Б.Вітером, В.С.Колєсовим, А.В.Костенком, О.Н.Шаблієм та ін.

У зв’язку з тим, що в останні роки в машинобудуванні набули поширення неоднорідні матеріали та матеріали, фізико–механічні характеристики яких залежать від температури, актуальними є задачі оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами в неоднорідних та термочутливих тілах. Ефективним методом розв’язування таких задач оптимізації є запропонований і розроблений Я.С.Підстригачем та В.М.Вігаком метод зведення задач оптимального за швидкодією керування нагріванням тіла до обернених задач теплопровідності та термопружності з класичними або некласичними граничними умовами, що випливають з додаткових умов, які накладаються на фазові координати. Суть даного методу полягає в тому, що нагрівання тіла виконується по границі обмежень, заданих на функцію керування та фазові координати. Важливо, що внаслідок нелінійності обмежень на напруження, нелінійності критеріїв для допустимих напружень, залежності фізико–механічних характеристик матеріалу тіла від температури задачі оптимального керування і, відповідно, обернені задачі термопружності є суттєво нелінійними.

Достатні умови оптимальності за швидкодією керування нагріванням однорідних та неоднорідних термопружних тіл при обмеженнях на параметри температурного режиму й напружено–деформованого стану, які дозволяють звести розв’язування задачі оптимізації до розв’язування обернених задач теплопровідності та термопружності, були отримані Л.Д.Величком, В.М.Вігаком, М.Б.Вітером і А.В.Костенком.

Зв’язок з науковими темами. Теоретичні і практичні результати, які склали основу роботи, отримані здобувачем як виконавцем державних бюджетних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я..С.Підстригача НАН України, а саме: “Розвиток методу оберненої задачі теплопровідності і термопружності стосовно до оптимізації термонапруженого стану і температурних режимів елементів конструкцій” (№ д.р.01.87.0067376), “Оптимізація керування термопружнопластичним напруженим станом та температурними режимами в неоднорідних тілах на основі методу оберненої задачі термомеханіки” (№ д.р.01.93.U009588).

Мета дослідження. Метою роботи є обгрунтування і розвиток методу обернених задач теплопровідності та термопружності для побудови оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами в неоднорідних та термочутливих (фізико–маханічні характеристики яких залежать від температури) твердих тілах за допомогою внутрішніх і зовнішніх джерел тепла при обмеженнях на керування і параметри теплового режиму та термонапруженого стану; розробка на цій основі алгоритмів і чисельних методик визначення оптимального керування та температурних режимів; побудова і дослідження розв’язків низки нових одновимірних задач оптимізації нагрівання таких тіл при обмеженнях на термонапруження.

Наукова новизна одержаних у дисертації результатів.

- Узагальнено стосовно термочутливих тіл теорему про достатні умови оптимального за швидкодією керування нестаціонарним температурним режимом неоднорідних тіл. На цій основі розв’язання задачі оптимального керування зведено до оберненої задачі теплопровідності та термопружності і розроблено методику побудови оптимального за швидкодією керування нестаціонарним режимом нагрівання термочутливих тіл для різного типу обмежень на фазові координати.

- Розвинуто метод оберненої задачі теплопровідності і термопружності стосовно розв’язування задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами термочутливих тіл при обмеженнях на керування та параметри температурних режимів і термонапруженого стану. Для реалізації розв’язків вказаних нелінійних задач оптимізації розроблена чисельна методика.

- З використанням чисельного методу скінченних різниць розроблено методику розв’язування нелінійних задач оптимального керування за допомогою внутрішніх джерел тепла в однорідних та неоднорідних тілах. При цьому розвинуто: метод правої прогонки для чисельного розв’язування крайової задачі теплопровідності з граничними умовами третього роду, в яких похідні апроксимуються трьохточковими несиметричними різницями; метод прогонки для складних систем стосовно розв’язування різницевих схем обернених задач теплопровідності і термопружності у випадку вказаної апроксимації похідних в граничних умовах. Запропоновано також модифікацію методу розв’язування різницевої схеми оберненої задачі термопружності для випадку, коли в поставленій задачі оптимізації має місце нелінійне обмеження на рівень напружень, що дає змогу розв’язувати системи різницевих рівнянь, в яких одне з рівнянь є нелінійним.

