НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ

АНОХОВ СЕРГІЙ ПАВЛОВИЧ

УДК 535.2:621.373.826

ОБГРУНТУВАННЯ І РОЗВИТОК

СИНГУЛЯРНОЇ МОДЕЛІ ДИФРАКЦІЇ

01.04.05 - оптика, лазерна фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2001

Дисертація є рукописом.

Робота виконана у Міжнародному центрі “Інститут прикладної оптики”

Національної академії наук України.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор

Хижняк Анатолій Іванович

Tellabs Operations Inc. (USA).

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Обуховський В’ячеслав Володимирович

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри математики і теоретичної радіофізики

радіофізичного факультету;

доктор фізико-математичних наук, професор

Овандер Лев Миколайович

Житомирський інженерно-технічний інститут, завідувач кафедри;

доктор фізико-математичних наук

Яценко Леонід Петрович

Інститут фізики НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа:

Інститут фізики напівпровідників НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться “ 22 ” листопада 2001 р. о 1430 на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.159.01 при Інституті фізики НАН України

за адресою: 03650, м. Київ, проспект Науки, 46.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту фізики

НАН України за адресою: 03650, м. Київ, проспект Науки, 46.

Автореферат розісланий 20 жовтня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук Іщук В.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Мотивація досліджень. Однією з показових особливостей представленої теми стала відсутність її початкової директивної постановки. Як можна дізнатися з будь-якого університетського підручника з оптики, сьогодні дифракція являє собою одне з найбільш вивчених хвильових явищ, для кількісного опису якого існує цілий ряд добре розвинених і доповнюючих один одного підходів. Внаслідок цього первинна мета проведеного дослідження ні в якій мірі не торкалася ідейної сторони даного явища, обмежуючись уточненням деяких особливостей роботи оптичного резонатора з апертурною щілиною. Однак, результати обробки отриманих експериментальних даних, як буде показано нижче, зробили подібну переорієнтацію неминучою.

Перші ознаки проблеми виявилися при аналізі дальнього поля звичайного лазера на неодимовому склі, де для виділення основної моди використовувалася внутрішньорезонаторна щілинна діафрагма. Детальні вимірювання параметрів структури, що спостерігається, виявили їх виразну невідповідність характеристикам того ж поля, обчисленого шляхом фур’є-перетворення селектованої моди. Спроби посилювання умов експерименту, як і аналітичне урахування дії різних факторів, присутніх або здатних бути присутніми в резонаторі і впливати на структуру поля, що формується, очікуваного прояснення не принесли, що лише підкреслило неординарність виявленого факту.

Для експериментального з'ясування причин вказаної невідповідності використовувалася характерна для активного резонатора чутливість до малої зміни його власних втрат. В умовах, що розглядаються, це конкретизувалося в дослідженні зв’язку розподілу поля, що спостерігалося, з шириною внутрішньорезонаторної щілини при накачці лазера, близькій до порогової. Як показала обробка результатів численних вимірювань, шуканий феномен потрібно було зв'язувати з присутністю в дальньому полі пари невідомих хвильових компонент, що розходяться від кожної з кромок щілини і зсунених по фазі на відносно самої дифрагуючої хвилі.

У той же час аналіз існуючої великої кількості літератури з дифракції виявив дві вельми істотні обставини:

1. Протягом останніх трьох-чотирьох десятиріч (знаменних появою і поширенням лазерних джерел) в оптиці все настирливіше звучить теза про незадовільність існуючої моделі дифракції, при цьому зі збільшенням числа експериментальних фактів, що не знаходять пояснення в рамках теорії Френеля-Кірхгофа, все частіше більш конструктивною в цьому відношенні виявляється дифракційна концепція Юнга-Рубіновича.

2. Невідомі хвильові компоненти, введені нами для пояснення специфіки дальнього поля резонатора, за основними ознаками вельми подібні до граничної хвилі Юнга.

Як звідси слідувало, результати проведених вимірювань по своїй значущості вийшли за рамки задачі про дальнє поле резонатора, роль якого в цьому випадку виявилася, в основному, інструментальною. Разом з тим стало очевидним, що остаточне пояснення виявленого феномена неможливе без залучення надійного і адекватного протікаючому процесу математичного апарату.

Кількісним обгрунтуванням юнгівської моделі дифракції прийнято вважати отриманий Зоммерфельдом строгий розв’язок задачі про дифракцію плоскої хвилі на напівплощині, безпосереднім же узагальненням даної моделі для довільної апертури стало інтегральне представлення Рубіновича [1*, 2*]. Однак, ні те, ні інше поки не вдалося звести до якого-небудь придатного для практичних застосувань розрахункового алгоритму, порівняного за зручністю і універсальністю з дифракційним інтегралом Кірхгофа або його модифікаціями. У цих умовах найбільш відповідним для подібних застосувань математичним засобом представилося параболічне рівняння Леонтовича-Фока.

Використання цього рівняння для тестового розв’язку декількох відомих модельних задач підтвердило плідність даного вибору, що помітно спростив, зокрема, процедуру розрахунку дифракційного поля. Однак, з переходом на модель Юнга-Рубіновича, відтворення тих же розв’язків, як і потрібно було чекати, виявилося проблематичним через розривний характер фігуруючих в цій моделі хвиль. Прийнятний компроміс в цьому випадку виявився можливим лише при виконанні двох необхідних умов: введенні формального джерела енергії на границі геометричної тіні і роздільному розрахунку хвильових полів, що виникають з різних сторін від вказаної границі.

