Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

а) Зведення системи лнийних рівнянь до ступінчастого вигляду.

Перейдемо до вивчення питания (про розв'язування систем ліній рівнянь. Нехай дано довільну систему т лінійних рівнянь з п невадомими.

a11x1 +a12x2 + ……+ a1nxn = b1,

a21x1 +a22x2 + ……+ a2nxn = b2,

………………………………..

am1x1 +am2x2 + …..+ amnxn = bm,

У цій системі, принаймні, один з коефіцієнтів ai1 (i = 1,2,..., m) відмінний від нуля, бо в противному paзi система (1) не була б системою з п невідомими. Якщо a11 = 0, а, наприклад, as1 0, то переставив-ши перше i s-те рівняння, дістанемо систему, еквівалентну системі (1). У першому piвнянні цієї системи коефіцієнт при невідомому x1 буде відмінний від нуля. Тому вважатимемо, що в системі (1) а11 0.

Випишемо розширену матрицю системи (1), відокремивши для зруч-ності вертикальною рискою стовпець вільних членів:

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

………………….

am1 am2 … amn bm

Застосовуючи елементарні перетворення рядків, зведемо матрицю (2) до ступінчатого вигляду. Дістанемо деяку ступінчасту матрицю.

В' = (a'ikb'i) розміру m x (n + 1). Позначимо символом S (В') систему лінійних рівнянь, розширеною матрицею якої е ступінчаста матриця

В' = (a'ikb'i).

Систему лінійних рівнянь, розширена матриця якої ступінчаста, також називають ступінчастою. Про ступінчасту систему говорять, що вона має ступінчастий вигляд. За теоремою 1.2 ступінчаста система S(В') еквівалентна системі (1).

Перетворення системи лінійних рівнянь в еквівалентну їй ступін-часту систему називають зведенням системи лінійних рівнянь до сту-пінчастого вигляду.

Отже, описаним вище способом кожну систему лінійних рівнянь можна звести до ступінчастого вигляду. Всюди далі, говорячи про перетворення системи лінійних рівнянь у ступінчасту систему, ми розумітимемо під цим перетворення лінійної системи в е к в і в а л е н т -

н у їй ступінчасту систему.

б) Розв'язування системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь (1) еквівалентна ступінчастій системі S(В'). Тому розв'я-зування системи (1) зводиться до розв'язування системи S(В'). При цьому можливі такі два випадки:

1. У розширеній матриці В' = (a'ib'i) системи S(В') є рядок, в якому першим відмінним від нуля елементом є його .останній елемент.

2. У матриці В' такого рядка немає. У першому випадку в системі S(В') міститься рівняння вигляду 0 * x1 + 0 * x2 + … + 0 * хn = b, b 0 (скорочено його записують 0 = b). Оскільки жодна система чисел (l1,l2, …, ln) не може задовольняти рівняння 0 = b (b 0), то система рівнянь S(В') несумісна.

Розглянемо другий випадок. Нехай ступінчаста матриця S(В') містить r ненульових рядків і перші ненульові елементи цих рядків знаходяться в стовпцях з номерами k1 = 1, k2,k3, …,kr. З означення ступінчастої матриці випливає, що 1 = k1 < k2 < … < kr < n.

Всі рівняння системи S(В'), які мають вигляд 0 * x1 + 0 * x2 + ... + 0 * хn = = 0, відкинемо. Дістанемо систему S(В''), еквівалент-ну системі S(В'). Невідомі х1, xk, xk2, ..., хkr, з яких починаються перше, друге, ..., r-те рівняння системи S(В''), назвемо головними, а всі інші (якщо вони є) —вільними.

Припустимо спочатку, що вільних невідомих немає. Тоді r = п, k1 = 1,

k2 = 2, k3 = 3, ..., kn = n, і система S(В'') має вигляд

a'11x1 + a'12x2 + … + a'1(n-1)xn-1 + a'1nxn = b'1,

a'22x2 + … + a'2(n-1)xn-1 + a'2nxn = b'2,

…………………………………………………………

a'(n-1)(n-1)xn-1 + a'(n-1)nxn = b'n-1,

a'nnx = b'n,

(a11 0, a22 0, …, ann 0).

З останнього рівняння системи (3) знаходимо ділком певне зна-чення невідомого xп. Підставивши його в передостаннє рівняння

системи (3), знайдемо відповідно одне значення невідомого xn-1. Тоді таким же способом послідовно дістанемо єдині значення невідомих xп-2, xп-з, …, х2, x1. Добуті таким чином значення невідомих x1, x2, …, xn cтановлять, очевидно, єдиний розв'язок системи (3). Отже, в розглядуваному випадку система S(В''), а також і система S(В'), сумісні й визначені. Припустимо тепер, що вільні невідомі є. Тоді система має вигляд

a'11x1 + … + a'1k2xk2 + … + a'1krxkr + … + a'1nxn = b'1,

a'2k2xk2 + … + a'2krxkr + … + a'2nxn = b'2,

…………………………………………..……

a'rkxkr + a'(n-1)nxn = b'n-1,

a'nnx = b'n,

(a11 0, a22 0, …, ann 0).

Позначимо символом б( суму всіх членів і'-го рівняння системи (4), що містять в}льні невідомі. Перенісши члени з вільними неві-домими в праві частини рівнянь, дістанемо систему

а[іх^ + а^хь, + *** +а'іі,^=Ь[—і^,

аг^іг, — * * * + аих^ = Ьі — ^2, ,е\

а-г^х^ ==Ьг— І-,г, \

еквівалентну системі (4). У системі (5) коефіцієнти а\\, аг»,, азіг,, ... ...аг відмінні від нуля. Надамо вільним невідомим у системі (5) довіль-но вибраних числових значень: дістанемо систему вигляду (3). Роз-в'язавши її описаним вище способом, дістанемо єдині значення голов-них невідомих Хц х^, Хі:,, ..., х^. Сукупність знайдених значень го-ловних невідомих і вибраних нами значень Д вільних невідомих, очевидно, задовольняє кожне рівняння системи (5), тобтоє цілком визначеним розв'язком цієї системи, а отже, і еквівалентної їй систе-ми 5 (Л'), що відповідає вибраним значенням вільних невідомих. ^Оскільки значення вільних невідомих можна вибирати довільно, то множина різних наборів цих значень нескінченна. Тому множина розв'язків системи (5) і еквівалентної