Боротьба Пуанкаре проти логiцизму мала ще один наслiдок. Вона була спрямована проти методологiї iндуктивiзму, який багато в чому базувався на аналiтичних iдеях логiцизму. Виступи Пуанкаре з кри---тикою логiцизму, пiдтриманi Бутру, Мейєрсоном, Бреншвiгом мали визначне значення, оскiльки поставили перепону на шляху розповсюд---ження емпiризму у французькiй фiлософiї.

З критикою логiцизму був пов'язаний ще один аспект творчостi Пуанкаре. Це стосується канторової теорiї множин.

Як i багато iнших математикiв, Пуанкаре вважав несуперечливiсть найвищим критерiєм повноцiнностi математичної теорiї. Але на межi ХIХ i ХХ столiть у теорiї множин виявились суперечностi, до яких приводять цiлком вiрнi у логiчному вiдношеннi мiркування. Саме цi невирiшуванi парадокси й вiдвернули Пуанкаре вiд теорiї множин. Вiн ставив пiд сумнiв її право на iснування, поскiльки окремi її положення суперечили одне одному. Тому вiн виступив: проти засто---совування "трансфiнiтних чисел", введених Кантором; з критикою аксiоматики Цермело; проти теорiї типiв Рассела; критикував непре---дикативнi визначення в математицi. На думку Пуанкаре, аксiома Цер---мело (1904 р.) являла собою апрiорне синтетичне судження, а тому всi спроби Рассела довести цю аксiому вiн вважав безнадiйними.

Пуанкаре також був iнiцiатором сучасної постановки проблеми непредикативностi. В якостi непредикативних означень вiн розглядав визначення, що побудованi за принципом зачарованого кола - коли мiркування, що веде до бажаного результату, само спирається на те, що з його допомогою треба визначити. Джерелом непредикативностi i всiх суперечностей у теорiї множин Пуанкаре вважав основне поняття цiєї теорiї - актуальну нескiнченнiсть. Тому, на його думку, це поняття слiд виключити з математичного вжитку, i це дасть змогу вийти з парадоксiв теорiї множин.

Такi самi зауваження можна навести i стосовно "герменевтичного кола", коли замiсть аксiоматичного введення роблять спробу преди---кацiї, тим самим потрапляючи у "зачароване коло" нескiнченого регресу предикатiв.

Перший такий парадокс виявив у 1897 роцi iталiйський математик Буралi-Фортi. Пiзнiше, у 1899 роцi, ще одна антиномiя була виявле---на Кантором. Тодi цi парадокси ще не усвiдомлювалися фундаменталь---но. Але нищiвного удару по теорiї множин завдало вiдкриття пара---доксу Рассела, оскiльки вiн витiкав прямо з визначення множини, даного Кантором. Невдовзi були вiдкритi парадокс Рiшара (1905 р.), парадокс Греллiнга (1908 р.) та iншi. Виявилось, що в теорiї мно---жин має мiсце навiть парадокс "брехун", що був вiдомий ще давнiм грекам.

Справа ускладнювалась тим, що теорiя множин на той час складала пiдгрунтя практично всiєї математики. Виявлення парадоксiв показа---ло, що фундамент цього пiдгрунтя сам є досить хитким. Самi основи математики й логiки виявились невирiшуваними суперечностями. Вiдбувся крах, здавалося б, непохитних понять та уявлень - тобто, iнакше кажучи, криза пiдвалин математики.

Ця криза рiзко загостриила боротьбу мiж такими течiями, як логiцизм, iнтуїцiонiзм i формалiзм. Виступи Пуанкаре проти логiцизму i припустимостi актуальної нескiнченностi, розробка ним вчення про математичну iнтуїцiю були одним з джерел виникнення iнтуїцiонiзму як одного з напрямкiв у обгрунтуваннi математики. Для прихильникiв iнтуїцiонiзму характерним є вiдкидання абстракцiї актуальної нескiнченностi i "чистих" теорем iснування, а також неприйняття необмеженого застосування закону виключеного третього.

Конвенцiональна позицiя Пуанкаре може розглядатись як вельми близька до математичного iнтуїцiонiзму. Близькiсть iдей Пуанкаре i основоположника iнтуїцiонiзму Брауера багато дослiдникiв вiдзнача---ють навiть у назвах поглядiв Пуанкаре: Френкель i Бар-Хiллел виз---начають його позицiю як раннiй iнтуїцiонiзм, Бет - як напiвiнту---їцiонiзм. Сам же Брауер охарактеризував Пуанкаре як одного з керiвникiв передiнтуїцiонiстської школи.

При гносеологiчнiй характеристицi геометрiї Пуанкаре висловив ряд положень, на пiдставi котрих його фiлософiю науки почали iме---нувати конвенцiоналiзмом. Вiн стверджував, що "геометричнi аксiоми не являють собою нi математичних суджень a priori, анi актiв досвiду. Вони є конвенцiями..."[3.-с.40]. Iнше формулювання Пуан---каре пiдкреслює довiльнiсть i суб'єктивнiсть конвенцiй: "Цi кон---венцiї є витвором вiльної творчостi нашого розуму, котрий в деякiй галузi не знає жодних перешкод. Тут вiн може стверджувати, оскiль---ки вiн же i робить собi приписи... Цi приписи мають значення для нашого пiзнання, яке без них було б неможливим, але вони не мають значення для природи"[3. -с.41]. Iншi характеристики геометричних аксiом-конвенцiй наближують позицiю Пуанкаре до прагматизму: "Нiяка геометрична система не може бути вiрнiшою за iншу; вона мо---же бути лише бiльш зручною"[3. -с.53]. Всi цi характеристики гео---метричних аксiом, якi вiдносяться Пуанкаре також i до фундамен---тальних положень фiзики, повнiстю вiдповiдають загальноприйнятому визначенню сутностi конвенцiоналiзму.

Однак, для точного визначення позицiй Пуанкаре необхiдно з'ясу---вати, що саме вiн розумiв пiд конвенцiями, який смисл вкладав у поняття "зручнiсть" i чи ототожнював "вiльну творчiсть нашого ро---зуму" при виробленнi конвенцiй з їх повною довiльнiстю.

Розглядаючи геометричнi аксiоми як продукт вiльної творчостi розуму, Пуанкаре пiдкреслював, що науково значущi конвенцiї гео---метрiї перебувають у певнiй вiдповiдностi з властивостями тiєї дiйсностi, до якої вони застосовуються. Вiн писав, що "якщо б пе---ренести нас у деякий iнший свiт (який я називаю свiтом неевклiдо---вим), то ми змушенi були б засвоїти собi й iншi конвенцiї" [3. -с.55]. Одним з перших Пуанкаре поставив питання про те, що рiзнi неевклiдовi геометрiї (котрi багато кому здавалися такими, що не мають жодного вiдношення до об'єктивної реальностi) володiють фiзичним смислом для рiзних типiв реальних поверхонь. Трактування "зручностi", що дається при цьому, є цiлком протилежною уявленню про довiльнiсть геометричних аксiом та систем, що базуються на них: "Евклiдова геометрiя зручнiша тим, що вона досить точно вiдповiдає властивостям природних твердих тiл - тiл, до яких наб---лижаються за властивостями члени нашого органiзму i нашi очi i з яких ми будуємо нашi вимiрювальнi прилади" [3. -с.60]. З точки зо---ру Пуанкаре, евклiдова