- На основі розроблених алгоритмів і чисельної методики побудовано розв’язки низки нових нелінійних задач оптимального за швидкодією керування одновимірними температурними режимами нагрівання неоднорідних і термочутливих тіл (шару, циліндра та кулі) при обмеженнях на керування та квазістатичні термонапруження.

Обгрунтованість і достовірність отриманих у дисертаційній роботі результатів забезпечується: строгим обгрунтуванням зведення розв’язування задач оптимального за швидкодією керування нагріванням пружних неоднорідних і термочутливих тіл до коректних прямих і обернених задач теплопровідності та термопружності; використанням апробованих методик та стійких, збіжних числових методів розв’язування прямих і обернених задач теплопровідності та термопружності; узгодженням отриманих чисельних розв’язків задач оптимізації для деяких частинних випадків з відомими, в тому числі отриманими аналітичним методом.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх застосування при автоматизації та підвищенні продуктивності технологічних процесів керування нестаціонарними температурними режимами виготовлення сучасних елементів конструкцій та перехідними тепловими режимами певних вузлів енергетичного устаткування. Розроблені числові методики розв’язування поставлених задач оптимізації придатні для дослідження прямих та обернених одновимірних задач теплопровідності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл. При цьому методика визначення одновимірного нестаціонарного температурного режиму за зада-ними напруженнями може знайти пряме використання для задач відтворення реальних темпера-турного режиму й термонапруженого стану певних елементів конструкцій за допомогою експери-ментально заміряних температури і деформацій на доступній для вимірювання поверхні тіла.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної праці отримані автором самостійно. Загальний напрям досліджень був сформований науковим керівником. Роботи [6, 7, 10, 11, 13–15] опубліковані без співавторів. У роботах [1–5], опублікованих спільно з В.М.Вігаком та А.В.Костенком, науковому керівнику належать постановки задач, другому співавтору – основні ідеї методик розв’язування прямих та обернених задач теплопровідності та термопружності. У спільних роботах з А.В.Костенком [8,16] останньому належить формулювання достатніх умов оптимального за швидкодією керування нагріванням термочутливих твердих тіл, автору – їх узагальнення. У спільних роботах з іншими співавторами їм належать: Я.Л.Лісевичу [12] – результати, що стосуються оптимального керування нагріванням і термонапруженим станом пружних анізотропних тіл (у дисертації не використовуються); М.І.Свириді [9] – результати, що стосуються побудови оптимального за швидкодією керування двовимірними нестаціонарними температурними режимами однорідних тіл (у дисертації не використовуються); М.Й.Юзв’яку [17] – результати, що стосуються оптимального керування температурними режимами тіл з деформуванням в області пружнопластичності (в дисертації не використовуються). У працях, які написані в співавторстві [1–5,9,12–15,17] автору належать теоретичне обгрунтування методики, розробка алгоритмів і програм числових розрахунків і проведення на їх основі досліджень.

Апробація результатів дисертації. Результати даної роботи доповідались і обговорювались на 11 і 12 конференціях молодих вчених ІППММ АН України (Львів, 1985, 1987), II i III Всесоюзній конференціях з механіки неоднорідних структур (Львів, 1987, 1991), Всесоюзній конференції “Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций” (Тарту–Кяеріку, 1989), Міжнародній математичній конференції, присв’яченій пам’яті Ганса Гана (Чернівці, 1994), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), Міжнародній науковій конференції “Nonlinear Partial Differential Equations”, присв’яченій Лере Шаудеру (Львів, 1999).

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 9 статей, з них 8 у рецензованих наукових журналах з переліку, затвердженого ВАК України; депоновано 2 статті; опубліковано тези 6 наукових конференцій.

Обсяг і структура роботи. Дисертаційна робота, загальним обсягом 144 стор., складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури, що охоплює 242 назви. Робота містить 25 рисунків та 5 таблиць.

Основний зміст роботи

У вступі обговорено актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, відзначено її наукову новизну та практичне значення; наведено короткий огляд праць, близьких за тематикою; стисло сформульовано основні результати, одержані в дисертації, та положення, що виносяться на захист.

У першому розділі наведена математична постановка задачі оптимального за швидкодією керування тривимірними нестаціонарними температурними режимами термочутливих пружних тіл при обмеженнях на керування та фазові координати. При умові, що розглядуваний процес нагрівання тіла керований, установлено достатні умови оптимальності за швидкодією керування. На цій основі сформульована нелінійна задача оптимального керування зведена до розв’язування зв’язаної нелінійної оберненої задачі теплопровідності й термопружності.

