існує, впевненість у цьому виникає в дослідників з п'яти причин: з часу (тому що воно нескінченно); з поділу величин; далі, тільки в такий спосіб не вичерпаються виникнення і знищення, якщо буде нескінченне, відкіля береться виникаюче. Далі, з того, що кінцеве завжди межує з чим-небудь, тому що необхідний, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більш за все – на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається нескінченним, і математичні величини". Чи існує нескінченне як окрема чи сутність воно є акциденцією чи величиною безлічі? Аристотель приймає другий варіант, тому що "якщо нескінченне не є ні величина, ні безліч, а саме є сутністю, то воно буде неподільне, тому що ділене чи буде величиною, чи безліччю. Якщо ж воно не ділено, воно не нескінченно в розумінні не перехідного до кінця". Неможливість математичного нескінченного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне нескінченне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час нескінченне" не існує, адже "...якщо можливо перерахувати зчислене, то буде можливість пройти до кінця і нескінченне". Таким чином, нескінченність тут потенціально існує, актуально ж - немає.
Виходячи з викладеного вище розуміння нескінченного, Аристотель визначає безперервність і перервність. Так, "безперервне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, випливаючи за другим, стосується його". Число як типово перерване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів - одиниць. Геометричним аналогом одиниці є крапка; при цьому з'єднання крапок не може утворити лінію, тому що "крапкам, з яких було б складене безконечне, необхідно чи бути безперервними, чи стосуватися один одного". Але безперервними вони не будуть: "адже краї крапок не утворять чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краю, ні іншої частини". Крапки не можуть і стосуватися один одного, оскільки стосуються "усі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але оскільки неподільне не має частин, їм необхідно стосуватися цілком, але те, що стосується цілком не утворить безперервного".
Неможливість складання безперервного з неподільних і необхідність його розподілу на завжди ділені частини, встановлені для величини, Аристотель поширює на рух, простір і час, обґрунтовуючи (наприклад, у "Фізиці") правомірність цього кроку. З іншого боку, він приходить до висновку, що визнання неподільних величин суперечить основним властивостям руху. Виділення безперервного і перервного як різних родів буття послужило основою для розмежування в логіко-гносеологічній області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.
"Початками у кожному роді я називаю те, щодо чого не може бути доведено, що воно є. Отже, те, що позначає первинне і з нього що випливає, приймається. Існування начал необхідно прийняти, інше - варто довести. Наприклад, що таке чи одиниця що таке пряма чи що таке трикутник (варто прийняти); що одиниця і величина існує, також варто прийняти, інше - довести". У питанні про появі в людей здатності пізнання начал Аристотель не погоджується з точкою зору Платона в уродженості таких здібностей, але і не допускає можливості придбання їх; тут він пропонує наступне рішення: "необхідно мати деяку можливість, однак не таку, котра перевершувала би ці здібності у відношенні точності". Але така можливість, мабуть, притаманна всім живим істотам; справді, вони мають природжену здатність розбиратися, що називається чуттєвим сприйняттям. Формування начал йде "від попереднього і більш відомого для нас", тобто від того, що ближче до чуттєвого сприйняття до "попереднього і більш відомому безумовно" (таким є загальне). Аристотель дає розгорнуту класифікацію начал, виходячи з різних ознак.
По-перше, він виділяє "начала, з яких що-небудь доводиться, і такі, у яких доводиться". Перші "суть загальні (усім начала)", другі - "властиві лише даній науці – наприклад, число, величина". У системі начал загальне займає ведуче місце, але його недостатньо, тому що "серед загальних начал не може бути таких, з яких можна було б довести всі". Цим і розуміється, що серед начал повинні бути "одні властиві кожній науці окремо, інші – загальні для всіх".
По-друге, начала поділяються на дві групи у залежності від того, що вони розкривають: існування об'єкта чи наявність у нього деяких властивостей.
По-третє, комплекс начал науки, що доводить, поділяється на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.
Вибір начал в Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доводить; саме начала характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. "Те, що доводиться", можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний силогізм, що доводить, і його висновки. З цих елементарних процесів будується будинок науки, що доводить, у вигляді окремо взятої теорії. З них же створюється і наука як система теорій. Однак не будь-який набір доказів утворить теорію. Для цього він повинен задовольняти визначені вимоги, що охоплюють як зміст доказуваних пропозицій, так і зв'язку між ними. У межах же наукової теорії необхідно має місце ряд допоміжних визначень, що не є первинними, але служать для розкриття предмета теорії.
Хоча питання методології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але по змісту в сукупності вони утворять повну систему. В основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відображення об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з платонівським ідеалізмом; адже "якщо в явищах чуттєвого світу не
