"Рекурентний" означає "зворотний". Справді, елемент послідовності тут визначається через попередні, і для його обчислення треба повернутися до них. Усім добре відомі рекурентні співвідношення вигляду an=an-1+d або bn=bn-1? q – їм задовольняють члени відповідно арифметичних або геометричних прогресій. Конкретна ж прогресія, тобто послідовність чисел, задається першим членом a1 і різницею d (або знаменником q). Власне, послідовність степенів у прикладі 4.1 p0, p1, p2, … – геометрична прогресія: вона визначається першим членом p0=1 і рекурентним співвідношенням pi=pi-1*a при будь-якому i>0.

У прикладі 4.2 змінна n послідовно приймала значення, що утворюють арифметичну прогресію з першим членом 1 і різницею 1. Послідовність же значень змінної f не була прогресією, але визначалася першим членом f1=1 і співвідношенням fn=fn-1? n при n>1.

Послідовність, члени якої задовольняють деяке рекурентне співвідношення, також називається рекурентною.

Приклад 4.3. Розглянемо послідовність {f} чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , у якій f1=f2=1, а наступні члени задаються рекурентним співвідношенням

fn=fn-2+fn-1, n>2.

Вона називається послідовністю чисел Фібоначчі – за прізвиськом Леонардо Пізанського, який першим її описав. За першими двома її членами можна обчислити третій. Для обчислення четвертого перший член уже не потрібний, тому що f4=f2+f3. Для обчислення п'ятого достатньо пам'ятати лише третій і четвертий тощо. Обчислюючи члени послідовності один за одним, ми дістанемося будь-якого, почавши з перших двох. При цьому щоразу ми використовуємо лише два останніх значення і, обчисливши наступне, "забуваємо" перше з двох використаних.

Нехай дано номер n, n>2, і треба обчислити fn. Опишемо ці обчислення. З попередніх міркувань випливає, що потрібні дві змінні для двох сусідніх членів і третя для наступного (назвемо їх fa, fb і fc), а також змінна m для зберігання номера останнього з обчислених членів.

Спочатку fa=1, fb=1, m=2, (*)

потім обчислимо fc:=fa+fb і збільшимо m на 1. Якщо значення fb і fc зробити відповідно значеннями fa і fb (fa:=fb, fb:=fc), то обчислення четвертого члена можна задати таким самим оператором fc:=fa+fb. Отже,

поки m<n, виконуємо:

fc:=fa+fb, m:=m+1, fa:=fb, fb:=fc. (**)

Очевидно, що з кожним виконанням fc:=fa+fb, m:=m+1 ми переходимо до наступного члена послідовності і в m запам'ятовуємо його номер. Оскільки значення m щоразу зростає, зрештою виявиться, що m=n, умова m<n стане хибною, і змінних fb і fc матимуть потрібне нам значення fn. Залишилося перекласти на Паскаль рядки, відзначені (*) і (**):

fa=1; fb=1; m=2;

while m<n do

begin

fc:=fa+fb; m:=m+1;

fa:=fb; fb:=fc

end;

{m=n, значення змінних fc і fb – шукане}

Відзначимо, що присвоювання fa:=fb та fb:=fc ні в якому разі не можна переставляти – можете проімітувати початок виконання цього алгоритму з переставленими присвоюваннями й переконатися, що значеннями змінної fc будуть аж ніяк не числа Фібоначчі. ?

У загальному випадку рекурентне співвідношення задає залежність члена рекурентної послідовності sn від k попередніх у вигляді деякого виразу sn=F(sn-k, … , sn-1). Число k називається порядком рекурентного співвідношення. Якщо відомі sn-k, ... , sn-1, то вираз F фактично задає обчислення sn. Назвемо це обчислення застосуванням рекурентного співвідношення.

Припустимо, нам відомо рекурентне співвідношення sn=F(sn-k, ... , sn-1) і перші k членів рекурентної послідовності. Треба за номером p обчислити sp. Знаючи перші k членів, можна застосувати до них співвідношення й обчислити sk+1; аналогічно за s2, ... , sk+1 обчислюється sk+2 тощо. Щоразу для обчислення чергового члена потрібні тільки k останніх із попередніх.

Отже, для опису цих обчислень потрібні:

k змінних для k останніх членів (нехай їх імена A, B, … , X),

змінна для нового члена (нехай її ім'я Y),

змінна M для номера останнього з обчислених членів.

Треба створити "деталі конструктора", тобто запрограмувати:

ініціалізацію змінних A, B, … , X першими k значеннями послідовності;

застосування рекурентного співвідношення, тобто обчислення нового члена й запам'ятовування його в змінній Y;

присвоювання значень змінних B, … , X, Y відповідно змінним A, B, … , X (назвемо це переприсвоюванням).

Тоді розв'язання задачі має вигляд:

ініціалізація змінних A, B, … , X;

M:=k;

while умова продовження do

begin

присвоїти Y результат застосування рекурентного співвідношення до значень змінних A, B, … , X;

M:=M+1;

A:=B; ... ; X:=Y {переприсвоювання}

end

У нашому випадку умова продовження – це просто вираз M<p.

Розв'язанням такого вигляду є алгоритм обчислення числа Фібоначчі за його номером (приклад 4.3). Там k=2 і використано імена fa, fb, fc замість A, ... , X, Y.

Далі ми наведемо приклади розв'язання задач з іншими умовами продовження й іншим розташуванням "деталей конструктора", хоча в основі алгоритму все рівно буде цикл while.

Зауважимо, що якщо порядок рекурентного співвідношення k=1, то для обчислення нового члена може виявитися достатнім однієї змінної. Так було в перших задачах, де, наприклад, при виконанні p:=p*a спочатку за старим значенням змінної p обчислювалося нове й потім їй же присвоювалося. Проте далі ми наведемо приклади, де послідовність задається співвідношенням порядку 1, але в умові продовження обчислень використовуються два останніх члени. Тому там будуть потрібні дві змінні.

Використання рекурентних співвідношень дозволяє легко програмувати розв'язання задач, де шукані величини можуть бути виражені як члени рекурентних послідовностей. Треба:

зрозуміти, що розв'язання задачі можна побудувати на використанні рекурентної послідовності;

записати відповідне рекурентне співвідношення;

визначити перші члени послідовності, що обчислюються без застосування співвідношення;

сформулювати умову, за якої треба продовжувати застосування рекурентного співвідношення.

Після