На противагу теорії нескінченної подільності елейців Парменіда-Зенона і існування нескінченно малої величини Анаксагора виступили атомісти Левкіпп і Демокріт, які стверджували, що подільність тіла не можна вести до нескінченності, поділ має межу, яка дорівнює неподільному атому. Тому будь-яке тіло складається з великого, але обмеженого числа найдрібніших частинок атомів, які мають малу, але не нульову величину. Тому при складанні обмеженого числа відрізків не можемо отримати нескінченно велике число. А з іншого боку, ця сума не може перетворюватися в нуль, оскільки кожний доданок отриманої суми являє ненульову величину.

Демокріт написав ряд робіт з математики: "Про відмінність між (законнонародженою і незаконнонародженою) думкою, або Про торкання круга і кулі", "Про несумірні лінії і тіла", "Геометрія", але жодна з цих робіт до нас не дійшла. Судячи з літератури про Демокріта і його атомістичного методу, можна зробити висновок, що Демокріт прагнув побудувати природну науку і математику, позбавлену протиріч, які пов'язані з нескінченною подільністю, випливають з апорій Зенона. Так при поділі конуса паралельними площинами він отримував площини товщиною з атом і проміжки між ними такої ж величини. На таку ідею складання пірамід і конусів з окремих шарів, очевидно, наштовхнули на думку Демокріта єгипетські піраміди, які побудовані таким чином з блоків. Але їх грані і ребра мають ступінчастий вигляд і не можуть представляти гладких прямих і площин. Першим опонентом Демокріта виступив Хрістіпп. Згідно з Плутархом, куля являє собою многогранник з великим, але кінцевим числом граней, гранями цього многогранника є основи піраміди з вершиною в центрі кулі. За первинну стереометричну фігуру Демокріт вибрав піраміду, враховуючи її всепроникні властивості, з природних речовин він поставив їй у відповідність вогонь, який має аналогічні властивості в природі.

Але куля, конус, піраміда виявляються складеними з площин. Наведемо аргументи Хрістіппа, згідно з коментарями С.Я.Лурьє: "…Подивимося ще, як відповів Хрістіпп Демокріту, який як дотепний дослідник висунув наступне важке питання: якщо конус буде (багато разів) розтинатися площиною паралельно основі, то як слід уявити собі поверхні перетину: чи будуть вони рівними або нерівними? Якщо вони не рівні між собою, то конус виявиться не гладким, оскільки його поверхня отримає безліч ступінчастих вибоїн і нерівностей. Якщо ж вони рівні між собою, то і самі перетини будуть рівні між собою і виявиться, що конус набуває характерних властивостей циліндра, оскільки він буде складатися з рівних, а не нерівних кругів, а це повний абсурд" [7, 88].

Якщо міркувати так, як міркує Хрістіпп і йому подібні, дійсно виходить абсурд. Але при такому перетині піраміди або конуса площиною необхідно враховувати, що перетин проводиться не по атомних шарах, а по пустих просторах, і отримані в перетині круги-площини мають радіуси різної величини, тому ці перетини мають різну величину, що зменшується від основи до вершини. Якщо скласти ці круги в конус, починаючи від основи до вершини без пустого простору, то дійсно отримаємо ступінчасту фігуру, але Демокріт передбачає між атомними шарами шари і з пустого простору, хоч і ця конструкція в спрощеному вигляді являє фізичне тіло, оскільки в фізичному тілі атоми перебуває в безперервному хаотичному русі.

За рахунок пустого простору відбувається "згладжування" бічної поверхні конуса або піраміди. Цей пустий простір грає роль "цементуючого" розчину, що з'єднує атомарні шари конуса. Такі міркування не приведуть до суперечності, а побудують реальну модель геометричної фігури, побудованої за атомістичною системою.

Аналогічні міркування можна провести і відносно подільності відрізка навпіл для випадку непарного числа атомів у відрізку, несумірних величин і відрізків та інших випадків. Так, якщо поставлено перед нами завдання поділу відрізка пополам, з урахуванням його атомістичної структури, то, виходячи з фізичного атомізму Демокріта, необхідно враховувати, що атоми перебувають в безперервному русі і поділ відрізка з парним або непарним числом атомів буде відбуватися не по атому, а по пустоті, при цьому в отриманих половинках відрізка може бути різне число атомів, такий процес можна продовжити до нескінченності.

Якщо провести такого роду міркування, то можна зазначити, що у відрізка немає кінців, оскільки нам доводиться фіксувати кінці відрізка по рухомих атомах або пустоті. Це, звичайно, фізичний атомізм, але математична конструкція повинна відображати фізичну реальність. "Наявність математичного атомізму у Демокріта відмітив Е.Франк в 1928 р…" - пише С.Я.Лурьє [9, 8]. Більшість же дослідників схильні вважати його теорію фізичним атомізмом.

Важко судити про математичний атомізм Демокріта, не маючи його творів, всі думки проводяться аналогічно з його фізичним атомізмом. Так, якщо розглянути приклад проведення дотичної до кола, то геометрично ми не зможемо побудувати такої дотичної до кола, яка мала б з нею одну спільну точку, ми можемо уявити це собі умоглядно. Але, з іншого боку, якщо уявити дотичну як пряму, що складається з неподільних точок і проміжків пустоти між ними, і коло, як лінію що так само складається з точок і пустоти, то дотична і коло можуть мати спільну частину по пустотах, тобто вони не будуть мати спільної точки; другий варіант: неподільна точка дотичної співпадає з пустотою кола або точка кола співпадає з пустотою дотичної; і останній варіант: точка дотичної співпадає з точкою кола, що є недопустимою накладкою. Якщо атом дотичної співпадає з атомом кола, то в цьому випадку маємо зіткнення атомів, в