У підрозділі 1.1 розглянуто термочутливе пружне тіло, яке займає зв’язну область D з границею тривимірного евклідового простору R 3. Температурне поле тіла описується розв’язком крайової задачі теплопровідності

, | ; | (1)

, | ; | (2)

, | . | (3)

Тут – параболічний оператор; – точка області ; ; – час; g – неперервна функція, яка монотонно не спадає від Т і монотонно спадає по u2;; ; – внутрішня конормальна похідна; – внутрішня нормаль до граничної поверхні тіла.

Напружено–деформований стан в розглядуваному тілі у випадку відсутності об'ємних сил в декартовій системі координат описується системою рівнянь квазістатичної незв’язаної задачі термопружності, яка складається з рівнянь рівноваги для напружень, геометричних співвідношень між деформаціями і переміщеннями, фізичних співвідношень між деформаціями і напруженнями.

Процес керування температурним режимом тіла відбувається за допомогою об’ємних (внутрішніх)і поверхневих (зовнішніх) джерел тепла. Поставлено задачу визначення таких функцій керування , які при обмеженнях на параметри температурного поля чи термонапруженого стану нагріють тіло за найкоротший час |

(4)

від початкового розподілу температури (3) до кінцевого стану, який визначається рівністю

, | (5)

де – деякий функціонал, що діє із ; ; Т* – задана температура; C – простір неперервних функцій по координатах і часу . При цьому функції керування не можуть перевищувати деяких гранично допустимих неперервних функцій та , тобто

; | (6)

. | (7)

Основні обмеження при інтенсивному нагріванні тіл накладаються на параметри температурного поля або термонапруження. Для математичного формулювання цих обмежень припускається, що їх можливо подати нерівностями вигляду |

(8)

де – лінійний інтегральний або інтегродиференціальний оператор.

Отже, потрібно знайти функції керування , які при обмеженнях (6)(8) за мінімальний час (4) змінять температурне поле тіла, що описується крайовою задачею (1) – (3), від початкового стану (3) до кінцевого (5).

Нехай – розв’язок задачі (1)(3) при , а – множина допустимих керувань.

Означення. Вектор–функція належить множині допустимих керувань , якщо на множині при задовольняється обмеження (6) і на множині при задовольняється обмеження (7), а відповідний температурний режим задовольняє обмеження .

У підрозділі 1.2 сформульовано додаткові умови (у дисертації умови 1–7), які накладаються на оператори і функції, що моделюють задачу оптимізації (1)(8) і узагальнено достатні умови оптимальності за швидкодією керування нагріванням термочутливих тіл у вигляді теореми 1.

Теорема 1. Нехай виконуються умови 1–7. Тоді, якщо існує векторфункція , для якої при виконуються рівності

; | (9)

, | (10)

то p – оптимальне за швидкодією керування для задачі (1)–(8).

У підрозділі 1.3 доведена єдиність розв’язку задачі оптимального керування нагріванням тіла у вигляді теореми 2.

Теорема 2. Нехай виконуються умови 1–7. Тоді існує не більше ніж одна векторфункція , яка задовольняє рівності (9), (10) при .

Таким чином, теореми 1 і 2 дозволяють поетапно, опираючись на методи прямих і обернених задач теплопровідності й термопружності, будувати оптимальне за швидкодією керування нагріванням термочутливих пружних тіл. Методика розв’язування задачі оптимізації передбачає нагрівання термопружних тіл по одній з границь обмежень, що накладаються на функцію керування та фазові кординати. При виконанні умов (6), (7) і теореми 1 у випадку задача оптимального керування зводиться до прямих задач теплопровідності й термопружності, а у випадку хоча б однієї із умов – до нелінійної оберненої задачі теплопровідності й термопружності.

У наступних трьох розділах запропонована математична постановка і побудовано розв’язки задач оптимального за швидкодією керування одновимірними нестаціонарними температурними режимами однорідних, неоднорідних та термочутливих шару, циліндра і кулі з використанням запропонованої вище методики. У цьому випадку конкретизується вигляд операторів , , функцій , , в задачі оптимізації (1)–(8).

