< <4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11><1, 2, 3> >, lp=8

<1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11>, lp=16, lp? n.

Як бачимо, нам знадобилося 4 кроки злиття для того, щоб одержати впорядований масив.

За дії означень (17.1) такий спосіб сортування описується процедурою Mrgsort:

procedure Mrgsort (var A : ArT; n : Indx);

var B : ArT; lp, npp, cpp, bpp, tl : integer;

begin

lp := 1;

while lp < n do

begin

B := A; { копіювання }

npp := n div (2*lp); { кількість пар ділянок }

tl := n mod (2*lp); { довжина залишку }

for cpp := 1 to npp do { cpp – номер пари }

begin

bpp := (cpp - 1)*2*lp + 1;

{ індекс першого елемента лівої ділянки пари}

mrg ( B, bpp, lp, lp, A );

end;

{ обробка залишку }

if tl > lp then

mrg ( B, n - tl + 1, lp, tl - lp, A );

{ за tl <= lp залишок був упорядкований }

{ на попередньому кроці }

lp := lp*2

end

{ lp >= n : масив упорядковано на останньому кроці }

end

Очевидно, що після k-го кроку впорядковані ділянки мають довжину lp=2k. Якщо 2k=n, то масив упорядковано. Якщо 2k>n, але 2k-1<n, то при виконанні останнього кроку мають місце співвідношення

lp = 2k-1 = 2k / 2 > n/2, npp = 0, tl = n > lp,

і злиття ділянки довжиною lp та залишку довжиною n-lp дає впорядкований масив.

Оцінимо складність наведеного алгоритму. При кожному виконанні тіла циклу while значення всіх елементів масиву копіюються в допоміжний масив і назад по одному разу, тобто виконується O(n) елементарних дій. Після останнього k-го кроку 2k<2n, тобто k<1+logn, і це означає, що тіло циклу while виконується 1+? log2n? =O(logn) разів. Отже, складність алгоритму оцінюється як O(nlogn).

Запишемо в таблицю значення виразів n, n(n-1)/2, n(1+? log2n? ) та округлене відношення r двох останніх:

n | n(n-1)/2 | n(1+? log2n? ) | r

10 | 45 | 40 | 1

100 | 4950 | 700 | 7

1000 | 499500 | 10000 | 50

10000 | 49995000 | 140000 | 350

Як бачимо, кожне зростання n у 10 разів веде до зростання n(n-1)/2 та n(1+? log2n? ) приблизно в 100 й 14 разів відповідно, і за n=10000 сортування злиттям виконується в сотні разів скоріше, ніж бульбашкове!

Зауважимо, що в наведеному алгоритмі сортування злиттям копіювання масиву в допоміжний указано лише для того, щоб ідею алгоритму було простіше сприйняти. Цей алгоритм нескладно переробити так, щоб замість копіювання в додатковий масив відбувалося злиття в нього упорядкованих ділянок. Отже, на кроках з номерами 1, 3, 5, … має відбуватися злиття в допоміжний масив, а на кроках 2, 4, 6, … – злиття в протилежному напрямку. Переробка алгоритму залишається вправою.

Сортування злиттям можна задати рекурсивно: масив поділяється на дві приблизно рівні частини, які після сортування (тим самим способом – ось рекурсія!) зливаються. Коли ж довжина частини масиву зменшується до 1, відбувається просто повернення з рекурсії. Цей алгоритм уточнюється наступною процедурою Mrgrec. На відміну від процедури Merges, вона має два параметри-масиви (той, що сортується, та допоміжний), а також два числові параметри (початок і кінець частини масиву, яка сортується). Крім того, спочатку відбувається злиття ділянок основного масиву в допоміжний, а потім копіювання в основний:

procedure Mrgrec(var A, B : ArT; l, r : integer);

var m, k : integer;

begin

if l>=r then exit;

m:=(l+r) div 2;

Mrgrec(A, B, l, m); Mrgrec(A, B, m+1,r);

mrg(A, l, m-l+1, r-m, B);

for k:=l to r do A[k]:=B[k];

end;

Ця процедура набагато коротше нерекурсивної процедури Merges, але виконання її довше. Власне сортування починається лише після повернення з викликів, у яких l=r, а це практично "середина дистанції".

Завершуючи описання сортування злиттям, скажемо, що цей алгоритм є першим із ефективних алгоритмів сортування. У 1945 році його винайшов Джон фон Нейман, один із піонерів програмування.

Серйозним недоліком цього алгоритму є необхідність додаткового масиву такої ж довжини, як і в основного. За великих довжин можлива ситуація, коли на один масив пам'яті вистачає, а на два – ні. Розглянемо два алгоритми, позбавлені цього недоліку.

4.2. Піраміда, вона ж дерево

Уявіть собі, що ми розташували елементи масиву рядками, щоразу подвоюючи їх кількість: у першому рядку – перший елемент, у другому – елементи з індексами 2, 3, у наступному – 4, 5, 6, 7, далі 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 тощо. Останній рядок може виявитися неповним. Наприклад, за кількості елементів n=12 маємо таку піраміду індексів:

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10 11 12

Елементи цієї піраміди будемо називати вузлами.

Між вузлами проведемо стрілки: від 1 – до 2 та 3, від 2 – до 4 та 5, від 3 – до 6 та 7 тощо, тобто від кожного вузла k до 2k та 2k+1, де k<n div 2 (рис.17.1). За парного n від вузла (n div 2) проводиться стрілка лише до вузла n. Вузли 2k та 2k+1 називаються синами вузла k, який називається їхнім батьком. Вузол 1 називається вершиною піраміди. Кожний вузол також можна вважати вершиною піраміди, складеної ним, його синами, їх синами тощо. Наприклад, вузол 2 є вершиною піраміди, складеної з 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, вузол 3 – піраміди з 3, 6, 7,