Ця обставина загострила увагу на питанні, що давно дебатується, про фізичну природу граничної хвилі. Здавалося б, амплітудні розриви обох юнгівських компонент виключають можливість їх реального існування, а стабільною в усіх ситуаціях може залишатися лише їх вільна від розривів суперпозиція. Проте, цієї простої і фізично прозорої аргументації виявилося недостатньо для спростування багаточисельних повідомлень про експериментальне спостереження граничної хвилі. В результаті, остання набула серед значної частини оптиків репутацію деякої неординарної, але об’єктивно існуючої різновидності електромагнітних хвиль.

Гарячі дискусії про природу цієї хвилі не минули і учасників даних досліджень. З їх розвитком ставало все більш очевидним, що для подолання ло-гічних ускладнень необхідно послідовне критичне переусвідомлення усього хвильового алгоритму цього явища. Як нарешті з'ясувалося, можливість усунення протиріч міститься в самому розв’язку Зоммерфельда (основна здогадка належить А.І. Хижняку). Для того, щоб процес дифракції став прозорим, виявилося достатнім представити поле за екраном сукупністю двох фізично реалізованих хвиль, що відповідають незалежним доданкам строгого розв’язку: плоскої хвилі, подібної до падаючої, але зменшеної вдвічі по амплітуді, і аналогічної по амплітуді необмеженої неоднорідної хвилі з крайовою дислокацією хвильового фронту, яка припадає на границю геометричної тіні.

У даному тандемі найбільший інтерес представляє сингулярна хвиля, названа нами спочатку EDW (edge dislocation wave). Однак, враховуючи наступні критичні зауваження, будемо скрізь далі користуватися більш зручним скороченням d-хвиля (diffraction + dislocation). З неординарними властивостями цієї хвилі, по суті, і пов'язані всі найважливіші особливості процесу, який відбувається. Як показав аналіз, саме цю хвилю після її оптичної фільтрації і приймають звичайно за “хвилю Юнга” автори публікацій, що періодично з'являються. Центральне місце, що займає d-хвиля в дифракційному процесі, цілком відповідає її аналітичній структурі, що представляється тією ж комбінацією інтегралів Френеля, що і добре відома спіраль Корню.

Найважливішою перевагою нової хвилі стала, відразу ж реалізована нами, можливість її експериментального виділення. Більш того, як виходило з досвіду сингулярної оптики, d-хвиля може бути сформована і без залучення крайової дифракції з використанням будь-якого з декількох підходящих для цього оп-тичних прийомів, що зводяться до введення в плоску хвилю напівхвильового стрибка її фази по контуру апертурної границіВ кінці кінців, всі згадані прийоми зводяться до здійснення дифракції плоскої хвилі на фазовій -сходинці.. Обидві ці обставини дозволяють кардинально змінити існуючу методологію дифракційних досліджень, відкриваючи перспективу вільного хвильового моделювання будь-якого дифракційного явища.

Приведене зведення аргументів зробило очевидним можливість побудови оригінального кількісного підходу до дифракції - підходу, що базується на контролі сингулярної складової дифракційного поля, як основного носія інформації про виникаючий хвильовий процес. Перспектива розвитку такого підходу викликала переоцінку пріоритетів дослідження, що виконується, з природним висуненням на перше місце нової, більш вагомої проблематики. Таким чином, остаточне становлення теми дисертації було підсумком тривалих і все більш загальних по своєму характеру пошуків пояснення досить частковому експериментальному факту, власна значущість якого при цьому відійшла на другий план.

Актуальність теми. Представлення дифракційного поля сукупністю ре-альних хвиль відкрило перспективу розвитку нового конструктивного підходу до дифракції з можливістю:

· розробки більш точних та зручних в практичному відношенні прийомів розв’язку дифракційних задач, ніж ті, що використовуються сьогодні;

· створення алгоритмів розрахунку дифракційних полів, що формуються в складних умовах (“косе” падіння хвилі на довільні отвори, дифракція до-вільно неоднорідних світлових пучків, оптичне перетворення дифрагованих пучків, встановлення структури поля при кутах дифракції, що виходять за границі параксіальної області тощо);

· введення універсального кількісного підходу до дифракції, що однаково точний в різних областях простору і який можна застосувати для встановлення реальної похибки розрахунків при інших підходах.

Зв'язок роботи з науковими темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках поточної наукової тематики Міжнародного центра “Інститут прикладної оптики” НАН України. Її основні результати отримано при виконанні наступних науково-дослідних робіт (в дужках зазначено роль автора у їх виконанні):

1. Бюджетна тема 1995 - 1999 рр., № держ. реєстрації 0198U001786 “Розробка і дослідження методів оптичного неруйнівного контролю і лазерів для їх реалізації”, (відповідальний виконавець).

2. Бюджетна тема 1999-2001 рр., № держ. реєстрації 0100U003612 “Розвиток строгого кількісного підходу до дифракції електромагнітних хвиль і його практичні застосування” (керівник теми).

