Задамо алгоритм, реалізований процедурою deps із програми Queens, в узагальненому вигляді. Нехай A позначає вузол дерева, ОБХІД( A ) – обхід дерева з коренем А, а синами вузла A є A(1), A(2), ? , A(n). Тоді процедура deps із програми Queens має таку схему:

for k := 1 to n do

begin

перехід до вузла A(k);

if A(k) є допустимим then

if A(k) є листком then обробка листка A(k)

else ОБХІД( A(k) )

end

Як бачимо, процедура deps задає обхід дерева пошуку з вузлів-розміщень ферзів. Цей обхід називається обходом дерева у глибину. Ця назва зумовлена тим, що обхід дерева з довільним коренем закінчується лише після того, як закінчено обхід усіх його нащадків. Тобто від вузла ми переходимо до його нащадків, заглиблюючися в дерево.

Обхід дерева в глибину відтворюється за допомогою магазина (стека), до якого додаються та з якого вилучаються вузли дерева.

З кожним вузлом дерева пов'яжемо інформацію, яка додається при переході до цього вузла. В задачі про розміщення ферзів кореневий вузол відповідає порожньому розміщенню, тому з ним ніяка інформація не пов'язана. При переході від вузла, що подає розміщення <H[1], ? , H[i]>, до вузла, відповідного розміщенню <H[1], ? , H[i], k>, збільшується номер останньої вертикалі i, в k-у клітину якої ставиться ферзь. Отже, з вузлом зв'язується пара чисел (i, k), що є номерами вертикалі й горизонталі. Саме такі пари додаються до магазина вузлів.

У задачі про ферзі роль магазина відіграє масив H. Збільшення номера вертикалі i, тобто перехід до наступного компонента масиву, разом із присвоюванням H[i]:=k відтворюють додавання до магазина нового елемента – пари (i, k). Цикл із заголовком

for k := 1 to n do

у процедурі deps задає перебирання вузлів-"братів"

<H[1],? , H[i-1], 1>, <H[1],? , H[i-1], 2>, ? , <H[1],? , H[i-1], n>,

що рівносильно послідовному вилученню з магазина попереднього брата з додаванням наступного.

Опишемо обхід дерева пошуку розміщень без застосування рекурсії. Розглянемо пересування, пов'язані з вузлами дерева. З допустимого вузла-листка ми одразу рухаємося до його батька, з недопустимого – до його брата. Пересування, пов'язані з кожним його проміжним вузлом, можна подати, як на рис.19.4.

Як бачимо, відвідувати проміжний вузол доводиться лише двічі – на початку та в кінці обходу дерева, коренем якого він є. Для того, щоб відрізнити ці два випадки, потрібні додаткові змінні. У разі розміщень ферзів перехід від вузла до його правого брата задається збільшенням H[i] на 1. Це рівносильне одночасному виштовхуванню вузла з магазина та додаванню його правого брата. Звідси випливає, що коли обробляється вузол глибини i, в магазині є лише по одному вузлу кожної глибини m, m? i. Тому достатньо однієї додаткової змінної для кожної можливої глибини. Отже, означимо додатковий масив D того ж самого типу, що й масив H. Значенням D[i] стає 0, коли до вузла глибини i ми приходимо згори або зліва, та 1 – коли знизу.

Перехід до вузла знизу – це повернення до батька, і його умовою в задачі про ферзі є H[i]=n.

Повернення до кореня дерева означає кінець його обходу. Тому використаємо умову i=0 як умову закінчення пошуку. Отже, пошук повних допустимих розміщень ферзів має таке описання, яке по суті є тілом процедури пошуку:

i:=1; H[i]:=1; D[i]:=0;

while (i<>0) do

begin

if i=n then {обробка вузла-листка}

if test(H, i) then {друкування повного допустимого розміщення}

{ та повернення до батька незалежно від наявності братів}

begin writs(H, n); i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end

else

if H[i]<n then H[i]:=H[i]+1 {перехід до правого брата}

else {повернення до батька – }

{піддерево, в якому він є коренем, вже обійшли}

begin i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end

else {обробка проміжного вузла}

if (D[i]=0) and test(H, i) then {рух у глибину}

begin i:=i+1; H[i]:=1; D[i]:=0 end

else {рух праворуч або нагору}

if H[i]<n then {рух праворуч}

begin H[i]:=H[i]+1; D[i]:=0 end

else {рух нагору}

begin i:=i-1; if i>0 then D[i]:=1 end

end

Оформлення програми з необхідними означеннями, ініціалізаціями та нерекурсивною процедурою пошуку залишаємо як вправу.

Узагальнимо наведений алгоритм, вважаючи, що, на відміну від задачі про розміщення ферзів, кореневий вузол дерева також містить деяку відповідну інформацію:

заштовхнути кореневий вузол у магазин;

while магазин не порожній do

begin

нехай A – вузол на верхівці магазина;

if A є листком then

begin

обробити листок A;

виштовхнути A з магазина;

if A не є правим сином свого батька then

заштовхнути в магазин правого брата A;

end

else {A – проміжний вузол}

if A є допустимим і дерево з коренем A ще не оброблено then

заштовхнути в магазин лівого сина A

else {дерево з коренем A вже оброблено або A не є допустимим}

begin

виштовхнути A з магазина;

if A не є правим сином свого батька і не є коренем then

заштовхнути правого брата A в магазин;

end

end.

Наведений опис задає так званий вичерпний пошук у дереві пошуку варіантів, оскільки рано чи пізно ми дістаємося кожного допустимого вузла дерева. Зазначимо, що цей опис є схемою багатьох алгоритмів розв'язання різноманітних задач, пов'язаних із перебиранням варіантів.

3. Метод розгалужень і меж

Обхід усіх вузлів дерева пошуку варіантів може виявитися надто довгим. Наприклад, якщо в дереві всі вузли є допустимими, кожний проміжний вузол має m синів, а глибина дерева n, то всього в дереві 1+m+m2+ … +mn=(mn+1-1)/(m-1) вузлів. Уже за m=10 та n=10 це більш, ніж 1010. Якщо припустити, що комп'ютер здатний обробити 105 вузлів за секунду, то обхід такого дерева триватиме 105 секунд, або приблизно добу.

Існує багато практичних задач, де вимагається відшукати чи побудувати не всі можливі варіанти,