Нехай температурний режим у тілі задовольняє рівняння теплопровідності

, | , , , , | (11)

граничні умови конвективного теплообміну

; | (12)

(13)

та початкову умову (3). Тут для необмеженого шару (), суцільних циліндра () і кулі (); для порожнистих циліндра і кулі з внутрішнім та зовнішнім радіусами та відповідно. Крайова задача (3), (11)–(13) записана в безрозмірному вигляді. Якщо нагрівання тіла виконується внутрішніми джерелами тепла з питомою відносною потужністю , то припускається, що вона може бути подана у вигляді добутку двох функцій , де розподіл внутрішніх джерел тепла за координатою заданий і в процесі нагрівання не змінюється. Керування процесом нагрівання тіла здійснюється за допомогою зміни в часі питомої потужності теплових джерел , температури зовнішнього середовища чи або теплового потоку з інтенсивністю , на поверхні х=0 чи х=1. В останньому випадку одна з граничних умов (12), (13) або обидві будуть умовами другого роду.

Функція керування в загальному випадку позначається через і вибирається з множини функцій . Кінцева мета нагрівання задана однією з таких рівностей |

(14)

Оператори обмежень на параметри теплового процесу , записані у вигляді максимальної температури тіла, максимального градієнта температурного поля і максимального перепаду температур в тілі. Оператори обмежень термонапруженого стану , мають наступний вигляд: |

(15)

при обмеженнях на одну із складових тензора термонапружень; |

(16)

при обмеженнях на найбільші за абсолютним значенням компоненти тензора термонапружень;

. | (17)

при обмеженнях на приведені напруження, які визначаються нелінійним виразом енергетичного критерію міцності. Тут , j=1,2,3 – головні напруження термонапруженого стану тіла.

У другому розділі розглянуто клас задач оптимального керування нестаціонарним температурним режимом однорідних тіл () простої форми (шару, циліндра і кулі), яке здійснюється за допомогою внутрішніх джерел тепла. При цьому накладені обмеження на функцію керування та одну з компонент тензора напружень

, | (18)

де – допустиме значення екстремальних напружень. Умову (18) можна замінити двома

; | ; | (19)

. | . | (20)

Тут і – допустимі напруження розтягу і стиску відповідно.

Метою процесу нагрівання є досягнення максимальної температури (14) за мінімально можливий проміжок часу (4) при обмеженнях (6) () і (18).

Для однорідних шару, порожнистих циліндра та кулі розв’язки квазістатичних задач термопружності для напружень відомі і записуються у вигляді замкнутих формул.

Особливістю задач нагрівання тіл за допомогою потужності внутрішніх джерел тепла є ситуації, коли точка досягнення екстремальних термонапружень є внутрі тіла і змінюється в процесі нагрівання, внаслідок чого її місце знаходження наперед невідоме і обернена зв’язана задача термопружності, до розв’язування якої зводиться розв’язування задачі оптимізації, на одному з етапів нагрівання є слабо нелінійною і знаходження її розв’язку в аналітичному вигляді пов’язане з відповідними труднощами.

Згідно з теоремою 1 оптимальне керування для задачі оптимізації (4), (6), (11)–(14), (18) приймається рівним максимально можливій величині , якщо виконується умова (18), або забезпечує рівність обмежуваних напружень їх гранично допустимій величині . Остання рівність є додатковою умовою для знаходження невідомої функції керування при здійсненні нагрівання тіла по границі обмежень на напруження.

У підрозділі 2.1 описана методика зведення розв’зування задачі оптимізації до розв’язування прямих і обернених задач термопружності; наведено алгоритм розв’язування слабо нелінійної задачі оптимізації. Для чисельного розв’язування прямої задачі теплопровідності з використанням методу скінченних різниць запропоновано видозмінений варіант методу правої прогонки. Видозміна методу пов’язана із заміною похідних першого порядку в граничних умовах (12), (13) несиметричними трьохточковими різницями з похибкою О(h2), де h позначає віддалі між вузлами рівномірної сітки просторової координати.

У підрозділі 2.2 розглянуто три задачі побудови оптимального керування нагріванням термопружних тіл за допомогою розподілу внутрішніх джерел тепла у вигляді ступінчатої функції |

(21)

Згідно із запропонованим підходом побудовано і проілюстровано графічно: оптимальне керування нагріванням необмеженого шару при обмеженнях на напруження стиску (20) і розтягу (19), оптимальне керування нагріванням порожнистого циліндра при обмеженнях на максимальні за абсолютною величиною осьові напруження і оптимальне керування нагріванням порожнистої кулі при обмеженнях на максимальні за абсолютною величиною колові термонапруження.

