Перебирання варіантів в програмуванні

1. Задача про розміщення ферзів

Розглянемо шахівницю, що має розміри не 8? 8, а n? n, де n>0. Як відомо, шаховий ферзь атакує всі клітини та фігури на одній з ним вертикалі, горизонталі та діагоналі. Будь-яке розташування кількох ферзів на шахівниці будемо називати їх розміщенням. Розміщення називається допустимим, якщо ферзі не атакують одне одного. Розміщення n ферзів на шахівниці n? n називається повним. Допустимі повні розміщення існують не при кожному значенні n. Наприклад, при n=2 або 3 їх немає. За n=4 їх лише 2 (рис.19.1), причому вони дзеркально відбивають одне одного.

Задача. Написати програму побудови всіх повних допустимих розміщень n ферзів, де 4? n? 20.

Для початку з'ясуємо деякі властивості допустимих розміщень. Очевидно, що в них кожний ферзь займає окрему вертикаль і горизонталь. Занумеруємо вертикалі й горизонталі номерами 1, … , n та позначимо через <H1, H2, ? , Hi> послідовність номерів горизонталей, зайнятих ферзями, що стоять у вертикалях 1, 2, ? , i, де 0? i? n. Випадок i=0 відповідає порожньому розміщенню <>.

Існує n способів розмістити ферзя в першій вертикалі, тобто перейти від порожнього розміщення до непорожнього. Цей перехід позначимо стрілкою (рис. 19.2(а)). За кожного з розміщень ферзя в першій вертикалі є n варіантів розміщення ферзя в другій вертикалі, але з них слід відкинути недопустимі. Відмітимо їх знаком '*' (рис.19.2(б)).

Узагалі, нехай зафіксовано розміщення ферзів у перших i-1вертикалях:

S(i-1)=<H1,? ,Hi-1>.

Для побудови всіх допустимих розміщень із початком S(i-1) треба перебрати всі допустимі розміщення S(i)з ферзем у i-й вертикалі та для кожного побудувати всі допустимі розміщення з початком S(i).

Отже, маємо рекурсивний алгоритм побудови всіх допустимих розміщень, за яким пошук усіх допустимих заповнень ферзями останніх n-i+1вертикалей зводиться до пошуку заповнень n-i вертикалей.

Уточнимо цей алгоритм рекурсивною процедурою deps. Нехай розмір шахівниці не більше nm=20. Номери вертикалей та діагоналей містяться в діапазоні nums=1..nm, а розміщення зображається станом масиву H типу

arh = array[ nums ] of nums.

Процедура deps задає побудову розміщення, починаючи з i-ї вертикалі за фіксованих H[1], ? , H[i-1]. Підпрограми test та writs задають відповідно перевірку допустимості розміщення <H[1], … , H[i-1], H[i]> та друкування повного розміщення. Вони викликаються у процедурі deps:

procedure deps ( var H : arh; n, i : nums);

var j, k : nums;

begin

for k := 1 to n do

begin

H[i] := k;

if test ( H, i) then

if i = n then writs ( H, n) {друкування повного розміщення }

else deps ( H, n, i+1 ) {рекурсивний виклик}

end

end

Функція test задає перевірку допустимості розміщення <H[1], ? , H[i-1], H[i]> за умови, що <H[1], ? , H[i-1]> є допустимим:

function test ( var H : arh; i : nums ) : boolean;

var j : nums; flag : boolean;

begin

j := 1; flag := true;

{перевірка, чи займається нова горизонталь і діагональ}

while ( j < i ) and flag do

begin

flag := ( H[i] <> H[j] ) and ( abs ( H[i]-H[j] ) <> i-j ); j := j+1

end;

test := flag

end

Розробка процедури writs друкування повного розміщення залишається вправою.

Програма розв'язання задачі має такий вигляд:

program Queens ( input, output );

const nm = 20;

type nums = 1..nm;

arh = array[ nums ] of nums;

var H : arh; n : nums;

procedure writs ? end;

function test ? end;

procedure deps ? end;

begin

writeln ('задайте розмір дошки: 4..20>'); readln ( n );

deps ( H, n, 1)

end.

Задачі

1.* Тура атакує фігури на одній із нею вертикалі та горизонталі. Написати програму пошуку всіх розміщень n тур на шахівниці розміром n? n, у яких жодна тура не атакує іншу. Зазначимо, що ця задача цілком збігається з задачею побудови всіх перестановок чисел 1, 2, ? , n.

2. Упорядкуємо повні розміщення ферзів, уважаючи:

<a1, a2, ? , an> < <b1, b2, ? , bn>,

якщо існує таке i? n, що a1=b1, ? , ai-1=bi-1 та ai<bi. Написати програму побудови розміщення ферзів, найменшого за таким упорядкуванням.

3.* Написати програму підрахунку загальної кількості вузлів та внутрішніх вузлів дерева розміщень ферзів, тобто числа виконань викликів підпрограм відповідно test і deps. Указати зв'язок між цими числами.

4. Оцінити складність задачі

а) побудови всіх допустимих розміщень тур;

б) побудови найменшого допустимого розміщення ферзів;

в) побудови всіх допустимих розміщень ферзів.

2. Дерево пошуку та його обхід

Розміщення ферзів на шахівниці, що будуються в процесі виконання програми Queens, можна подати вузлами кореневого орієнтованого дерева (рис.19.3).

У цьому дереві кожний вузол <H[1], ? , H[i]>, де 0? i<n, має синів

<H[1], ? , H[i], 1>, <H[1], ? , H[i], 2>, ? , <H[1], ? , H[i], n>.

Відповідно цей вузол називається їхнім батьком. Сини вузла, сини його синів тощо називаються його нащадками, а він – їхнім попередником. Порожнє розміщення <> є коренем дерева, повні чи недопустимі розміщення – його листками, а допустимі неповні – проміжними вузлами. Кожний вузол дерева має певну глибину, або рівень у дереві. Глибиною кореня є 0, його синів – 1 тощо. Повним розміщенням відповідають листки дерева, які в даному разі мають глибину n. Зазначимо, що в даному разі глибина вузлів дерева збігається з довжиною їх як розміщень.

Це дерево відбиває пошук повних допустимих розміщень, тому називається деревом пошуку. Пересування по вузлах дерева у визначеному порядку називається обходом дерева. Отже, пошук розміщень у дереві є