3. Проект Фонду фундаментальних досліджень Міннауки України № 2.4/879 (1998 - 1999 рр.) “Дослідження статистичних особливостей фотонних полів, що випромінюються різними квантовими системами” (керівник проекту).

Мета роботи полягає в обгрунтуванні і розвитку оригінального кількісного підходу до дифракції електромагнітних хвиль на двовимірних апертурах, який базується на контролі сингулярних компонент дифракційного поля.

Задачі дослідження:

· розробка єдиного кількісного підходу до опису дифракції при максимально можливому збереженні рівня точності, заданого строгим розв’язком Зом-мерфельда.

· виявлення фізичних особливостей і можливостей введеної хвильової моделі, що відрізняють її від моделей дифракції, що традиційно використовуються.

· теоретичне і експериментальне вивчення властивостей хвильового поля, що формується в різних областях простору, навколо дифракційної апертури.

· детальна експериментальна перевірка результатів теоретичного аналізу з використанням можливостей комп'ютерного і “натурного” моделювання хвильового поля, що відкриваються при новому підході.

· з'ясування ролі реальних оптичних і геометричних характеристик екрана, що використовується.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що вперше:

· Обгрунтовано і розвинуто оригінальний підхід до дифракції електромагнітних хвиль, заснований на новій хвильовій інтерпретації строгого розв’язку Зоммерфельда для плоскої хвилі, що дифрагує на напівплощині. Ключовим моментом цієї інтерпретації є представлення поля навколо екрана у вигляді суперпозиції 4-х самостійних і фізично реалізованих хвиль, що попарно розповсюджуються назустріч одна одній. Відповідно, в областях перед екраном і за ним результуюче поле формується внаслідок інтерференції двох хвиль, причому в зоні тіні ця інтерференція деструктивна.

· Показано, що основною інформаційною складовою дифракційного поля за напівплощиною є d-хвиля, що має вдвічі меншу амплітуду, ніж початкова плоска хвиля, і що містить крайову дислокацію хвильового фронту, яка припадає на границю геометричної тіні. У разі довільного пучка або довільної форми апертури аналогічну роль грає D-хвиля, що об'єднує поля елементарних сингулярних компонент, що відповідають різним точкам апертурної границі.

· Запропоновано сингулярну модель процесу дифракції, в відповідності з якою початкова хвиля може бути представлена сумою двох ідентичних їй хвиль з вдвічі меншою амплітудою, одна з яких розповсюджується в прямому напрямку, як би не помічаючи екрану, а друга набуває на краю останнього стрибок фази на , що охоплює всю затінену частину цієї хвилі при нульовій амплітуді її поля на границі геометричної тіні. Реальне поле за екраном є суперпозицією обох хвиль.

· Теоретично і експериментально показано, що гранична хвиля Юнга, під якою розуміється реальна хвиля електромагнітного поля, фізично не існує, а виділена в експериментах подібна їй компонента є модифікований варіант d-хвилі.

· Запропоновано новий, адекватний хвильовій моделі, що розглядається, розподіл простору навколо дифракційної апертури на області, що розрізнюються за хвильовим складом поля, що в них формується. Крім того, показано, що при заміні ідеального екрана Зоммерфельда реальним поле, що формується в найбільш важливій для практики хвильовій зоні, як і раніше підкоряється строгому розв’язку.

· Виявлено наявність і кардинальну роль “притиснутого” до краю екрана і рішуче впливаючого на характеристики інтегрального поля в області глибокої тіні та поблизу екрана, де амплітуда “притиснутого” поля порівняна з амплітудами інших присутніх тут хвильових компонент. Зокрема, показано, що залежність дифракції Гуї (дифракція на кутах порядку десяти та більше градусів) від поляризації падаючої хвилі, матеріалу екрана і форми краю останнього, зумовлена збуренням саме вказаного поля.

· З використанням сингулярної моделі обгрунтовано і здійснено коректний перехід від розв’язку Зоммерфельда до близьких йому по точності розв’язкам для щілини і прямокутного отвору. Зокрема, показано, що поле, яке формується в хвильовій зоні при дифракції плоскої хвилі на щілині, є суперпозицією двох d-хвиль, що породжуються кожним із країв цієї щілини.

· Показано, що при розрахунку дифракційного поля, що формується довільним отвором в хвильовій зоні, замість пошуку D-хвилі доцільно безпосереднє інтегрування d-хвиль по контуру отвору При цьому край віртуальної напівплощини для кожної з d-хвиль співпадає з відповідною дотичною до границі отвору., що дозволяє вирішувати апертурні задачі будь-якої складності.

· Отримано і експериментально випробувано точний розв’язок для поля у хвильовій зоні, що формується при дифракції довільно орієнтованої плоскої хвилі, що падає на довільний за формою отвір в плоскому екрані.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені в дисертаційній роботі прийоми аналізу і одержані формули в своїй більшості пристосовані для безпосереднього розрахунку дифракційних полів, що формуються при дифракції реальних хвиль на реальних двовимірних апертурах. Їх перевага перед іншими способами розрахунку, що традиційно використовуються на практиці, полягає в можливості розв’язку більш складних задач, зокрема, в більш точній картині дифракції при кутах спостереження, що виходять за границі параксіальної області, в можливості аналізу оптичного перетворення дифрагованих пучків, розрахунку дифракції довільно орієнтованих хвильових пучків на двовимірних апертурах довільної складності тощо.