На рис.1 наведено побудоване викладеним вище методом оптимальне за швидкодією керування нагріванням порожнистої кулі () для ступінчатого розподілу джерел за законом (21) при обмеженнях на колові напруження. На цьому рисунку зображено оптимальне керування (крива 1),температури (крива 2) і (крива 3), колові напруження стиску (крива 4) та розтягу (крива 5) в найбільш напружених точках кулі. Обчислення проводились для таких вхідних даних: , , , , , , . Керування на початковому
|

і кінцевому етапах нагрівання рівне гранично допустимому, на другому етапі термонапруження стиску рівні гранично допустимій величині, а на третьому етапі напруження розтягу на поверхні кулі досягають максимально допустимих значень. Точка досягнення мінімуму колових напружень знаходиться всередині кулі і змінюється в процесі нагрівання – повільно “рухається” від зовнішньої поверхні кулі всередину її в області розподілу дже-
рела .

Рис.1.

У третьому розділі розглянуто математичну постановку й методику розв’язування задачі оптимального за швидкодією керування нагріванням неоднорідних термопружних тіл – шару, циліндра й кулі – при обмеженнях на керування і термонапруження. Неоднорідність розглядуваних тіл характеризується залежністю від координати х теплофізичних параметрів та термопружних характеристик .

У підрозділі 3.1 сформульована постановка задачі оптимізації. В підрозділі 3.2 наведено розв’язок задачі термопружності для необмеженого шару і записано ключові рівняння задач термопружності в напруженнях для порожнистих та суцільних циліндра і кулі. У підрозділі 3.3 викладена методика та алгоритми розв’язування слабо нелінійної задачі оптимізації керування нагріванням неоднорідних тіл, чисельне розв’язування прямих та обернених задач термопружності для різного типу обмежень, накладених на термонапруження, зокрема для обмежень (18) з опера-торами (16), (17). При розв’язуванні задачі оптимізації з обмеженням на приведені напруження запропоновано видозміну методу прогонки для складних систем у випадку, коли в системі різни-цевих рівнянь оберненої задачі термопружності одне з рівнянь є нелінійним. У підрозділі 3.4 наведено побудову запропонованим вище методом оптимального керування нагріванням порож-нистого циліндра внутрішніми тепловими джерелами при обмеженнях на керування та перепад температур, максимальні за абсолютним значенням напруження та приведені напруження.

Для нагрівання порожнистого () неоднорідного циліндра внутрішніми джерелами тепла, розподіленими в тілі за законом (21), на рис.2 наведені оптимальне керування (крива 1) і характер поведінки максимальних значень приведених напружень (крива 2) для таких значень вхідних даних: , , , , , , , . Інші величи-
ни розрахунків залишено такими ж, як і для попереднього рисунка. Як видно з |

рисунку, період нагрівання від початкової температури до заданої поділяється на три етапи. На першому і третьому етапах використовується максимально можлива потужність джерела; на другому етапі керування забезпечує допустимі значення приведених напружень (17). Точка досягнення максимальних значень приведених напружень знаходиться внутрі циліндра і змінюється в часі. Криві 3 і 4 зображають поведінку і відповідно для даного керування.

Рис.2.

В цьому ж підрозділі розглянуто задачу нагрівання порожнистого кусково–однорідного циліндра, в якому керування нагріванням виконується за допомогою температури зовнішнього середовища при обмеженнях на термонапруження розтягу (19) і стиску (20).

Зауважено, що задача оптимального керування термонапруженнями в тілі передбачає обмеження напружень у нестаціонарному режимі. Такий характер поведінки напружень залежить від розподілу потужності теплових джерел і від вигляду граничних умов (12), (13). Знайдено розподіл джерел в неоднорідних циліндрі й кулі, при якому термонапруження можуть обмежувати інтенсивність їх нагрівання.

