Третій аргумент, що наводиться проти математики атомістів, пов'язаний з поняттям несумірності, ірраціональними величинами. У всій літературі, присвяченій аналізу атомістичної математики Демокріта, чомусь здійснюється арифметичний підрахунок кількості неподільних точок-атомів в одному й другому відрізку, не враховуючи проміжків між ними, і береться відношення кількості атомів одного відрізка до другого (відношення діагоналі квадрата до його сторони, або навпаки), і отримують раціональне число у вигляді , раціональне число для несумірних відрізків. Нам здається, що це неправильний підхід. Не маючи під рукою роботи Демокріта "Про несумірні лінії і тіла" неможливо робити такі висновки. Треба вважати, що Демокріт в цій роботі приділив увагу як дискретним, так і континуальним питанням і проблемам, що виникають між ними. До часу Демокріта теорема Піфагора вже була доведена в загальному вигляді, і проблема дискретності та безперервності була гостро поставлена. Демокріт не міг пройти повз неї, тому проблемі несумірності спеціально була присвячена робота "Про несумірні лінії і тіла", в якій, на наш погляд, при аналізі несумірних ліній і тіл враховувалося не тільки число атомів у відрізках і тілах, але і пусті проміжки між ними. Якщо враховувати, що відрізок складається з "атомів" і "пустоти", то зберігається і поняття континуальності і несумірності та нескінченної подільності і інші положення математики; і атомістична теорія не буде вступати в суперечність з математикою та іншими положеннями здорового глузду.

Як було відмічено раніше, атомістична теорія Левкіппа-Демокріта була побудована на противагу елейській теорії Парменіда-Зенона. Якщо елейці применшували роль почуттєвих джерел пізнання, що було згодом основою скептицизму і деяких шкіл софістів, то атомісти визнавали відмінність між почуттєвим і умоглядним пізнанням, вважаючи почуттєве первинним, початковою формою пізнання, а інтелектуальне, умоглядна форма не протилежна почуттєвому, вона повинна поглибити, уточнити почуттєві методи пізнання, "…атомісти бачать в пізнанні за допомогою розуму не протилежність почуттєвим сприйняттям, - говорить В.Ф.Асмус, - а їх продовження і поглиблення, уточнення. Достовірність інтелектуального пізнання має джерело в цьому ж почуттєвому сприйнятті" [6, 111].

Атомістична теорія - це подальша раціоналізація на шляху звільнення філософського і наукового мислення від міфологічних уявлень.

Треба вважати, що атомістична математика Демокріта являє собою "грубу" конструкцію реально існуючих фізичних речей, і в цій атомістичній математиці не виконувалися всі вимоги класичної математики, де не було розроблене поняття граничного переходу, знаходження межі функції і інші положення. Мислителі того часу інтуїтивно підходили до цих положень, вдаючись в крайності і вивчаючи проблеми дискретної і континуальної математики окремо, а там, де вони перетиналися в своїх дослідженнях, виходили різного роду проблеми, казуси.

Над проблемами неправильних ліній працював Архіт Тарентський (428-365 до н.е.), його учень Евдокс Кнідський (408-355 до н.е.) розробив теорію пропорцій і метод вичерпання, в якому відрізки розглядаються як величини, що безперервно змінюються. Проблемами ірраціональних величин займався Теетет Афінський (410-368 до н.е.), наочним прикладом є математичні побудови і дослідження Архімеда. Його методи безпосередньо випливають з атомістичних методів Демокріта. У Архімеда методи Демокріта досягли більшої досконалості. Демокріт сам зазначав, що є два методи пізнання: один "істинний", інший - "темний". Під "істинним" він розумів умоглядні побудови це конструкції розуму; під "темним" - пізнання за допомогою відчуттів. Але, враховуючи, що наші органи почуттів не в змозі глибоко пізнати суть речей, на зміну "темному" методу повинен прийти умоглядний метод. Користуючись методом Демокріта, Евдокса, суворими доказами Евкліда, Архімед досяг видатних успіхів у галузі математики круглих тіл.

Але атомістична математика Демокріта не отримала свого визнання в античні часи, класична математика Евкліда, побудована на класичних принципах Платона-Аристотеля, отримала визнання. Важко знайти однозначні причини невизнання натурфілософських матеріалістичних ідей Демокріта. Умами їх сучасників оволоділи згодом ідеї Платона і Аристотеля. Це невизнання ідей Демокріта було трагедією для його найбагатшої наукової спадщини, вся його наукова спадщина загинула, залишилися окремі фрагменти. Але збереглися майже повністю праці Платона і Аристотеля, хоч математичний атомізм Платона безпосередньо випливає з фізичного атомізму Демокріта.

Атомістичні ідеї Демокріта розвивалися в атомістичних уявленнях Епікура-Лукреція. У період Відродження атомістичні ідеї Демокріта і механіко-математичні методи Архімеда набули подальшого розвитку у працях Джордано Бруно, Галілео Галілея, в математичних побудовах Банавентура Кавальєрі. У Новий час ці ідеї отримали завершення в диференціальних і інтегральних обчисленнях Ісаака Ньютона і Готфріда Лейбніца. В епоху Відродження і Новий час сталася реставрація і реконструкція ідей Левкіппа-Демокріта в математиці і природничих теоріях фізики, хімії, космології та космогонії, ідеї древніх атомістів набули різного роду реконструкції й подальшого розвитоку.

Література:

Фрагменты ранних греческих философов. –М.: Наука, 1989. –585 с.

Аристотель. Соч. В 4х томах. Т. 1. - М.: Мысль, 1978. –550 с.

Маркс К., Энгельс Ф. ПСС. Т.20.

Бородин А. И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. -Киев: Радянська школа, 1979. –607 с.

Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. –М.: Мысль, 1979. –620 с.

Цит. по Асмус В.Ф. Античная философия. –М.: Высшая школа. 2001. –400 с.

Цит. по Гайденко Пиама. История греческой философии в ее связи с наукой. –М.: ПЕР СЭ; СПб, 2000. –319 с.

Аристотель. Соч. В 4х томах. Т. 3. - М.: Мысль, 1981. –613 с.

Лурье С.Я. Теория бесконечно малых у древнегреческих атомистов. – М., Л., 1935.