Паскаль: цикл "поки" та його використання
Цикл – це ряд подій, що регулярно повторюються в тому самому порядку.
З Оксфордського словника англійської мови
1. Поки...
Приклад 4.1. Розглянемо дещо штучну задачу: написати цілочислову функцію з ім'ям pow для обчислення степеня an за довільним натуральним a і n? 0. Задача має елементарне розв'язання: an=enlna, і в тілі функції достатньо написати pow:=round(exp(n*ln(a))). Проте невід'ємні степені цілих чисел є цілими, тому спробуємо обійтися без нецілих виразів із функціями exp і ln.
За означенням, an є a? a? ...? a, тобто a0=1, ai=ai-1? a для i=1, 2, ... , n. Це підштовхує до спроби обчислення an шляхом багаторазового множення на a. Спочатку шуканий степінь p=1, і треба n разів умножити його на a. Після першого множення p=a, і треба n-1 разів умножити його на a тощо. Перед останнім множенням p=an-1. Таким чином,
спочатку p=1 і треба виконати n множень на a, і поки залишаються "невикористані" множники a, ми множимо p на a, одержуємо новий степінь p і запам'ятовуємо, що "невикористаних" множників стало менше на 1.
Остання фраза, власне, і є алгоритмом обчислення an. Перекладемо його на мову Паскаль.
Нам потрібні змінні p і a для збереження степеня і його основи, а також змінні n і k для збереження показника степеня й кількості "невикористаних" множників. Змінні a і n – параметри нашої функції, тому їх початкові значення тут не важливі. Тепер алгоритм можна уточнити:
p:=1; k:=n;
поки k>0 виконувати {залишилися "невикористані" співмножники}
begin p:=p*a; k:=k-1 end
Якщо перекласти на англійську мову слова поки і виконувати як while і do, то утвориться:
p:=1; k:=n;
while k>0 do{залишилися "невикористані" співмножники}
begin p:=p*a; k:=k-1 end
Але це вже Паскаль! Справа в тім, що вираз вигляду
while умова do оператор
називається while-оператором, або оператором циклу з перед-умовою. Вираз "while умова do" називається заголовком циклу, "оператор" – тілом. Ми б назвали while-оператор циклом з умовою продовження, але цей термін дотепер у літературі не з'являвся.
Опишемо семантику оператора циклу та прокоментуємо всі ці назви. Виконання оператора циклу починається з того, що обчислюється умова, записана в заголовку. Якщо вона істинна, то виконується тіло циклу і знову обчислюється умова. Якщо вона істинна, усе повторюється. Якщо ж при черговому обчисленні умова стає хибною, то тіло циклу не виконується і взагалі виконання оператора циклу на цьому закінчується. Зокрема, якщо при першому обчисленні умова хибна, то тіло циклу не виконується жодного разу.
Отже, обчислення умови й виконання тіла повторюється, тобто має циклічний характер. Можна сказати, що обчислення умови й виконання тіла утворюють цикл, як день і ніч, змінюючи одне одного, утворюють добу. Істинність умови веде до продовження виконання оператора циклу, хибність – до його завершення, тому умова називається умовою продовження. Вона також називається перед-умовою, оскільки з її обчислення починається черговий цикл. Останній цикл неповний – у ньому тільки обчислюється умова (і виявляється хибною).
Оператору з перед-умовою відповідає блок-схема, зображена на рис.4.1.
Повернемося до задачі. Послідовність операторів для обчислення an при a=2, n=3 задає процес
p:=1; k:=3;
обчислення умови k>0: true ;
p:=1*2; k:=3-1; {p=2; k=2}
обчислення умови k>0: true;
p:=2*2; k:=2-1; {p=4; k=1}
обчислення умови k>0: true;
p:=4*2; k:=1-1; {p=8; k=0}
обчислення умови k>0: false,
а при a=5, n=0 – процес
p:=1; k:=0;
обчислення умови k>0: false.
У вигляді коментарів тут указано стани пам'яті наприкінці циклів.
Запишемо, нарешті, функцію pow:
function pow(a, n:integer):integer;
var p, k: integer;
begin
p:=1; k:=n;
while k>0 do
begin p:=p*a; k:=k-1 end;
pow:=p
end;
?
Приклад 4.2. Розглянемо задачу: за цілим A>0 обчислити мінімальне n таке, що n! ? A.
За означенням, n!=1? 2? …? n, тобто 1!=1, 2!=1!? 2, 3!=2!? 3 тощо, n!=(n-1)!? n. Обчислимо 1! та порівняємо з A; якщо 1!<A, то обчислимо 2!=2? 1! і знову порівняємо тощо. Зрештою після чергового збільшення n виявиться, що n!? A, і отримане значення n – шукане. Наприклад, при A=5 треба дійти до n=3, при A=120 – до n=5. Нам потрібна змінна n для запам'ятовування чисел 1, 2, 3 тощо, та змінна f – для значень 1!, 2!, 3! тощо. Отже,
спочатку n:=1, f:=1, і
поки f<A, треба збільшувати n на 1 і f домножати на n.
Перекладемо цей алгоритм на Паскаль. Скористаємося while-оператором із умовою продовження f<A і тілом, у якому задано зміни n і f:
n:=1; f:=1;
while f<A do {значення n менше шуканого}
begin n:=n+1; f:=f*n end;
{f>=A, f=n! , тому значення n – шукане}
Коментар після циклу містить умову f>=A – по суті, заперечення умови продовження f<A.
Коментар із запереченням умови продовження після оператора циклу може істотно допомогти в розробці циклічних операторів, тому радимо записувати його.
Оформлення алгоритму у вигляді функції з параметром A залишається як вправа.?
Досвідчені програмісти в деяких випадках користуються "нескінченним циклом" вигляду while true do оператор. Засоби, якими задається вихід із тіла циклу незалежно від значення умови продовження, ми розглянемо в підрозділах 5.3, 5.4.
Задачі
1.* Проімітувати виконання послідовності операторів:
а) i:=1; x:=1; y:=2;
while x<y do
begin
i:=i+1; x:=x*i; y:=y*2;
writeln(i, ' ', x, ' ', y)
end;
б) i:=1; x:=1; y:=2;
while i<=10 do
begin
i:=i+1; x:=x*i; y:=y*2;
writeln(i, ' ', x, ' ', y)
end;
2. За цілим A>0 обчислити найбільше n таке, що n!? A.
3.* Написати функцію обчислення n!, де n? 0 (0!=1).
2. Рекурентні послідовності та співвідношення
2.1. Деталі конструктора
У прикладі 4.1 змінна p у процесі виконання операторів приймала значення 1, a, a2, a3, … , an. У цій послідовності перший член 1, а