Спеціальні признаки рівномірної збіжності рядів .

Якщо послідовність функції an (x) належить R , рівномірно наближається на множині Х до нуля і в кожній точці х належить Х монотонна , а послідовність функції bn (x) належить Х , так , що послідовність часткових сум ряду bn (x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , обмежена на Х , то ряд an(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , рівномірно сходиться на множині Х .

Якщо послідовність функції an (x) належить R , обмежена на множині Х і монотонна в кожній точці х належить Х , а ряд рівіномірно сходиться на Х , то і ряд an(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , також рівномірно сходиться на множині Х .

Степеневі ряди.

Степеневим рядом називається ряд виду an(z-zo),де n-лежить в межах від 1 до безмежності,числа an-називаються коефіцієнтом ряду.Розглянемо тепер аналітичні функції, котрі розкладаються в степеневий ряд з дійсними коефіцієнтами в деякому радіусі точки дії осі R.Якщо така функція f аналітична в точці xo, яка належить R,то в деякому радіусі цієї точки на дійсній осі функція f представляється в вигляді суми степеневого ряду

f(x)= an(x-xo)

з дійсними коефіцієнтами.

Розглянемо деякі особливості подібних функцій.Перш за все помітимо,що для всякого степеневого ряду з дійсними коефіцієнтами існує радіус сходження R.В результаті цього одержуємо,що ряди одержані врезультаті диферіїнцювання і інтегрування мають такий же радіус сходження,що й степенево-показникові ряди.

Якщо в деякому радіусі заданої точки функція розкладається в степеневий ряд , то цей розклад буде єдиним .

Згідно теореми всяка аналітична , в деякій точці дійсної осі ,функція нескінченно диференційована в цій точці розкладається в цій точці в свій ряд Тейлора . Зворотнє також можливо , якщо дійсна функція розкладається в деякому радіусі будь-якої точки ,то може статися , що вона не рівна сумі свого ряду Тейлора .

Якщо функція в радіусі точки Xo має всі похідні , обмежені в сукупності у цьому радіусі , функція розкладається в степеневий у деякому радіусі точки Xo .

Формула Стірлінга .

Розклад функції ln(1+x) в степеневий ряд дає можливість легко одержати асимптичну формулу для факторіала n! При n , яке прямує до безмежності . Така формула називається формулою Стірлінга .

Аналіз ряду даного у курсовій роботі.

Даний ряд у курсовій роботі являється степенево—показниковим рядом .

Область значень для х є від –0.5 до 0.5 .

Ряд поданий у курсовій роботі є збіжним рядом .

Текст програми на Паскалі .

Висновок .

Порівнявши результати одержані двома різними компіляторами , такими як Турбо Паскалі та Турбо Сі очевидно , що одержані результати однакові .

Список літератури .