У четвертому розділі на основі встановлених в першому розділі достатніх умов оптимальності, сформульована нелінійна задача оптимального за швидкодією керування нестаціонарним температурним режимом термочутливих тіл при обмеженнях на керування й термонапруження зведена до розв’язування прямих і обернених задач термопружності. Врахування залежності теплофізичних та фізико–механічних характеристик матеріалів від температури значно ускладнює розв’язування прямих та обернених зв’язаних задач теплопровідності та термопружності у зв’язку з їх суттєвою нелінійністю, а в обернених задачах – ще додатковою зміною координати точки досягнення екстремальних значень обмежуваних напружень. Методики чисельного розв’язування задач оптимізації, нелінійних прямих та обернених задач термопружності наведені в підрозділі 4.2. При цьому для розв’язування прямих та обернених задач теплопровідності та термопружності використовувався метод Ньютона в комбінації з модифікованими варіантами методів прогонки та прогонки для складних систем.

Розроблена на основі методу оберненої задачі методика чисельного розв’язування задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарним температурним режимом термочутливих тіл ілюструється в підрозділі 4.3 побудовою розв’язків низки задач оптимального керування температурними режимами в шарі та циліндрі, виготовлених із сталі.

На рис.3 показано нагрівання теплоізольованого () на поверхні x=0 шару за допомогою теплового потоку з інтенсивністю q() на іншій поверхні при обмеженнях на максимальні за абсолютною величиною напруження. Для сталі СП–28, з якої виготовлений шар, значення теплофізичних параметрів і термопружних характеристик матеріалу зображені на рис.4 такими кривими: 1–, 2–, 3–; інші характеристики є сталими величинами. На рис.3 зображено неперервне чотирьохступеневе оптимальне за швидкодією керування (крива 1) з трьома точками переключення при обмеженнях на напруження стиску і розтягу з допустимими значеннями , . Оптимальне керування

Рис.4.

забезпечує витримку напружень стиску на етапі і розтягу на етапі , а у всі інші моменти часу воно рівне гранично можливому. Лініями 2 і 3 показана поведінка

Рис.3. | та відповідно.

Штриховими лініями зображено характер поведінки , , для прямої задачі термопружності, що не враховує обмежень на напруження.

Підкреслено, що розв’язування нелінійних задач оптимального за швидкодією керування нагріванням термочутливих тіл з використанням методу обернених задач теплопровідності та термопружності виконується вперше.

висновки

Дисертаційна робота присв’ячена вирішенню наукового завдання – розвитку методу оберненої задачі теплопровідності і термопружності для побудови розв’язків нелінійних задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами неоднорідних і термочутливих деформівних твердих тіл при обмеженнях на керування, параметри температурного режиму й термонапруження, а також розробці чисельної методики розв’язування нелінійних прямих і обернених задач теплопровідності й термопружності та розв’язуванню на цій основі низки нових задач оптимального керування нагріванням тіл у випадку одновимірного температурного поля при лінійних і нелінійних обмеженнях на термонапруження.

У роботі отримані такі основні результати.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

РОБОТИ, В ЯКИХ ОпУБЛІКОВАНІ ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ

ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4. Вигак В.М., Костенко А.В., Засадна Х.Е. Управление нагревом неоднородного твердого тела при ограничениях на температурные напряжения // Мат. физика и нелинейная механика. – 1993. – вып. 18(52). – С. 78–83.

5.

6. Засадна Х.Е. Оптимальное по быстродействию управление нагревом неоднородных тел внутренними источниками тепла при ограничениях на параметры теплового процесса // Мат. методы и физ.–мех. поля. – Вып. 39. – № 1. – 1996. – С. 110–114.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. Костенко А.В., Засадна Х.О. Достатні умови оптимальності за швидкодією керування нагріванням термочутливих тіл // Матер. Міжнар. конф. “Сучасні проблеми механіки і математики”, присв’яченій Я.С.Підстригачу. – Львів, 1998.–С.66.

16. Vihak V.M., Zasadna C.O., Yuzviak M.J. Optimal Control of Temperature Regimes and Stresses in Thermosensitive Solids // International Conference “Nonlinear Partial Differential Equations” dedicated to L.P.Shauder. – Lviv, 1999. – Book of Abstracts. – P. 212.

Анотація

Засадна Х.О. Оптимізація температурних режимів нагрівання та термонапруженого стану неоднорідних і термочутливих тіл. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2000.