Особистий внесок автора в проведення дисертаційних досліджень полягає в постановці загальної проблеми, виборі напрямку, мети і задач досліджень, засобів і способів їх розв’язання, а також в безпосередній участі у всіх творчих аспектах виконуваних робіт. В більшості спільних публікацій йому належить провідна роль в постановці задачі і визначенні метода її розв’язання, аналізі отриманих результатів, в підготовці матеріалів до друку.

Автором, зокрема, в значній мірі самостійно:

· здійснено аналітичний аналіз властивостей граничної хвилі Юнга;

· проведено аналіз процесу оптичної фільтрації пучка дифрагуючого поля;

· досліджено задачу про дифракцію на щілині довільно нахиленої плоскої хвилі;

· запропоновано схему поділу дифракційного простору на три основні зони, що розрізняються характером поля, що в них формується;

· проведено аналіз фізичної природи особливостей дифракції Гуї;

· знайдено аналітичне представлення розв’язку Зоммерфельда для трьохвимірного випадку;

· досліджено задачу про дифракцію плоскої хвилі, що падає під кутом на прямокутний отвір;

· запропоновано і реалізовано спосіб інтегрально-сингулярного представлення поля, що формується довільною апертурою;

· отримано точний розв’язок для поля в хвильовій зоні, що формується при дифракції довільно орієнтованої плоскої хвилі на плоскому отворі довільної форми;

· отримано точний розв’язок для поля в хвильовій зоні, що формується при дифракції хвильового пучка, що падає нормально на плоский отвір довільної форми.

Апробація роботи. Матеріали дисертації доповідалися на:

Міжнародній конференції з оптоелектроніки і метрології, Ланцют, Польща, 28-30 вересня 1998 р.; 4-ій міжнародній конференції з кореляційної оптики (СО-99), Чернівці, Україна, 11-14 травня 1999 р.; семінарі Е.Вольфа в Відділі фізики і астрономії Рочерського університету, Нью-Йорк, США, 27 жовтня 1999 р.; Міжнародній конференції з оптики і технологій, Сан-Дієго, Каліфорнія, США, 30 липня - 4 серпня 2000 р.; 4-ій міжнародній конференції з сингулярної оптики (SO-2000), Крим, Алушта, жовтень 2000 р.; 5-ій міжнародній конференції з кореляційної оптики (СО-2001), Чернівці, Україна, 10-13 травня 2001 р.

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, шести розділів, висновків і списку цитованої літератури, вона викладена на 258 сторінках, містить 108 ілюстрацій і список літератури, що включає 133 найменування.

Публікації. По темі дисертації опубліковано 23 праці, з них 9 – одноосібних.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі пояснено мотивацію зроблених досліджень, обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і задачі дослідження, відображено новизну, наукове і практичне значення отриманих результатів, зв'язок роботи з науковими програмами і планами, особистий внесок здобувача в розв'язання проблеми, що розглядається, апробація результатів роботи.

У першому розділі дисертації представлено результати дослідження виявлених автором аномалій дальнього поля плоскопаралельного резонатора з щілинною діафрагмою [9].

Як відомо, при виділенні основної моди плоскопаралельного резонатора за допомогою щілинної діафрагми надмірне обмеження робочої апертури приводить до появи у дальнього поля структури, подібної класичному розподілу поля при дифракції Фраунгофера [1]. Інтерпретація даної структури сумнівів, як правило, не викликає: розподіл, що спостерігається, природно ототожнювати з перетворенням Фур’є від розподілу поля вихідного випромінювання на робочій апертурі резонатора.

Однак, більш уважний кількісний аналіз картини дальнього поля, що спостерігалася при використанні лазера на неодимовому склі, виявив її виразну і добре відтворювану невідповідність вказаному перетворенню. Зрештою, невідповідність зводилася до протилежного знаку деформації розподілу, що реально спостерігається при послідовній зміні ширини внутріш-ньорезонаторної щілини. Така істотна відмінність залежності, що спостерігається, від розрахункової свідчила про участь в процесі, що досліджується, якогось неврахованого фізичного фактора.

У процесі вимірювань, що виконувалися, був виявлений ще один диф-ракційний ефект, зовні помітно більш виразний, ніж попередній. Він полягав в різкому перерозподілі інтенсивності дальнього поля за рахунок майже повного погашення бокових пелюсток дифракції і відповідного зростання центрального піка [18]. Ефект спостерігався у вузькому діапазоні кутових апертур резонатора, добре відтворювався і носив чітко резонансний характер. Для його пояснення виявилося досить ряду нижче згаданих додаткових вимірювань.

