Піраміду можна розглядати як дерево, гілки якого – стрілки від батьків до синів. Вершина піраміди називається коренем дерева.

Припустимо тепер, що значення елементів масиву розташовано так, що значення кожного елемента-батька не менше значень його синів:

A[1] ? A[2] та A[1] ? A[3], A[2] ? A[4] та A[2] ? A[5] тощо.

Отже, за кожного k=1, 2, … , n div 2

A[k] ? A[2*k] та A[k] ? A[2*k+1] (17.2)

(за парного n елемент A[n div 2] має лише одного сина A[n]). Наприклад,

30

12 30

12 5 29 2

11 10 3 2 28 27

Цій піраміді відповідає послідовне розташування <30, 12, 30, 12, 5, 29, 2, 11, 10, 3, 2, 28, 27>.

Очевидно, що кожний елемент має значення, найбільше в тій піраміді, де він є вершиною. Наприклад, A[2] має значення, найбільше серед елементів із індексами 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11. Зокрема, A[1] має значення, найбільше серед усіх елементів.

Якщо поміняти місцями значення A[1] і A[n], то елемент A[n] матиме найбільше значення. Про нього "можна забути" та зосередитися на сортуванні A[1], A[2], ... , A[n-1]. Зрозуміло, що умова A[1]? A[2], A[1]? A[3] після обміну може виявитися порушеною. Для її відновлення треба обміняти місцями значення A[1] та того з A[2], A[3], чиє значення максимальне. Нехай це буде A[3]. В останньому прикладі після обміну значень A[1] і A[12] на вершині піраміди значення 27, і 27<30, тобто A[1]<A[3]. Після обміну їх значень умова (17.2) може порушитися в піраміді з вершиною A[3]. Відновимо цю умову так само, як і для вершини A[1], опустившися при цьому до вузла A[6] чи A[7]. І так далі.

Після відновлення умови (17.2) можна буде обміняти значення першого елемента з передостаннім, "забути" про нього, знову відновити умову, знову загнати перше значення в кінець тощо.

Нехай процедура bld(A, n) задає початкову перестановку значень масиву таким чином, що виконується умова (17.2), а процедура reorg(A, i, k) – її відновлення у частині масиву A[i], … , A[k]. Тоді за дії означень (17.1) сортування задається процедурою Treesort:

procedure Treesort ( var a : ArT; n : Indx );

var j : Indx;

begin

bld (A, n);

for j := n downto 3 do

begin

swap (A[1], A[j]); reorg (A, 1, j-1)

end

end

Властивість (17.2) відновлюється в частині масиву A[1], … , A[n-1] таким чином. Обмінюються значення A[1] та того з A[2] або A[3] (позначимо його A[k]), чиє значення максимальне. У результаті властивість (17.2) може порушитися в частині масиву A[k], … , A[n-1]. У ній відновлення відбувається так само, як і серед A[1], … , A[n-1].

Опишемо відновлення частини масиву A[i], … , A[j] у загальному випадку значень i, j. Нехай у частині масиву A[i], … , A[j], де 2*i+1? j, треба відновити властивість (17.2), можливо, порушену з початку: A[i]<max{A[2*i], A[2*i+1]}. За умови A[2*i]>A[2*i+1] покладемо k=2*i, у противному разі – k=2*i+1. Обміняємо значення A[i] та A[k]; після цього, якщо необхідно, властивість (17.2) відновлюється в частині масиву A[k], … , A[j].

Коли 2*i=j, то лише порівнюються й, можливо, обмінюються значеннями A[i] та A[j], причому k=j.

Коли 2*i>j, то властивість (17.2) не може бути порушеною в частині масиву A[i], … , A[j].

За дії означень (17.1) відновлення задається рекурсивною процедурою reorg:

procedure reorg ( var A : ArT; i, j : Indx );

var k : Indx;

begin

if 2*i = j then

if A[i] < A[j] then swap ( A[i], A[j] );

if 2*i < j then

begin

if A[2*i] > A[2*i+1] then k := 2*i

else k := 2*i + 1;

if A[i] < A[k] then

begin

swap ( A[i], A[k] ); reorg ( A, k, j )

end

end

end

Після виконання виклику reorg( A, i, j ) за будь-якого i<jdiv2 елемент A[i] має максимальне значення серед A[i], A[2*i], A[2*i+1]. Цим можна скористатися для побудови початкового масиву з властивістю (17.2): спочатку "відновлюється" частина масиву A[ndiv2], … , A[n], потім частина A[ndiv2-1], … , A[n] тощо. Звідси процедура bld:

procedure bld (var A : ArT; n : Indx );

var i : Indx;

begin

for i := n div 2 downto 1 do reorg ( A, i, n )

end

Оцінимо складність алгоритму. За наведеними процедурами очевидно, що складність алгоритму прямо пропорційна загальній кількості викликів процедури reorg. При виконанні процедури bld процедура reorg викликається ndiv2 разів, а при виконанні циклу for процедури Treesort – ще n-2 рази. Отже, загальна кількість викликів процедури reorg з інших процедур є O(n). Кількість елементарних дій при виконанні операторів її тіла оцінюється сталою, тобто O(1). У кожному рекурсивному виклику процедури reorg значення її другого параметра не менше ніж подвоюється, тому кожний виклик reorg з інших процедур породжує не більше O(logn) рекурсивних викликів. Звідси випливає, що загальна кількість елементарних дій є O(nlogn).

4.3. Швидке сортування

Ідея швидкого сортування така. Певним чином вибирається значення v. Значення елементів масиву A обмінюються так, що елементи на його початку мають менші від v значення, а від деякого місця k значення елементів більші або рівні v. Це значення називається відокремлюючим; воно знаходиться на своєму місці, якщо A[k]=v. Після розміщення відокремлюючого значення на потрібному місці достатньо окремо відсортувати частини масиву від A[1] до A[k-1] та від A[k+1] до кінця.

Нехай діють означення (17.1). Сортування частини масиву A[lo] … A[hi] з відокремлюючим значенням A[lo] задається такою процедурою:

procedure quicksort ( A : ArT; lo, hi : Indx ) ;

var k,