У роботі обгрунтовано і розвинуто метод оберненої задачі теплопровідності й термопружності стосовно до розв’язання задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами в неоднорідних і термочутливих твердих тілах при обмеженнях на керування (внутрішні й зовнішні джерела тепла), параметри температурного режиму й термонапруження. Розроблено алгоритми та числові методики визначення оптимального керування й одновимірних нестаціонарних температурних режимів, побудовано розв’язки низки нових одновимірних задач оптимізації нагрівання неоднорідних і термочутливих шару, циліндра і кулі. Для цих тіл наведено розрахунки оптимального керування й температурних режимів для різного типу лінійних і нелінійних обмежень на термонапруження в пружній зоні деформування.

Ключові слова: оптимальне керування, швидкодія, температурний режим, термонапруження, обмеження, джерела тепла, неоднорідність, термочутливість, обернена задача теплопровідності й термопружності, чисельний метод.

summary

Zasadna Ch.O. Optimization of heating temperature regimes and thermoelastic state of inhomogeneous and thermothensitive solids. - A manuscript.

The thesis for the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solids, Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2000.

The method of inverse heat transfer or thermoelastic problem in order to construct optimal (in the sense of rapidity) control by nonstationary temperature regimes in a inhomogeneous and thermosensitiveness solids are proposed. According to this method the optimal control at the every step of the heating process is equal to admissible one or guarantees admissible values of restricted parameters. Therefore, the optimization problem can be reduced to solving of the inverse heat transfer or thermoelastic problem for determining unknown functions under known restrictions on heat process or thermal stresses state parameters.

Many numerical examples for construction of optimal control and optimal temperature regimes for homogeneous, inhomogeneous and thermosensitive solids (namely:strip, continuos and hollow cylinder and balls) under the various type of restrictions on stresses in elastic zone are presented.

Key words: optimal control, rapidity, temperature regime, thermal stresses, restrictions, heat sources, inhomogeneous, thermosensitiveness, thermotransfer and thermoelastic inverse problem, numerical method.

АННОТАЦИЯ

Засадна Х.Е. Оптимизация температурних режимов нагрева и термонапряженного состояния неоднородных и термочувствительных тел. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача НАН Украины, Львов, 2000.

Работа посвящена обоснованию и развитию метода обратной задачи теплопроводности и термоупругости применительно решения задач оптимального по быстродействию управления нестационарными температурными режимами в неоднородных и термочувствительных твердых телах при ограничениях на управление (внутренние и внешние источники тепла), параметры температурного режима и термонапряжения. Для упомянутых ограничений обобщена теорема о достаточных условиях оптимальности режимов нагрева термочувствительных тел. На этом основании решение нелинейной задачи оптимального по быстродействию управления нагревом неоднородных и термочувствительных упругодеформируемых твердых тел сведено к решению ключевой нелинейной и связанной задачи теплопроводности и термоупругости при заданных тепловых и силовых граничных условиях, а также добавочных условиях на напряжения либо параметры теплового режима, которые следуют из ограничений.

Разработаны алгоритмы и численная методика построения оптимального управления одномерными нестационарными температурными режимами неоднородных и термочувствительных простых тел (слоя, полых и сплошных цилиндра и шара) при ограничениях на управление и линейные и нелинейные ограничения на термонапряжения – максимальные по абсолютному значению компоненты тензора напряжений либо приведенные напряжения, определяемые нелинейным выражением энергетического критерния прочности. При этом оптимальный нагрев тела осуществляется по границе ограничений, заданных на функцию управления и термонапряжения. Для термочувствительных тел вследствие зависимости физико–механических характеристик материала от температуры и нелинейности ограничения на термонапряжения ключевая связанная обратная задача теплопровдности и термоупругости является существенно нелинейной. Для решения этой задачи с помощью численного конечно–разностного метода предложена модификация метода прогонки для сложных систем. На основе развитого метода обратной задачи, предложенных алгоритмов и разработанной численной методики решения прямых и обратных одномерных задач теплопроводности и термоупругости, построены решения ряда новых задач оптимального по быстродействию управления нагревом однородных, неоднородных и термочувствительных слоя, полых и сплошных цилиндра и шара.

Приведены многочисленные графики расчетов оптимального управления и температурных режимов при различных линейных и нелинейных ограничениях на напряжения в упругой области деформирования.

Ключевые слова: оптимальное управление, быстродействие, температурный режим, термонапряжения, ограничения, источники тепла, неоднородность, термочувствительность, обратная задача теплопроводности и термоупругости, численный метод.