Парадоксальна залежність структури реального дальнього поля від ширини внутрішньорезонаторної щілини ініціювала дослідження ще двох слабо вивчених аспектів роботи малоапертурних резонаторів – хвильоводного механізму формування в них добротних мод [3*, 16] і багатопроменевої інтерференції випромінювання, розсіяного в такому резонаторі [8, 23]. Результати цих досліджень і дозволили пояснити другий з описаних дифракційних ефектів, походження якого виявилося цілком традиційним. Погашення бокових пелюсток дифракційної структури було результатом резонансного “гасіння” відповідних кутових компонент внутрішньо-резонаторного поля апаратною функцією самого резонатора, що зберігає в цьому відношенні якості звичайного еталона Фабрі-Перо. Однак, причин аномальної структури дальнього поля дані дос-лідження прояснити не змогли.

З метою отримання додаткової інформації про цей ефект був зроблений комп'ютерний пошук типу хвилі, Фур’є-перетворення якої співпало б з розподілом дальнього поля, що реально спостерігається. Як з'ясувалося в результаті, при довільному спадаючому до країв щілини розподілі дифрагуючої хвилі, для досягнення необхідного ефекту її необхідно доповнити парою крайових компонент, сумірних з нею по амплітуді, але зсунених по фазі на . Один з варіантів необхідного для цього розподілу поля на щілині схематично зображений на рис. 1.

Необхідність введення крайових складових поля, протилежних по знаку основній хвилі, якісно зближує виявлену ситуацію з моделлю дифракції Юнга в інтерпретації Зоммерфельда - єдиної з відомих на сьогодні дифракційних моделей, де напівхвильовий фазовий зсув однієї частини хвильового поля по відношенню до іншої є природною умовою його існування [11] (розділ 2).

Разом з тим розраховувати на яке-небудь конструктивне просування в цій області можна було тільки при послідовному кількісному аналізі задачі, що розглядається. Ця обставина висунула на перший план пошук відповідних для її розв'язку математичних засобів.

Спробі залучення для розв'язку цієї проблеми моделі Юнга присвячено другий розділ дисертації.

Відповідно до ідеї Юнга процес дифракції світлової хвилі на краю екрана можна представити інтерференцією двох хвиль - геометро-оптичної, яка є вцілілою частиною початкової хвилі, що зазнала розриву на краю екрана і що розповсюджується далі за правилами геометричної оптики, і граничної хвилі, що розходиться, геометричний центр якої розташований на краю екрана, а вісь співпадає з границею геометричної тіні. У зв'язку з розрізненим характером відомостей, що є в літературі, про кількісні характеристики цієї моделі в підрозділі 2.1 зроблена спроба їх короткої систематизації.

Основоположним тут є строгий розв'язок Зоммерфельда для плоскої хвилі, що дифрагує на ідеально провідній напівплощині, який автор для наочності представив у вигляді суми двох юнгівських компонент. Як показав розрахунок, обидві вони мають розрив амплітуди на границі геометричної тіні, а гранична хвиля - розрив на цій границі ще і похідної, а також злам хвильового фронту. Загальну картину доповнюють два важливих висновки про просторову структуру їх полів:

1. Дифрагуюча (гранична) компонента поля дійсно поводиться так, неначе вона породжена лінійним джерелом, співпадаючим з краєм екрана. Разом з тим неоднорідний кутовий розподіл амплітуди граничної хвилі вказує на її більш складне дійсне походження;

2. Розрив поля цієї компоненти в точності врівноважує розрив поля геометро-оптичної складової, чим, власне, і забезпечується неперервність їх су-марного поля.

Аналіз формування граничної хвилі при дифракції довільної сферичної хвилі на плоскому отворі виконаний Рубіновичем (незалежно від більш ранньої роботи Маггі [1]), внесок якого в розробку математичних основ юнгівської моделі особливо вагомий. Розглянувши вказану задачу в рамках теорії Кірхгофа, Рубінович еквівалентним перетворенням звів її розв’язок до суми геометро-оптичної Е(g) і граничної Е(b) хвиль:

E(P) = E(g)(P) + E(b)(P), де E(g)(P) = (1),(2)

і E(b)(P) (3)

- аналітичне представлення цих хвиль, що містить як змінні геометричні параметри дифракційної схеми (r, s - віддаленість від отвору джерела і точки спостереження Р, R - відстань між останніми, dl - приріст по контуру отвору В, n - одиничний вектор, перпендикулярний r і dl). Розрив граничної хвилі E(b), що компенсує розрив геометро-оптичної компоненти E(g), зумовлений наявністю в знаменнику (3) множника [1+cos(s,r)]. Для переходу до випадку плоскої хвилі тут потрібно покласти exp(ikr)/r = exp(ikR)/R = 1, sin(r,dl) = 1, r = z.

Вирази (1)-(3), названі в честь його автора “представленнями Рубіновича”, в загальному вигляді виражають двохвильову концепцію апертурної дифракції, ставши орієнтиром для цілого напряму подальших теоретичних робіт. Серед останніх потрібно виділити роботи Вольфа з Міямото [5*] і Марчандом [6*], в першій з яких підхід Рубіновича поширений на хвилі з довільною формою фронту, а у другій вдосконалена аналітична основа самого підходу шляхом заміни інтеграла Кірхгофа більш універсальним по граничних умовах інтегралом Релея.

На жаль, дещо ”академічний” характер більшості досліджень цього напрямку утруднює безпосереднє використання їх результатів для конкретних застосувань. Ця обставина була мотивом для звертання до більш відповідного для наших цілей підходу, запропонованому в свій час Леонтовичем і Фоком для аналізу розповсюдження радіохвиль над поверхнею Землі [7*]. Підхід засновано на використанні параболічного рівняння (Леонтовича), що являє собою спрощений варіант хвильового:

, (4)

де відсутня друга похідна по z, що передбачається знехтувано малою. Внаслідок останнього це рівняння призначено для опису слабкорозбіжних полів: світлових пучків, мод резонатора, дифракції в найбільш важливій для практики параксіальній області тощо.

Розв’язок за допомогою параболічного рівняння декількох тестових задач (дифракція плоскої хвилі на напівплощині, щілині і круглій апертурі) підтвердило виняткову плідність даного вибору. Використання цього рівняння, зокрема, дозволило не тільки виявити ряд маловідомих деталей даних явищ, але і отримати, нарешті, досить простий і точний вираз для граничної хвилі, що формується при дифракції плоскої хвилі на прямолінійному краї екрану:

E(b)() = (5)

де і - інтеграли Френеля з верхньою границею =. Розподіл амплітуд граничної хвилі, геометро-оптичної компоненти і сумарного поля приведені на рис. 2 (негативним знаком залежності на рис. 2а враховано напівхвильовий стрибок фази самої граничної хвилі). Як показує аналіз розподілу (5), до 90% енергії граничної хвилі зосереджено в кутовому секторі 6(/2L)1/2, орієнтованому вздовж границі геометричної тіні. В видимій області спектру ( = 0,6 мкм) вказаний кут на відстані L = 1 см від краю напівплощини не перевищує двох градусів, а при L = 1 м - дванадцяти кутових хвилин [11, 15].

Однак, незважаючи на успішний початок, для аналізу отриманих раніше “аномальних” результатів використана модель виявилася непридатною. Причиною цього був розривний характер обох юнгівських компонент, що став непереборним бар’єром для будь-яких спроб дослідження їх індивідуальної поведінки в резонаторі.

Більш того, використання параболічного рівняння для кількісного дос-лідження самої юнгівської моделі привело до підтвердження тези про її штучний характер. Зокрема, аналіз енергетичної еволюції граничної хвилі, що зазнається нею по мірі віддалення від екрана, показав, що необхідною умовою для її існування є присутність на границі геометричної тіні стаціонарного джерела енергії В роботі [6] в дещо іншому контексті обговорюється необхідність розміщення фіктивних джерел на апертурній границі. :

A(b)(0,t) = Ao/2 при t 0 (6)

Очевидно, що така вимога позбавлена якого-небудь реального сенсу. В умовах, що розглядаються, єдино можливим джерелом енергії для граничної хвилі могла б служити геометро-оптична компонента дифракційного поля, однак у вільному просторі енергообмін між електромагнітними хвилями, як відомо, фізично неможливий [8*].

Таким чином, підсумком застосування параболічного рівняння стало отримання ще одного конкретного підтвердження нездатності юнгівських хвиль до самостійного існування і, як наслідок, безпідставність їх зарахування до реальних світлових хвиль. Даний висновок принципово суперечить численним повідомленням про експериментальне спостереження граничної хвилі. Внаслідок цього для даних досліджень він виявився переломним, зажадавши не менш аргументованого пояснення дійсної картини явища, що безперечно об'єднує всі відомі на сьогодні факти.

Таке пояснення було знайдено, його основні аспекти і коментарі до них складають зміст третього розділу дисертації, а підтвердженням правомірності точки зору, що розвивається, можуть служити практично всі результати, представлені в подальших розділах.

Для переходу до суті справи розглянемо двохвимірну задачу Зоммерфельда про дифракцію плоскої хвилі на ідеально провідній напівплощині (рис. 3).

Її загальний розв’язок для хвилі з вектором Е, поляризованим паралельно краю напівплощини (Е-поляризація), що задовольняє при z = 0, x < 0 граничній умові Діріхлє: Е=0, має вигляд [1*, 2*]:

, (7а)

а для хвилі з Н – поляризацією (гранична умова Неймана):

, (7б)

де Ао - амплітуда плоскої хвилі, - одна з форм комплексного інтеграла Френеля; і - безрозмірні пара-метри; r, і z (край напівплощини) - циліндричні координати довільної точки (о - кут нахилу вектора плоскої хвилі до осі Х, k = 2/ - хвильове число). В обох виразах доданок з множником F(-W) представляє хвилю, дифрагуючу в прямому напрямі, доданок з F(-V) - хвилю, що розповсюджується в напрямі дзеркального відбиття падаючої хвилі від напівплощини. Як бачимо, розв’язок (7а) і (7б) розрізняються лише знаками доданків, що відповідають відбитій хвилі.

Евристична ідея, що дозволяє усунути всі протиріччя, що обговорювалися в попередньому розділі, дуже проста. Для її реалізації досить переписати розв’язок (7) у вигляді суми незалежних доданків, на які воно розпадається після еквівалентної заміни границь інтегрування:

. (8)

Фізичний зміст нових доданків неважко уяснити з їх аналітичної структури. Перші два члени в (8) представляють плоскі хвилі з амплітудами A0/2, що розповсюджуються в прямому і дзеркальному напрямах і що займають фор-мально весь простір. Друга пара доданків являє собою дві нескінченні неоднорідні хвилі з крайовою дислокацією, звані далі d-хвилями [12, 13, 17].

У відповідності з (8) поле, що формується за лінією напівплощини при віддаленні від останньої більш, ніж на десяток довжин хвиль (де присутністю поля відбитої хвилі можна знехтувати), можна представити сукупністю двох незалежних компонент, що розповсюджуються в початковому напрямі:

, (9)

одна з яких є плоскою хвилею , тотожною падаючій, але з вдвічі менше амплітудою, а друга представляє введену вище d-хвилю

(10)

яка містить практично всю інформацію про виникаючий дифракційний процес.

На рис. 4а, б приведено розподіл амплітуди і фази d-хвилі при нормальному падінні на напівплощину в декартовій системі координат, де хвильовий параметр приймає вигляд а в параксіальній області спрощується до. Добре видно, що в площині х = 0, співпадаючій з границею геометричної тіні, амплітуда цієї хвилі перетворюється на нуль (рис. 4а), а фаза стрибком змінюється на при збереженні її похідної неперервною (рис. 4б). Це означає наявність у вказаній площині крайової дислокації поля. На рис. 4в, г приведено еквівалентне представлення цієї ж залежності, інколи більш зручне, ніж перше, де фазовий стрибок трансформовано в зміну знаку амплітуди поля.

Деструктивна інтерференція хвиль і в області геометричної тіні приводить до їх поступового взаємного гасіння по мірі поглиблення в цю область. Хвильова суперпозиція, що утворюється, і являє собою реальне поле, що спостерігається за границею геометричної тіні і що приймається звичайно за граничну хвилю Юнга. Форма розподілу цього поля з швидко спадаючою від границі амплітудою при віддаленні від напівплощини залишається незмінною, зазнаючи лише масштабного перетворення.

Одним з найбільш пере-конливих свідоцтв достовірності введеної моделі стало експери-ментальне виділення d-хвилі із загального поля, здійснене відразу ж з висуненням нової моделі. Використаний для цього метод полягав в інтерферен-ційному гасінні плоскохвильвої компоненти дифракційного поля за допомогою аналогічної їй хвилі з напівхвильовим зсувом фази. Даний процес здійснювався із застосуванням інтерферометрів Майкельсона або Цандера (рис. 5), забезпечених пристроями регулювання опорної хвилі по амплітуді і фазі.

На рис. 6 приведено один з перших, отриманих таким чином розподілів інтенсивності d-хвилі разом з теоретично розрахованою картиною, а також результат тестування структури цієї хвилі при її інтерференції зі злегка нахиленою плоскою хвилею.

Домінуюча роль, яку грає d-хвиля в дифракційному процесі, багато в чому пояснюється її аналітичною структурою, що визначається тією ж комбінацією інтегралів Френеля, що і спіраль Корню:

. (11)

Внаслідок цієї обставини, d-хвилю можна розглядати як унікальний носій, по суті, всієї інформації про протікаючий дифракційний процес: по її параметрах в довільній точці простору можна відновити структуру дифракційного поля в будь-якій іншій області простору.

Відмітимо разом з тим, що представлення дифракційного поля суперпозицією плоскої і d-хвилі не вимагає яких-небудь спеціальних зусиль - подібна форма його запису, мабуть, найбільш природна при розв’язку задачі, що розглядається, методом Кірхгофа або за допомогою параболічного рівняння. Знаменно, зокрема, що поділ дифракційного поля на дані компоненти в рамках Кірхгофовського наближення ще півстоліття тому успішно використовував Габор На це звернув нашу увагу П.В.Полянський. при аналізі зображення краю екрана, що відновлюється методом темного поля [9*]. Не менш знаменний той факт, що сам Габор, судячи по його коментарях, не убачав в цій обставині ніякого евристичного змісту.

На закінчення 3-го розділу проводиться аналіз дійсної природи “граничної” хвилі, що експериментально спостерігається, а також зроблена спроба об'єктивної оцінки реальної значущості підходу Рубіновича для сучасної оптики.

Як відомо, Юнг запропонував свою модель як відповідь на давнє питання “чому світить край екрана”. Дійсно, факт свічення кромки екрана при спостереженні її з області тіні, виявлений ще на початковій стадії вивчення дифракції, досі вважають одним з основних свідоцтв існування граничної хвилі, що розходиться. Не менш наочним доповненням до нього став досвід Калашникова, який в 1912 р. за допомогою набору голок продемонстрував існування прямолінійних тіней, що радіально розходяться від краю екрана в область напівтемряви [1*].

Дійсну ситуацію прояснює чисельний аналіз розв’язку Зоммерфельда. Якби Калашникову вдалося наблизити голки до краю екрана на дистанцію в декілька довжин хвиль, він виявив би по картині тіней, що геометричний центр “граничної” хвилі не тільки зміщений від краю назустріч падаючій хвилі, але і трансформований в ланцюжок точок, кожна з яких є центром своєї хвилі, що розходиться. В результаті в області тіні хвиля виявляється хвилею-привидом, яка при достатньому віддаленні від екрана поводиться подібно хвилі, що розходиться, Юнга, але поблизу краю такою не є. По суті, в цьому і складається значення зауваження Зоммерфельда про асимптотичний характер цієї хвилі [1*, 2*].

Вичерпне пояснення ситуації, що розглядається, надає введена хвильова модель [21, 22]. “Фантомний” характер граничної хвилі, що спостерігається, і проблематичність її конкретного джерела є слідством єдиної обставини - ця хвиля являє собою невід'ємну частину суперпозиції двох нескінченних хвиль (d- хвилі і плоскої хвилі Ao/2), існуючих в повній відповідності до вимог електродинаміки і хвильової оптики.

Хвилю Юнга, що спостерігається в області тіні, вважають об'єктом свого дослідження і автори більшості повідомлень про експеримен-тальне виділення граничної хвилі. Це - ще одна помилка, а суть справи і тут допомагає уточнити нова модель. Як правило, експерименти такого роду засновані на оптичній фільтрації дифрагованого поля, що приводить до виключення з його кутового спектра низькочастотних складових.

Результат впливу цієї процедури на поле ілюструє рис. 7 (крива 2). Одержаний розподіл являє собою реконструйовану d-хвилю, звільнену як від плоскої хвилі Ао/2, так і від власних “параксіальних” компонент. Саме цю “проріджену" d-хвилю через її загальну якісну схожість з граничною (крива 3) і приймають звичайно за шукану хвилю Юнга. Щоб пересвідчитися в цьому, досить звернути увагу на структурні особливості поля, що спостерігається. Основними відмінними ознаками реконструйованої d-хвилі є характерна ширина дублету її центральних смуг і наявність у неї бічної структури, принципово відсутньої у граничної хвилі.

Ще одним свідченням спільності нової моделі може служити пояснення за її допомогою походження широкомасштабної періодичної структури, виникаючою при оптичній фільтрації поля крайової дифракції. Як показав аналіз, поява цієї структури зумовлена особливостями перетворення фільтром d-хвилі, що приводять до низькочастотної модуляції крил кінцевого розподілу. Один з розрахованих варіантів просторового розподілу поля, побудованого вказаним методом, приведено на рис. 8.

Сукупність представлених аргументів приводить до одно-значного висновку про нездат-ність граничної хвилі Юнга виконувати функцію самостійної хвилі електромагнітного поля. Даний висновок, однак, ні в якій мірі не поменшує історичного значення самої моделі Юнга, що була важливим логічним рівнем в формуванні сучасних уявлень про дифракцію і що грала навперемінно роль то орієнтира, то подразника для розвитку нових ідей. Більш того, як випливає з розв’язку Зоммерфельда, при виключенні з розгляду границі геометричної тіні (тобто при обмеженні зони аналізу областю тіні або освітленої області) і достатньому віддаленні від екрана, гранична хвиля виявляється максимально простою і математично точною моделлю реального поля.

Дійсно, визначивши в якості граничної хвилі в області тіні (світла) суму з d-хвилі і плоскої хвилі з амплітудою Ао/2, ми в межах вказаної області отримуємо реальну електромагнітну хвилю, що розходиться, що задовольняє всім необхідним вимогам електродинаміки, хвильової оптики, строгому розв’язку Зоммерфельда і дифракційній моделі Юнга. Як бачимо в результаті, ідея Юнга знаходить вельми конструктивне відродження в рамках строгої теорії дифракції, надаючи якісно просту і кількісно точну модель реального поля в будь-якій з вказаних областей простору.

Як вже було продемонстровано у 2-му розділі дисертації, з використанням моделі граничної хвилі точність опису може бути дуже високою (навіть в умовах параксіального наближення), а процедура розрахунку - надзвичайно простою. До теперішнього часу перелік повідомлень, присвячених конструктивному використанню уявлень про граничну хвилю в різних розділах оптики, обчислюється десятками. Областями найбільш плідного використання цього поняття сьогодні можна назвати оптичну голографію (починаючи з вже згаданої основоположної роботи Габора) [9*, 12*, 13*, 15*- 18* тощо] і оптику відкритих резонаторів [3*, 4*].

Подальшому розвитку сингулярної моделі дифракції з побудовою більш загальної картини явища присвячено четвертий розділ дисертації.

Одним з найважливіших результатів, отриманих Зоммерфельдом при розв’язку задачі про дифракцію плоскої хвилі на напівплощині, став точний опис структури поля біля краю цієї напівплощини, тобто в області, яка завжди викликала найбільші ускладнення для розуміння поведінки тут вільної хвилі і конкретизації для неї граничних умов. Як відомо, невизначеність характеристик поля в області безпосереднього контакту падаючої хвилі з екраном і складає одну з основних проблем теорії дифракції [1*, 2*]. Тому, 4-й розділ починається з детального аналізу структури поля, що створюється біля краю напівплощини [13].

Принципово важливу деталь цього поля має трьохмірний розподіл відбитої напівплощиною компоненти. Мова йде про невелике “затікання” поля останньої за границю напівплощини. Як показує аналіз, не дивлячись на скромний питомий внесок цього поля в загальний розподіл, з ним пов’язано цілий ряд неочевидних властивостей цього явища Це поле, зокрема, і забезпечує задоволення граничних умов на поверхні екрана - обертання в нуль амплітуди результуючого поля.. Ідентичний для всіх випадків